dan Statistika dan Fungsi Peluang Adam Hendra Brata
acak adalah sebuah fungsi yang memetakan hasil kejadian yang ada di alam (seperti : buka dan tutup; terang, redup dan gelap; merah, kuning dan hijau; hidup dsb.) menjadi bilangan numerik. Semua kejadian yang mungkin muncul dalam suatu percobaan kita sebut sebagai anggota Ruang Sample yang dinotasikan dengan S. Sebuah fungsi yg mengaitkan sebuah bilangan real dengan setiap elemen di ruang sampel Notasi
X adalah variabel acak diskrit jika X banyak nilainya dapat dihiitung (berkorelasi 1 1 dengan bilangan bulat positif) Untuk variabel acak diskrit : Kontinu X adalah variabel acak kontinu jika banyaknya nilai xi tak dapat dihitung
Syarat 1. Fungsi yang dapat dinyatakan sebagai variabel acak adalah fungsi yang bukan bernilai ganda (Multivalued) 2. Fungsi variabel acak hanya memiliki satu harga dari suatu elemen sampel eksperimen
Contoh Kemungkinan besok akan turun hujan. Kemungkinan jawaban: Y = { Hujan, Tidak Hujan } atau Y = { 1 = Hujan, 0 = Tidak Hujan } atau Y = { 21 = Hujan, 200 = Tidak Hujan }
Contoh Dalam pemeriksaan lampu, ada dua kejadian yg mungkin: Baik (B) dan Mati (M). Pemeriksaan dilakukan dengan mengambil secara acak 3 buah lampu hasil produksi. Maka ruang sampelnya adalah?
Contoh S = { BBB, BBM, BMB, BMM, MBB, MBM, MMB, MMM } Langkah pertama, mendefinisikan X; adalah banyaknya lampu yg rusak dalam pengambilan tsb, maka X bisa mengambil nilai : 0,1,2,3 yang menyatakan lampu yang mati. X adalah contoh random: S = { BBB, BBM, BMB, BMM, MBB, MBM, MMB, MMM } X = { 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3 } Terlihat X = 2 untuk kejadian E = { MMB, MBM, BMM }, Jadi tiap nilai X berkenaan dengan sebuah himpunan bagian dari S.
Latihan 2 bola diambil berturut-urut tanpa dikembalikan dari kotak yg berisi 4 bola merah (M) dan 3 bola biru (B). Buatlah semua kemungkinan nilai variabel random Y yang menggambarkan jumlah bola merah yang terambil. Ruang sampel MM 2 MB 1 BM 1 BB 0 y
acak diskrit adalah variabel acak yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan. acak diskrit jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah. Untuk sebuah variabel acak diskrit X kita tentukan Fungsi Masa (Probability Mass Function) p(x) dengan :
- Ruang Sampel Ruang Sampel Ruang Sampel adalah kumpulan semua even (kejadian) atau himpunan dari semua outcome yang mungkin dari suatu eksperimen random dinyatakan dengan S Suatu elemen/unsur/anggota pada Ruang sampel (S ) disebut titik sampel (sample point) Menurut banyaknya hasil dalam ruang sampel dibedakan menjadi ruang sampel diskrit dan ruang sampel kontinu
- Ruang Sampel Contoh Ruang Sampel Eksperimen melempar sebuah mata koin dua kali (dua buah koin yang dilempar sekali), maka ruang sampelnya : S = { GG, GA, AG, AA} Eksperimen pelemparan sepasang dadu merah dan hijau, maka ruang sampelnya : S = {(x,y) x = 1, 2,, 6 ; y = 1, 2,,6 } Eksperimen mengukur berat badan seseorang yang beratnya antara 45,5 dan 50,5, maka ruang sampelnya : S = { x 45,5 < x < 50,5 }
Himpunan pasangan tersusun (x,f(x)) adalah sebuah fungsi peluang, fungsi massa peluang atau sebaran peluang dari variabel acak diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin adalah: ; total probabilitas seluruh kejadian = 1
Tiap nilai sebuah variabel acak memiliki probabilitas tertentu untuk muncul. Contoh: Melempar 3 mata uang (tiap kali Gambar, Angka). Misal didefinisikan variabel randomnya X : banyak G dalam pelemparan tsb. Maka ruang sampelnya : S = {GGG,GGA,GAG,GAA, GG,AGA,AAG,AAA} x = 0 {AAA} P(X=0) = 1/8 x = 1 {GAA,AGA,AAG} P(X=1) = 3/8 x = 2 {GGA,GAG,AGG} P(X=2) = 3/8 x = 3 {GGG} P(X=3) = 1/8
Latihan Diketahui ruang sampel dari sebuah percobaan : Percobaan 1 2 3 Jumlah mata angka 1 A A A 3 2 A A G 2 3 A G G 1 4 G G G 0 5 G A A 2 6 G G A 1 7 G A G 1 8 A G A 2 Tentukan distribusi probabilitas diskritnya!
Fungsi Sebaran kumulatif atau Fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari X F(x) adalah adalah suatu peubah acak X dengan sebaran peluang f(x) dinyatakan oleh :
Contoh Fungsi Mobil yg dijual sebuah dealer 50% dilengkapi dengan air-bag. - Tentukanlah distribusi probabilitas dari 4 buah mobil yang akan terjual berikutnya! - Kemudian carilah fungsi distribusi kumulatifnya!
Contoh Fungsi probabilitas : menjual sebuah mobil dg air-bag adalah ½ maka untuk 4 penjualan berikutnya ada 2 4 = 16 susunan yg mungkin. Secara umum banyaknya cara untuk menjual x mobil dengan air-bag dari 4 penjualan 4 mobil adalah : 4Cx. Maka probabilitas menjual x mobil dengan air bag dalam 4 penjualan adalah :
Contoh Fungsi Fungsi : Peluang distribusi : f(0) = 4C0/16 = 1/16 f(1) = 4C1/16 = 4/16 f(2) = 4C2/16 = 6/16 f(3) = 4C3/16 = 4/16 f(4) = 4C4/16 = 1/16
Grafik Fungsi (F(x))
Contoh Fungsi probabilitas kumulatif F(x) dari sebuah variabel random X dengan fungsi probabilitas f(x) adalah jumlahan dari f(x) dari nilai x = - hingga x : F(x) = P(X<x) = t<x f(t) untuk - < x < Sehingga fungsi distribusi kumulatifnya: F(0) = f(0) = 1/16, 0 x < 1 F(1) = f(0)+f(1) = 5/16, 1 x < 2 F(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 11/16, 2 x < 3 F(3) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 15/16, 3 x < 4 F(4) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 1, x 4
Grafik
Sifat Sifat Fungsi Peluang 0 F (x) 1 F (x), fungsi yang tidak turun, sebagai kumulatif setiap x naik F (y) = 0, untuk setiap titik y yang lebih kecil dari nilai x terkecil (di ruang contoh) F (z) = 1, untuk setiap titik z yang lebih besar dari nilai x terbesar di ruang contoh F (x), merupakan fungsi tangga dengan tinggi f(x) = P(X = x)
Latihan Diketahui ruang sampel dari sebuah percobaan : Percobaan 1 2 3 Jumlah mata angka 1 A A A 3 2 A A G 2 3 A G G 1 4 G G G 0 5 G A A 2 6 G G A 1 7 G A G 1 8 A G A 2 Tentukan distribusi probabilitas kumulatifnya!
Terimakasih dan Semoga Bermanfaat v^^