Apa yang akan Anda Pelajari? Mengenal PLDV dalam berbagai bentuk dan variabel Menentukan himpunan penyelesaian PLDV dan grafiknya Mengenal SPLDV dalam berbagai bentuk dan variabel Menentukan penyelesaian SPLDV dengan Grafik, substitusi dan eleminasi Membuat dan menyelesaikan model matematika dari masalah sehari-hari yang melibatkan SPLDV Kosa kata Persamaan linear Variabel, koefisien Himpunan penyelesaian Kata kunci PLDV, SPLDV, Substitusi, Eleminasi A Persamaan Linier Dua Variabel (PLDV) Pengertian PLDV Tentunya anda masih ingat tentang persamaan linear satu variable ( PLSV ), yaitu persamaan yang memuat satu variabel, dan pangkat dari variabelnya adalah satu Nah, sekarang perhatikan persamaan x + 4y = 8, memiliki dua variabel yaitu x dan y, serta masingmasing variabel berpangkat satu x + 4y = 8 merupakan PLDV Kesimpulan : Persamaan linier dua variabel ( PLDV ) adalah suatu persaman yang mempunyai variabel, dan masing- masing variabel berpangkat Bentuk umum dari PLDV adalah ax + by + c = 0 atau ax + by = c Beberapa contoh PLDV : 3x + 6y = 3 m = n 8 3 5p 3q + 30 = 0 4 x + y = 6 4 Dari contoh- contoh PLDV di atas, mari kita tentukan variabel dan koefisiennya : 3x + 6y = variabelnya adalah x dan y koefisien dari x adalah 3, dan koefisien dari y adalah 5p 4q + 30 = 0 variabelnya adalah p dan q koefisien dari p adalah, dan koefisien dari q adalah 3 m = n 8 variabelnya adalah dan koefisien dari adalah, dan kefisien dari adalah 67
3 4 x + y = 6 4 variabelnya adalah dan koefisien dari adalah, dan koefisien dari adalah `Menentukan Penyelesaian PLDV dan Grafiknya Mari kita ingat kembali pengertian penyelesaian persamaan, yaitu pengganti dari variabel sehingga kalimat terbuka menjadi kalimat yang bernilai benar Contoh Tentukan himpunan penyelesaian, dan gambar grafik dari persamaan x + 3y = 6, dengan x { 0,,, 3 } dan y { bilangan bulat } Untuk x = 0, maka : Untuk x =, maka : 0 + 3y = 6 + 3y = 6 3y = 6 3y = y = y = 3 x = 0 dan y = tidak memenuhi ( mengapa? ) yang ditulis dalam pasangan berurutan (0, ) Untuk x =, maka : Untuk x = 3, maka : + 3y = 6 3 + 3y = 6 3y = 4 3y = 0 y 4 = 3 y = 0 tidak memenuhi ( mengapa? ) x = 3 dan y = 0 atau (3, 0) Jadi, (0, ) dan (3, 0) merupakan penyelesaian Dari contoh, jika x, y { bilangan real }, maka ada tak terhingga banyak pasangan berurutan dalam himpunan penyelesaian Bila himpunan penyelesaiannya digambar grafiknya akan berupa titik- titik yang tak terhingga pula banyaknya, semua terletak pada suatu garis lurus yang melalui titik (0, ) dan (3, 0) Y 4 3 - - 0 3 4 5 X Jika x, y bilangan Real maka grafiknya seperti gambar di sebelah kanan Y 4 3 - - 0 3 4 5 X 68
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dan grafiknya dari persamaan y + x 8 = 0, jika x, y { bilangan Real } atau x, y R Persamaan y + x 8 = 0 y + x = 8 Untuk x = 0, maka : Untuk y = 0, maka : y + 0 = 8 0 + x = 8 y = 8 x = 8 x = 4 (0, 8) (4, 0) Karena x, y R, maka pasangan x dan y yang merupakan penyelesaian ada tak terhingga Grafik dari himpunan penyelesaiannya berupa garis lurus yang melalui titik (4, 0) dan (0, 8) Y 0 9 8 7 6 5 4 3 - - 0 3 4 5 X LATIHAN Tentukan himpunan penyelesaian dan grafiknya dari persamaan berikut, untuk x, y { bilangan cacah } a x + y = 3 c x 3y = b 3x = -y + 9 d 5x 4y + 5 = 0 Tentukan himpunan penyelesaian dan grafiknya dari persamaan berikut, untuk x, y { bilangan real } a x + y = 4 d 4x = -3y + 6 b x y = 5 e y = x + 4 c 5x 4y 0 = 0 f x + y = 3 4 69
B Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) `Pengertian SPLDV Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) terdiri atas dua persamaan linear dua variable, yang keduanya tidak berdiri sendiri, sehingga kedua persamaan hanya memiliki satu penyelesaian Berikut ini adalah beberapa contoh SPLDV : x + y = 3 dan x 3y = 5x + y = 5 dan x = 4y 3 x = 3 dan x + y 5 = 0 4 x = y + 6 dan x 7y = -8 5 5x + 4y + 7 = 0 dan -3x y = 4 70 LATIHAN Sebutkan perbedaan PLDV dan SPLDV! Manakah yang merupakan SPLDV? a 3x + y = 6 dan 5x 3y = 5 d x + y = 7 dan x + y = 5 b -6x = 8y + 4 dan y = 5x + 0 e + = dan = x y x y c x = 7 dan x 6y = 8 f x = 5 dan y = 4 3 Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan Grafik, Substitusí, dan Eleminasi Penyelesaian PLDV yang sudah kita bahas hanya terdiri satu persamaan saja Perhatikan dua persamaan linier berikut : x + y = 3 dan x 3y = Dari kedua persamaan ini, kita harus menentukan pasangan pengganti x dan y, sehingga mengubah kedua persamaan menjadi kalimat yang benar Berarti pengganti x dan y untuk persamaan x + y = 3, juga harus memenuhi persamaan x 3y = Sehingga hanya ada satu penyelesaian dari kedua persamaan tersebut yang merupakan pasangan x dan y yang biasa ditulis dalam pasangan berurutan (x,y) Contoh : Mari kita coba menentukan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 3 dan x 3y = Untuk x = dan y = atau ditulis (,), maka: x + y =3 x 3 y = + = 3 (Memenuhi) 3 = -4 (Tidak memenuhi) Karena untuk x = dan y = atau (,) tidak memenuhi persamaan x 3y =, maka (,) bukan penyelesaian sistem persamaan x + y = 3 dan x - 3y = Untuk x = dan y = atau (,), maka : x + y = 3 x 3 y = + = 3 (Memenuhi) 3 = (Memenuhi)
Karena untuk x = dan y = atau (,) memenuhi kedua persamaan, maka (,) merupakan penyelesaian sistem persamaan x + y = 3 dan x - 3y = Himpunan penyelesaian SPLDV dapat diselesaikan dengan 3 cara, yaitu : Cara grafik Cara substituís 3 Cara eleminasi Sebelum kita menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan ketiga cara di atas, marilah kita mencoba menyelesaikan permasalahan seharí-hari yang berkaitan dengan SPLDV dengan memakai gambar Masalah ( masalah harga pensil dan buku ) Pada hari Minggu Yanita dan Reza pergi ke toko Yanita membeli dua pensil dan dua buku dengan harga Rp 4000,00 Sedangkan Reza membeli satu pensil dan tiga buku yang bermerek sama dengan yang dibeli Yanita, dengan harga Rp 7000,00 Berapa harga sebuah pensil dan sebuah buku? Jawab: Yanita : = 4000 Maka = 7000 (dibagi dua) Reza : = 7000 7000 Maka : = 0000 (7000 7000 ) Jadi = 5000 ( dibagi dua ) = 7000 5000 Jadi = 000 (7000 5000 ) Jadi harga sebuah pensil Rp 000,00 dan harga sebuah buku Rp 5000,00 Masalah ( Masalah berat jagung dan beras ) Sebuah toko menyimpan persediaan beras dan jagung yang dimasukkan dalam karung Setiap karung beras beratnya sama dan setiap kantong jagung beratnya sama 7
berat dua karung beras bersama satu karung jagung adalah 7 kg Berat 3 karung beras dan satu karung jagung 3 kg Tentukan berat satu karung beras dan berat satu karung jagung a Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara Grafik untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara grafik, langkahnya adalah sebagai berikut : I Menggambar garis dari kedua persamaan pada bidang cartesius II Koordinat titik potong dari kedua garis merupakan himpunan penyelesaian Catatan : Jika kedua garis tidak berpotongan (sejajar), maka SPLDV tidak mempunyai penyelesaian Contoh : Tentukan HP dari sistem persamaan : x + 3y = dan 4x 3y 6 = 0 x + 3y = 4x 3y 6 = 0 4x 3y = 6 Titik potong dengan sumbu x, y =0 Titik potong dengan sumbu x, y =0 x + 30 = 4x 3y = 6 x = 4x 30 = 6 x = 6 x = diperoleh titik (6,0) diperoleh titik (,0 ) Titik potong dengan sumbu y, x = 0 Titik potong dengan sumbu y, x = 0 0 + 3y = 40 3y = 6 3y = 3y = 6 y = 4 y = - diperoleh titik (0,4) diperoleh titik (0,-) Y 7 6 5 4 3-7 -6-5 -4-3- -0 - - -3-4 -5-6 -7 3 4 5 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { (3,) } (3,) 6 7 X 7
Tentukan himpunan penyelasaian dari sistem persamaan x + y = 0 dan y = 6 - x Grafik dari x + y - = 0 adalah garis yang melalui titik (,0) dan (0,) Grafik dari y = 6 x adalah garis yang melelui titik (6,0) dan (0,6) Y 7 6 5 4 3-7 -6-5 -4-3- -0 - - -3-4 -5-6 -7 3 4 5 6 7 X Kedua garis sejajar, Maka Sistem persamaam di atas tidak mempunyai himpunan penyelesaian { }atau LATIHAN Tentukan HP dari sistem persamaan berikut dengan cara grafik : x + y = 4 dan x y = 4 x 3y = 6 dan 3y x = 3 3x + y = dan x + y = 4 5 x + y = 5 dan 3x = 7y 3 x =3 dan x + y 5 = 0 b Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara Substitusí Substitusi artinya mengganti Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : I Menyatakan variable dalam variable lain, misal menyatakan x dalam y atau sebaliknya II Mensubstitusikan persamaan yang sudah kita rubah pada persamaan yang lain III Mensubstitusikan nilai yang sudah ditemukan dari variabel x atau y ke salah satu persamaan Contoh : Tentukan HP dari sistem persamaan x + y = 4 dan 3x + y = x + y = 4, kita nyatakan x dalam y, diperoleh : x = 4 y Substitusikan x = 4 y ke persamaan 3x + y = 3(4 y) + y = 6y + y = -4y = 0 y = 0 73
Substitusikan y = 0 ke persamaan x = 4 y x = 4 0 x = 4 Jadi HP nya adalah {(4,0)} Tentukan HP dari sistem persamaan : x + 3y = dan 4x 3y 6 = 0 x + 3y = kita nyatakan y dalam x, diperoleh : 3y = x y = 4-3 x Substitusikan y = 4-3 x ke persamaan 4x 3y 6 = 0, 4x 3( 4-3 x ) 6 = 0 4x + x - 6 = 0 6x -8 = 0 6x = 8 x = 3 x = 3 substitusikan ke y = 4-3 x y = 4-3 3 y = 4 y = Jadi HP nya adalah {(3,)} LATIHAN Tentukan HP dari sistem persamaan berikut dengan cara substitusi : x 3y = 5 dan 3x + y = -7 4 x + 3y = 8 dan 3x + y = 9 y = x dan 5x 3y = 4 5 x y = 9 dan x + 4y - = 0 3 3x y = -4 dan 6x y = 6 5x + 4y + 7 = 0 dan -3x y = 4 c Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara eleminasi Eleminasi artinya menghilangkan salah satu variable Pada cara eleminasi, koefisien dari variabel harus sama atau dibuat menjadi sama Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : i Nyatakan kedua persamaan ke bentuk ax + by = c ii Samakan koefisien dari variabel yang akan dihilangkan, melalui cara mengalikan dengan bilangan yang sesuai ( tanpa memperhatikan tanda ) iii Jika koefisien dari variabel bertanda sama (sama positif atau sama negatif), maka kurangkan kedua persamaan Jika koefisien dari varibel yang dihilangkan tandanya berbeda (positif dan negatif ), maka jumlahkan kedua persamaan 74
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari sitem persamaan x + y = 4 dan x y = Mengeliminasi x x + y = 4 ( koefisien x sudah sama, dan tandanya sama positif, x y = maka kita kurangkan kedua persamaan ) y = Catatan : x x = 0 y = y (-y) = y Mengeliminasi y x + y = 4 ( koefisien y sudah sama, dan tandanya berbeda, maka kita x y = jumlahkan kedua persamaan ) + x = 6 Catatan : x + x = x x = 3 y + (-y) = 0 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(3, )} Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x = 3y + 7 dan 3x + y 9 = 0 Kita nyatakan persamaan dalam bentuk ax + by = c x 3y = 7 3x + y = 9 Mengeliminasi x Karena koefisien x belum sama, maka kita harus buat sama x 3y = 7 x 3 6x 9y = 5 3x + y = 9 x 6x + y = 8 - y = 33 y = -3 Mengeliminasi y x 3y = 7 x x 3y = 7 3x + y = 9 x 3 9x + 3y = 7 + x = 44 x = 4 Jadi, himpunan penyelesaian adalah {(4, -3)} 3 Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x 3y = 7 dan x + y = 6 Kita ubah dulu persamaan yang memuat pecahan x + y = (kedua ruas dikalikan 6) 6 3x + y = 6 75
Mengeliminasi y x 3y = 7 x x 3y = 7 3x + y = 6 x 3 9x + 3y = 8 x = 5 5 x = + Mengeliminasi x x 3y = 7 x 3 6x 9y = 3x + y = 6 x 6x + y = -y = 9-9 y = 5 9 Jadi, himpunan penyelesaian adalah {(, )} Catatan : Untuk menyelesaikan SPLDV sering dikerjakan dengan metode eliminasi dan subtitusi secara bersama- sama Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari x 3y = 7 dan 3x + y = 9 Mengeliminasi x Karena koefisien x belum sama, maka harus kita buat sama x 3y = 7 x 3 6x 9y = 5 3x + y = 9 x 6x + y = 8 - y = 33 y = -3 Subtitusikan y = -3 ke persamaan 3x + y = 9 3x + (-3) = 9 3x = x = 4 Jadi, himpunan penyelesaian adalah { (4, -3) } LATIHAN Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan cara eleminasi atau gabungan eleminasi dan substitusi : x + y = 4 dan x + y = 5 x y = 5 dan 3x + 3y = 3 5x y = dan 3x 4y + 5 = 0 4-3x 5y -8 = 0 dan 5x = -y 5 x + y = dan x y = 4 6 5 x 4 + 3 y + 3 3 5 x = dan - 3 y + 3 = 6 76
7 Diketahui sebuah garis lurus dengan persamaan ax + by = 0 melalui (,) dan (5,0) Tentukan nilai a dan b Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : 3 + = 9 dan - = x y x y 5 3 - = dan - = - a b 4 a b 4 Kompetensi Dasar Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan SPLDV 3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan SPLDV dan penafsirannya C Membuat model metematika dari masalah sehari hari yang melibatkan SPLDV Contoh Mari kita simak masalah harga pensil dan buku, yaitu Yanita membeli dua pensil dan dua buku dengan harga Rp 4000,00, sedangkan Reza membeli satu pensil dan tiga buku dengan harga Rp 7000,00 Kita misalkan : Harga sebuah pensil = p rupiah Harga sebuah buku = b rupiah Diperoleh model matematika : p + b = 4000,00 p + 3b = 7000,00 Kita selesaikan sistem persamaan di atas dengan mengeleminasi p p + b = 4000,00 x p + b = 4000 p + 3b = 7000,00 x p + 6b = 34000-4b = - 0000 b = 5000 Subtitusikan b = 5000 ke p + 3b = 7000 p + 3 5000 = 7000 p + 5000 = 7000 p = 000 Jadi, harga sebuah pensil adalah Rp 000,00 dan harga sebuah buku adalah Rp 5000,00 Perhatikan tahapan- tahapan pengerjaan soal cerita : i Menentukan pemisalan dengan variabel yang sesuai, misal x dan y, atau yang lain 77
78 ii Membuat model matematika ( di sini berupa SPLDV ) iii Menyelesaikan model matematika ( SPLDV) iv Menyimpulkan himpunan penyelesaian yang diperoleh Contoh Uang Aprita Rp 50000,00 lebihnya dari uang Budi Jika tiga kali uang Aprita ditambah dua kali uangnya Budi jumlahnya adalah Rp 950000,00 Tentukan besar masing- masing uang Aprita dan Budi! Misal : Besar uang Aprita = a rupiah Besar uang Budi = b rupiah Diperoleh model matematika : a = b + 50000 3a + b = 950000 Kita selesaikan sistem persamaan di atas dengan subtistusi a = b + 50000 kita substitusikan pada 3a + b = 950000 3(b + 50000) + b = 950000 3b + 450000 + b = 950000 5b = 500000 b = 00000 Substitusikan b = 00000 ke a = b + 50000 a = 00000 + 50000 a = 50000 Jadi, besar uang Aprita adalah Rp 50000,00 dan besar uang Budi adalah Rp 00000,00 Contoh 3 Made mengendarai sepeda motor dari Denpasar ke Gilimanuk dengan kecepatan rata- rata 60 km/jam Untuk menempuh jarak kedua tempat itu jika dikehendaki lebih cepat satu jam, maka kecepatan rata- ratanya diubah menjadi 80 km/jam Misal jarak kedua tempat itu x km, dan waktu yang diperlukan t jam Tentukan : a Dua persamaan dalam x dan t b Jarak kedua tempat a Dengan kecepatan rata- rata 60 km/ jam, maka : Jarak = kecepatan waktu x = 60t Dengan kecepatan rata- rata 80 km/ jam, maka : Jarak = kecepatan waktu x = 80 ( t ) x = 80t 80 Ada dua persamaan, yaitu x = 60t dan x = 80t 80 b Dari sistem persamaan di atas kita selesaikan dengan substitusi 60t = 80t 80 60t 80t = -80-0t = -80 t = 4
Waktu yang diperlukan pada kecepatan 60 km/jam adalah 4 jam Jadi, jarak kedua tempat = 60 km/ jam 4 jam = 40 km LATIHAN Dalam satu kelas, siswa putra lebih banyak dari pada siswa putri Banyak siswa seluruhnya dalah 44 anak, sedangkan selisih siswa putra dan putri adalah 6 anak Tentukan banyak siswa putra dan siswa putri! Jumlah dua bilangan adalah 450, dan selisih dari kedua bilangan adalah Tentukan kedua bilangan tersebut! 3 Ibu Hamidah dan ibu Ica berbelanja bersama Ibu Hamidah membeli empat kilogram gula dan tiga batang sabun yang mereknya sama dengan yang dibeliibu Ica, dengan harga RP 7000,00, sedangkan Ibu Ica membeli enam kilogram gula dan dua batang sabun dengan harga Rp 33000,00 Berapa harga satu kg gula dan harga satu batang sabun? Jika pak Hasan membeli tiga kg gula dan lima batang sabun, berapa besar uang yang harus dibayar? 4 Harga 4 ekor kambing dan ekor sapi adalah Rp 8000000,00 Harga satu kambing dan dan 3 sapi adalah Rp 850000,00 Tentukan harga 5 kambing dan satu sapi 5 Jumlah uang Anton dan Mandra adalah Rp 400000,00 Uang Mandra duapertiga dari uang Anton Tentukan besar uang masing- masing! 6 Dua sudut saling berpelurus Besar sudut yang satu tiga kali sudut yang lain, tentukan besar kedua sudut! 7 Perbandingan dua bilangan a dan b adalah 3 : 4 dan selisihnya 5 Tentukan kedua bilangan itu! 8 Tarif parkir untuk mobil (4 roda) adalah Rp 000,00 dan sepeda motor (roda ) Rp 500,00 Pada suatu hari, di halaman parkir Gedung bioskop pak Karto menghitung banyak roda kendaraan ada, dan uang yang diperoleh dari pembayaran parkir adalah Rp 43000,00 Berapa banyak mobil dan banyak sepada motor di halaman parkir? 9 Toni dan Ilham berkerja di pabrik sarung bagian menyablon merk Toni dapat menyablon 300 sarung setiap jam, sedangkan Ilham dapat menyablon 00 sarung setiap jam Lama waktu yang dikerjakan Toni dan Ilham tidak sama Jumlah jam kerja Toni dan Ilham adalah 50 jam, dan banyak sarung yang tersablon adalah 400 buah Berapakah lama kerja Toni dan Ilham? 0 Heru melakukan perjalanan dengan mobil dari kota A ke kota B dengan kecepatan rata- rata 50 km/jam Untuk menempuh jarak kedua kota itu jika dikehendaki lebih cepat dua jam, maka kecepatan rata- ratanya diubah 75 km/jam Misal jarak kedua kota adalah x, dan waktu yang diperlukan t jam Tentukan : a Dua persamaan dalam x dan t b Jarak kedua tempat 79
Enam tahun yang lalu umur Andi dibanding umur Suci adalah 5 : 3 Jika empat tahun yang akan datang perbandingan umur mereka 0 : 7 Tentukan umur Andi sekarang! SOAL LATIHAN KD ( SPLDV ) Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : 3x + y = 8 dan x + 3y = 6 adalah a { (6, 0) } b { (3, 9) } c { (3, 0) } d { (4, 6) } Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : 6x 3y = - dan -x + 4y = 3 adalah 3 a { (0, 7) } b { (, 3) } c { (/, 8) } d { (, 0) } 3 Selisih panjang dan lebar suatu persegi panjang adalah 8 cm Jika keliling persegi panjang tersebut 44 cm, maka luas Persegi panjang adalah a 05 cm b 0 cm c 76 cm d 35 cm 4 Jumlah dua bilangan adalah 5, dua kali bilangan pertama dikurangi bilangan ke dua hasilnya adalah - Salah satu dari bilangan itu adalah a -6 b - c 3 d 7 5 Harga 4 baju dan celana adalah Rp 450000,00, sedangkan harga 3 baju dan celana adalah Rp 75000,00 Jika bu Anis membeli baju dan celana, maka besar uang yang harus dibayar adalah a Rp75000,00 c Rp 350000,00 b Rp 50000,00 d Rp 400000,00 6 Jumlah dua bilangan pecahan adalah 6 5 Jika selisih kedua bilangan tersebut, maka hasil kali kedua bilangan itu adalah 5 8 a b c 9 6 d 3 5 7 Himpunan penyelesaian dari persamaan : x + y = dan x y = 4 adalah 5 3 5 a { (6, -0) } b { (5, 0) } c { (3, ) } d { (0, 5) } 8 Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : 3 6 = 4 dan = adalah x y x y a { (, ) } b { (, ) } c { (, ) } d { (, ) } 3 4 4 5 3 6 80