PERTEMUAN 2 STATISTIKA DASAR MAT 130 Data 1. Besaran Statistika berbicara tentang data dalam bentuk besaran (dimensi) Besaran adalah sesuatu yang dapat dipaparkan secara jelas dan pada prinsipnya dapat diukur Contoh 1. Beberapa bentuk besaran (a) banyaknya orang (b) nilai ujian (c) harga barang (d) sikap terhadap pendidikan (e) kepeminpinan ketua (f) tegangan listrik 1
2. Lambang Besaran Demi kemudahan penulisan, besaran dapat dinyatakan melalui lambang Dalam hal ini kita perlu menyebut lambang itu mewakili bsaran apa Contoh 2 Beberapa lambang besaran = banyaknya hewan = banyaknya orang = tingkat status hotel WAN = banyaknya wanita L = banyaknya lelaki T = tingkat siswa di kelas X = nilai hasil ujian 3. Lambang Aksara Demi kemudahan penulisan, lambang yang banyak digunakan adalah huruf. Pada umumnya, huruf untuk lambang biasanya berasal dari Abjad Latin (kapital dan nonkapital) Abjad Yunani (kapital dan nonkapital) Pada suatu penggunaan, dapat saja terjadi bahwa huruf kapital dan huruf nonkapital dari abjad yang sama mewakili besara berbeda, misalnya Abjad X dan x dapat mewakili besaran yang berbeda Rene Descartes menggunakan awal abjad a, b, c, sebagai diketahui dan akhir abjad x, y, z sebagai yang tidak diketahui, misalnya y = ax 2 + bx +c 2
Abjad Yunani Nama Kapital kecil Nama Kapital kecil alpha Α α nu Ν λ beta Β β xi Ξ μ gamma Γ γ omicron Ο ν delta Γ δ pi Π π epsilon Δ ε rho Ρ ξ zeta Ε δ sigma ζ, ο eta Ζ ε tau Σ η theta Θ ζ upsilon Τ π iota Η η phi Φ θ kappa Κ θ khi Υ ρ lambda Λ ι psi Φ ς mu Μ κ omega Χ σ 4. Lambang Besaran dengan Keterangan Agar fleksibel, lambang huruf dapat diberikan keterangan Ada berbagai cara untuk memberi keterangan pada lambang Keterangan biasa X (s = 7) hasil belajar untuk siswa ke-7 X = rerata Keterangan indeks X 1 = hasil belajar siswa ke-1 X 2 = hasil belajar siswa ke-2 K A = kelas paralel A K B = kelas paralel B 3
5. Macam Besaran Macam besaran dapat dilihat dari banyak sudut Macam besaran dari segi ketetapan nilai adalah Besaran Konstanta Variabel Umum Khusus Tak acak (matematik) Konstanta Variabel = nilai besaran adalah tetap = nilai besaran dapat berubah-ubah Acak (probabilistik) Konstanta umum (universal) Berlaku umum di semua keadaan dan tempat Contoh 3 = 3,14159 e = 2,71828 Konstanta khusus Berlaku pada keadaan dan tempat tertentu Contoh 4 Y = a X + b a dan b adalah konstanta mewakili sesuatu misalkan a adalah harga satuan 4
Variabel tak acak (matematik) Nilainya ditentukan oleh keadaan yang sepenuhnya diketahui Contoh 5 X = banyaknya buku tulis yang dibeli Y = kecepatan putaran suatu alat Variabel acak (probabilistik) Nilainya ditentukan oleh keadaan yang tidak sepenuhnya kita ketahui Contoh 6 X = tampilan mata 6 pada lemparan dadu Y = angka hadiah pertama pada lotere Z = nilai ujian siswa Beberapa Istilah penting dalam statistika (1) : Populasi Himpunan atau kumpulan dari semua obyek yang akan diteliti. Sampel Himpunan bagian dari populasi. Sampel harus memberikan gambaran sebaik mungkin tentang populasi, sehingga dengan mengambil sejumlah anggota populasi, maka kita dapat berbicara mengenai anggota populasi secara keseluruhan. 10 5
Populasi bersifat teoritis Sampel bersifat empiris/nyata Karakteristik populasi disebut parameter a. Mean, μ c. Proporsi, P b. Koefisien korelasi, ρ d. Standar deviasi, σ Karakteristik sampel disebut statistik a. Nilai rata-rata, c. Proporsi, p b. Standar deviasi, s d. Koefisien korelasi, r Beberapa Istilah penting dalam statistika (2): Sensus : Adalah cara mengumpulkan data dimana seluruh anggota populasi diamati satu per satu secara keseluruhan. Sampling : Adalah cara mengumpulkan data dimana yang diselidiki adalah elemen sampel dari suatu populasi. 12 6
Beberapa Istilah penting dalam statistika (3): Parameter : Adalah suatu besaran yang menyatakan kondisi dari populasi. Misal, rata-rata (), variansi ( 2 ), simpangan baku (). Statistik : Adalah suatu besaran yang menyatakan kondisi dari sampel. Misal, rata-rata X, variansi (S 2 ), simpangan baku (S). 13 DISTRIBUSI FREKUENSI Selang kelas Batas kelas Titik tengah kelas (x) Turus Frekuensi (f) fx 7-9 6,5 9,5 8 ll 2 16 10-12 9,5 12,5 11 lllll lll 8 88 13-15 12,5 15,5 14 lllll lllll llll 14 196 16-18 15,5 18,5 17 lllll lllll lllll llll 19 323 19-21 18,5 21,5 20 lllll ll 7 140 Total 50 763 7
Batas kelas, yaitu selang kelas yang bersifat kontinu, dengan cara mengurangi nilai awal selang setengah satuan dan menambahkan nilai akhir selang setengah satuan. Karena satuan data (= satuan selang kelas) adalah tanpa desimal maka satuan terkecilnya adalah 1. Dengan demikian setengah dari satuan terkecil = 0,5 (1) =0,5. Maka untuk kelas pertama, batas awal = 7 0,5 = 6,5 sedangkan batas akhir = 9 +0,5 = 9,5. Hasil lengkapnya ada pada tabel kolom kedua. Perhatikan bahwa batas akhir kelas pertama = batas awal kelas kedua dan seterusnya (menunjukkan kontinuitas) serta perhatikan bahwa satuan berubah yaitu jumlah desimal bertambah 1 ( dari tanpa desimal atau desimal 0 menjadi 1 desimal atau 1 angka di belakang koma). Titik tengah kelas yaitu jumlah nilai awal dan nilai akhir dibagi dua (dapat menggunakan data selang kelas atau batas kelas). Untuk kelas pertama, titik tengah kelasnya adalah (7+9)/2 = 8. Untuk mudahnya titik tengah kelas selanjutnya diperoleh dengan menambahkan selang kelasnya. Jadi untuk kelas kedua adalah 8 + 3 = 11 dan seterusnya. 8
UKURAN PEMUSATAN Ukuran pemusatan : ukuran yang menunjukkan tempat berkumpulnya sekumpulan data yang diamati dari contoh. Rata-rata atau rata-rata hitung dihitung dengan membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data Untuk data tunggal jika x 1, x 2,...x n. maka x = n i=1 n x i UKURAN PEMUSATAN xi fi 70 5 69 6 45 3 80 1 56 1 x = f ix i f i 9
Selang kelas Batas kelas Titik tengah kelas (x) Turus Frekuensi (f) fx 7-9 6,5 9,5 8 ll 2 16 10-12 9,5 12,5 11 lllll lll 8 88 13-15 12,5 15,5 14 lllll lllll llll 14 196 16-18 15,5 18,5 17 lllll lllll lllll llll 19 323 19-21 18,5 21,5 20 lllll ll 7 140 Total 50 763 UKURAN PEMUSATAN Metode sandi Ambil salah satu tanda kelas, beri simbol x o Untuk harga x o diberi nilai sandi c=0 Tanda kelas yang lebih kecil dari x o diberi harga sandi c=-1, c=-2 c=-3 dst Tanda kelas yang lebih besar dari x o diberi harga sandi c=+1, c=+2, c=+3 dst Jika panjang kelas interval (p) sama, rata-rata dihitung dengan persamaan : f i c i x = x o + p f i 10
UKURAN PEMUSATAN MODUS (Mo) Menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling bayak terdapat Mo = b + p b 1 + b 2 Dimana: b = batas bawah kelas modal, ialah kelas interval dengan frekuensi terbanyak p = panjang kelas modal b1 = frekuensi kelas modal dikurangi kelas interval dengan tanda kelas lebih kecil sebelum tanda kelas modal b2 = frekuensi kelas modal dikurangi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah tanda kelas modal b 1 MEDIAN (Me) Dihitung berdasarkan informasi data yang telah diurutkan dari kecil ke besar sedemikian sehingga 50% dari anggota contoh berada di kiri nilai median atau md S n UKURAN PEMUSATAN 1 2 ( 1) 1 md 2 S 1 1 n S n 1 2 2 jika n ganjil dan jika n genap S i menunjukkan nilai pengamatan pada posisi ke i setelah ke n nilai diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar; sedangkan tengah kisaran dihitung berdasarkan penjumlahan nilai maksimum dan nilai minimum dibagi 2 atau r 1 2 m x x min maks 11
UKURAN PEMUSATAN Untuk data yang telah disusun dalam distribusi frekuensi 1 Me = b + p 2 n F f Dimana b = batas bawah kelas median, yi kelas dimana edian akan terletak p = panjang kelas median n = Ukuran sampel atau banyaknya data F = jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas median f = frekuensi kelas median Ukuran Dispersi/Penyebaran (1): Derajat atau ukuran sampai seberapa jauh data numerik cenderung untuk tersebar disekitar nilai rata-ratanya. Yang paling umum adalah Range (rentang), Variansi, dan Simpangan Baku. Ukuran dispersi lain adalah kuartil, persentil. 24 12
Range / Rentang (R): adalah selisih antara bilangan terbesar dan terkecil dalam himpunan. Nilai R akan selalu positif. Interpretasi nilai R adalah: R = 0, menunjukkan bahwa data terbesar sama dengan data terkecil, akibatnya semua data memiliki harga yang sama R kecil, memberikan informasi bahwa data akan mengumpul di sekitar pusat data R besar, menyatakan bahwa paling sedikit ada satu data yang harganya berbeda jauh dengan data lainnya 25 Simpangan baku (deviasi standar) (1): Simpangan Baku (Deviasi Standar) suatu himpunan bilangan x1, x2,, xn dinyatakan dengan s dan didefinisikan sebagai berikut : s 1 2 2 2 2 2 x x x nx i i n 1 1 n 1 26 13
Simpangan baku (deviasi standar) (2): Jika x1, x2,, xn masing-masing muncul dengan frekuensi f1, f2,, fn, maka simpangan baku dapat dituliskan : s f i x f i i 1 2 2 2 2 x f 1 i xi f i xi n n 1 2 n f i 27 Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyaknya, sesudah disusun menurut urutan nilanya, maka bilangan pembaginya disebut KUARTIL Untuk menentukan kuartil caranya: Susun data menurut urutan nilainya Tentukan letak kuartil Tentukan nilai kuartil Letak K i = data ke Dengan i= 1, 2, 3 i n+1 4 14
Untuk distribusi frekuensi in K i = b + p 4 F f Dengan i = 1, 2, 3 Dimana: b = batas bawah kelas Ki ialah kelas interval dimana Ki akan terletak p = panjang kelas Ki F = Jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Ki f = frekuensi kelas Ki Jika kumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama maka ddapat sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan DESIL, karena ada sembilan desil maka D 1, D 2,,D 9 dapat ditentkan dengan Susun data menurut urutan nilainya Tentukan letak desil Tentukan nilai desil Letak Desil ke i ditentukan dengan persamaan: i n + 1 D i = data ke 10 15
Untuk distribusi frekuensi in D i = b + p 10 F f Dimana b = batas kelas D i, yi kelas interval dimana D i akan terletak p = panjang kelas D i F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas D i f = frekuensi kelas D i Jika sekumpulan data dibagi menjadi 100 bagian yang sama akan menghasilkan 99 pembagi yang berturut-turut dinamakan PERSENTIL 16
Bentuk distribusi Dalam statistika, mempelajari distribusi merupakan suatu hal yang penting, karena akan menentukan metodologi statistika yang akan digunakan. Distribusi adalah pola atau model penyebaran yang merupakan gambaran kondisi sekelompok data. 33 Ciri Bentuk Distribusi Simetri: Mean = median = modus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 34 17
Ciri Bentuk Distribusi Menjulur ke kanan (positif): Mean > median > modus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 Ciri Bentuk Distribusi Menjulur ke kiri (negatif): Mean < median < modus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 18
Mengukur derajat kemenjuluran distribusi data: Rumus Pearson SK x Mo S Dimana SK = derajat kemenjuluran (skewness) X = mean Mo = Modus S = Standar Deviasi 37 Interpretasi nilai derajat kemenjuluran: Bila nilai SK = 0 atau mendekati nol, maka dikatakan distribusi data simetri Bila nilai SK bertanda negatif, maka distribusi data menjulur ke kiri Bila nilai SK bertanda positif, maka distribusi data menjulur ke kanan 38 19
KESIMPULAN Mudah dimengerti kiranya bahwa pengelompokkan data dalam kelas interval menyebabkan hilangnya sejumlah informasi, antara lain terjadinya perbedaan harga-harga statistik yang dihitung dari data asli dan dari data yang telah dikelompokkan. Oleh karena itu lebih baik menggunakan data asli 20