PENERPN BRIN DN DERET. MODEL PERKEMBNGN UH Jka perkembaga varabel-varabel tertetu dalam kegata usaha (msalya: produks, baya, pedapata, pegguaa teaga kerja, peaama modal) berpola sepert barsa artmetka, maka prsp-prsp barsa artmetka dapat dguaka utuk megaalsa perkembaga varabel tersebut. Berpola sepert barsa artmetka maksudya bahwa varabel yag bersagkuta bertambah secara kosta dar satu perode ke perode berkutya. Cotoh soal: 1. Perusahaa geteg glames meghaslka 3000 buah geteg pada bula pertama produksya. Dega peambaha teaga kerja da pegkata produktftas, perusahaa mampu meambah produksya sebayak 500 buah setap bula. Jka perkembaga produksya kosta, berapa buah geteg yag dhaslkaya pada bula kelma? Berapa buah yag telah dhaslka sampa dega bula tersebut? 2. Besar peermaa PT BC dar hasl pejuala baragya Rp 720 juta pada tahu kelma da Rp 980 pada tahu ketujuh. pabla perkembaga hasl pejuala tersebut berpola sepert barsa artmetka, berapa perkembaga peermaaya per tahu? Berapa besar peermaa pada tahu pertama da pada tahu ke berapa peermaaya sebesar Rp 460 juta? 3. Pabrk sepatu jempol memproduks 10.000 pasag sepatu pada tahu pertama operasya. Namu karea stuas perekooma yag tdak megutugka, produksya terus meyusut 500 pasag setap tahu. Berapa produksya: a. pada tahu keempat? b. pada tahu ke-lma belas? c. Berapa yag telah dproduks sampa dega tahu kesepuluh? 4. Pabrk kecap XYZ memproduks 24.000 botol kecap pada tahu ke-6 operasya. Karea persaga keras dar kecap-kecap merek la, produksya terus meuru secara kosta sehgga pada tahu ke-10 haya memproduks 18.000 botol. a. Berapa botol peurua produksya per tahu? b. Pada tahu keberapa pabrk kecap XYZ tdak berproduks lag (tutup)? c. Berapa botol kecap yag dhaslka selama operasya? 5. eorag pedagag memperoleh laba sebesar Rp 700 rbu pada bula kelma kegata usahaya. edagka jumlah seluruh laba yag dperoleh selama tujuh bula pertama sebayak sebayak Rp 4.620 rbu. Htuglah: a. Laba yag dperoleh pada bula pertama da pegkata labaya per bula. Hal 1
b. Laba pada bula kesepuluh. c. Jumlah laba selama setahu pertama dar kegata usahaya? 6. Jumlah hasl produks sebuah perusahaa selama 5 tahu pertama operasya sebayak 3.000 ut, pada tahu ke-6 perusahaa tersebut tutup. Htuglah produks pada tahu pertama da prosetase keaka atau peurua produksya. 7. Perusahaa X memula produksya dega 1.000 ut, da berkurag 100 ut setap bulaya. edagka perusahaa Y megawal produksya dega 500 ut, megkat 25 ut setap tahu. a. Pada tahu keberapa produks mereka sama jumlahya? b. Kapa perusahaa X aka memproduks sebayak 0? c. Berapa produks perusahaa Y pada tahu tersebut? B. MODEL PERTUMBUHN PENDUDUK Peerapa deret ukur yag palg kovesoal d bdag ekoom adalah dalam hal peghtuga pertumbuha peduduk, sebagamaa perah dyataka oleh Malthus, peduduk dua tumbuh megkut pola deret ukur. P Pr -1 Dmaa : P : populas peduduk pada tahu bass (tahu pertama / ke-1) P r : populas peduduk pada tahu ke- : (1+ persetase pertumbuha peduduk per tahu) : jumlah peduduk Cotoh soal: 1. Peduduk suatu kota berjumlah 100.000 jwa pada tahu 1975, tgkat pertumbuhaya 4 perse per tahu. Htuglah jumlah peduduk kota tersebut pada tahu 1984 da tahu 2000. 2. Peduduk suatu egara tercatat 25 juta jwa pada tahu 1980. Berapa jumlah peduduk pada tahu 1990 da 2000, jka tgkat pertumbuhaya 3% per tahu? 3. Peduduk sebuah kota tercatat 2,5 juta jwa pada tahu 1982, da dperkraka mejad 3 juta jwa pada tahu 1986. Jka tahu 1980 daggap merupaka tahu bass a. Berapa perse tgkat pertumbuhaya? b. Berapa jumlah peduduk pada tahu 1980? c. Berapa jumlah peduduk pada tahu 1991? d. pada tahu berapa pedudukya berjumlah 5 juta jwa? Hal 2
C. BUNG MJEMUK Peghtuga buga majemuk merupaka peerapa dar barsa geometr (barsa ukur). Msal suatu modal sebesar Rp 1.000,- (P) dbugaka secara majemuk dega suku buga 10% per tahu (), maka besarya modal tersebut d masa datag (F) dapat dhtug sebaga berkut: setelah 1 tahu: F 1 1000 + (1000 X 0,10) 1100 F 1 P + P P(1 + ) setelah 2 tahu: F 2 1100 + (1100 X 0,10) 1210 F 2 (P + P) + (P + P) P + P + P + P 2 P + 2 P + P 2 P (1 + 2 + 2 ) P (1 + ) 2 setelah 3 tahu: F3 P (1 + )3 setelah tahu: F P (1 + ) dega demka la la d masa datag dar suatu jumlah sekarag adalah: Dmaa: F P F + P(1 ) la d masa depa jumlah sekarag suku buga per tahu jumlah tahu pabla buga dbayarka lebh dar satu kal (msalka m kal) dalam satu tahu maka rumus la d masa depa mejad: F + m m P(1 ) m frekues pembayara dalam setahu. ecara matemats rumus d atas dapat dmapulas utuk meetuka la sekarag dar la d masa datag. P F (1 + ) atau F P m (1+ ) m Hal 3
Latha: 1. Noa Fa meabug uagya Rp 1.500.000 d Bak dega tgkat buga 15% per tahu. Berapakah la uagya d masa datag setelah 10 tahu kemuda jka dbuga-majemukka secara: a). emestera, b). Kuartala, da c). Bulaa. 2. eorag pegusaha berharap lma tahu medatag memperoleh laba sebesar Rp 25.000.000. Jka tgkat buga yag berlaku saat 12% per tahu da dbayarka secara kuarta, berapakah jumlah laba pegusaha tersebut saat? D. NILI M DTNG DRI NUIT utas adalah seragkaa pembayara yag dbuat secara perodk da dalam jumlah uag yag tetap atau sama. Dalam autas dasumska bahwa semua pembayara dbuat pada akhr perode dega buga majemuk. Ilustras: Na meabug uagya sebayak 1 juta setap permulaa tahu, dmaa buga 12% per tahu secara majemuk. Berapa jumlah tabuga Na setelah 4 tahu (akhr tahu ke-3 atau awal tahu ke-4)? 1 2 3 4 1 jt 1 jt (1,12) 1 + 1 jt 2.120.000 1 jt (1,12) 2 + 1 jt (1,12) 1 + 1 jt 3.374.400 1 jt (1,12) 3 + 1 jt (1,12) 2 + 1 jt (1,12) 1 + 1 jt 4.779.328 Igat rumus Deret Geometr: D a(1 r ) dapat dtuls sebaga (1 r ) D a( r 1) ( r 1) Maka jumlah tabuga Na setelah 4 tahu dapat dhtug sbb: a( r 1) ( r 1) 4 1jt(( 1, 12 ) 1) (1, 12 1) (( 1+ 0,12) 1 jt 0,12 1jtx0,574 0,12 4.779.328 4 1) ehgga d dapat rumus la masa datag dar autas adalah: P((1 + ) 1) Hal 4
Daa Cadaga Daa cadaga dsebut juga sebaga skg fud yatu daa yag dsshka (dcadagka) utuk pembayara la tertetu dmasa yag aka datag. Msalka perusahaa meyshka sebaga labaya utuk membayar utag sejumlah tertetu setelah seka tahu d masa datag. Rumus daa cadaga dperoleh dar rekayasa rumus la masa datag dar autas d atas, yatu: Latha: P (1 + ) 1 atau P (1 + ) 1 1. Noa Debby meabug uagya d Bak setap awal bula sebesar Rp 500.000 selama 8 tahu. Jka tgkat buga yag berlaku sebesar 18% per tahu, berapakah jumlah uag oa Debby d masa datag bla buga dbayarka (dperhtugka) secara bulaa? 2. uatu perusahaa g meyshka daaya setap bula selama 5 tahu utuk pembayara pjama perusahaa. Jumlah la pjama perusahaa tersebut dperkraka 5 tahu medatag sebesar Rp 75.000.000. Buga dbayarka secara majemuk sebesar 15% per tahu. Berapa jumlah daa yag harus dsshka atau dcadagka setap bula oleh perusahaa agar dapat meluas pjama tersebut? E. NILI EKRNG DRI NUIT Nla sekarag dar autas adalah jumlah dar la-la sekarag dar setap perode pembayara atau peermaa uag tertetu. 1 2 P(1+ ) + P(1 + ) +... + P(1 + ) Jka dfaktorka dega (1+) -, maka persamaa d atas mejad: 1 2 2 1 P(1+ ) [(1+ ) + (1+ ) +.... + (1+ ) + (1+ ) + (1+ ) + 1] 1 2 1 Karea [ 1+ (1+ ) + (1+ ) + (1+ ) +... (1+ ] persamaa datas mejad: ) P( 1 + ) P( 1 + ) [ ] ( 1 1 ( 1 + ) P + ) 1 Jad rumus la sekarag dar autas adalah: 1 (1+ ) P Hal 5
Dmaa: Nla sekarag dar autas P Jumlah pembayara per perode Tgkat buga tahua Jumlah perode pembayara Peysha Pjama Kosep peysha pjama (loa amortzato) hampr sama dega daa cadaga (skg fud). Utuk daa cadaga pembayara ccla hutag secara perodk dlakuka saat, agar d masa medatag aka terluas jumlah tertetu utag atau pjama; sedagka peysha pjama jumlah tertetu utag atau pjama sudah dterma saat, kemuda dlakuka pembayara ccla atau agsura utag secara perodk. Rekayasa rumus la sekarag dar autas aka dperoleh rumus peysha pjama (loa amortzato) yatu: P 1 (1 + ) atau P 1 (1+ ) Dmaa: Nla sekarag dar autas P Jumlah pembayara per perode Tgkat buga tahua Jumlah perode pembayara Latha: 1. Nacy g meabug setap bula sebayak Rp 2.500.000 setap permulaa tahu, selama 4 tahu d suatu Bak. Jka tgkat buga yag berlaku adalah 12% per tahu yag dbayar secara majemuk. Berapakah jumlah la sekarag dar tabuga Nacy selama 4 tahu tersebut? 2. hta berkega membel rumah dega pembela secara kredt seharga Rp 80.000.000. esua perjaja dar phak pegembaga (developer) waktu pembayara rumah tersebut adalah 5 tahu, dmaa pembayara dlakuka secara ccla setap bula. Tgkat buga yag dkeaka dalam pembayara ccla adalah 15% per tahu. Berapakah jumlah pembayara yag harus dccl setap bulaya? Hal 6