15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT

15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini memng dimungkinkn, kren nili limit dri jumlh Riemnn tersebut sm dengn integrl Riemnn yng kit bhs pd Bb 13. Seperti pd bb sebelumny, sepnjng bb ini I menytkn intervl [, b], keculi bil kit nytkn lin. Mislkn f : I R terbts dn P := {x 0, x 1,..., x n } prtisi dri I. Jik t k dlh bilngn sedemikin sehingg x k 1 t k x k untuk k = 1, 2,..., n, mk jumlh S(P, f) := f(t k )(x k x k 1 ) disebut sebgi sutu jumlh Riemnn untuk f, yng terkit dengn prtisi P dn titik-titik smpel t k. Ctt bhw untuk sebuh prtisi P terdpt tk terhitung bnykny cr memilih titik-titik smpel t k, dn krenny terdpt tk terhitung bnykny jumlh Riemnn yng terkit dengn prtisi P. Untuk fungsi f 0 pd I, jumlh Riemnn dpt diinterpretsikn sebgi jumlh lus derh persegipnjng dengn lebr x k x k 1 dn tinggi f(t k ). Jik prtisi P cukup hlus, mk msuk kl untuk menghrpkn bhw jumlh Riemnn S(P, f) kn menghmpiri lus derh di bwh kurv y = f(x). Dlm hl ini, nili S(P, f) mestilh cukup dekt ke nili integrl dri f pd I, bil f terintegrlkn pd I. Perhtikn bhw untuk sembrng prtisi P dri I dn untuk sembrng 117

118 Hendr Gunwn pemilihn titik smpel t k I k := [x k 1, x k ], kit mempunyi m k f(t k ) M k, k = 1, 2,..., n, dengn m k := inf f(i k ) dn M k := sup f(i k ). Akibtny, m k (x k x k 1 ) f(t k )(x k x k 1 ) M k (x k x k 1 ), ykni L(P, f) S(P, f) U(P, f). Jdi, jumlh Riemnn untuk f senntis bernili di ntr jumlh Riemnn bwh dn jumlh Riemnn ts, terleps dri bgimn crny kit memilih titik-titik smpel t k. Ctt khususny jik bts bwh m k dn bts ts M k tercpi oleh f pd [x k 1, x k ] untuk tip k = 1, 2,..., n, mk jumlh Riemnn bwh dn jumlh Riemnn ts sm dengn jumlh Riemnn untuk titik-titik smpel tertentu. Secr umum, jumlh Riemnn bwh mupun ts bukn jumlh Riemnn (kren nili m k dn M k tidk hrus tercpi oleh f). Nmun demikin, dengn memilih titik-titik smpel secr cermt, kit dpt memperoleh jumlh Riemnn yng cukup dekt ke jumlh Riemnn bwh tu ke jumlh Riemnn ts. Sol Ltihn 1. Mislkn f(x) = x, x [0, b]. Untuk sembrng prtisi P := {x 0, x 1,..., x n } dri [0, b], pilih titik-titik smpel t k = 1 2 (x k +x k 1 ). Hitunglh jumlh Riemnn S(P, f) dengn titik-titik smpel ini. 2. Mislkn f : I R terbts, P := {x 0, x 1,..., x n } prtisi dri I, dn ɛ > 0 sembrng. () Tentukn titik-titik smpel t k sedemikin sehingg f(t k )(x k x k 1 ) L(P, f) < ɛ. (b) Tentukn titik-titik smpel t k sedemikin sehingg U(P, f) f(t k )(x k x k 1 ) < ɛ.

Pengntr Anlisis Rel 119 15.2 Integrl sebgi Limit Di sini kit kn meliht bhw f(x) dx dpt dipndng sebgi limit dri jumlh Riemnn S(P, f), dlm rti tertentu. Teorem 1. Mislkn f terintegrlkn pd I. Mk, untuk setip ɛ > 0 terdpt sutu prtisi P ɛ dri I sedemikin sehingg untuk sembrng prtisi P P ɛ dn sembrng jumlh Riemnn S(P, f) berlku S(P, f) f(x) dx < ɛ. Bukti. Diberikn ɛ > 0 sembrng, pilih prtisi P ɛ dri I sedemikin sehingg U(P ɛ, f) L(P ɛ, f) < ɛ. Selnjutny mbil sembrng prtisi P P ɛ. Mk, menurut Proposisi 1 pd Subbb 13.1, kit mempunyi L(P ɛ, f) L(P, f) U(P, f) U(P ɛ, f). Akibtny, U(P, f) L(P, f) < ɛ. Sekrng mislkn S(P, f) dlh sembrng jumlh Riemnn yng terkit dengn P. Mk, Sementr itu, kit jug mempunyi L(P, f) S(P, f) U(P, f). L(P, f) Dri kedu ketksmn ini kit peroleh S(P, f) dn teorem pun terbukti. f(x) dx U(P, f). f(x) dx U(P, f) L(P, f) < ɛ, Teorem berikut merupkn keblikn dri Teorem 1. Buktiny diserhkn sebgi ltihn.

120 Hendr Gunwn Teorem 2. Mislkn f terbts pd I. Mislkn terdpt sutu bilngn A R sedemikin sehingg untuk setip ɛ > 0 terdpt prtisi P ɛ dri I sedemikin sehingg untuk sembrng prtisi P P ɛ dn sembrng jumlh Riemnn S(P, f) berlku S(P, f) A < ɛ. Mk f terintegrlkn pd I dn f(x) dx = A. Sol Ltihn 1. Buktikn Teorem 2. 2. Mislkn f(x) = x, x [0, b]. Gunkn Teorem 1 dn Sol Ltihn 15.1 No. 1 untuk menyimpulkn bhw 0 x dx = 1 2 b2. 3. Gunkn Teorem 1 untuk memberikn bukti lterntif untuk Teorem Dsr Klkulus II (Teorem 6 pd Sub-bb 14.2). 15.3 Teorem Drboux Terdpt cr lin meliht integrl sebgi limit dri jumlh Riemnn. Mislkn I := [, b] dn P := {x 0, x 1,..., x n } dlh prtisi dri I. Ukurn kehlusn dri P, dilmbngkn dengn P, didefinsikn sebgi P := sup{x k x k 1 : k = 1, 2,..., n}. Dlm perktn lin, P dlh pnjng sub-intervl mksimum yng terkit dengn prtisi P. Ctt bhw du prtisi berbed dpt memiliki kehlusn yng sm. Selin itu, jik P Q (ykni, Q merupkn perhlusn dri P ), mk Q P. Nmun seblikny Q P tidk menghruskn Q P. Teorem berikut memperlihtkn bhw jik f terintegrlkn pd I, mk integrl f pd I merupkn limit dri jumlh Riemnn untuk P 0.

Pengntr Anlisis Rel 121 Teorem 3 (Teorem Drboux). Mislkn f terintegrlkn pd I. Mk, untuk setip ɛ > 0 terdpt δ > 0 sedemikin sehingg jik Q dlh prtisi dri I dengn Q < δ, mk untuk sembrng jumlh Riemnn S(Q, f) berlku S(Q, f) f(x) dx < ɛ. Bukti. Diberikn ɛ > 0 sembrng, terdpt prtisi P ɛ := {x 0, x 1,..., x n } sedemikin sehingg Akibtny, jik P P ɛ, mk U(P ɛ, f) L(P ɛ, f) < ɛ 3. U(P, f) L(P, f) < ɛ 3. Selnjutny mislkn M := sup{ f(x) : x I} dn δ := ɛ 12Mn. Ambil sembrng prtisi Q := {y 0, y 1,..., y m } dri I dengn Q < δ dn mislkn Q := Q P ɛ. Mk Q P ɛ dn Q mempunyi sebnyk-bnykny n 1 titik lebih bnyk dripd Q, ykni titik-titik x 1,..., x n 1 yng d di P ɛ tetpi tidk di Q. Selnjutny kit kn membndingkn U(Q, f) dengn U(Q, f), sert L(Q, f) dengn L(Q, f). Kren Q Q, kit mempunyi U(Q, f) U(Q, f) 0. Jik kit tuliskn Q = {z 0, z 1,..., z p }, mk U(Q, f) U(Q, f) dpt dinytkn sebgi jumlh dri sebnyk-bnykny 2(n 1) suku berbentuk (M j M k )(z k z k 1 ), dengn M j menytkn supremum dri f pd sub-intervl ke-j dlm Q dn M k menytkn supremum dri f pd sub-intervl ke-k dlm Q. Kren M j M k 2M dn z k z k 1 Q Q < δ, kit peroleh Akibtny, kit dptkn 0 U(Q, f) U(Q, f) 2(n 1) 2M δ < ɛ 3. Serup dengn itu kit jug mempunyi U(Q, f) < U(Q, f) + ɛ 3. L(Q, f) ɛ < L(Q, f). 3

122 Hendr Gunwn Selnjutny kit thu bhw S(Q, f) dn f(x) dx terletk dlm intervl [L(Q, f), U(Q, f)], dn kren itu keduny berd dlm intervl I ɛ := [L(Q, f) ɛ 3, U(Q, f) + ɛ 3 ]. Kren Q P ɛ, kit mempunyi U(Q, f) L(Q, f) < ɛ 3, sehingg pnjng I ɛ lebih kecil dripd ɛ. Jdi jrk ntr S(Q, f) dn f(x) dx mestilh lebih kecil dripd ɛ, sebgimn yng ingin kit buktikn. Keblikn dri Teorem 3 jug berlku. Teorem 4. Mislkn f : I R terbts. Mislkn terdpt sutu bilngn B R sedemikin sehingg untuk setip ɛ > 0 terdpt δ > 0 sedemikin sehingg untuk sembrng prtisi P dri I dengn P < δ dn sembrng jumlh Riemnn S(P, f) berlku Mk f terintegrlkn pd I dn S(P, f) B < ɛ. f(x) dx = B. Sol Ltihn 1. Buktikn Teorem 4. (Petunjuk. Gunkn Teorem 2.) 2. Buktikn bhw f terintegrlkn jik dn hny jik untuk setip ɛ > 0 terdpt δ > 0 sedemikin sehingg jik P < δ dn Q < δ, mk S(P, f) S(Q, f) < ɛ.