MATEMATIKA EKONOMI BAB III FUNGSI DAN KURVA LINIER By Bambang Suprayitno 10/24/2011 1
FUNGSI vs RELASI FUNGSI Relasi adalah hubungan antara elemenelemen dari daerah yang dinamakan domain dan elemen-elemen dari daerah yang dinamakan range. Fungsi adalah bagian dari relasi. Semua fungsi adalah relasi akan tetapi tidak semua relasi adalah fungsi. 10/24/2011 2
DEFINISI FUNGSI Fungsi adalah relasi yang menyatakan bahwa setiap anggota dari x berpasangan tepat dengan satu anggota dari y. Persamaan Fungsi adalah persamaan yang jika nilai x dimasukkan maka maka akan menghasilkan tepat satu nilai y dari persamaan tersebut. Asusmsi bahwa x adalah domain (daerah asal) dan y adalah range (daerah hasil) (http://tutorial.math.lamar.edu) Coba evaluasi persamaan berikut: y=2x+1 y 2 =4x+1 y=3x 2 +2 y 2 +x 2 =4 10/24/2011 3
FUNGSI INVERSE Ex: y=f(x)= 2x-1 x=f(y)=1/2(y+1) Maka f(x) adalah fungsi inverse dari f(y) atau f(x)=f -1 (y) atau f(y)=f -1 (x) x f y x f -1 y 10/24/2011 4
FUNGSI LINIER Fungsi linier adalah fungsi yang dibentuk dari persamaan garis linier yang mempunyai bentuk umum: Ax+By=C Dimana A, B, C adalah konstanta dengan A dan B tidak boleh keduanya 0 (nol) atau A dan B hanya boleh 0 salah satunya. Ex: 2x+3y=5 (i) 3x=2 (ii) y=2 (iii) 10/24/2011 5
Contoh: 6x+3y=9 Jika y=f(x) maka persamaan di atas dapat dijadikan persamaan dalam bentuk fungsi: 6x+3f(x)=9 3f(x)=-6x+9 f(x)=-2x+3 Dengan demikian bentuk umum fungsi: y=a+bx 10/24/2011 6
Intersep Fungsi Linier Intersep? Suatu titik di mana suatu garis memotong pada sumbu koordinat. Jika y=f(x)=-2x+3 Intersep y=f(x) diperoleh pada saat x=0 y=f(0)=-2(0)+3=3 Atau fungsi tersebut mempunyai intersep 3 atau poin intersepnya (0,3) 10/24/2011 7
Menggambar Suatu Fungsi Linier y=f(x)=-2x+3 I. Cari poin intersep y dan intersep x Poin intersep y adalah saat x=0 yaitu (0,3) sedangkan intersep x adalah saat y=0 yaitu: 0=-2x+3 2x=3 x=3/2 Jadi intersep x adalah (3/2,0) Secara sederhana fungsi tersebut memotong sumbu x di titik (3/2,0) dan sumbu y di titik (0,3). II. Hubungkan kedua poin intersep tersebut 10/24/2011 8
III. Carilah sembarang titik sebagai titik ketiga untuk mengecek akurasi garis yang dibuat. Untuk memudahkan maka pilihlah antara x=0 dengan intersep x. Antara x=0 dengan intersep x atau x=2/3 sebagai contoh adalah x=1/2. Maka y=f(x)=-2x+3 dengan x=1/2 didapatkan y=- 2(1/2)+3=-1+3=2, sehingga poin yang ketiga adalah (1/2,2). Jika titik ketiga tersebut tepat berada pada garis yang digambar maka berarti garis tersebut benar. 10/24/2011 9
Menggambar Suatu Fungsi Linier 3 2 1/2 3/2 10/24/2011 10
Slope Fungsi Linier Slope secara sederhana adalah kemiringan garis yang dinotasikan m (gradien). (5,7) m rise run ( y2 ( x2 y1) x1) (y2-y1) (3,5) (x2-x1) 10/24/2011 11
Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis 10/24/2011 12
Supply dan Demand dari suatu Barang Secara matematis persamaan S and D dapat ditulis: Qs=2P-2 Qd=-P+3 Artinya bahwa p yang mempengaruhi Q, namun untuk menggambarnya maka biasanya P ditulis sebelah kiri persamaan sehingga persamaan tersebut diubah menjadi: P=1/2Qs+1 P=-Qd+3 10/24/2011 13
Supply dari Komoditas P=1/2Qs+1 Jika Qs=0 maka P=1 Jika P=0 maka Qs=-2 sehingga dapat dengan mudah digambar P Y-Axis (0,1) (-2,0) X-Axis Q 10/24/2011 14
Demand dari Komoditas P=-Qd+3 Jika Qd=0 maka P=3 Jika P=0 maka Qd=3 P (0,3) Y-Axis X-Axis (3,0) Q 10/24/2011 15
Keseimbangan Pasar Jika kedua gambar disatukan maka akan diperoleh keseimbangan pasar antara keduanya (0,3)? Y-Axis (0,1) (-2,0) X-Axis (3,0) 10/24/2011 16
Keseimbangan pasar terjadi ketika: 1. harga (P) adalah sama bagi kedua fungsi baik demand maupun supply 2. kuantitas yang diminta mapun yang ditawarkan adalah sama (Qd=Qs). Sehingga: P=-Qd+3 (i) P=1/2Qs+1 (ii) Pi=Pii -Q+3=1/2Q+1 3-1=3/2Q 2=3/2Q Q=4/3 Jika Q=4/3 maka P=5/3 10/24/2011 17
Dengan demikian maka dapat ditemukan keseimbangan pasar P (0,3) (4/3,5/3) Y-Axis (0,1) (-2,0) X-Axis (3,0) 10/24/2011 18 Q
Pengaruh Pajak pada Keseimbangan Pasar Bagaimana jika diberlakukan pajak sebesar 1 satuan yang harus dibayar oleh produsen? Kita kembali lagi Qs=2P-2 Qd=-P+3 Jika Qs(P)=Qd(P) Maka 2P-2=-P+3 Tapi harus diingat bahwa P yang sebelah kiri yaitu yang dimiliki oleh produsen bukan lagi P seperti semula melainkan berubah menjadi P-T dimana T=1. Sehingga Qs(P)=Qd(P) Qs(P-T)=Qd(P) Qs(P-1)=Qd(P), Sehingga: 2(P-1)-2=-P+3 2P-2-2=-P+3 2P-4=-P+3 3P=7 P=7/3, jika P=7/3 maka Q=-7/3+3=2/3 10/24/2011 19
Secara geometri maka pengaruh pajak dapat merubah gambar menjadi seperti berikut: P (0,3) (2/3,7/3) Supply dengan pajak Y-Axis (4/3,5/3) Supply tanpa pajak (0,1) (-2,0) X-Axis (3,0) 10/24/2011 20 Q
Lantas bagaimana untuk menggambar kurva S ketika setelah pajak? Qs=2P-2 Dengan pajak maka Qs=2(P-T)-2 (P-T)=1/2Qs+1, jika Qs=0 maka: P-T=1 P=1+T Dapat dilihat bahwa semakin tinggi pajaknya maka intersepnya semakin besar meningkat sebesar pajak yang diberlakukan. Dengan demikian gambar akan bergeser secara vertikal sebesar T-nya. 10/24/2011 21
P Y-Axis (0,1+T) (0,1) X-Axis Q 10/24/2011 22
Pengaruh Subsidi pada Keseimbangan Pasar Bagaimana jika diberikan subsidi sebesar 1 satuan yang harus diberikan kepada produsen? Kita kembali lagi Qs=2P-2 Qd=-P+3 Jika Qs(P)=Qd(P) Maka 2P-2=-P+3 Tapi harus diingat bahwa P yang sebelah kiri yaitu yang dimiliki oleh produsen bukan lagi P seperti semula melainkan berubah menjadi P+S dimana S=1. Sehingga Qs(P)=Qd(P) Qs(P+S)=Qd(P) Qs(P+1)=Qd(P), Sehingga: 2(P+1)-2=-P+3 2P+2-2=-P+3 2P=-P+3 3P=3 P=1, jika P=1 maka Q=-1+3=2 10/24/2011 23
Secara geometri maka pengaruh subsidi dapat merubah gambar menjadi seperti berikut: P (0,3) (4/3,5/3) Y-Axis (0,1) (2,1) X-Axis (3,0) 10/24/2011 24 Q
Lantas bagaimana untuk menggambar kurva S setelah disubsidi? Qs=2P-2 Dengan subsidi maka Qs=2(P+S)-2 (P+S)=1/2Qs+1, jika Qs=0 maka: P+S=1 P=1-S Dapat dilihat bahwa semakin tinggi subsidinya maka intersepnya semakin kecil menurun sebesar subsidi yang diberikan. Dengan demikian gambar akan bergeser secara vertikal sebesar -S. 10/24/2011 25
P Y-Axis Supply tanpa subsidi (0,1) Supply dengan subsidi X-Axis 10/24/2011 26 Q
KESEIMBANGAN PASAR DENGAN 2 KOMODITAS Qd 1 = 10-2P 1 +3P 2 (i) Qs 1 =-5+P 1 +P 2 (ii) Qd 2 = 10+P 1-2P 2 (iii) Qs 2 =-15+4P 1 +P 2 (iv) Carilah keseimbangan pasar untuk kedua barang tersebut! Jawab: Keseimbangan Pasar terjadi ketika Qd 1= Qs 1 dan Qd 2 = Qs 2 10/24/2011 27
KESEIMBANGAN PASAR DENGAN 2 KOMODITAS Qd 1= Qs 1 (i)=(ii) 10-2P 1 +3P 2 =-5+P 1 +P 2 15=3P 1-2P 2 (v) Qd 2 = Qs 2 (iii)=(iv) 10+P 1-2P 2 =-15+4P 1 +P 2 25=3P 1 +3P 2 (vi) Sehingga kita dapatkan persamaan (v) dan (vi). Maka untuk mendapatkan P 1 dan P 2 kita bisa melakukan eliminasi dan subtitusi dari persamaan tersebut. 10/24/2011 28
KESEIMBANGAN PASAR DENGAN 2 KOMODITAS 15=3P 1-2P 2 (v) 25=3P 1 +3P 2 (vi) -10=-5P 2 P 2 =2 Masukkan P 2 =2 ke dalam (v) atau (vi) 15=3P 1-2P 2 15=3P 1-4 P 1 =19/3=6.33 19=3P 1 10/24/2011 29
Fungsi Biaya dan Penerimaan serta Analisis Pulang Pokok (Break Even Point) Biaya adalah sejumlah nominal tertentu yang dikeluarkan untuk memproduksi sejumlah barang tertentu. Penerimaan adalah sejumlah nominal tertentu yang diterima setelah menjual sejumlah barang yang diproduksi. 10/24/2011 30
Total Cost dan Total Revenue yang Linier Biaya dalam hal ini disebut TC, dimana TC=FC+VC Jika VC suatu barang proporsional terhadap jumlahnya maka TC dari suatu komoditas bisa berbentuk linier. TC=C+aQ Sedangkan TR diperoleh dari perkalian harga dengan jumlah barang yang dijual. TR=P.Q 10/24/2011 31
Π=TR(Q)-TC(Q) TR, TC,π TR TC π Q 10/24/2011 32
Fungsi Konsumsi dan Saving Konsumsi (C), dalam jangka pendek, terdiri atas otonom konsumsi dan konsumsi yang bergantung pada pendapatan. C=a+bY Saving adalah besarnya pendapatan yang disimpan setelah melakukan pengeluaran. S=Y-C=Y-(a+bY)=-a+(1-b)Y=-a+sY 10/24/2011 33
GRAFIK FUNGSI C & S C,S Y=C C S Y 10/24/2011 34
Pendapatan Nasional Pendapatan nasional (Y) adalah identitas dari penjumlahan berbagai permintaan secara makro berupa Consumption (C), Investment (I), Government Expenditure (G), dan Net Export (NX). Y=AD=C+I+G+NX 10/24/2011 35
C+I+G+NX C=Y C+I+G+NX C+I+G C+I C Y 10/24/2011 36
IS-LM IS: kurva yang menghubungkan titik-titik kombinasi dari tingkat pendapatan (Y) dan tingkat suku bunga (R) pada saat makroekonomi mencapai tingkat keseimbangan antara Saving (S) dan Investment (I) atau keseimbangan di pasar barang. LM: kurva yang menghubungkan titik-titik kombinasi dari tingkat pendapatan (Y) dan tingkat suku bunga (i) pada saat makroekonomi mencapai tingkat keseimbangan antara penawaran (money supply) dan permintaan uang (liquidity preference) atau keseimbangan di pasar uang. 10/24/2011 37
IS Y=C+I+G+NX Y=C0+cY+I0-iR+G0+X-(M0-mY) Y=C0+cY+I0-iR+G0+X-M0+mY Y-cY-mY=C0+I0-iR+G0+X-M0 Y(1-c-m)=C0+I0-iR+G0+X-M0 Y=C0+I0+G0+X-M0 - i R (1-c-m) (1-c-m) Y=A0-BR 10/24/2011 38
LM Penawaran Uang=Permintaan Uang Ms=Md Ms=L0+Ltr+Lsp Ms=L0+Ltr0+lyY+Lsp0-lrR Ms=L0+Ltr0+Lsp0+lyY-lrR Ms/P=L0+Ltr0+Lsp0+lyY-lrR -lyy=l0+ltr0+lsp0+lyy-ms/p-lrr Y=Ms/P-(L0+Ltr0+Lsp0) + lr R ly ly Y=P0+QR 10/24/2011 39
Keseimbangan IS & LM Y=A0-BR Y=P0+QR R (IS) (LM) IS LM Y-Axis P0 X-Axis 10/24/2011 40 A0 Y