SOLUSI PENYEBARAN PANAS PADA BATANG KONDUKTOR MENGGUNAKAN METODE CRANK-NICHOLSON

SOLUSI PENYEBARAN PANAS PADA BATANG KONDUKTOR MENGGUNAKAN METODE CRANK-NICHOLSON Viska Noviantri Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus University Jl. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah, Jakarta Barat 11480 viskanoviantri@binus.ac.id; viskanoviantri@yahoo.com ABSTRACT We study heat equation with mix boundary conditions. Remember that this equation is eigenvalue problem which can be solved by separation variable method. In addition, Sturm Liouville equation will be solved numerically by Crank Nicholson method. At the end of paper we show that the Crank Nicholson method gives an exact solution. Keywords: heat equation, eigenvalue problem, Crank Nicholson method ABSTRAK Artikel ini membahas tentang persamaan panas dengan syarat batas campuran. Persamaan tersebut merupakan masalah nilai eigen yang solusi eksaknya dapat dicari melalui metode separasi variabel. Selain secara analitik, persamaan panas akan diselesaikan secara numerik melalui metode Crank-Nicholson. Bagian akhir artikel ini menunjukkan bahwa penggunaan metode Crank Nicholson akan memberikan solusi numerik yang tepat sama dengan solusi eksaknya. Kata kunci: persamaan panas, masalah nilai eigen, metode Crank Nicholson Solusi Penyebaran Panas... (Viska Noviantri) 133

PENDAHULUAN Salah satu topik matematika yang sering digunakan untuk memodelkan permasalahan dalam kehidupan nyata adalah persamaan diferensial. Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan fungsi yang belum diketahui, dan kadang kala persamaan itu melibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta. Satu contoh nyata sederhana yang dapat direpresentasikan oleh persamaan diferensial adalah kecepatan dan percepatan kendaraan. Kecepatan merupakan diferensial dari jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, sedangkan percepatan adalah diferensial dari kecepatan yang juga merupakan diferensial kedua dari jarak yang ditempuh dalam suatu waktu. Persamaan diferensial dibedakan menjadi dua jenis yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan panas merupakan persamaan diferensial parsial tipe parabolik. Persamaan panas ini banyak sekali diaplikasikan pada permasalahan difusi dari suatu bahan kimia. Walaupun namanya persamaan panas, persamaan ini juga dapat diaplikasikan pada teori peluang yaitu melalui persamaan Fokker Planck yang diperkenalkan oleh Nikolay Bogoliubov dan Nikolay Krylov. Bahkan, persamaan panas teah diaplikasikan pada topik matematika keuangan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial Black-Scholes (Fischer Black dan Myron Scholes, 1973). Banyak penelitian mengenai masalah Sturm Liouville yang telah dilakukan sebelumnya, antara lain penerapan hukum Newton pada persamaan panas (Mark Gockenbach and Kristin Schmidtke, 2009). Persamaan panas juga dapat digunakan untuk menentukan konfigurasi terbaik dari suatu sistem yang terdiri dari beberapa material dengan konduktivitas berbeda (Christopher B. Yaluma, 2012). Solusi numerik persamaan panas dengan syarat batas sederhana juga telah ada yang meneliti (Gerald W. Recktenwald, 2011). Berdasarkan penelitian terdahulu, maka pada makalah ini penulis tertarik untuk membahas aplikasi persamaan panas pada batang konduktor dengan syarat batas campuran (syarat batas dirichlet dan syarat batas Neumann). Secara analitik, persamaan panas dapat diselesaikan melalui metode separasi variabel (Strauss, 1992). Selain secara analitik, pada makalah ini juga akan diuraikan penyelesaian persamaan tersebut melalui metode beda hingga yaitu metode Crank Nicholson. Metode ini merupakan suatu metode numerik yang digunakan untuk memecahkan masalah fisik yang sering dijumpai pada analisis teknik. Metode ini merupakan metode pendekatan yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah fisik yang kompleks, yang mungkin tidak dapat diselesaikan secara analitik. Perbandingan solusi analitik dan numerik dengan kedua fungsi basis tersebut akan dipaparkan pada bagian akhir makalah ini. METODE Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode deskriptif melalui studi literatur. Namun hal ini ditunjang dengan memberikan hasil kajian berupa solusi analitik dan numerik. Perbandingan antara solusi analitik dan numerik dapat memberikan penjelasan yang lebih spesifik mengenai hasil penelitian yang diperoleh. 134 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 2 Juli 2012: 133-142

HASIL DAN PEMBAHASAN Model Matematika Persamaan Panas Perhatikan Gambar 1. Misalkan terdapat suatu batang konduktor yang panjangnya L = 10. Asumsikan bahwa konsentrasi panas pada batang tersebar secara merata dalam arah vertikal sehingga konsentrasi panas pada posisi x tertentu akan bernilai sama untuk setiap y. Dengan demikian, konsentrasi panas adalah suatu fungsi yang bergantung pada posisi x dan waktu t, serta dinyatakan oleh u(x; t). Gambar 1 Konsentrasi panas pada batang konduktor. Pertama-tama, batang sudah dalam kedaan panas dan keadaan awal ini diberikan sebagai fungsi (x). Konsentrasi panas di ujung kiri batang (x = 0) dipertahankan agar tetap nol dan di ujung kanan batang terisolasi (tidak ada aliran panas di ujung kanan batang). Berdasarkan ilustrasi di atas, maka penyebaran panas dalam batang konduktor dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut, dengan syarat batas dan syarat awal, Berdasarkan model matematika pada persamaan (1), (2), dan (3), kita bisa melihat fenomena atau peristiwa penyebaran panas di dalam batang. Solusi Analitik Persamaan Panas Pada subbab ini akan diuraikan solusi analitik dari persamaan panas (1) dengan syarat batas dan awal (2) dan (3) menggunakan metoda separasi variabel. Pertama-tama, misalkan solusi dari persamaan panas merupakan perkalian dua buah fungsi yang masing-masing hanya bergantung pada variabel x dan t, yaitu Solusi Penyebaran Panas... (Viska Noviantri) 135

Substitusikan solusi (4) ke dalam persamaan panas (1), sehingga diperoleh Persamaan (5) dapat disederhanakan menjadi dengan λ suatu konstanta, sehingga diperoleh dua buah persamaan diferensial biasa berikut Kemudian, dengan syarat batas yang diberikan pada (2) diperoleh Persamaan (8) telah memberikan syarat untuk fungsi X, sedangkan syarat untuk fungsi T tidak diketahui. Oleh karena itu, persamaan diferensial yang akan diselesaikan terlebih dahulu adalah persamaan diferensial berikut ini dengan syarat Perhatikan (9). Solusi (9) akan berbeda-beda bergantung pada nilai λ. Oleh karena itu, penyelesaian solusi (9) akan dibagi ke dalam beberapa kasus, yaitu: Kasus 1: λ = -p 2 Solusi umum (9) adalah sehingga dimana C 1 dan C 2 adalah konstanta-konstanta yang dapat ditentukan dari syarat (10), yaitu sehingga Perhatikan bahwa e 10p e 10p 0, sehingga dari (14) diperoleh C 1 = 0. Dengan demikian, diperoleh C 1 = C 2 = 0 dan ini memberikan solusi trivial. Kasus 2: λ = 0 Solusi umum (9) adalah sehingga dimana C1 dan C2 adalah konstanta-konstanta yang dapat ditentukan dari syarat (10), yaitu 136 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 2 Juli 2012: 133-142

Dengan demikian, pada kasus ini juga diperoleh solusi trivial.. Kasus 3: λ = p 2 Solusi umum (9) adalah Sehingga dimana C 1 dan C 2 adalah konstanta-konstanta yang dapat ditentukan dari syarat (10), yaitu Agar solusi tidak trivial, maka haruslah C 2 0, sehingga dipilih cos 10p = 0. Dengan demikian diperoleh dan solusi untuk (9) adalah Setelah diperoleh nilai λ = p 2, di mana p seperti pada (22), maka dapat diperoleh solusi umum untuk T + λt = 0, yaitu Dengan demikian, diperoleh solusi umum untuk (1) yaitu Substitusikan syarat awal (3) sehingga diperoleh Melalui Deret Fourier diperoleh bahwa konstanta A n memenuhi persamaan berikut Metode Crank Nicholson pada Persamaan Panas Metode Crank - Nicholson memiliki akurasi O(Δt 2 ;Δx 2 ). Skema untuk Metode Crank - Nicholson dapat dilihat pada Gambar 2. Solusi Penyebaran Panas... (Viska Noviantri) 137

Gambar 2 Skema Crank - Nicholson untuk persamaan panas Hampiran yang digunakan untuk menghampiri u t dan u xx pada metode ini adalah di mana u xx j n+1 dan u xx j n menggunakan hampiran beda pusat sehingga diperoleh Substitusikan (28) dan (30) ke dalam (1) sehingga dperoleh persamaan beda berikut ini yang dapat dituliskan sebagai di mana Kemudian, dengan syarat batas (2) diperoleh Perhatikan persamaan (32), maka akan diperoleh: 138 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 2 Juli 2012: 133-142

Perhatikan juga bahwa dengan syarat batas (35), maka persamaan terakhir dalam sistem persamaan (36) yaitu ketika j = 9, menjadi: Dengan demikian, diperoleh sistem persamaan linier berikut di mana Algoritma Metode Crank Nicholson Nilai u n+1 untuk setiap j diselesaikan secara serentak dengan cara menyelesaikan sistem persamaan (38). Berikut ini diuraikan algoritma untuk menyelesaikan persamaan panas (1) beserta syarat batas (2) dan syarat awal (3), dengan menggunakan Metode Crank Nicholson (Matlab): 1. Masukkan L (panjang selang) dan waktu t. 2. Menentukan dx dan dt yang secara berturut-turut menyatakan panjang selang antar titik partisi untuk x dan t. 3. Menghitung Nx dan Nt yang secara berturut-turut menyatakan banyaknya titik partisi untuk x dan t: Nx = (L/dx) + 1 dan Nt = (t/dt) + 1. 4. Menghitung 5. Masukkan syarat awal (3): p = (8/dx) + 1 q = (6/dx) + 1 Solusi Penyebaran Panas... (Viska Noviantri) 139

for i = 1 to Nx if (i < p) and (i > q) u(i, 1) = 50 else u(i, 1) = 0 end end 6. Masukkan syarat batas (2) yang pertama yaitu u(1; j) = 0, untuk j = 1, 2,...,Nt (syarat batas yang kedua belum dimasukkan karena syarat batas yang kedua baru digunakan pada saat pembentukan sistem persamaan linier). 7. Menyusun matriks tridiagonal A dan B yang diagonal dominan dan berukuran (Nx-2) X (Nx-2). Kedua matriks ini serupa dengan matriks A dan B yang memenuhi sistem persamaan (38). 8. Menghitung u j n+1 secara serentak untuk suatu nilai n, for i = 2 to Nt E(:, 1) = u(2 : Nx-1, i-1) F(1, 1) = s: * (u(1, i-1) + u(1,i)) u(2 : Nx-1,i) = (inv(a)) * ((B * E) + F) u(nx, i) = u(nx-1, i) end 9. Menggambarkan solusi numerik berdasarkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah ke-8. Kestabilan Dengan menggunakan analisis kestabilan Van Neumann, misalkan Substitusikan persamaan (39) ke dalam (32) dan dengan sedikit manipulasi aljabar dapat diperoleh: di mana S memenuhi (33). Berdasarkan persamaan (40) dapat diperoleh bahwa ρ 1 untuk S > 0. Jadi, skema stabil tanpa syarat. Dengan demikian, kita diperbolehkan mengambil nilai S berapapun dalam menyusun program numerik. Perbandingan Hasil Analitik dan Numerik Persamaan Panas Gambar 3 (a) dan (b) secara berturut-turut menampilkan solusi u(x, t) yang berupa suatu permukaan secara analitik dan numerik. Sedangkan Gambar 4 (a) dan (b) secara berturut-turut menampilkan grafik u(x, t) untuk beberapa waktu pengamatan t secara analitik dan numerik. Keempat gambar ini menampilkan kesamaan antara hasil analitik dan numerik. Hal ini mengindikasikan bahwa solusi persamaan diferensial parsial yang kita peroleh sudah benar baik secara analitik maupun numerik. 140 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 2 Juli 2012: 133-142

(a) (b) Gambar 3 (a). Solusi analitik u(x,t), (b). Solusi numerik u(x,t) dengan metode Crank Nicholson. Lebih jauh lagi, perhatikan Gambar 4 (a) dan (b). Kedua gambar ini menunjukkan bahwa pada saat t = 0, nilai u(x; t) di 6 < x < 8 adalah 50 dan bernilai nol pada posisi lainnya. Ini sesuai dengan syarat awal yang diberikan pada persamaan (3). Syarat batas kiri yang diberikan pada persamaan (2) juga dipenuhi. Dalam waktu yang tidak cukup lama, panas mulai menyebar ke daerah-daerah yang asalnya tidak memiliki panas. Dengan demikian, konsentrasi panas di daerah 6 < x < 8 berkurang, sedangkan di daerah lainnya bertambah. Seiring dengan bertambahnya waktu, panas mulai menyebar secara merata ke seluruh bagian batang. Makin lama suhu panasnya semakin menurun dan akhirnya suhunya mencapai nol untuk seluruh bagian batang. Namun perlu diperhatikan bahwa suhu batang menuju nol karena panas mengalir dari ujung kiri batang (ujung kanan batang terisolasi sehingga panas hanya keluar dari ujung kiri batang). (a) (b) Gambar 4. (a). Solusi analitik u(x,t) untuk beberapa nilai t, (b). Solusi numerik u(x,t) dengan metode Crank Nicholson untuk beberapa nilai t. Solusi Penyebaran Panas... (Viska Noviantri) 141

SIMPULAN Metode Crank Nicholson telah diterapkan pada persamaan panas dengan syarat batas campuran. Hasil simulasi menunjukkan bahwa solusi numerik memiliki keakuratan yang sama dengan solusi analitiknya. DAFTAR PUSTAKA Black, Fischer dan Scholesin, Myron. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy,81(3). Gockenbach, Mark and Schmidtke, Kristin. (2009). Newton s Law of Heating and the Heat Equation. Involve: A Journal of Mathematics, 2 (4). Recktenwald, Gerald W. (2011). Finite-Difference Approximations to the Heat Equation. Mechanical Engineering Department Portland State University, Portland, Oregon. Strauss, A. W. (1992). Partial Differential Equations: An Introduction. New York: John Wiley and Sons. Yaluma, Christopher B. (2012). Application and Solutions of the Heat Equation. 142 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 2 Juli 2012: 133-142