Saintia Matematika ISSN: 2337-997 Vol 02, No 0 (204), pp 85 94 INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ MENGGUNAKAN METODE ADJOIN Bakti Siregar, Tulus, Sawaluddin Abstrak: Pencarian invers matriks adalah suatu hal yang biasa dilakukan dalam bidang matematika dan ilmu hitung secara umum Pada penelitian ini dibahas invers suatu matriks toeplitz T n dengan diagonal nol dan selainnya x R Untuk memperoleh invers matriks toeplitz T n dilakukan dengan mengamati pola dari determinan matriks toeplitz T n berorde 2 2 hingga 7 7 dengan menggunakan metode operasi baris elementer diperoleh T n = ( ) (n+) n di mana x R Selanjutnya menentukan invers matriks toeplitz T n menggunakan metode adjoin matriks T n di mana x R dan T n = 0 diperoleh formula ( (n 2) Tn = (t ij ) = untuk i = j untuk i j di mana t ij adalah entri-entri yang terletak di baris ke-i dan kolom ke-j PENDAHULUAN Dalam teori matriks terdapat berbagai jenis matriks, salah satunya matriks toeplitz Pada dasarnya matriks toeplitz mempunyai operasi sama dengan matriks biasa hanya saja pada matriks toeplitz mempunyai struktur dan sifat yang khusus Matriks toeplitz adalah matriks simetris yang sirkulan pada persamaan () di mana setiap unsur pada diagonal utamanya sama dan setiap unsur pada subdiagonal yang bersesuaian dengan diagonal utama Received 20-08-203, Accepted 23-0-204 200 Mathematics Subject Classification: 5B05, 5A09 Key words : Matriks Toeplitz, Determinan,Kofaktor, Invers 85
Bakti Siregar INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ 86 juga sama[] t 0 t t 2 t (n ) t t 0 t t (n 2) T n = (t ij ) = t 2 t t 0 t (n 3) t (n ) t (n 2) t t 0 () di mana t ij adalah entri-entri yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j Berdasarkan definisi yang diyatakan pada persamaan () maka diasumsikan bahwa terdapat berbagai jenis dari matriks toeplitz Salah satu jenis dari matriks toeplitz adalah andaikan A suatu matriks toeplitz tridiagonal berorde n pada persamaan (2) b a 0 0 c b a 0 A = (a ij ) = 0 0 0 0 c b a 0 0 0 c b di mana a 0 dan c 0[2] Dalam penelitiannya dinyatakan jika A suatu matriks tridiagonal pada persamaan (2) dan Z = A m = (a ij ) untuk m adalah bilangan bulat positif, maka (a ij ) = 2 n + ( c a ) i j 2 n k= λ m k ikπ jkπ sin( )sin( n + n + ) untuk λ k = b + 2a c kπ acos( n+ ) Sedangkan, jika B suatu matriks kuadrat sedemikian hingga b ij 0 untuk semua i j dan b ij > 0 untuk semua i = j maka matriks B disebut Z matriks[3] Syarat cukup menentukan invers matriks B (Z matriks) adalah B > 0 Sebenarnya masih banyak jenis-jenis dari matriks toeplitz selain yang telah dipaparkan sebelumnya, tetapi dalam kasus ini tidak akan dibahas lebih mendalam Pembahasan menarik dalam teori matriks adalah menentukan invers suatu matriks Invers mempunyai peranan penting dalam menyelesaikan beberapa persoalan dalam matriks dan banyak dipergunakan dalam ilmu matematika maupun ilmu terapannya Tujuan penelitian ini adalah (2)
Bakti Siregar INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ 87 mendeskripsikan proses perolehan invers suatu matriks toeplitz T n persamaan (3) dengan mengamati pola rekursip determinan menggunakan operasi baris elementer dan menentukan invers matriks toeplitz T n menggunakan metode adjoin 0 x x T n = x 0 x x x 0 x R (3) 2 LANDASAN TEORI Definisi Suatu matriks A berukuran n n disebut simetris jika A T = A[4] Definisi 2 Misalkan A = (a ij ) adalah matriks bujur sangkar maka minor pada entri a ij dinyatakan oleh M ij dan didefinisikan menjadi determinan sub-matriks, setelah baris ke i dan kolom ke j dihapuskan dari A Bilangan ( ) (+j) M ij dinyatakan oleh K ij dinamakan kofaktor entri a ij [5] Definisi 3 Determinan dari suatu matriks A berukuran n n dinyatakan sebagai A adalah skalar yang diasosiasikan dengan matriks A dan didefinisikan secara induktif { a, untuk n = A = a A + a 2 A 2 + + a j A j, untuk n > di mana A j = ( ) +j M j, j =,, n adalah kofaktor-kofaktor yang diasosiasikan dengan entri-entri dalam baris pertama dari A dan M j adalah minor baris pertama dan kolom ke-j[6] Penentuan nilai A menggunakan baris pertama, hal sama dapat juga dilakukan dengan menggunakan kolom sebagai berikut: { a, untuk n = A = a A + a 2 A 2 + + a i A i, untuk n > Definisi 4 Andaikan A suatu matriks segitiga-atas atau matriks segitiga bawah maka A merupakan hasil kali setiap unsur diagonal utamanya[7]
Bakti Siregar INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ 88 Metode operasi baris elementer merupakan salah satu cara dalam menentukan determinan suatu matriks n n dengan mereduksi bentuk matriks tersebut menjadi matriks baru yang mempunyai penghitungan determinan lebih mudah, misalkan dalam bentuk matriks segitiga-bawah atau matriks segitiga-atas Operasi baris elementer meliputi operasi aritmatika (penjumlahan dan perkalian) yang dikenakan pada setiap unsur dalam suatu matriks, pertukaran baris, perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol dan penjumlahan suatu baris pada baris yang lain sehingga oleh definisi 4 determinan dari matriks segitiga adalah hasil kali setiap entri pada diagonal utamanya Pengaruh operasi baris elementer pada suatu matriks antara lain: Jika A adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k maka A = k A 2 Jika A adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan maka A = A 3 Jika A adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan suatu baris A ditambahkan pada baris lain maka A = A [6] Definisi 5 Matriks adjoin dari matriks bujur sangkar A berukuran i j dinotasikan dengan Adj(A) adalah K A K 2 A K j A K Adj(A) = 2 A K 22 A K 2j A K i A K i2 A K ij A di mana K A,, K ij A adalah kofaktor-kofaktor dari matriks A[8] Definisi 6 Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar dikatakan dapat dibalik (invertible) sehingga diperoleh matriks B, sedemikian hingga AB = I n = BA dan B dinamakan invers dari A yang dinotasikan dengan A Jika matriks B tidak dapat didefinisikan, maka A dinyatakan sebagai matriks singular Invers dari A didefinisikan sebagai A = Adj(A) A dengan Adj(A) adalah adjoin dari A dan A merupakan nilai determinan matriks A[9] T (4)
Bakti Siregar INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ 89 3 PEMBAHASAN Menurut definisi 6 sehingga invers matriks toeplitz T n pada persamaan (3) di mana x R dapat didefinisikan Tn = Adj(Tn) T n dengan Adj(T n ) adalah adjoin dari T n dan T n merupakan nilai determinan matriks T n Untuk memperoleh formula nilai determinan matriks toeplitz dilakukan dengan mengamati pola determinan matriks toeplitz T n yang berorde 2 2 hingga 7 7 dengan menggunakan metode operasi baris elementer Andaikan matriks toeplitz berorde 2 2 adalah T 2 = [ 0 x x 0 ] di mana x R sehingga diperoleh T 2 = 0 x x 0 (B B 2 ) x 0 0 x = x2 maka T 2 = x 2 0 x x 2 Andaikan matriks toeplitz berorde 3 3 adalah T 3 = x 0 x di x x 0 mana x R sehingga diperoleh 0 x x T 3 = x 0 x x x 0 (B x x 0 B 3 ) x 0 x 0 x x (B x x x B 2 ) 0 x x 0 x x (B 2 B 3 ) x x 0 = 0 x x 0 0 2x = 2x3, maka T 3 = 2x 3 Proses untuk memperoleh determinan matriks toeplitz T 4, T 5, T 6 dan T 7 tidak diuraikan dalam pembahasan ini tetapi nilai determinan matriks toeplitz T n yang berorde 2 2 hingga 7 7 dinyatakan pada Tabel Tabel Nilai Determinan Matriks Toeplitz T n No Matiks Toeplitz T n Nilai Determinan T 2 x 2 2 T 3 2x 3 3 T 4 3x 4 4 T 5 4x 5 5 T 6 5x 6 6 T 7 6x 7 Dari Tabel dapat diperoleh bahwa pola dari nilai determinan matriks toeplitz T n pada teorema
Bakti Siregar INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ 90 Teorema : Andaikan T n suatu matriks toeplitz berordo n 2 pada persamaan (3) di mana x R maka nilai determinan matriks T n adalah T n = ( ) n+ (n )x n Bukti: Pembuktian dilakukan dengan induksi matematika, andaikan T n adalah matriks toeplitz dengan ordo n 2 yakni {2, 3, 5,, n} Langkah pertama Diperlihatkan bahwa T 2, T 3, T 4,, T n memiliki pola untuk setiap n 2 untuk n = 2 diperoleh T 2 = x 2 2 untuk n = 3 diperoleh T 3 = 2x 3 = x 2 ( 2x) = T 2 ( 2x) 3 untuk n = 4 diperoleh T 4 = 3x 2 = 2x 3 ( 3 2 x) = T 3 3 2 x 4 dan seterusnya Dengan mengamati T 2, T 3, T 4,, T n diperlihatkan bahwa T 3 bergantung pada T 2 dan T 4 bergantung pada T 3 sehingga T n+ bergantung pada T n Langakah kedua Asumsikan bahwa T n = ( ) n+ (n )x n benar, untuk n 2 maka T n+ = ( ) n+2 ((n + ) )x n+ = ( ) n+2 nx n+ sehingga pola atau selisih dari T n menuju T n+ adalah T n+ T n = ( )n+2 nx n+ = ( ) n+ n n (n ) x Jadi untuk n = k, T k = (k )x k sedemikian hingga untuk n = k+ diperoleh, T k+ = T k ( k k x) = ( ) k+ (k )x k ( k k x) = ( ) k+ ( k)x k+ = ( ) k+ ( )kx k+ = ( ) k+2 kx k+ Terbukti bahwa T n = ( ) n+ (n )x n, di mana n 2 berlaku untuk T n+ Menentukan invers matriks T n diperlukan nilai determinan dan kofaktorkofaktor dari matriks T n Formula determinan matriks T n diperlihatkan
Bakti Siregar INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ 9 pada teorema sehingga dapat diperlihatkan kofaktor-kofaktor matriks T n pada teorema 2 Teorema 2: Andaikan T n suatu matriks toeplitz berordo n 2 pada persamaan (3) di mana x R, maka kofaktor-kofaktor matriks toeplitz T n adalah { Tn untuk i = j K ij T n = ( ) n+ x n untuk i j di mana K ij T n kofaktor - kofaktor yang terletak dibaris ke-i dan kolom ke-j Bukti: Andaikan T n adalah suatu matrik toeplitz pada persamaan (3), oleh definisi 2 maka kofaktor dari matriks T n adalah mengeliminasi baris ke-i dan kolom ke-j diperoleh K ij T n = ( ) i+j T n sehingga K ij T n = T n untuk i = j Teorema menjamin bahwa kofaktor K ij T n = T n benar Sedangkan untuk membuktikan K ij T n = ( ) n+ x n dilakukan dengan induksi matematika, andaikan T n adalah matriks toeplitz dengan ordo n 2 = {2, 3, 4,, n} dan i j Langkah pertama Diperlihatkan bahwa K ij T 2, K ij T 3, K ij T 4,, K ij T n memiliki pola, untuk setiap n 2 dan i j Untuk n = 2 diperoleh K ij T 2 = x 2 Untuk n = 3 diperoleh K ij T 3 = x 2 = x( x) 3 Untuk n = 4 diperoleh K ij T 4 = x 3 = x 2 ( x) 4 dan seterusnya Dengan mengamati K ij T 2, K ij T 3, K ij T 4,, K ij T n dapat diperlihatkan K ij T 3 bergantung pada K ij T 2 dan K ij T 4 bergantung pada K ij T 3 sehingga K ij T n+ bergantung pada K ij T n Langkah kedua Asumsikan bahwa K ij T n = ( ) n+ x n benar, untuk n 2 maka K ij T n+ = ( ) n+2 x n sehingga pola atau selisih dari K ij T n menuju K ij T n+ adalah ( K ijt n+ K ij T n ) = ( ( )n+2 x n ) = x Jadi untuk n = k ( ) n+ x n adalah K ij T k = ( ) k+ x k sedemikian hingga untuk k = n + diperoleh, K ij T k+ = K ij T k ( x)
Bakti Siregar INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ 92 = ( ) k+ x k ( x) = ( ) k+ ( )x (k +) = ( ) k+2 x k Terbukti bahwa K ij T n = ( ) n+ x n, di mana K ij T n adalah kofaktor kofaktor matriks T n orde n 2 dan i j, berlaku untuk K ij T n+ Pada teorema 2 diperlihatkan kofaktor-kofaktor matriks T n secara umum, sehinga pada teorema 3 diperlihatkan invers matriks T n yang diperoleh dengan menggunakan metode adjoin matriks T n Teorema 3: Andaikan T n suatu matriks toeplitz berordo n 2 pada persamaan (3) di mana x R dan T n = 0 maka invers Matriks Toeplitz T n adalah T n = t ij = { (n 2) untuk i = j untuk i j t ij adalah entri-entri yang terletak dibaris ke-i dan kolom ke-j Bukti: Pembuktian dilakukan sesuai dengan definisi 6 mengenai invers matriks yakni; andaikan T n suatu matriks bujur sangkar berodo n dan dapat diperlihatkan matriks Tn, sehingga T n Tn = Tn T n = I maka T n dikatakan dapat dibalik (invertible) dan Tn dinamakan invers dari T n sebagai berikut: 2 (n 2) Tn Tn = I = 6 4 (n 2) 3 2 0 x x 3 x 0 x 6 4 7 7 5 5 (n 2) x x 0 2 = 6 4 (n 2)x+(n 2)x (n 2)x+(n 2)x (n 2)x+(n 2)x (n 2)x+(n 2)x (n 2)x+(n 2)x 3 2 0 0 3 (n 2)x+(n 2)x 0 0 = 6 4 7 7 5 5 0 0
Bakti Siregar INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ 93 4 KESIMPULAN Hasil dari penelitian tentang invers matriks toeplitz T n berordo n 2 di mana setiap unsur diagonal utama nol dan selainnya x R dalam tulisan ini diperoleh kesimpulkan sebagai berikut: Determinan matriks T n adalah T n = ( ) n+ (n )x n 2 Kofaktor-kofaktor Matriks Toeplitz T n adalah { Tn untuk i = j K ij T n = ( ) n+ x n untuk i j K ij adalah entri-entri yang terletak dibaris ke-i dan kolom ke-j 3 Invers Matriks Toeplitz T n adalah T n = t ij = { (n 2) untuk i = j untuk i j t ij adalah entri-entri yang terletak dibaris ke-i dan kolom ke-j Daftar Pustaka [] Gray, Robert M Toeplitz and Circulan Matrices Stanford 94305, Department of Electrical Engineering Stanford, USA (2005) [2] Salkuyeh, Davod Khojasteh Positive Integer Power of the Tridiagonal Matriks Toeplitz International Mathematical Forum, Vol, no 22, 06-065, Mohaghegh Ardabili University Ardabil, Iran, (2006) [3] Sianipar, P Invers Z-Matriks, Bulletin of Mathematics, Vol 0, No 0, -4 Medan Indonesia, (2009) [4] Leon,SJ Aljabar Linier dan Aplikasinya Edisi kelima Jakarta: Erlangga, (200) [5] Anton, Howard & Rorres, Chris Dasar-Dasar Aljabar Linear Versi Aplikasi Edisi Ketujuh Jakarta: Erlangga, (2004) [6] Nicholson, W Keith Linear Algebra with Applications, Fourth Edition University of Calgary, (2004)
Bakti Siregar INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ 94 [7] Supranto, Johannes Pengantar Matriks Jakarta: Rineka Cipta, (2003) [8] Hefferon, Jim Linear Algebra Saint Michaels College Colchester, Vermont USA, (202) [9] Zwilinger, D Standard Mathematical Tables and Formulae Chapman & Hall/CRC Press Company New York, (2003) Bakti Siregar: Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, University of Sumatera Utara, Medan 2055, Indonesia E-mail: siregarbakti@gmailcom Tulus: Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, University of Sumatera Utara, Medan 2055, Indonesia E-mail: tulus@usuacid Sawaluddin: Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, University of Sumatera Utara, Medan 2055, Indonesia E-mail: sawaluddin@usuacid