Matematika Semester V

Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 1

DIMENSI TIGA KOMPETENSI DASAR Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya Menghitung luas permukaan bangun ruang Menerapkan konsep volum bangun ruang Menentukan hubungan antara unsur-unsur dalam bangun ruang PETA KONSEP BANGUN RUANG : 1. Kubus 2. Balok 3. Prisma 4. Limas 5. Tabung 6. Kerucut 7. Bola Unsur - Unsur Luas Permukaan Volume DIMENSI TIGA HUBUNGAN UNSUR-UNSUR DALAM BANGUN RUANG A. BANGUN RUANG DAN UNSUR-UNSURNYA 1. Kubus Kubus adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang datar (sisi) yang sama luas dengan dua belas rusuk yang sama panjang dan semua sudutnya merupakan sudut siku-siku. Unsur-Unsur Kubus a. Memiliki 6 buah sisi berbentuk persegi yang kongruen, yaitu ABCD, EFGH, BCGF, ADHE, ABFE, dan DCGH. b. Memiliki 12 rusuk yang sama panjang, yaitu AB, DC, EF, HG, EA, HD, FB,GC, AD, BC, FG, dan EH. Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 2

c. Memiliki 12 diagonal sisi yang sama panjang, yaitu AC, BD, EG, FH, AH, DE, BG, CF, AF, BE, DG, dan CH. Jika kubus mempunyai rusuk a, maka panjang diagonal sisi adalah a 2. d. Memiliki empat diagonal ruang yang sama panjang, yaitu AG, BH, CE, dan DF. Jika kubus mempunyai rusuk a, maka panjang diagonal ruang adalah a 3. e. Memiliki 6 bidang diagonal, yaitu ACGE, BDHF, ADGF, ABGH, BCHE, dan 2 CDEF. Jika kubus mempunyai rusuk a, maka luas bidang diagonalnya adalah a 2 f. Memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H. Jaring-Jaring Kubus Jaring-jaring kubus adalah sebuah bangun datar yang jika dilipat menurut ruas-ruas garis pada dua persegi yang berdekatan akan membentuk bangun kubus. Apabila kubus ABCD.EFGH diiris menurut EH, EF, HG, CG, FB, EA, dan HD akan dihasilkan bangun datar seperti pada gambar disamping. Volume Kubus dan Luas Permukaan Jika sebuah kubus panjang rusuknya s, volume kubus adalah sebagai berikut. Jika sebuah kubus panjang rusuknya s, luas permukaan kubus merupakan jumlah antara luas seluruh sisi tegak dan dua kali luas alas kubus. Contoh: Luas dari alas kubus adalah 12 dm 2. Tentukan volume dan luas permukaan kubus. Jawab Volume kubus (V) = Luas permukaan kubus = Jadi, volume kubus adalah 64 dan luas permukaan kubus adalah 96 dm 2. Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 3

2. Balok Balok adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam daerah persegi panjang. Balok mempunyai sisi, rusuk, titik sudut, diagonal sisi, diagonal ruang dan bidang diagonal. Banyaknya sisi, rusuk, dan titik sudut suatu balok sama seperti pada kubus. Sisi balok berbentuk persegi panjang yang terdiri dari 3 pasang sisi sejajar dan sama panjang. Suatu balok memiliki 3 kelompok rusuk yang masing-masing terdiri dari empat rusuk yang sama panjang, yaitu panjang, lebar dan tinggi. Unsur-Unsur Balok a. Memiliki 6 buah sisi berbentuk persegi panjang yang tiap pasangnya kongruen, yaitu PQRS, TUVW, QRVU, PSWT, PQUT, dan SRVW. b. Memiliki 12 rusuk yang sekelompok sama panjang, yaitu (i) Rusuk PQ = SR = TU = WV. (ii) Rusuk QR = UV = PS = TW. (iii) Rusuk PT = QU = RV = SW. c. Memiliki 8 titik sudut, yaitu titik P, Q, R, S, T, U, V, dan W. d. Memiliki 12 diagonal sisi, di antaranya PU, QV, RW, SV, dan TV. Panjang diagonal sisi pada balok dapat dihitung dengan rumus berikut. AC p 2 l 2 2 2 2 2, AH l t, AF p t e. Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan di satu titik, yaitu diagonal PV, QW, RT, dan SU. Panjang diagonal ruang pada balok dapat dihitung dengan rumus 2 2 2 p l t. f. Memiliki 6 bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya kongruen. Keenam bidang diagonal tersebut adalah PUVS, QTWR, PWVQ, RUTS, PRVT, dan QSWU. Untuk menentukan luas bidang diagonal balok dapat digunakan rumus berikut: i. Luas bidang diagonal ABGH p l 2 t 2 ii. Luas bidang diagonal BEHC l p 2 t 2 iii. Luas bidang diagonal ACGE t p 2 l 2 Jaring-Jaring Balok Jaring-jaring balok adalah sebuah bangun datar yang jika dilipat menurut ruas-ruas garis pada dua persegi panjang yang berdekatan akan membentuk bangun balok. Contoh jaring-jaring balok: Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 4

Volume Balok dan Luas Permukaan Jika sebuah balok memiliki panjang (p), lebar (l) dan tinggi (t) maka volume dan luas permukaan balok adalah * + Contoh: Sebuah balok berukuran ( Jawab Balok berukuran ( Volume balok = ) cm. Tentukan volume dan luas permukaan balok. ) cm artinya panjang = 6 cm,lebar = 5 cm, dan tinggi 4 cm. cm 3 Luas permukaan balok = * + = 2{(6 5) + (5 4) + (6 4)} = 2(30 + 20 + 24) = 148 cm 2. Jadi, volume balok adalah cm 3 dan luas permukaan balok adalah 148 cm 2. 3. Prisma Prisma adalah suatu bangun ruang yang mempunyai sepasang sisi sejajar dan sebangun, yang disebut alas, serta sisi-sisi lain yang diperoleh dengan menghubungkan ujung-ujung titik sudut dari kedua alasnya dan disebut sisi tegak. Berdasarkan rusuk tegaknya, prisma dibedakan menjadi dua, yaitu prisma tegak dan prisma miring. Prisma tegak adalah prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tegak lurus pada bidang atas dan bidang alas (gambar a). Prisma miring adalah prisma yang rusukrusuk tegaknya tidak tegak lurus pada bidang atas dan bidang alas (gambar b). Prisma miring disebut juga prisma condong. gambar a gambar b Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 5

Berdasarkan bentuk alasnya, terdapat prisma segitiga, prisma segi empat, prisma segi lima, dan seterusnya. Jika alasnya berupa segi n beraturan maka disebut prisma segi n beraturan. Kubus dan balok dapat dipandang sebagai prisma tegak, yaitu prisma tegak segi empat. Setiap sisi kubus atau balok dapat dianggap sebagai bidang alas atau bidang atas, dan rusuk yang tegak lurus terhadap bidang alas dan bidang atas sebagai rusuk tegaknya. Unsur-Unsur Prisma a. Titik A, B, C, D, E, dan F adalah titik sudut prisma. b. ABC adalah bidang atas prisma. c. DEF adalah bidang alas prisma. d. Bidang ACFD, BCFE, dan ABED adalah sisi tegak prisma. e. AD, CF, dan BE adalah rusuk-rusuk tegak prisma. Jaring-Jaring Prisma Guntinglah sepanjang rusuk-rusuk LO, OP, ON, KL, dan LM maka akan diperoleh model jaring-jaring seperti gambar berikut. Volume Balok dan Luas Permukaan Contoh: Sebuah prisma alasnya berbentuk segitiga siku-siku yang panjang kedua sisi sikusikunya 3 cm dan 4 cm. Jika tinggi prisma 8 cm, tentukan volume dan luas permukaan prisma. Jawab 8 cm 3 cm 4 cm Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 6

Volume prisma = = Alas prisma merupakan segitiga siku-siku = 48 = ( ) = = 12 + 96 = 108 Jadi, volume prisma adalah 48 cm 3 dan luas permukaan prisma adalah 108 cm 2. 4. Limas Limas adalah bangun ruang yang alasnya berbentuk segi banyak (segitiga, segi empat, atau segi lima) dan bidang sisi tegaknya berbentuk segitiga yang berpotongan pada satu titik. Titik potong dari sisi-sisi tegak limas disebut titik puncak limas. Seperti halnya prisma, pada limas juga diberi nama berdasarkan bentuk bidang alasnya. Jika alasnya berbentuk segitiga maka limas tersebut dinamakan limas segitiga. Jika alas suatu limas berbentuk segi lima beraturan maka limas tersebut dinamakan limas segi lima beraturan. Unsur-Unsur Prisma a. Titik A, B, C, dan D adalah titik sudut bidang alas limas dan titik T adalah titik puncak limas. b. TA, TB, TC, dan TD disebut rusuk tegak limas. Jika limas beraturan maka TA = TB = TC = TD. c. TAB, TBC, TCD, dan TAD adalah sisi tegak limas. Jika limas beraturan maka masing-masing sisi tegak berbentuk segitiga sama kaki yang sama dan sebangun. d. AB, BC, CD, dan AD adalah rusuk bidang alas limas. (Jika limas beraturan maka AB = BC =CD= AD ). e. TO adalah tinggi limas. Jaring-Jaring Limas Guntinglah sepanjang rusuk TA, TB, TC, dan TD maka akan diperoleh bentuk jaring-jaring seperti gambar disamping. Volume dan Luas Permukaan Limas Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 7

Contoh: Sebuah limas T.ABCD dengan alas berbentuk persegi dan panjang sisinya 10 cm. Jika tinggi pada sisi tegaknya 13 cm, hitunglah: a. Tinggi limas b. Volume limas c. Luas permukaan limas Jawab a. Tinggi Limas = TE TEF merupakan segitiga siku-siku Jadi, tinggi limas T.ABCD adalah 12 cm b. c. Jadi, volume T.ABCD adalah 400 cm 3 4 sisi tegak Jadi, luas permukaan limas T.ABCD adalah 360 cm 2. 5. Tabung Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang yang berbentuk lingkaran sebagai sisi alas dan sisi atas dan sebuah bidang lengkung yang merupakan sisi tegak yang disebut selimut tabung. Unsur-Unsur Tabung a. Tabung memiliki 3 sisi, di antaranya berbentuk bidang lengkung dan lainnya berbentuk N M lingkaran. s b. Garis s disebut garis sumbu tabung atau disebut garis pelukis atau disebut juga tinggi tabung (t). K L Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 8

Jaring-Jaring Tabung Bila tabung dibuka bagian sisi atas dan sisi alasnya serta dipotong sepanjang garis lurus AB pada selimutnya dan diletakkan pada bidang datar, maka akan didapat jaring-jaring tabung, seperti pada gambar di atas. Volume dan Luas Permukaan Tabung Volume tabung dapat dinyatakan sebagai berikut. V = Luas alas t V = (π r 2 ) t V = π r 2 t Luas permukaan tabung = luas sisi tegak + luas sisi atas + luas sisi alas = luas sisi tegak + 2 luas sisi alas = = Contoh: Ibu membuat kue keju yang berbentuk tabung seperti gambar di samping untuk persiapan hari raya. Jika jari-jari kue adalah 10 cm dan tingginya 5 cm, carilah volume dan luas permukaan kue di samping! Jawab Diameter kue (d) = 20 cm, sehingga jari-jari kue (r) =10cm. V = (πr2 ) t = (3,14. 102) 5 = 3,14.100.5 = 1.570 Jadi volume kue tersebut adalah 1.570 cm 3. Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 9

L p = = = = 942 cm 2 6. Kerucut Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh suatu daerah pada bidang datar (disebut alas) dan sebuah selimut. Kerucut dapat dibentuk dari sebuah segitiga siku-siku yang diputar, dimana sisi siku-sikunya sebagai pusat putaran. Unsur-Unsur Kerucut Sisi alas kerucut berbentuk lingkaran dan sisi tegak berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut. Jadi suatu kerucut dibatasi oleh dua sisi, yaitu sisi alas dan selimut kerucut. Pada Gambar, t merupakan tinggi kerucut, r adalah jari-jari alas kerucut dan s disebut garis pelukis. Jaring-Jaring Kerucut Bila kerucut dipotong menurut garis pelukis s dan sepanjang alasnya, maka didapat jaring-jaring kerucut. Jaringjaring kerucut tersebut terdiri dari juring lingkaran yang berjari-jari s dan lingkaran berjari-jari r, seperti yang tampak pada Gambar. Volume dan Luas Permukaan Kerucut Pada gambar di atas, banyak sisi alas limas diperbanyak, maka bentuk limas akan mendekati bentuk kerucut. Rumus volume limas adalah V =. Karena alas kerucut berbentuk lingkaran berjari-jari r maka luas alas = rumus volume kerucut adalah, sehingga V = V = Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 10

Berdasarkan gambar jaring-jaring kerucut di atas maka luas permukaan dapat dihitung dengan cara menjumlahkan luas selimut kerucut dengan sisi alas kerucut yang berbentuk lingkaran. Luas selimut kerucut dapat dihitung dengan cara Jadi, luas permukaan kerucut dapat dirumuskan Contoh: Carilah volume dan luas permukaan dari gambar kerucut berikut Jawab V = = cm 3 cm 2 Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 11

7. Bola Bola adalah himpunan semua titik dalam ruang dengan jarak tertentu dari suatu titik tetap yang disebut pusat, dan jarak tersebut dinamakan jari-jari. Bola tidak mempunyai titik sudut dan rusuk. Bola hanya memiliki satu bidang sisi yang lengkung. Sebuah bola dapat dibentuk dari bangun setengah lingkaran yang diputar pada garis tengahnya. Volume dan Luas Permukaan Bola Jika, r adalah jari-jari dan d adalah diameter maka rumus volume bola adalah Dan Luas selimut atau kulit bola adalah Sebuah bola memiliki jari-jari 7 cm. Hitunglah: a. Volume bola b. Luas permukaan bola Jawab a. b. B. HUBUNGAN ANTARA UNSUR-UNSUR DALAM BANGUN RUANG Ruang adalah himpunan dari semua titik. Titik dalam ruang mempunyai lokasi yang eksak atau pasti dan tidak bergerak. Unsur-unsur ruang adalah titik, garis dan bidang. Titik adalah himpunan bagian yang terkecil dari ruang. Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 12

1. Hubungan Garis dan Bidang Hubungan suatu garis terhadap suatu bidang memenuhi satu dari tiga kemungkinan berikut. Garis Terletak pada Bidang H O Suatu garis dikatakan terletak pada bidang apabila E G setiap titik pada garis tersebut terletak atau berimpit F dengan bidang. Pada gambar, garis EG terletak pada D bidang EFGH dan garis AB pada bidang ABCD. C A Garis Sejajar Bidang B Suatu garis dikatakan sejajar dengan bidang apabila antara garis dan bidang tidak mempunyai titik persekutuan (tidak pernah berpotongan). Pada gambar, garis EF sejajar ABCD dan garis AC sejajar EFGH. Garis Menembus Bidang Suatu garis dikatakan menembus bidang apabila garis dan bidang tersebut mempunyai tepat satu titik persekutuan (titik potong). Pada gambar, garis BO menembus bidang EFGH di titik O disebut titik tembus. 2. Jarak pada Bangun Ruang Jarak antara dua buah bangun adalah panjang ruas garis penghubung kedua bangun itu yang terpendek dan bernilai positif Jarak Antara Dua Titik Jarak antara dua titik adalah panjang garis yang menghubungkan P kedua titik tersebut. Perhatikan gambar disamping. Jarak P dan Q dapat dihitung dengan membuat segitiga siku-siku dan O Q menggunakan rumus pythagoras. Contoh: Suatu kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk dengan panjang 6 cm. Tentukan : a. Jarak A ke D b. Jarak F ke H c. Jarak E ke C a. Jarak A ke D sama dengan rusuk kubus = 6 cm b. Jarak F ke H sama dengan diagonal bidang kubus, yaitu : Perhatikan Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 13

Jadi, jarak F ke H adalah cm c. Jarak E ke C sama dengan diagonal ruang kubus, yaitu : Perhatikan ( ) Jadi, jarak E ke C adalah cm. Jarak Titik ke Garis Jarak titik ke garis adalah panjang garis yang ditarik dari suatu titik dan tegak lurus garis tersebut. Jarak Antara Titik dengan Bidang Jarak antara titik dengan bidang adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke bidang atau panjang garis lurus dari titik ke titik proyeksinya pada bidang. Jarak sebuah titik ke sebuah bidang adalah jarak tegak lurus dari titik ke bidang itu. Jarak Antara Dua Garis Bersilangan H Dua garis dikatakan bersilangan apabila garis E tersebut tidak sejajar dan terletak pada dua bidang K G yang berbeda. Perhatikan gambar di samping, M F garis AE dan BH saling bersilangan. Misal dari O D kubus ABCD.EFGH akan ditentukan jarak antara A L AE dan BH, langkah-langkahnya adalah sebagai C berikut. B a. Tentukan dan buat bidang yang melalui BH dan sejajar AE sehingga diperoleh bidang BDHF, b. Proyeksikan AE pada bidang BDHF sehingga diperoleh garis KL, c. Jarak antara AE dan BH adalah jarak antara AE dan KL diperoleh OM atau EK atau AL. Jarak Antara Dua Garis Sejajar Perhatikan gambar di samping, garis AB dan DC sejajar dan terletak pada bidang ABCD. Misalkan garis IJ tegak lurus garis AB dan DC, dan memotong E H F G kedua garis tersebut masing-masing di titik I dan J. jarak antara garis AB dan CD adalah panjang ruas garis IJ. A D I J B C Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 14

Jarak Antara Garis dan Bidang yang Sejajar Perhatikan gambar di samping, garis MN sejajar dengan bidang EFGH. Tarik garis yang melalui sembarang titik L di garis MN dan tegak lurus bidang EFGH. Misalkan garis tersebut menembus bidang EFGH di L, maka jarak antara garis MN dan bidang EFGH adalah panjang ruas garis LL. Jarak Antara Dua Bidang yang Sejajar Perhatikan gambar di samping, jarak bidang ADHE dan BCGF yang sejajar adalah panjang ruas garis UV, dimana U adalah titik sembarang pada bidang ADHE dan V adalah proyeksi titik U pada bidang BCGF. 3. Sudut Sudut Antara Dua Garis Bersilangan H P L E Q F D M C A L N B H E U F D V A C B Dua garis l dan m yang saling berpotongan di titik P digambarkan seperti berikut. G G l m P Sudut Antara Garis dan Bidang H G Sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip E F yang dibentuk antara garis dengan proyeksinya pada bidang. Garis EG adalah proyeksi EC pada bidang EFGH, maka sudut antara EC dan bidang EFGH D C adalah. A B Sudut Antara Dua Bidang Bidang A dan bidang B membentuk sudut. Sudut yang dibentuk pada gambar di samping dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut. 1. Tandai titik potong kedua bidang, misalkan titik Q. A 2. Buat garis k pada bidang A melalui titik Q dan garis. k l pada bidang B melalui Q. kedua garis tegak lurus Q garis potong. Diperoleh sudut antara bidang A dan l B bidang B sama dengan sudut antara garis k dan garis l. Sudut antara garis k dan garis l disebut sudut tumpuan, sedangkan bidang yang melalui garis k dan garis l disebut bidang tumpuan. Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 15

SOAL LATIHAN 1. Luas karton yang diperlukan untuk membuat sebuah kubus dengan panjang sisi 8 cm adalah a. 64 cm 2 b. 284 cm 2 c. 256 cm 2 d. 325 cm 2 e. 384 cm 2 2. Tempat penampung air berbentuk sebuah tabung tanpa tutup. Jika diameter alasnya berukuran 84 cm dan tinggi tempat penampungan air tersebut 120 cm, luas permukaannya adalah a. 5.544 cm 2 b. 11.088 cm 2 c. 31.680 cm 2 d. 37.224 cm 2 e. 42.768 cm 2 3. Dari balok ABCD.EFGH diketahui panjang balok 2 kali lebarnya dengan tingginya 6 cm. jika volumenya 192 cm 3, maka luas permukaan balok adalah. a. 80 cm 2 b. 104 cm 2 c. 108 cm 2 d. 208 cm 2 e. 280 cm 2 4. Prisma segitiga samasisi dengan rusuk alas berukuran 14 cm dan tinggi prisma cm. volume prisma tersebut adalah. a. 1.248 cm 3 b. 1.176 cm 3 c. 1.012 cm 3 d. 976 cm 3 e. 952 cm 3 5. Diketahui prisma tegak segi empat ABCD.EFGH. Yang bukan merupakan diagonal ruang prisma tersebut adalah a. AG b. BH c. CE d. DF e. BD Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 16

6. Volume sebuah kerucut 2.156 cm 3 dan tingginya 10,5 cm. Luas selimut kerucut adalah. a. 170,5 cm 2 b. 460,0 cm 2 c. 580,5 cm 2 d. 668,5 cm 2 e. 770,0 cm 2 7. Sebuah bak mandi berbentuk kubus tanpa tutup mempunyai rusuk 80 cm seperti tampak pada gambar berikut. Jika alas dan dinding bak masing-masing mempunyai ketebalan 10 cm, maka volume bak bila diisi air sampai penuh adalah... 80 cm 10 cm a. 252.000 cm 3 b. 225.000 cm 3 c. 288.000 cm 3 d. 500.000 cm 3 e. 512.000 cm 3 80 cm 8. Luas permukaan kerucut yang diameter alasnya 14 cm dan tingginya 24 cm adalah a. 570 cm 2 d. 682 cm 2 b. 572 cm 2 e. 704 cm 2 c. 594 cm 2 9. Sebuah kotak berbentuk balok dengan ukuran panjang 12 cm, lebar 8 cm, dan tinggi 6 cm. Luas permukaan kotak tersebut adalah a. 216 cm 2 d. 576 cm 2 b. 432 cm 2 e. 596 cm 2 c. 596 cm 2 10. Diketahui sebuah tabung dengan volume 18.480 cm 3 dan tinggi 30 cm. Luas selimut tabung tersebut adalah... a. 1.386 cm 2 d. 1.200 cm 2 b. 1.748 cm 2 e. 2.640 cm 2 c. 1.890 cm 2 Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 17

V E K T O R KOMPETENSI DASAR Menerapkan konsep vektor pada bidang datar Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang PETA KONSEP VEKTOR VEKTOR DI R-2 Ruang Lingkup Vektor : 1. Modulus vektor 2. Vektor posisi 3. Kesamaan dua vektor 4. Vektor negatif 5. Vektor nol 6. Vektor satuan VEKTOR DI R-3 Operasi Vektor : 7. Penjumlahan vektor 8. Pengurangan vektor 9. Perkalian scalar dengan vektor 10. Perkalian scalar dua vektor A. PENGERTIAN VEKTOR Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Contohnya perpindahan, kecepatan, gaya, medan magnet, medan listrik, dan sebagainya. Besar vektor ditunjukkan oleh panjang ruas garis, sedangkan arah ditunjukkan oleh arah anak panah. Gambar di samping menunjukkan vektor atau ditulis sebagai vektor. B. VEKTOR DI R-2 (BIDANG DATAR) 1. Lingkup Vektor a. Modulus atau besar vector Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 18

Jika diketahui dua titik yaitu dan, maka besar dirumuskan sebagai berikut. Jika diketahui, maka besar adalah sebagai berikut. b. Vektor Posisi Vektor yang ditarik dari titik pangkal O ke titik P disebut vector posisi titik P dan dituliskan. Jika koordinat titik P (x, y) maka vector posisinya adalah : c. Kesamaan dua vektor Dua buah vektor dikatakan sama apabila mempunyai besar dan arah yang sama. d. Vektor Negatif Vector negatif dari adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor tetapi arahnya berlawanan dan ditulis. e. Vektor Nol Vektor nol adalah vektor yang besar/ panjangnya nol dan arahnya tak tentu (berupa titik). Di ruang dimensi dua vektor nol dilambangkan dengan. f. Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang / besar 1 satuan. Vektor satuan di R-2 dalam kombinasi linear hanya terdiri dari 2 vektor satuan yaitu dan masingmasing terletak pada sumbu X positif dan sumbu Y positif.. 2. Operasi Vektor a. Penjumlahan dua vektor Secara geometris penjumlahan dua vektor ada 2 aturan, yaitu : Aturan segitiga Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 19

Aturan jajar genjang Secara analisis penjumlahan dua vektor adalah : Jika vektor dan vektor maka Diketahui,, dan. Hitunglah : a. b. c. a. ( b. ( ) ) c. ( b. Selisih dua vektor ) Selisih dua vektor artinya menjumlahkan vektor pertama dengan negatif vektor kedua. Jadi, ( ) Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut : Secara analitis jika vektor dan vektor maka. Jika vektor dan vektor maka : c. Perkalian vektor dengan scalar Hasil kali vektor dengan scalar k adalah vektor yang panjangnya k kali panjang vektor dan arahnya sama. Jika vektor maka Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 20

Diketahui vektor,, dan. Tentukan : a. b. c. a. b. c. d. Perkalian Skalar Dua Vektor Hasil kali scalar dari dua vektor tidak nol dan dinyatakan oleh (dibaca : dot ). Jika dan, maka Misalkan vektor dan vektor membentuk sudut, maka perkalian scalar dua vektor didefenisikan sebagai berikut. Dimana = sudut antara dan Hasil perkalian scalar dari dua vektor merupakan scalar, bukan vektor. 1. Diketahui cm, cm dan vektor dengan membentuk sudut. Tentukanlah perkalian scalar. 2. Jika dan, tentukanlah sudut yang dibentuk oleh vektor dan. Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 21

( ) C. VEKTOR DI R-3 (BANGUN RUANG) Vektor di ruang 3 adalah vektor yang ditandai dengan 3 buah sumbu x, y, z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitungan. Vektor dalam bangun ruang dapat dituliskan dalam bentuk : 1) Koordinat kartesius 2) Vektor kolom atau 3) Kombinasi linear vektor satuan i, j, k yaitu: Dengan dan 1. Lingkup Vektor a. Modulus Vektor Jika suatu vektor dengan koordinat titik dan maka modulus/besar/panjang vektor dapat dinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B yaitu : Dan jika vektor disajikan dalam bentuk linear, maka modulus vektor adalah : Tentukan modulus/ besar vektor berikut : 1) dengan titik dan 2) 1) 2) Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 22

b. Vektor posisi Vektor posisi titik P adalah vektor yaitu vektor yang berpangkal di titik dan berujung di titik, bila ditulis. c. Kesamaan Vektor Dua vektor di ruang dimensi 3 dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah yang sama. d. Vektor Negatif Vektor di ruang 3 yang besarnya sama dengan vektor tetapi arahnya berlawanan disebut vektor negatif, yang dituliskan dengan :. Jika vektor maka e. Vektor Nol Vektor nol adalah vektor yang besar/ panjangnya nol dan arahnya tak tentu (berupa titik). Vektor nol dilambangkan dengan O(0, 0, 0) atau. f. Vektor satuan Apabila vektor di R-2 hanya terdiri dari 2 vektor satuan yaitu dan, maka vektor di R-3 yang dinyatakan dalam kombinasi linear terdiri dari 3 vektor satuan. Vektorvektor, dan masing-masing terletak pada sumbu X positif, sumbu Y positif dan sumbu Z positif. 2. Operasi Aljabar Vektor di R-3 Misalkan dan, dan n bilangan real, operasi aljabar vektor berlaku sebagai berikut. a. Penjumlahan Vektor Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan menjumlahkan komponenkomponennya. Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 23

b. Pengurangan Vektor Pengurangan vektor dilakukan dengan mengurangkan komponen-komponen yang bersesuaian. c. Perkalian vektor dengan scalar Bila n adalah bilangan real, maka d. Perkalian scalar dua vektor di R-3 Hasil kali scalar dua vektor dan adalah sebagai berikut. Apabila kedua vektor dan membentuk sebuah sudut tertentu, maka perkalian scalar dua vektor adalah sebagai berikut. Dengan adalah sudut antara dan Perhatikan contoh berikut. 1. Diketahui vektor-vektor,, dan. Nyatakan vektorvektor berikut dalam bentuk vektor kolom. a. b. c. 2. Tentukan hasil perkalian scalar dari vektor dan 3. Jika dan, hitunglah sudut antara dan 1. a. b. c. 2. ( ) 3. ( ) Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 24

Jadi vektor dan membentuk sudut. Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 25

SOAL LATIHAN 1. Jika vektor =, =, = dan = - 2 + 3, panjang vektor adalah. a. 12 b. 4 c. 3 d. 3 e. 2 2. Diketahui vektor-vektor, =, dan =, sudut antara vector dan sama dengan. a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 3. Diketahui [ ], [ ], c = [ ], maka a. b. c. d. e. 4. Cosinus sudut antara vektor = -i + j dan = i 2j + 2k adalah. a. -1/3 b. -½ c. 1/3 d. ½ e. 5. Diberikan tiga vektor dan, maka adalah. a. b. c. d. Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 26

e. 6. Diketahui vektor, dan. Besar sudut antara dan adalah a. b. c. d. e. 7. Diketahui = 3 cm, = 6 cm vektor dan vektor membentuk sudut 120 o maka adalah. a. -9 b. -7 c. -2 d. 6 e. 9 8. Jika diketahui,,, maka vektor ( ) adalah a. b. c. d. e. 9. Diketahui = 8 cm, = 7 cm dan sudut antara kedua vektor tersebut 60 o. Nilai dari adalah. a. 30 b. 28 c. 26 d. 24 e. 23 10. Diketahui vektor dan vektor. Besar sudut antara dua vektor tersebut adalah... a. b. c. d. e. Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 27

TEORI PELUANG KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi Menghitung peluang suatu kejadian PETA KONSEP KAIDAH PENCACAHAN 1. Kaidah pencacahan 2. Aturan pengisian tempat 3. Faktorial PERMUTASI TEORI PELUANG KOMBINASI PELUANG SUATU KEJADIAN 1. Ruang sampel, titik sampel dan kejadian 2. Peluang suatu kejadian 3. Frekuensi harapan KEJADIAN MAJEMUK 1. Kejadian saling lepas 2. Kejadian saling bebas A. KAIDAH PENCACAHAN, PERMUTASI DAN KOMBINASI 1. Kaidah pencacahan Kaidah Pencacahan Jika suatu kejadian 1 dapat terjadi dengan n 1 cara, kejadian 2 dapat terjadi dengan n 2 cara berlainan, kejadian 3 dapat terjadi dengan n 3 cara berlainan, dan demikian seterusnya, maka seluruh kejadian tersebut dapat terjadi dengan cara yang berlainan. Dari kota A ke kota B dapat ditempuh melalui 5 jalan. Dari kota B ke kota C dapat ditempuh melalui 4 jalan. Dalam berapa carakah kita bisa melakukan perjalanan dari kota A ke C dengan melewati kota B? A B 5 cara 4 cara C Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 28

Jadi banyaknya cara perjalanan dari A ke C adalah 20 cara. Aturan pengisian tempat Prinsip dasarnya adalah aturan pencacahan (counting rules) 1. Dari angka 1, 2, 3, 4, 5 akan disusun bilangan yang terdiri dari 3 angka. Berapa bilangan yang dapat dibentuk jika : a. Angka boleh berulang b. Angka tidak boleh berulang a. Boleh berulang 5 5 5 Jadi, banyaknya susunan yang terdiri dari 3 angka yang berulang cara. b. Tidak berulang 5 4 3 Jadi, banyaknya susunan yang terdiri dari 3 angka yang tidak berulang cara. 2. Berapa banyak cara menyusun huruf-huruf pada kata abstrak jika huruf pertama dimulai dengan huruf vokal. 2 6 5 4 3 2 1 Jadi, banyaknya susunan huruf dimulai vokal adalah cara. Faktorial (!) Jika n adalah bilangan bulat posisi, maka n faktorial (n!) didefinisikan sebagai : Catatan: dan Tentukan nilai dari : a. b. c. n jika a. b. c. Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 29

Difaktorkan Karena n bilangan asli, maka dipilih n = 6 2. Permutasi Permutasi adalah susunan beberapa elemen yang urutannya diperhatikan. Macam-macam permutasi adalah sebagai berikut : a. Permutasi r Unsur dari n Unsur yang Berbeda Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan. Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dinyatakan dengan notasi. Tersedia angka 1, 2, 3, 4 dan 5. Jika kita akan membentuk bilangan asli yang terdiri dari 2 angka yang berbeda, tentukan banyaknya bilangan asli yang terjadi. bilangan b. Permutasi yang Memuat Unsur yang Sama Banyaknya permutasi n unsur yang memuat unsur yang sama, unsur yang sama, unsur yang sama, dan seterusnya hingga unsur yang sama dengan dapat ditentukan dengan rumus : Tentukan banyaknya permutasi huruf yang terdapat pada kata RADAR. Pada kata RADAR terdapat 5 huruf dengan 2 huruf R dan 2 huruf A. Jadi, banyaknya permutasi : c. Permutasi Berulang Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang) adalah sebagai berikut. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 2 angka yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3 dan boleh berulang. Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 30

Banyak bilangan yang terjadi : d. Permutasi Siklis Permutasi siklis dari n unsur yang berbeda memperhitungkan tempat kedudukan unsur di lingkaran terhadap unsur lainnya sebab n unsur tersebut ditempatkan secara melingkar. Banyak permutasi siklis dari n unsur dapat dirumuskan sebagai berikut Lima orang duduk dengan posisi mengelilingi meja. Berapa macam urutan duduk yang terjadi? cara 3. Kombinasi Kombinasi adalah susunan beberapa elemen yang urutannya tidak diperhatikan. Banyaknya kombinasi dari n elemen berlainan yang diambil k elemen adalah. Dirumuskan : Misal terdapat n unsur yang terdiri dari. Unsur ada sebanyak, unsur ada sebanyak, unsur ada sebanyak,, unsur ada sebanyak, sehingga. Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari unsur, unsur, unsur, unsur dengan. Banyak cara pengambilan adalah 1. Berapa banyak cara memilih 4 anggota dari 9 anggota suatu himpunan, jika : a. Tanpa syarat apapun b. Salah seorang harus selalu terpilih 2. Seorang petani membeli 4 ekor sapi, 3 ekor kuda, dan 2 ekor kambing dari seseorang yang memiliki 6 ekor sapi, 7 ekor kuda, dan 10 ekor kambing. Dengan berapa cara petani itu dapat memilih hewan-hewan tersebut? 1. a. Dari 9 orang akan dipilih 4 orang. Banyak cara pemilihan 4 orang dari 9 orang adalah b. dari 9 orang akan dipilih 4 orang, tetapi seorang harus selalu terpilih, hanya akan dipilih 3 orang lagi dari 8 orang, sehingga banyak cara pemilihan adalah : Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 31 cara

cara 2. Petani dapat memilih 4 ekor sapi dari 6 ekor sapi dengan cara Memilih 3 ekor kuda dari 7 ekor kuda dengan cara dan memilih 2 ekor kambing dari 10 ekor kambing dengan cara Sehingga total cara pemilihan tersebut adalah cara. B. PELUANG SUATU KEJADIAN 1. Ruang Sampel, Titik Sampel dan Kejadian Ruang Sampel Ruang sampel adalah semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Suatu percobaan melantunkan sebuah dadu. Maka ruang sampelnya adalah : * + Titik Sampel Titik sampel adalah tiap hasil dalam ruang sampel. Pelantunan 2 mata uang logam bersama-sama, ruang sampelnya adalah : * +, maka titik sampelnya : (AA), (AG), (GA), (GG). Kejadian Kejadian adalah sekelompok titik sampel yang membentuk himpunan bagian dari ruang sampel. Suatu percobaan melantunkan 2 mata uang logam bersama-sama, maka tulislah : a. Kejadian muncul satu angka b. Kejadian muncul dua angka * + a. Misalkan kejadian munculnya 1 angka disebut N, maka munculnya A pada titik sampel * + dan * +. b. Missal kejadian munculnya 2 gambar disebut M, maka mnculnya 2 angka atau AA pada titik sampel * + dan * + 2. Peluang Suatu Kejadian Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 32

Misalkan suatu percobaan mempunyai ruang sampel yang berhingga banyaknya dan setiap titik sampel mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka peluang kejadian A dinyatakan dengan : Dengan P(A) = peluang kejadian A n(a) = banyaknya anggota dalam kejadian A n(s) = banyaknya titik sampel peluang suatu kejadian nilainya berkisar antara 0 dan 1, ditulis. Peluang besar kejadian bernilai 0 untuk suatu kejadian mustahil dan bernilai 1 untuk suatu kejadian yang pasti. 1. Sebuah dadu dilantunkan sekali, berapa peluang munculnya angka genap! 2. Suatu kotak berisi 10 kelereng, 6 berwarna merah, dan 4 berwarna biru. Dari kotak itu diambil 3 kelereng secara acak. Tentukan peluang terambilnya : a. Semuanya kelereng merah, b. 2 kelereng merah dan 1 kelereng biru. 1. * +, maka n(s) = 6 Muncul angka genap : G = {2, 4, 6} maka n(g) = 3 Sehingga 2. Dari 10 kelereng, diambil 3 kelereng. Banyaknya cara pengambilan tersebut adalah : cara, Maka. a. Misal A kejadian terambilnya 3 kelereng merah. Diambil 3 kelereng merah dari 6 kelereng merah, banyaknya cara pengambilan adalah Maka cara Jadi, peluang terambilnya semua kelereng berwarna adalah. b. Misal C kejadian terambilnya 2 kelereng merah dan 1 kelereng putih. Diambil dua kelereng merah dari 6 kelereng merah, maka banyaknya cara pengambilan adalah cara Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 33

Diambil 1 kelereng biru dari 4 kelereng biru, maka banyaknya cara pengambilan adalah cara Jadi, banyak cara pengambilan 2 kelereng merah dan 1 kelereng biru adalah cara, sehingga. Dengan demikian terambilnya 2 kelereng merah dan 1 kelereng biru adalah 3. Frekuensi Harapan Frekuensi harapan adalah hasil kali peluang dengan frekuensi atau banyaknya percobaan. Frekuensi harapan dinotasikan dengan, pada percobaan yang dilakukan n kali adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan. C. KEJADIAN MAJEMUK Beberapa kejadian dapat dikombinasikan untuk menghasilkan suatu kejadian baru, kejadian baru ini disebut kejadian majemuk. Dua notasi yang biasa digunakan untuk mengkombinasikan beberapa kejadian adalah notasi dan. Missal kejadian A dan kejadian B, maka : a. adalah kejadian A dan B b. adalah kejadian A atau kejadian B 1. Kejadian Saling Lepas Bila dua kejadian tidak dapat terjadi secara bersamaan maka dua buah kejadian itu dikatakan saling lepas (mutually exclusive) atau saling asing (disjoint). Dua kejadian A dan B saling lepas jika A dan B tidak memiliki titik sampel yang sama. Peluang kejadian A dan B pada percobaan yang sama dirumuskan sebagai berikut : Pada dua kejadian yang saling lepas. Sehingga, peluang dua kejadian A atau B yang saling lepas adalah Sebuah dadu dilempar satu kali, hitunglah peluang munculnya : a. Angka ganjil atau angka prima b. Angka ganjil atau kelipatan 4 * + maka n(s) = 6 a. Misal kejadian muncul angka ganjil adalah A, maka A = {1, 3, 5} sehingga n(a) = 3 Misal kejadian muncul prima adalah B, maka B = {2, 3, 5} sehingga n(a) = 3 Sehingga: * + Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 34

Maka : b. Misal kejadian muncul kelipatan 4 adalah C, maka C = {4} sehingga n(c) = 1 Sehingga : Maka : 2. Kejadian Saling Bebas Dua kejadian dikatakan saling bebas jika kejadian yang satu tidak mempengaruhi kejadian yang lain. Peluang dua kejadian A dan B yang saling bebas adalah Sebuah dadu dilempar dua kali. Berapa peluang munculnya mata dadu 3 pada pelemparan pertama dan mata dadu 5 pada pelemparan kedua? n(s) = 6 Misalkan A = kejadian munculnya mata dadu 3 pada pelemparan pertama, maka Misalkan B = kejadian munculnya mata dadu 5 pada pelemparan kedua, maka Karena kejadian munculnya mata dadu 3 pada pelemparan pertama dan munculnya mata dadu 5 pada pelemparan kedua tidak saling mempengaruhi kejadian satu dengan lainnya, maka kejadian itu saling bebas. Jadi, peluang A dan B adalah. Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 35

SOAL LATIHAN 1. Seorang peserta ujian dapat mengerjakan 5 butir soal dari 10 butir soal disediakan dan soal nomor 5 harus dipilih untuk dikerjakan, maka banyaknya kemungkinan rangkaian nomor soal yang dapat dikerjakan peserta ujian sebanyak... a. 126 b. 210 c. 252 d. 3.024 e. 15.120 2. Dari 10 orang finalis akan dipilih 3 orang, masing-masing untuk menduduki juara I, juara II dan juara III. Banyak susunan berbeda yang mungkin dari urutan juara tersebut adalah... a. 5.040 b. 720 c. 120 d. 30 e. 3 3. Terdapat ikan bandeng, ikan nila, ikan lele, dan ikan teri masing-masing telah dikemas dalam sekantong plastik yang akan disusun berjajar pada pameran produk perikanan. Banyaknya susunan yang dapat dibuat dari keempat jenis ikan tersebut adalah. a. 4 b. 8 c. 12 d. 16 e. 24 4. Banyaknya kemungkinan susunan huruf yang terdiri dari 4 huruf yang dapat dibentuk dari kata R A P I adalah a. 4 cara b. 8 cara c. 16 cara d. 24 cara e. 32 cara 5. Dalam suatu ruang tunggu tersedia 3 kursi. Jika dalam ruang tersebut ada 7 orang, maka banyaknya cara mereka duduk berdampingan adalah f. 21 cara g. 35 cara h. 120 cara i. 210 cara j. 720 cara Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 36

6. 8 orang siswa calon pengurus OSIS akan dipilih 3 orang untuk 3 jabatan yang berbeda, banyaknya cara untuk memilih adalah... a. 28 b. 56 c. 336 d. 448 e. 20160 7. Terdapat buah mangga, jeruk, apel, dan salak masing-masing satu buah akan disusun berjajar. Banyak susunan yang akan dibentuk dari buah buahan tersebut adalah.. a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 24 8. Dari angka angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Akan disusun bilangan bilangan yang terdiri atas dua angka yang berbeda. Banyak susunan bilangan yang terjadi adalah.. a. 36 b. 72 c. 336 d. 504 e. 720 9. Dari 8 orang siswa yang terdiri dari 5 orang putra dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang berangotakan 5 orang. Jika tim tersebut terdiri dari 3 orang putra dan 2 orang putri, maka banyak tim yang dapat dibentuk adalah... a. 16 b. 21 c. 30 d. 60 e. 90 10. Jika 10 orang saling berjabat tangan, banyaknya cara jabat tangan tersebut ada... cara a. 10 b. 20 c. 40 d. 45 e. 50 11. Rapat dihadiri oleh sepuluh orang akan dipilih tiga orang untuk berbicara. Banyak cara untuk memilih tiga orang tesebut adalah.. a. 720 cara Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 37

b. 540 cara c. 120 cara d. 90 cara e. 72 cara 12. Jika suatu pasangan pengantin baru merencanakan ingin mempunyai 3 anak, maka peluang untuk mendapatkan 2 anak laki-laki dan 1 anak perempuan adalah k. l. m. n. o. 13. Dalam sebuah kotak terdapat 4 kelereng warna merah dan 8 kelereng warna kuning. Bila dilakukan pengambilan 5 kelereng sekaligus, maka peluang terambilnya 2 merah dan 3 kuning adalah.. a. b. c. d. e. 14. Peluang seorang anak balita terserang campak 0,06. Diantara 1.200 anak balita, yang diperkirakan terkena campak adalah... a. 126 b. 82 c. 72 d. 18 e. 15 15. Banyaknya susunan yang berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata BILANGAN adalah... a. 10.060 b. 10.070 c. 10.080 d. 10.090 e. 10.100 Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 38

16. Dua buah dadu dilempar bersama-sama sebanyak 720 kali. Frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah lebih dari 10 adalah a. 60 b. 120 c. 180 d. 200 e. 240 17. Pada pelemparan dua buah dadu sebanyak satu kali, peluang munculnya mata dadu berjumlah 2 atau 8 adalah a. 5/9 b. 5/36 c. 2/9 d. 1/9 e. 1/6 18. Dua buah dadu dilempar undi bersamaan sebanyak satu kali. Peluang kedua mata dadu yang muncul tidak ada yang sama adalah. a. b. c. d. e. Created By Nur Zakyah Muin,S.Pd Page 39