BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn briske briske briske briske i briske m Kolom ke- ke- ke- ke- j ke- n Dt dt ng d dlm kehidupn sehri-hri bis jug disjikn dlm mtriks, misln dt hrg tiket sutu pertunjukn ikn lumb-lumb, sebgi berikut VIP EKONOMI DEWS Rp, Rp, NK-NK Rp, Rp, Dri dftr di ts, dengn menghilngkn kepl ljur tu kolom dn kepl brisn, kemudin susunn bilngn-bilngn tersebut kit beri kurung bis ( ) tu kurung siku [ ], terbentuklh tu ng disebut dengn mtriks
Notsi Mtriks Mtriks diberi nm dengn huruf besr tu huruf kpitl dn dihubungkn dengn tnd sm dengn dlm penulisnn Semu bilngn ng terdpt dlm bris mupun kolom dri sutu mtriks disebut dengn elemen mtriks tu unsur mtriks Elemen-elemen pd sutu mtriks dintkn dengn huruf kecil Dikethui Mtriks Dri mtriks tersebut dpt dintkn hl-hl sebgi berikut: Mtriks mempuni bris dn kolom b Elemen-elemen pd bris pertm dlh -, dn c Elemen-elemen pd kolom pertm dlh -,,, d Elemen-elemen pd kolom ketig dlh,, - dn e Elemen pd bris ketig kolom kedu dlh f Elemen pd bris keempt kolom kedu dlh - g Delpn terletk pd bris ketig kolom kedu Ordo Mtriks Ordo dri sutu mtriks dlh ukurn bnkn bris dn bnkn kolom dri sutu mtriks Bnkn bris dri mtriks dlh, dn bnkn kolom dri mtriks dlh, mk mtriks mempuni ordo X Ordo mtriks bisn dituliskn di sudut knn bwh dri sutu mtriks B JENIS-JENIS MTRIKS Jenis-jenis mtriks dibedkn menjdi : Mtriks Nol Mtriks Nol dlh mtriks ng semu elemenn nol
,,, Mtriks Bris Mtriks Bris dlh mtriks ng hn terdiri dri stu bris, Mtriks Kolom Mtriks Kolom dlh mtriks ng hn terdiri dri stu kolom tu stu ljur,, Mtriks Persegi Mtriks Persegi dlh mtriks ng bnkn bris sm dengn bnkn kolom,, Mtriks Segitig ts Mtriks segitig ts dlh sutu mtriks persegi ng elemen-elemen di bwh digonl utmn semu nol,, Mtriks Segitig Bwh Mtriks Segitig Bwh dlh sutu mtriks ng elemen-elemen di ts digonl utmn semu nol
, Mtriks Digonl Mtriks digonl dlh mtriks persegi ng semu elemenelemenn nol, keculi elemen-elemen pd digonl utmn tidk semun nol,, Mtriks Identits/ Mtriks Stun Mtriks Identits tu mtriks stun dlh mtriks persegi ng semu elemen-elemen pd digonl utmn dlh stu ( ) dn elemen-elemen ng linn dlh nol,, Sol-sol Ltihn Dikethui mttriks Tentukn bnkn bris dn kolom mtriks b Tentukn Ordo dri mtriks c Sebutkn elemen-elemen pd bris keempt d Sebutkn elemen-elemen pd kolom ketig e Sebutkn letk elemen-elemen, -, - dn -
Sebutkn elemen-elemen pd bris pertm kolom pertm dri mtriks- mtriks berikut ini : b C OPERSI PD MTRIKS Kesmn Mtriks Du buh mtriks diktkn sm pbil kedun mempuni ordo ng sm dn elemen-elemen ng seletk pd kedu mtriks tersebut jug sm Dikethui mtriks, B Mk mtriks sm dengn mtriks B kren ordo kedu mtriks sm dn elemen-elemen ng seletk sm b Dikethui b dn B d c Tentukn nili, b, c dn d jik mtriks mtriks B Jwb : c B mk b d Elemen-elemen ng seletk hrus sm, jdi c c d b - Jdi, b -, c, d Trnspose dri Sutu Mtriks Trnspose dri sutu mtriks dlh mtriks bru ng diperoleh dengn menukrkn setip bris dengn setip kolom tu seblikn ( menukrkn setip kolom dengn setip bris ) Lmbng dri mtriks trnspose dlh t tu T
Jik ( ij ) mk t ( ji ), dn jik ordo mtriks m n, mk t n m Dikethui, tentukn t! Jwb : t Sift-sift mtriks trnspose : ( + B ) t t + B t b ( t ) t c k( t ) ( k t ), dengn k sutu sclr d ( B ) t B t t Penjumlhn Mtriks Srt du buh mtriks dpt dijumlhkn dlh pbil kedu mtriks mempuni ordo ng sm Penjumlhn mtriks dilkukn dengn menjumlhkn elemen-elemen ng seletk Dikethui, B, C Tentukn : + B b t + B c B + C Jwb : + B +
b, mk t t + B + c B + C + ) ( ) ( ) ( ) ( Pengurngn Mtriks Srt du buh mtriks dpt dikurngkn dlh pbil kedu mtriks mempuni ordo ng sm Pengurngn mtriks dilkukn dengn mengurngkn elemen-elemen ng seletk Dikethui, B, C Tentukn : - B b t - B c B C Jwb : B -
b t - B - c B C - Perklin Mtriks dengn sklr Untuk menentukn hsil kli ntr sklr ( bilngn rel ) dengn sutu mtriks, dlh dengn menglikn sklr itu dengn setip elemen-elemen pd mtriks tersebut Jik d c b dn k dlh sutu sclr, mk k k d c b kd kc kb k ) ( Perklin Mtriks dengn Mtriks Du buh mtriks dpt diklikn jik bnkn kolom mtriks pertm sm dengn bnkn bris mtriks kedu Perklin dilkukn dengn menglikn elemen-elemen pd setip bris mtriks pertm dengn elemen-elemen setip kolom mtriks kedu dn menjumlhkn nilin
Hsil kli mtriksn mempuni ordo bnkn bris mtriks mtriks pertm bnkn kolom mtriks kedu, B Ordo mtriks dlh, sedng ordo mtriks B dlh Kedu mtriks dpt diklikn kren bnkn kolom mtriks sm dengn bnkn bris mtriks B Hsil klin dlh mtriks berordo B Sift-sift perklin mtriks Jik, B dn C dlh mtriks-mtriks ng memenuhi srt-srt perklin mtriks, mk : ( B + C ) B + C dn ( B + C ) B + C,memenuhi hukum distributif b ( B C ) ( B ) C, memenuhi hokum sositif c Bisn B B, jdi tidk memenuhi hokum komuttif D DETERMINN DN INVERS MTRIKS Determinn Mtriks Ordo Jik, mk determinn dri mtriks didefinisikn dengn det Dri definisi di ts nmpklh bhw determinn sutu mtriks dlh hsil kli unsur-unsur pd digonl utm dikurngi dengn hsil kli unsure digonl kedu
Hitinglh determinn dri mtriks Jwb : Determinn mtriks det - Determinn Mtriks Ordo ( Ordo ) Perhtikn mtriks persegi ordo di bwh ini Determinn dri mtriks dlh det d beberp cr untuk menghitung hrg determinn mtriks berordo, tetpi ng pling dikenl dlh dengn tutn Srrus, dengn lngkh-lngkh sebgi berikut : Letkkn kolom pertm dn kedu di sebelh knn gris verticl dri determinn b Jumlhkn hsil kli unsure-unsur ng terletk pd digonl dengn hsil kli unsure-unsur ng sejjr digonl utm pd rh knn, kemudin dikurngi dengn hsil kli unsure-unsur ng terletk sejjr dengn digonl smping Perhtikn skem berikut :! + + - Crilh hrg determinn dri mtriks berikut ini dengn turn Srrus
Jwb : + + -- ++--- - djoin Sutu Mtriks Sebelum kit membhs djoin sutu mtriks, kit kn membhs terlebih dhulu minor dn kofktor dri sutu mtriks Definisi : Minor dri elemen ij sutu mtriks dlh M ij dn kofktor dri elemen ij ij dlh ( - ) i +j M ij Dikethui mtriks Minor dri elemen Kofktor dri elemen ( - ) + Jdi minor dri elemen sutu mtriks dlh hrg determinn dri elemen-elemen mtriks dengn menghilngkn bris dn kolom ng memut elemen tersebut Definisi : Mtriks ( ij ), dn jik kofktor dri elemen ij kit sebut ij, mk trnspose dri mtriks ( ij ) disebut djoin dri mtriks
Jdi jik, mk djoin Crilh djoin dri mtriks berikut! Jwb : Kit cri kofktor dri elemen-elemenn ( - ) + - ( - ) + ( - ) ( ) - ( - ) + ( - ) ( ) ( - ) + ( - ) ( - ) - ( - ) + ( - ) ( - ) ( - ) +
( - ) ( - ) - ( - ) + ( - ) ( ) ( - ) + ( - ) ( ) ( - ) + ( - ) ( ) - Jdi djoin Mtriks Invers Definisi : Du buh mtriks dn B diktkn sling invers pbil hsil kli kedu mtriks tersebut dlh mtriks Identits tu dengn kt lin jik dn B dlh mtriks persegi berordo sm sedemikin sehingg berlku B B I, mk B dlh invers dri dn dlh invers dri B Mtriks dn B Mtriks dn B dlh sling invers, sebb B I
Jug B I Jik dlh sutu mtriks persegi, mk - dj det, dengn srt det Crilh invers dri mtriks b Crilh invers dri mtriks B Jwb :, -, -, dj det - - dj det
bb dj B det B + + -- - Jdi B - dj det B B Keterngn : Mtriks ng mempuni invers dlh mtriks ng hrg determinnn, ng disebut mtriks non singulr, sedngkn mtriks ng hrg determinnn dlh nol disebut mtriks singulr Pd Invers mtriks berlku sift : ( - ) - ( B ) - B - - E PLIKSI MTRIKS Slh stu pliksi mtriks dlh menelesikn sstem persmn liner dengn du vribel Untuk hl tersebut perlu lngkh-lngkh sebgi berikut : Tulislh persmn dlm bentuk mtriks Ubhlh bentuk mtriks tersebut ke dlm bentuk perklin mtriks koefisien, dengn mtriks vribeln Klikn kedu rus mtriks dengn invers mtriks koefisienn dri rh sebelh kiri
Tentukn nili dn ng memenuhi sitem persmn Jwb : Invers dri mtriks ½ Kedu rus diklikn dengn invers mtriks dri kiri, diperoleh : ½ ½ ½ ½ Jdi nili dn SOL-SOL LTIHN Dri mtriks-mtriks berikut ini, tentuknlh mtriks ng sm! B C
D E F G Tentukn nili dn dri mtriks-mtriks berikut ini b c Tentukn nili, b, c, d dri mtriks berikut d c b - b - d c b Tentukn nili dn dri mtriks berikut dn B, jik B t b dn B, jik t B Tentukn mtriks X ng memenuhi kesmn mtriks berikut ini X - b X - c + X
Tentukn trnspose mtriks berikut ini b B c C d D Tentukn hsil penjumlhn mtriks berikut + b + Dikethui mtriks, B Tentukn nili dri : + B b - B c B t db e B f t B Tentukn determinn mtriks berikut ini dengn cr Srrus b B c C Dengn menggunkn mtriks tentukn HP dri sstem persmn berikut ini :
b