DIKTT LJBR LINIER Oleh: nit T. Kurniwti, MSi JURUSN TEKNIK INFORMTIK INSTITUT TEKNOLOGI DHI TM SURBY (ITTS)
KT PENGNTR Diktt ini erisi sistem persmn linier (SPL), Determinn, invers, mtriks, vektor, rung vektor, nili eigen dn vektor eigen sert trnsformsi linier. Mteri ini segi dsr dri mt kulih semester ts seperti Grfik komputer dn pengolhn sistem digitl khusus untuk mhsisw jurusn Teknik Informtik. Diktt ini diut gr mempermudh mhsisw untuk mempeljri mt kulih ljr Linier dengn mteri yng disesuikn dengn kurikulum di jurusn Teknik Informtik ITTS. Supy dpt memhmi isi yng terkndung dlm diktt ini dihrpkn mhsisw hrus mengusi teoriny dulu. Penulis menydri hw isi dri diktt ini tidk luput dri ergi kekurngn, kren itu kritik dn srn yng memngun dri pemc sngt dihrpkn untuk penyempurnn pd peneritn yng kn dtng. Kepd sip sj yng telh memntu sehingg memungkinkn teritny diktt ini, penulis mengucpkn nyk terim ksih. Semog diktt ini ermnft gi pemki. Penulis
DFTR ISI BB. SISTEM PERSMN LINIER BB. DETERMINN 8 BB. VEKTOR BB. RUNG VEKTOR BB. NILI EIGEN DN VEKTOR EIGEN 9 BB. TRNSFORMSI LINIER 8
B I Sistem Persmn Linier BB I Sistem Persmn Linier Kjin sistem persmn linier dn penyelesinny dlh merupkn slh stu hl yng penting dlm penerpn ilmu teknik. Pd gin ini kn diperkenlkn eerp terminologi dsr dn sutu metode untuk menyelesikn sistem-sistem terseut... DEFINISI SISTEM PERSMN LINIER Persmn Linier Mislkn seuh gris dlm seuh idng y ditulis secr ljr seperti diwh ini : + y = c mk persmn dits diseut persmn linier dlm peuh dn y. Dengn demikin persmn linier secr umum dpt ditulis seperti : + +...+ n n = Contoh persmn linier + y = 7 + - 8 = y = + z + + +...+ n = Persmn linier tidk memut hsil kli, kr, tu fungsi-fungsi trigonometri, logritm mupun eksponensil nit T. Kurniwti
B I Sistem Persmn Linier Contoh yng ukn persmn linier + y = + y y = 9 y sin = + y = Penyelesin dri seuh persmn linier dlh sederet n ngk s,s, s n sedemikin sehingg ngk terseut memenuhi persmn linier terseut. Contoh Cri himpunn penyelesin dri. -y = Penyelesin: Tentukn nili serng tu serng y. misl dimil serng nili =t mk t - y =. Dri persmn terseut didpt y = t. Jdi himpunn penyelesinny = t dn y = t. Dengn memeri nili t serng nili, misl t =, mk = dn y =. -y + z = 8 penyelesin: tentukn nili serng dri du vrile/peuh, misl s untuk y dn u untuk z mk kn didptkn himpunnn penyelesin : = s u +8, y = s dn z = u. Sistem Persmn Linier Sistem persmn linier dlh himpunn terhingg dri persmn linier dlm peuhpeuh,,.., n. Sedngkn deretn s, s, s n diseut sutu penyelesin sistem jik = s, = s,.., n = s n merupkn penyelesin dri setip persmn dlm sistem terseut. Contoh y + z = - + y + 9z = - Sistem dits mempunyi penyelesin =, y =, z = -. Dimn pil nili-ili terseut disustitusikn kedlm kedu persmn, mk kn terpenuhi. Setip sistem persmn linier mungkin tidk mempunyi penyelesin, mempunyi stu penyelesin, tu mempunyi tk-hingg nykny penyelesin. Seuh sistem persmn yng tidk mempunyi penyelesin diseut segi tk-konsisten, jik pling tidk d stu penyelesin, mk sistem terseut diseut konsisten. nit T. Kurniwti
B I Sistem Persmn Linier Secr ilustrsi, kren persmn linier grfikny erentuk gris, mk penyelesin sutu sistem persmn linier dpt diliht dri perpdun gris gris ny.. Sistem persmn linier yng tidk mempunyi penyelesin, mk gris-grisny kn sling sejjr.. Sistem persmn linier yng mempunyi stu penyelesin, mk grisny kn sling memotong pd stu titik. c. Sistem persmn linier yng mempunyi nyk penyelesin, mk grisny kn sling erimpitn. Y y y. Tidk mempunyi penyelesin. Stu penyelesin c. Bnyk penyelesin Seuh sistem persmn linier dengn m persmn linier dn n peuh dpt ditulis segi : + +...+ n n = + +...+ n n = : : : m + m +...+ mn n = m sert disingkt dengn hny menuliskn susunn ngk dlm entuk segiempt yng diseut mtriks yng dipernyk. m m n n mn m Mtriks dipernyk terseut mempunyi elemen-elemen yng terdiri dri koefisien peuh dn nili hsil persmn. nit T. Kurniwti
B I Sistem Persmn Linier Contoh : + + = - + = 9 + - = Sistem persmn linier dits dpt ditulis segi 9.. PENYELESIN SISTEM PERSMN LINIER Metode dsr untuk menyelesikn sutu sistem persmn linier dlh dengn menggnti sistem yng d dengn sutu sistem yng ru yng mempunyi penyelesin yng leih mudh. Untuk mendptkn sistem yng ru dpt dilkukn dengn menerpkn opersi ris elementer. Opersi ris elementer meliputi tig lngkh, yitu. Klikn seuh ris dengn seuh konstnt ( dinotsikn cb i dimn c = konstnt ).. Pertukrkn du ris ( dinotsikn B i B j tu B ij ). c. Tmhkn perklin dri sutu ris ke ris linny ( dinotsikn B i +cb j ). Dengn opersi ris elementer dits, mtriks yng sudh dientuk is direduksi menjdi seuh mtriks yng erentuk ris-eselon. Bentuk ris-eselon terseut mempunyi sift-sift yng hrus dipenuhi, yitu :. Jik ris tidk seluruhny nol, mk ngk tk nol pertm dlm ris terseut dlh seuh ngk. ( tu utm ). Jik d serng ris yng seluruhny nol, mk ris dikelompokkn ersm digin wh mtriks c. Jik serng du mtriks yng erurutn yng tidk seluruhny terdiri dri ngk nol, utm dlm ris yng leih wh terletk diseelh knn utm dlm ris yng ditsny d. Msing-msing kolom yng erisi seuh utm mempunyi nol ditempt linny. Sutu mtriks yng memenuhi keempt sift dits dinmkn entuk ris-eselon tereduksi, sedngkn pilh hny memenuhi sift, dn c dinmkn entuk riseselon. nit T. Kurniwti
B I Sistem Persmn Linier Contoh: Mtriks dlm entuk ris-eselon tereduksi 7 Mtriks dlm entuk ris-eselon 7 Prosedur untuk mereduksi sutu mtriks yng dipernyk menjdi entuk ris-eselon dinmkn eliminsi gussin, sedngkn jik mtriksny menjdi entuk ris-eselon tereduksi dinmkn eliminsi guss-jordn. Eliminsi Guss-jordn Prosedur eliminsi guss-jourdn dlh seuh prosedur untuk mereduksi mtriks yng dipernyk menjdi entuk ris-eselon tereduksi. Contoh Selesikn sistem persmn erikut ini dengn eliminsi guss-jordn - + 7 = + - + + = 8 + - + - = - Penyelesin Mtriks yng dipernyk dri sistem dits: 7 8 dengn menggunkn opersi ris elementer, mtriks ini direduksi menjdi mtriks ris eselon tereduksi. 7 8 B B 8 7 B nit T. Kurniwti
B I Sistem Persmn Linier 7 B B 7 7 9 B 7 7 9 B B 7 B 7 B+ 7 B B B B+B 7 Mtriks terkhir erentuk mtriks ris eselon tereduksi. Dengn demikin persmn yng sepdn dlh + + = 7 = 7- - = = mislkn = s dn = t mk = 7- s t Jdi himpunn penyelesin umumny = 7- s t, = s, =, = t, = Eliminsi Gussin Prosedur eliminsi gussin dlh seuh prosedur untuk mereduksi mtriks yng dipernyk menjdi entuk ris-eselon. Sistem persmn yng sudh dlm entuk ris-eselon terseut, is diselesikn dengn teknik yng diseut susitusi-lik. Contoh: Selesikn sistem persmn erikut dengn menggunkn eliminsi gussin + y +z = 9 + y - z = + y -z = nit T. Kurniwti
B I Sistem Persmn Linier Penyelesin Mtriks yng dipernyk dri sistem dits dlh 9 Dengn opersi ris elementer, mtriks terseut diuh menjdi entuk ris-eselon. 7 9 9 7 B B B B 7 B 7 9 7 7 9 7 B 7 (entuk ris eselon) 9 7 7 B B Setelh mtriks sudh dlm entuk ris eselon mk dilkukn sustitusi terlik + y + z = 9 = 9 y z = y 7 z = 7 z = y = 7 z 7 y = Jdi himpunn penyelesin : =, y =, z =.. SISTEM PERSMN LINIER HOMOGEN Sistem persmn linier yng mempunyi semu konstntny nol diseut sistem homogen. Sistem persmn linier homogen mempunyi sift konsisten, kren semu sistem seperti ini mempunyi penyelesin =, =,... n =. Jik sistem hny mempunyi penyelesin seperti dits, mk penyelesinny diseut penyelesin trivil. Selikny jik d penyelesin linny, mk penyelesinny dinmkn penyelesin tk-trivil. Contoh : Teorem + y = + y = Seuh sistem persmn linier homogen yng mempunyi peuh leih nyk dri jumlh persmn mempunyi tk hingg nykny penyelesin nit T. Kurniwti 7
B I Sistem Persmn Linier Contoh Selesikn SPL homogen erikut ini: Penyelesin + - + = - - + - + = + - - = + + = Mtriks yng dipernyk untuk sistem dits Dengn mereduksi mtriks menjdi mtriks ris eselon tereduksi, didptkn: Sistem yng sepdn dlh + + = + = = sehingg didptkn = - - ; = - ; = Jdi penyelesin umumny: = -s t, = s, = -t, =, = t. SOL-SOL LTIHN. Cri himpunn penyelesin dri msing-msing persmn linier erikut ini :. 7 y =. -y + z = 7 c. -8 + - + = nit T. Kurniwti 8
B I Sistem Persmn Linier nit T. Kurniwti 9. Selesikn Sistem Persmn Liner (SPL) erikut dengn menggunkn metode eliminsi guss- Jordn : ). 7 z y z y z y ; ). z y z y z y c). 9 z y z y z y. Selesikn SPL erikut dengn menggunkn metode eliminsi Gussin dn sustitusi terlik : ). z y z y z y ). 7 z z y y c). 8 8 9 z y z y. Selesikn msing-msing sistem erikut dengn metode eliminsi guss-jordn dn eliminsi gussin + + = 8 + + =. - - + =. - + + = - 7 + = 8 + + = -. Selesikn msing-msing sistem dengn menggunkn eliminsi guss-jordn. - + =. + + - = - + + = + +7 + = - - - =. Selesikn sistem persmn linier homogen menggunkn eliminsi guss-jordn. + + - =. + + = - + - = + + = - - - = - + + = - - + =.. MTRIKS, JENIS-JENIS MTRIKS DN OPERSI MTRIKS Definisi Mtriks Mtriks dlh susunn erentuk persegipnjng dri elemen-elemen ilngn yng ditur erdsr ris dn kolom. Bilngn-ilngn dlm susunn itu diseut nggot dlm mtriks terseut.
B I Sistem Persmn Linier mn... m... m............ n n... mn dlh mtriks erukurn / erdimensi mn. Ukurn seuh mtriks dierikn oleh jumlh ris dn kolom yng dikndungny. m dlh nyk ris dri mtriks, n dlh kolom dri mtriks. Sehingg mtriks dits dpt ditulis segi : mn ij mn. nggot pd ris ke-i dn kolom ke-j dri seuh mtriks pd umumny jug dpt dinytkn segi ( ) tu ij. ij Contoh: (mtriks ris, vektor ris). n. Jenis-jenis Mtriks B n (mtriks kolom, vektor kolom).. Mtriks Digonl B. Mtriks digonl dlh mtriks ujur sngkr dengn untuk i j. ij. Mtriks Sklr Mtriks sklr dlh mtriks digonl dengn... nn k. Contoh:.. Mtriks Stun (Mtriks identits) Mtriks identits dlh mtriks digonl dengn elemen digonl utm sm dengn stu. nit T. Kurniwti
B I Sistem Persmn Linier Contoh: I. Mtriks Segitig Mtriks segitig ts dlh mtriks ujur sngkr dengn untuk i j. Mtriks segitig wh dlh mtriks ujur sngkr dengn untuk i < j. ij ij B Mtriks segitig ts Mtriks segitig wh Opersi-opersi Mtriks. Du Mtriks Sm Du mtriks diktkn sm jik keduny mempunyi ukurn sm dn elemenelemen nggotny yng seletk sm. Dlm notsi mtriks, jik =[ ] dn ij B=[ ij ] mempuny ukurn sm mk =B jik dn hny jik = ij ij. Contoh:, B B.. Jumlh / Selisih Du Mtriks Jik dn B dlh mtriks-mtriks yng mempunyi ukurn sm, mk jumlh +B dlh mtriks yng diperoleh dengn menmhkn nggot-nggot B dengn nggot-nggot yng sepdn, dn selisih -B dlh mtriks yng diperoleh dengn mengurngkn nggot-nggot dengn nggot-nggot B yng sepdn. Mtriks-mtriks yng erukurn ered tidk is ditmhkn tu dikurngkn.. m n Bm n Cm n. Contoh: 7 nit T. Kurniwti
B I Sistem Persmn Linier. m n Bm n Dm n. Contoh:. Hsil kli Mtriks dengn Sklr Jik dlh serng mtriks dn k dlh serng sklr, mk hsil kli k dlh mtriks yng diperoleh dengn menglikn setip nggot dengn k. Contoh:. Hsil kli Du Mtriks Jik dlh seuh mtriks m p dn B dlh mtriks p n, mk hsil kli B dlh mtriks erukurn m n yng nggot-nggotny didefinisikn segi erikiut: Untuk mencri nggot dlm ris ke-i dn kolom ke-j dri B, pilih ris ke-i dri mtrik dn kolom ke-j dri mtriks B. Klikn nggot-nggot yng sepdn dri ris dn kolom secr ersm-sm dn jumlhkn hsilny. Syrt untuk is menggndkn du mtriks dlh jumlh kolom mtriks pertm hrus sm dengn jumlh ris mtriks kedu. m p. B p n C m n Contoh: ()() ( )() ()() ( )() ()() ()() ()() ( )( ) ()() 7 ( )() ()( ) ()() 7 Pd umumny:. Trnspose Mtriks B B. T (mtriks trnspose dri mtriks ) : ris-ris dri mtriks dijdikn kolom-kolom dn kolom-kolom dijdikn ris-ris. m n T ij n m ji m n n m. nit T. Kurniwti
B I Sistem Persmn Linier Sift-sift trnspose :. (() T ) T =. ( B) T = T B T c. (k) T = k T, dengn k dlh serng sklr d. (B) T = B T T Contoh: Sift-sift opersi mtriks T. Dengn sumsi hw ukurn-ukurn mtriks diwh ini dlh sedemikin sehingg opersi-opersi mtrik dpt dilkukn, mk turn-turn yng erlku pd opersi mtriks dlh segi erikut:. + B = B +. + (B + C) = ( + B) + C c. (BC) = (B)C d. (B + C) = B + C e. (B + C) = B + C f. (B - C) = B - C g. (B - C) = B C h. (B C) = B C i. ( )C = C C j. (C) = ()C k. (BC) = (B)C = B(C) Invers Mtriks Jik dlh seuh mtriks ujur sngkr, dn jik mtriks yng erukurn sm is didptknr ( n n, B n n ) sedemikin hingg mk. B I n n n n n B n n ;. I. n n Mk diseut is dilik dn B diseut invers dri Syrt sutu mtriks n n mempunyi invers jik. n n nit T. Kurniwti
B I Sistem Persmn Linier nit T. Kurniwti Sift-sift invers :. JIk B dn C keduny dlh invers mtriks, mk B = C.. Jik dn B dlh mtriks-mtriks yng dpt dilik dn erukurn sm, mk i. B dpt dilik ii. (B) - = B - - d eerp cr untuk mendptkn invers dri sutu mtriks:. I.. Contoh: Dptkn dri. ()() ()() mempunyi invers. Misl: I d c.. d c d c d c, c c c, d d d Jdi:.. Opersi Bris Elementer (OBE) Sutu mtriks n n diseut mtriks dsr(elementer) jik mtriks ini is diperoleh dri mtriks identits n n, m I dengn melkukn sutu opersi ris elementer.
B I Sistem Persmn Linier nit T. Kurniwti Jik opersi ris elementer diterpkn pd sutu mtriks identits I untuk menghsilkn sutu mtriks dsr E, mk d opersi ris elemnter kedu yng jik diterpkn pd E, menghsilkn I lgi. Mislny, jik E diperoleh dengn menglikn ris ke-i dengn konstnt tk-nol c, mk I is didptkn kemli jik ris ke-i dri E diklikn dengn /c. Untuk mendptkn invers mtriks yng dpt dilik, kit hrus menemukn serngkin opersi ris elementer yng mereduksi menjdi mtriks identits dn kemudin melkukn rngkin opersi yng sm pd I untuk memperoleh. Untuk itu, kit is memposisikn mtriks seperti erikut : ~ ~ I I OBE OBE (OBE : Opersi Bris Elementer) Contoh: Dptkn invers dri 7. Penyelesin: ~ ~ ~ 7 7 B B B B B B B B B B 7 8 ~ 7 B B ; Jdi: 7 8. c. ) ( dj. Contoh: Dptkn dri 7.
B I Sistem Persmn Linier nit T. Kurniwti Penyelesin: (7)() ()() 7. Kofktor () 7 ) ( 7 dj. 7 ) ( dj. Penyelesin Sistem Persmn Linier dengn Invers Mtriks Jik dlh sutu mtriks n n yng mempunyi invers, mk untuk setip mtriks, n, sistem persmn = tept mempunyi stu penyelesin yitu = -. Contoh Selesikn sistem persmn linier erikut dengn invers mtriks + y + z = + y + z = + 8z = 7 Dlm entuk Mtriks, sistem ini is ditulis segi =, dengn 8 z y 7 Dengn metode serng, didptkn invers -, yitu 9, mk penyelesin system terseut dlh 7 9 tu =, y = -, z =.
B I Sistem Persmn Linier nit T. Kurniwti 7 SOL-SOL LTIHN. Dikethui:, Q P ; =, = - ditnykn: ). PQ ). P + Q c). QP d). P Q e). P f). (Q+P). Dikethui:, B ; ditnykn: ). B ). B. Ditnykn -, jik: ). ). c).. Dptkn B - dri: ). 8 B ). B. Dptkn invers dri mtriks erikut:.. c. k k k k. Selesikn sistem erikut dengn menggunkn invers mtriks:. + y =. y = - + y = 9 y = 9 c. + y + z = d. + y + z = + y + z = - + y + z = + y + z = y + z = e. - y z w = f. + y + z = + y + z + w = 7 + y + z = + y + 7z + 9w = + y + 8z = - y - z w =
B II Determinn BB II DETERMINN TUJUN PEMBELJRN Supy mhsisw mempunyi pengethun dsr dn pemhmn tentng konsep-konsep determinn, cr menghitung determinn, pliksi determinn pd geometri OUTCOME PEMBELJRN Mhsisw mempunyi kemmpun untuk melkukn perhitungn determinn, dpt menghunkn segi metode untuk menyelesikn SPL dn mengpliksikn pd idng geometri.. DETERMINN Determinn dlh seuh fungsi yng memetkn / mengitkn peuh mtriks ujursngkr dengn sutu ilngn rel yng diseut determinn tu det() Mislkn d seuh determinn seperti diwh ini : ( Det ) n n n nn Determinn (Det) dits mempunyi n ris dn n kolom. Determinn terseut diseut segi determinn tingkt n.,,,, nn. diseut elemen-elemen determinn. Untuk,,,, nn dlh elemen-elemen digonl pokok. Sedngkn n, ( n ), ( n),, n ini dlh digonl kedu. Sehingg elemen pq dlh elemen yng terletk di ris ke p dn di kolom q. nit T. Kurniwti 8
B II Determinn Contoh. Det. Tingkt Det. Tingkt SIFT-SIFT DETERMINN. Mislkn dlh sutu mtriks ujur sngkr. Jik mempunyi seuh ris tu kolom yng elemenny semuny nol, mk det()= Contoh. det( ). Det()=det( T ) Determinn Trnspose diperoleh dri det() dengn menukr ris menjdi kolom, kolom menjdi ris. det( ) c d det( T ) c. d Contoh.. Jik ris ke i ditukr dengn ris ke-j (kolom i ditukr dengn kolom ke j) diperoleh det. Bru dengn nili.. Jik ris ke i = ris ke j (kolom ke i=kolom ke j) mk nili =. Nili det menjdi k kli jik semu elemen pd seuh ris (kolom) digndkn dengn k. Contoh. nit T. Kurniwti 9
B II Determinn. jik d ris ( kolom) yng sending mk nili =.. Jik semu unsur dri stu ris tu kolom dpt ditulis segi jumlhn ilngn, mk determinn terseut dpt ditulis segi jumlhn du determinn. ( y ) ( ( y ) y ) c c c c c c + y y y c c c Contoh. 7 8 9 8 9 8 8 9 9 7. Jik dn B dlh du determinn yng erorde sm, mk det(b)=det()det(b) D, D, mk: D D =.. PERLUSN KOFKTOR Jik dlh mtriks ujur sngkr, mk minor dri elemen pq dri determinn tingkt n dlh su determinn tingkt (n-) yng diperoleh dengn mencoret ris ke p dn kolom ke q, dieri lmng M. Kofktor dri elemen pq dieri lmng C pq didefinisikn s: pq pq C pq ( ) M pq Jik Jik p q genp C pq M pq p q gsl C pq M pq Contoh. Minor dri elemen dri determinn tingkt dlh M (ris kolom dicoret/dihilngkn) nit T. Kurniwti
B II Determinn NILI DETERMINN Mislkn dlh mtriks ujur sngkr, mk yng dimksud dengn Nili Determinn Mtriks tu det() dlh jumlh hsil elemen-elemen dri seuh ris (kolom) dengn kofktor-kofktor yng ersesuin. (EXPNSI LPLCE) det( ) C C C C n n Contoh.7 (Ekspnsi menurut elemen ris ke-). Hitung determinn = Penyelesin: Det() = - (-) + TURN SRRUS = (-) - (-)(-) + () = - (Hny erlku untuk det.tingkt/orde ) det( ) det( ) ( ) ( ) Contoh.8 Dptkn nili determinn erikut: ). ). 7 c). 8 8 7 8 Penyelesin: ) =(-9-+8)-(--+)=8 nit T. Kurniwti
B II Determinn ) 7, kren. (Sift ) 8 7 c) 8, kren kolom = - kli kolom (Sift ) 8 MENGHITUNG DETERMINN DENGN MEREDUKSI BRIS Metode ini dlh slh stu cr gimn kit is mereduksi determinn mtriks sehingg pd ris tu kolom kn mengndung / mempunyi elemen yng nyk mengndung elemen nol (). Dengn demikin kn memudhkn kit dlm menghitung dengn menggunkn ekspnsi ris tu kolom yng yk nol-ny. Contoh.9 Hitung determinn 9 9 7 9 8 8 Penyelesin 9 9 9 8 7 8 k k k k k 9 k 7 9 8 9 ep B 7 9 7 ep 7 () ( ). 9 9 nit T. Kurniwti
B II Determinn Teorem: Jik dlh sutu mtriks segitig n n (segitig ts, segitig wh tu digonl), mk det() dlh hsil kli nggot-nggot pd digonl utmny; yitu Det() =.. nn Contoh. 7 8 7 7 = ()(-)()(9)() = -9 9 8 Dengn teorem dits, sutu mtriks dengn ukurn n n dpt dijdikn /direduksi menjdi mtriks segitig ts / wh sehingg memudhkn untuk mendptkn nili determinnny... PLIKSI DETERMINN PD GEOMETRI PERSMN GRIS LURUS Mislkn = (, y ) dn = (,y ) dlh titik pd seuh idng, mk persmn gris yng mellui kedu titik terseut +y + c + Kren dn terletk pd gris terseut mk y y c c Jik ketig persmn dits dihimpun menjdi stu, mk kn terentuk sistem persmn linier homogen, yitu y y y c c c Supy sistem persmn linier dits puny solusi nontrivil, mk determinn mtrik koefisien hrus sm dengn. y y y nit T. Kurniwti
B II Determinn Contoh. Dikethui du titik = (-, ) dn = (,) pd seuh idng, tentukn persmn gris yng mellui kedu titik terseut Penyelesin y Sehingg didptk persmn grisny dlh + y - = SOL-SOL LTIHN. Dptkn nili determinn: 7.. c.. Dptkn nili determinn:.. c. 7. Dptkn nili determinn: 7 9. D. D c. D 9 7 8 9 8. Dptkn nili determinn: 9. D. D c. D 7 8 8 7 nit T. Kurniwti
B II Determinn.. DJOINT SUTU MTRIKS Jik dlh mtriks n n dn C dlh kofktor dri ij mk mtriks ij C C C C C C C C C diseut mtriks kofktor dri. Trnspose dri mtriks ini diseut djoint dn dinytkn dengn dj() Contoh Dptkn djoint dri mtriks diwh ini: = Penyelesin: Kofktor dri dlh M ( ) C ( ) M () C ( ) ( ) M () C ( ) ( ) M () C ( ) ( ) M ( ) C ( ) () M () C ( ) ( ) M ( ) C ( ) () M 9 ( ) C ( ) () nit T. Kurniwti
B II Determinn M 8 () C ( ) () Sehingg mtriks kofktorny : Dn djoinny dlh trnspose dri mtriks kofktor terseut, yitu dj()= Dri dj() terseut kit is mendptn invers mtriks dengn menggunkn dj ( ) Jdi.. TURN CRMER Jik = merupkn sutu sistem n persmn linier dlm n peuh sedemikin sehingg (), mk sistem terseut mempunyi sutu penyelesin yng unik. Penyelesi ini dlh det( ), det( ) det( ), det( ) det( ),. det( ) n det( n ) det( ) dengn j dlh mtriks yng diperoleh dengn menggntikn nggot-nggot pd kolom ke-j dri dengn nggot-nggot pd mtriks. n Penyelesin sistem persmn dits dikenl segi TURN CRMER Mislkn : nit T. Kurniwti
B II Determinn nit T. Kurniwti 7 Sutu sistem persmn linier dengn persmn dn vriel diwh ini k z y k z y k z c y c c mk mtriks koefisienny: c c c, k k k Untuk mendptkn nili, y, z ny, ) det( c c c, ) det( c c k k k, ) det( c k c k k, ) det( k c c k k Mk: ) det( ) det( ; ) det( ) det( ; ) det( ) det( z y. Contoh Gunkn turn Crmer untuk menyelesikn + + z = - + y + z = - - y + z = 8 Penyelesin. ) det(, 8 ) det(, 7 8 ) det(
B II Determinn nit T. Kurniwti 8 8 ) det( 8 ) det( ) det( ; 8 7 ) det( ) det( ; ) det( ) det( z y SOL-SOL LTIHN. Dptkn semu minor mupun kofktor dri mtriks diwh ini 7. Dengn menggunkn rumus invers dri penggunn mtriks djoin dptkn - dri:. Selesikn dengn turn Crmer. 7 -y =. + y = c. + = + y = + y + z = = - + y + z = =
B III Vektor dlm R dn R BB III VEKTOR DLM R DN R Dlm gin ini kn dihs mslh vekto-vektor dlm rung erdimensi dn erdimensi, opersi-opersi ritmetik pd vektor jug kn didefinisikn dn eerp sift-sift dsr opersi-opersi terseut... VEKTOR DLM DIMENSI- dn DIMENSI - Pengntr Vektor Sklr dlh seuh esrn yng tidk memiliki rh tu sutu kuntiti yng hny mempunyi esr sj. Sedngkn vektor dlh seuh esrn yng mempunyi rh. Contoh dri esrn vektor dlh keceptn, perceptn, gy. Sedngkn contoh untuk esrn sklr dlh wktu, tempertur, mss, pnjng, ilngn rel. Vektor is ditulis secr geometris segi rus gris yng errh dlm rung dimensi- dn dimensi-. rh pnh menunjukn rh vektor. contoh B isny vektor dismping ditulis v = B v Ekor dri pnh dits diseut pngkl vektor dn ujung pnh diseut titik ujung. Vektor isny dinotsikn dengn huruf kecil tel ( mislny,,k,v,w dn ) nit T. Kurniwti
B III Vektor dlm R dn R Opersi pd vektor Du vektor yng sm / ekuivlen Du vektor diktkn sm jik serh dn sm pnjng. Jumlh du vektor Jik dn dlh du vektor serng, mk jumlh + dlh vektor yng ditentukn segi erikut : Letkn vektor sedemikin sehingg titik pngklny ertutn dengn titik ujung vektor. Vektor + didefinisikn oleh pnh dri titik pngkl ke titik ujung. c. Selisih du vektor Jik dn dlh du vektor serng, mk selisih dri didefinisikn segi - = + (-) - tu - - - Untuk mendptkn selisih - tnp menyusun, posisikn dn sehingg titik-titik pngklny erimpitn; Vektor dri ujung ke titik ujung dlh vektor -. nit T. Kurniwti
B III Vektor dlm R dn R Vektor dlm dimensi- Z i j, k, dlh vektor-vektor stun msing- P(,y,z) msing pd rh sumu X, sumu Y, s. Z r i, j, k. k Vektor posisi r dri O ke P(,y,z) dlh i O j Y r i y j z k dengn pnjng X r y z. Komponen-komponen sutu vektor Z k O i j k P proyeksi pd idng XOY (,, ) O i, O j O k P, j Y OP O O i j i P O OP P i j k X Sift-sift Opersi Vektor Jik u, v, dn w dlh vektor-vektor dlm rung erdimensi- dn rung erdimensi- dn k, l dlh sklr, mk. u + v = v + u. (u + v) + w = u + ( v + w ) c. u + = + u = u d. u + (-u) = e. k(u + v ) = ku + kv f. (k + l )u = ku + lu nit T. Kurniwti
B III Vektor dlm R dn R Contoh Jik = (,-,) dn = (,,) mk + = (,-,), = (,-,), - = (-,-,) SOL-SOL LTIHN. Gmr vektor-vektor erikut dengn titik pngkl diletkkn pd titik sl :. v = (, ). v = (-, -8) c. v = (,, ) d. v = (,, ) e. v = (,, ) f. v = (-, -, -). Mislkn u = (-,, ), v = (,, -8), dn w = (, -, -) cri komponen dri ). v w ). u + v c). v + u d). (v 8w) e). -(v w). Jik u, v,dn w dlh serng vektor-vektor, dptkn,, c sedemikin sehingg u + v + cw = (,, ). Dptkn,,dn c sedemikin sehingg (-, 9, ) + (,, ) + c(,, ) = (,, ).. NORM SUTU VEKTOR dn HSIL KLI TITIK (Dot Product) DEFINISI NORM SUTU VEKTOR Pnjng sutu vektor u tu norm ( u ) didefinisikn u = u + u (norm vektor u = (u,u ) dlm rung erdimensi-) u = u + u + u ( norm vektor u = (u,u, u ) dlm rung erdimensi-) Jik P(,y,z ) dn Q(,y,z ) dlh du titik dlm rung erdimensi-, mk jrk ntr kedu titik terseut dlh norm vektor PQ = + (y y ) + (z z ) Z Q(,y,z ) P(,y,z ) Y X nit T. Kurniwti
B III Vektor dlm R dn R Contoh. Norm Vektor u = (-,,) dlh u = ( ) + + =. Jrk ntr titik P(,-,-) dn Q(,-,) dlh PQ = + ( + ) + ( + ) = = HSIL KLI TITIK (Dot Product) Definisi Hsil Kli Titik Jik u dn v dlh vektor-vektor dlm rung erdimensi- tu erdimensi- dn dlh sudut ntr u dn v, mk hsil kli titik tu hsil kli dlm Eucliden didefinisikn segi uv = u v cos θ jik u dn v jik u = tu v = Rumus komponen untuk hsil kli titik Misl u =(u,u, u ) dn v = (v,v,v ) mk uv = u v + u v + u v Sedngkn untuk mendptkn sudut ntr du vektor : cosθ = u v u v Contoh Mislkn u (,-,) dn v = (,,), dptkn uv dn tentukn sudut ntr u dn v Penyelesin uv = u v + u v + u v = ()() + (-)() + ()() = cosθ = u v u v = = nit T. Kurniwti
B III Vektor dlm R dn R Sift-Sift Hsil Kli Titik Jik u, v, dn w dlh vektor-vektor dlm rung erdimensi tu erdimensi dn k dlh sutu sklr, mk :. u v = v u. u (v + w) = u v + u w c. k(u v) = (ku) v = u (kv) d. v v jik v, dn v v = jik v = PROYEKSI ORTOGONL Vektor-vektor yng tegk lurus diseut jug vektor-vektor ortogonl. Du vektor u dn v ortogonl (tegk lurus) jik dn hny jik uv =. u w u w w w Vektor u dlh jumlh dri w dn w, dimn w sejjr dengn dn w tegk lurus dengn. Vektor w diseut proyeksi ortogonl dri u pd tu komponen vektor dri u yng sejjr dengn. ini dinytkn dengn Proy u = u Sedngkn vektor w diseut vektor yng ortogonl terhdp. Kren w = u-w, mk vektor ini is ditulis segi u - Proy u = u - u Contoh Misl u = (,-,) dn = (,-,). Dptkn komponen vektor dri u yng sejjr vektor dn vektor yng ortogonl terhdp Penyelesin u = ()() + (-)(-) + ()() = = + (-) + = Jdi, komponen vektor u yng sejjr dlh Proy u = u =,, = ( 7, 7, 7 ) Dn komponen vektor u yng ortogonl terhdp dlh u - Proy u = u - u = (,-,) ( 7, 7, 7 ) =( 7, 7, 7 ) nit T. Kurniwti
B III Vektor dlm R dn R Secr ilustrsi geometris dpt digmr seperti diwh ini u u u cos - u cos π π < θ π SOL- SOL LTIHN. Dptkn norm dri vektor v. v = (, -). (,, ) c. v = (-7,, -) d. v = (,, ). Dptkn jrk ntr dn B. (, ), B(, 7). (-, ), B(-, -) c. (7, -, ), B(-7, -, -) d. (,, ), B(,, ). Jik u = (, -, ), v = (, -, ), dn w = (,, -), mk tunjukkn :. u + v. u + v c. u + u d. u v + w. Dptkn uv. u = (, ), v = (, -7). u = (-,-), v = (, ). u = (, -, ), v = (,, ) d. u = (-,, ), v = (, 7, -). Dptkn proyeksi ortogonl dri u terhdp. u = (, ), = (, -9). u = (-, -), = (-, ) c. u = (,, -7), = (,, ) d. u = (,, ), = (,, 8).. HSIL KLI SILNG (Cross Product) Definisi Hsil Kli Silng Jik u =(u,u,u ) dn v = (v,v,v ) dlh vektor-vektor dlm rung erdimensi, mk hsil kli silng u v dlh vektor yng didefinisikn segi tu dlm notsi determinn u v = (u v - u v, u v - u v, u v - u v ) u v = u u v v, u u v v, u u v v nit T. Kurniwti
B III Vektor dlm R dn R Contoh Dptkn u v, dimn u = (,,-) dn v = (,,) Penyelesin u v =,, = (,-7,-) Huungn ntr Hsil kli Titik dn Hsil Kli Silng Jik u, v, dn w dlh vektor-vektor dlm rung erdimensi, mk :. u (u v) =. v (u v) = c. uv = u v (u v) d. u (v w) = (u w)v - (u v)w e. (u v) w = (u w)v - (v w)u Sift-Sift ritmetik Hsil Kli Silng Jik u, v, dn w dlh vektor-vektor dlm rung erdimensi dn k dlh serng sklr, mk :. u v = - (v u). u (v w) = (u v) + (u w) c. (u v) w = (u w) + (v w) d. k(u v) = (ku) v = u (kv) e. u = u = f. u u = Vektor-vektor yng mempunyi pnjng stu dn terletk disumuh koordint diseut vektor stun stndrt. Setip vektor v = (v, v, v ) dlm rung erdimensi dpt dinytkn dlm entuk i, j, dn k v = (v, v, v ) = v (,,) + v (,,) + v (,,) = v i + v j + v k Contoh. Mislkn v = (, -, ) = i j + k k z i i = j j = k k = i j = k ; j k = i ; k i = j (,,) j i = -k ; k j = -i ; i k = -j i j (,,) y (,,) Gmr. Vektor stun stndrt nit T. Kurniwti 7
B III Vektor dlm R dn R nit T. Kurniwti 8 Interpretsi Geometris dri Hsil Kli Silng Lus jjrn genjng yng dientuk u dn v, dlh : v v v u u u k j i v u L Lus segitig yng dientuk u dn v : v v v u u u k j i v u L Volume lok miring (Prlelepipedum) dengn sisi-sisi u, v, w : w w w v v v u u u w v u V Contoh. Dptkn lus segitig yng titik-titik sudutny P(,, ); Q(,, -); R(,, ) Penyelesin: k j i k j i PQ k j i k j i PR Lus segitig: k j i k j i PQ L PR 7 9 7 9 k j i k j i.. Dptkn volume prllelepipedum yng sisi-sisiny k j i v k j i u,, k j i w. Penyelesin: 7 7 w v u V.
B III Vektor dlm R dn R SOL-SOL LTIHN. Jik u = (,, -), v = (,, -), dn w = (,, 7). Dptkn. u v. u (v w) c. (u v) w d. (u v) (v w) e. u (v w) f. (u v) w. Dptkn lus segitig yng mempunyi titik-titik sudut erikut: ). (,,); B(,,); C(,-,) ). D(,,); E(,,); F(,,). Dptkn lus jjrn genjng yng dientuk oleh du uh vektor: ). i j dn j k ). i j k dn i j k.. Dptkn isi prllelepipedum yng sisi-sisiny O, OB, OC dimn (,,); B(,,); C(,,). nit T. Kurniwti 9
B IV Rung-Rung Vektor BB IV RUNG-RUNG VEKTOR Dlm gin ini kn dihs mslh vekto-vektor dlm rung erdimensi yng leih lus lgi yitu rung erdimensi n, meskipun pengmrn secr geometris tidk meleihi rung erdimensi-. Untuk itu dlm hl ini kn dipeljri erdsrkn sift-sift dri titik dn vektor terseut... RUNG BERDIMENSI-n EUCLIDEN Definisi Vektor Dlm Rung Berdimensi-n Jik n dlh ilngn ult positif, mk gnd-n erurut dlh sederet n ilngn rel. Semu himpunn gnd-n erurut diseut rung erdimensi-n (R n ) Opersi-opersi pd R n :. Du Vektor u = (u, u,..., u n ) dn v = (v, v,..., v n ) dlm R n diseut sm jik u = v, u = v,...,u n = v n. Jumlh u + v didefinisikn segi u + v = (u + v, u + v,...,u n + v n ) c. Perklin sklr ku didefinisikn segi ku = (ku, ku,...,ku ) Sift-sift opersi vektor dlm R n Jik u = (u, u,..., u n ), v = (v, v,..., v n ), dn w = (w, w,..., w n ) dlh vektorvektor dlm rung erdimensi-n dn k, l dlh sklr, mk. u + v = v + u. (u + v) + w = u + ( v + w ) c. u + = + u = u d. u + (-u) = e. k(u + v ) = ku + kv f. (k + l )u = ku + lu g. lu = u nit T. Kurniwti
B IV Rung-Rung Vektor Rung Berdimensi-n EUCLIDEN Jik u =(u,u,...,u n ) dn v = (v,v,...,v n ) dlh serng vektor dlm R n, mk hsil kli dlm Eucliden uv didefinisikn u v = u v + u v +...+ u n v n Contoh Dptkn hsil kli dlm Eucliden dri vektor-vektor dlm R diwh ini: u = (-,,, 7) dn v = (, -, 7, ) penyelesin u v = (-)() + ()(-) + ()(7) + (7)() = 8 Seuh rung R n yng ditunjukn dengn opersi penjumlhn, perklin sklr dn hsil kli dlm Eucliden diseut segi Rung erdimensi-n Eucliden Jik u, v, dn w dlh vektor-vektor dlm R n dn k dlh sutu sklr, mk :. u v = v u. u (v + w) = uv + uw c. k(u v) = (ku) v = u (kv) d. v v jik v, dn v v = jik v = Norm dn Jrk dlm Rung Berdimensi-n Mislkn u =(u,u,...,u n ), Norm tu pnjng dlm R n dri vektor u diseut norm Eucliden (pnjng Eucliden) vektor u yng didefinisikn u = u + u + + u n Sedngkn jrk Eucliden ntr titik-tik u =(u,u,...,u n ) dn v =(v,v,...,v n ) dlm R n didefinisikn segi d u, v = u v = (u v ) + (u v ) + + (u n v n ) Contoh Jik u = (,, -, 7) dn v = (, 7,, ) dlm rung Eucliden R, dptkn norm u dn jrk ntr titik u dn v penyelesin u = () + () + ( ) + (7) = = 7 dn d u, v = ( ) + ( 7) + ( ) + (7 ) = 8 nit T. Kurniwti
B IV Rung-Rung Vektor Teorem Jik u dn v dlh vektor-vektor dlm R n dn k dlh serng sklr, mk:. u. u = jik dn hny jik u = c. ku = k u d. u + v u + v Keortogonln Du vektor u dn v dlm R n diseut orthogonl jik u v =. Contoh Mislkn: u = (-,,, ) dn v = (,,, -) dlh vektor dlm rung Eucliden R. Tunjukn hw u orthogonl dengn v. Penyelesin. kn ditunjukkn hw u v = u v = (-)() + ()() + ()() + ()(-) = - + + + (-) = kren u v = mk u orthogonl dengn v. Jik u dn v dlh vektor-vektor orthogonl dlm R n Eucliden, mk denn hsil kli dlm u + v = u + v SOL LTIHN. Mislkn u = (-,,, ), v = (, 7, -, ), dn w = (, -, 8, ). Dptkn:. v w. u + 7v c. u + (v v) d. (u v) e. v w f. (v w) (u + v). Mislkn dierikn u = (,,, ), v = (,, 8, -), dn w = (,,, ). Hitunglh :. u + v. u + v c. u + u d. u v + w e. w w f. w w nit T. Kurniwti
B IV Rung-Rung Vektor. Dptkn jrk Eucliden ntr u dn v. u = (,-) dn v = (, ). u = (, -, ) dn v = (,, -) c. u = (, -, -, ) dn v = (-,,, ) d. u = (,-,-,, -) dn v = (-,,-,, ). Untuk nili k erpkh u dn v orthogonl?.u = (,, ) dn v = (, 7, k). u = (k, k,) dn v = (k,, ).. RUNG VEKTOR UMUM Definisi Mislkn V dlh serng himpunn tk kosong dri ojek dimn du opersi didefinisikn, yitu penjumlhn dn perklin dengn sklr (ilngn). Penjumlhn yng dimksud dlh sutu turn yng menghuungkn setip ojek u dn v dlm V dengn sutu ojek u + v, yng diseut jumlh u dn v. Sedngkn perklin sclr dlh sutu turn yng menghuungkn setip sklr dn setip ojek u dlm V dengn ku, yng diseut perklin sklr dri u dengn k. Untuk is diktkn segi RUNG VEKTOR, mk V hrus memenuhi ksiomksiom erikut, yitu: Mislkn u, v, w dlm V dn k dn l dlh sclr. Jik u dn v dlh ojek-ojek dlm V, mk u + v erd dlm V. u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. d sutu ojek dlm V, yng diseut sutu vector nol untuk V, sedemikin sehingg + u = u + = u untuk semu u dlm V. Untuk setip u dlm V, d sutu ojek u dlm V, yng diseut negtive dri u, sedemikin sehingg u +(-u) = (-u) + u =. Jik k dlh serng sclr dn u dlh serng ojek dlm V, mk ku d dlm V 7. k(u + v) = ku + kv 8. (k + l)u = ku + lu 9. k(lu) = (kl)u. lu = u Untuk sklr is erup ilngn rel mupun ilngn kompleks. Rung vektor yng sklrny erup ilngn rel diseut rung vektor rel. Sedngkn rung vektor yng sklrny erup ilngn kompleks diseut rung vektor kompleks. nit T. Kurniwti
B IV Rung-Rung Vektor Contoh rung vektor Tunjukkn hw himpunn V dri semu mtriks dengn nggot ilngn rel merupkn sutu rung vektor. Penyelesin Untuk menunjukkn V dlh rung vektor, mk hrus diperiks ksiom yng menjdi syrt rung vektor. Untuk leih mudhny mil urutn segi erikut :,,,, 7, 8, 9,,, dn. Misl u = u u u u dn v = v v v v ksiom. Tunjukkn u + v d dlm V tu u + v dlh mtriks ukurn u + v = u u u u + v v v v = u + v u + v u + v u + v Dri hsil penjumlhn dpt ditunjukn u + v dlh mtriks ukurn ksiom Untuk serng ilngn k, mk kit dptkn ku = k u u u u = ku ku ku ku ksiom. u + v = u u u u + v v v v = v v v v + u u u u = v + u Demikin jug untuk ksiom 7, 8, dn 9 Untuk ksiom u = u u u u, kn ditunjukn hw u + (-u) = u + u = u u u u + u u u u = = Untuk ksiom u = u u u u = u u u u = u Jdi kren semu ksiom terpenuhi, mk V dlh rung vektor nit T. Kurniwti
B IV Rung-Rung Vektor.. SUB - RUNG Definisi Sutu himpunn gin W dri sutu rug vektor V diseut sutu su-rung dri V jik W sendiri dlh sutu rung vektor diwh penjumlhn dnperklin sklr yng didefinisikn pd V. Teorem Jik W dlh sutu himpunn stu tu leih vektor dri sutu rung vektor V, mk W dlh su-rung dri V jik dn hny jik syrt-syrt erikut terpenuhi:. Jik u dn v dlh vektor-vektor dlm W, mk u + v d dlm W. Ik k dlh serng sklr dn u dlh serng vektor dlm W, mk ku d dlm W Contoh su-rung: Su-rung dri R. {}. Gris-gris yng mellui titik sl. R Su-rung dri R. {}. Gris-gris yng mellui titik sl. Bidng-idng yng mellui titik sl. R Rung-rung Vektor Penyelesin untuk Sistem Sistem Homogen Jik = dlh sutu sistem linier homogen dri m persmn dlm n peuh, mk himpunn penyelesinny dlh su-rung dri R n Contoh Tinju sistem diwh ini u = 9 Penyelesin: Penyelesinny dlh = s t, y = s, z = t yng dripdny didptkn hw = y z tu y + z = ini dlh persmn idng yng mellui titik sl dengn n = (, -, ) segi sutu vektor normlny. y z = nit T. Kurniwti
B IV Rung-Rung Vektor Kominsi Linier Vektor-vektor Sutu vektor w diseut sutu kominsi linier dri vektor-vektor v, v,, v r jik is dinytkn dlm entuk Contoh w = k v + k v + + k r v r dengn k, k,, k r dlh sklr Mislkn vektor u = (,, -) dn v = (,, ) dlm R. Tunjukn hw w = (9,, 7) dlh kominsi linier dri u n v dn w = (, -, 8) uknlh kominsi linier dri u dn v. Penyelesin. gr w menjdi sutu kominsi linier, mk hrus d sklr k dn k sedemikin sehingg w = k u + k v ; yitu (9,, 7) = k (,, -) + k (,, ) tu (9,, 7) = (k + k, k + k, - k + k ) Sehingg didptkn k + k = 9 k + k = - k + k = 7 Dri persmn dits didptkn k = - dn k =, sehingg w = -u +v demikin jug untuk w. (, -, 8) = k (,, -) + k (,, ) tu (, -, 8) = (k + k, k + k, - k + k ) Sehingg didptkn k + k = k + k = - - k + k = 8 Dri persmn dits, tidk didptk seuh penyelesin kren sistem terseut tidk konsisten, sehingg tidk d sklr k dn k yng memenuhi... KEBEBSN LINIER Definisi Keesn Linier Jik S = { v, v,, v n ) dlh sut himpunn vektor-vektor tk kosong, mk persmn vektor k v + k v +.+ k n v n = mempunyi pling tidk stu penyelesin, yitu k =, k =,. k n = Jik ini dlh stu-stuny penyelesin, mk S diseut sutu himpunn yng es secr linier. Jik d penyelesin-penyelesin linny, mk S diseut himpunn yng tk-es secr linier. nit T. Kurniwti
B IV Rung-Rung Vektor Contoh Tentukn pkh vektor-vektor v = (, -, ), v = (,, -), v = (,, ) mementuk sutu himpunn yng tk-es secr linier tu himpunn yng es secr linier. Penyelesin Dlm entuk komponen, persmn vektor menjdi tu k v + k v + k v = k (, -, ) + k (,, -) + k (,, ) = (,, ) ( k + k + k, -k + k + k, k - k + k ) = (,, ) Dengn menymkn komponen yng erpdnn didptkn k + k + k = -k + k + k = k - k + k = Penyelesin sistem dits dlh k = t, k = t, k = t Jdi sistem terseut mempunyi penyeesin tk-trivil, sehingg vektor-vektor dits mementuk himpunn yng tk es secr linier Interpretsi Geometris dri Keesn Linier Keesn linier mempunyi sutu interpretsi geometris yng ergun dlm R dn R Dlm R tu R, sutu himpunn du vektor es secr linier jik dn hny jik vektor-vektor tereut idk terletk pd gris yng sm jik keduny ditemptkn dengn titik-titik pngklny dititik sl. nit T. Kurniwti 7
B IV Rung-Rung Vektor z z z v v v v v y v y y. tk-es secr linier. tk-es secr linier c. es secr linier Dlm R, sutu himpunn tig vektor es secr linier jik d hny jik vektor-vektor terseut tidk terletk pd idng yng sm jk ketigny ditemptkn dengn titik-titik pngklny pd titik sl. z z z v v v v v v y y y v v v v dn v seidng v dn v seidng tidk d yg seidng (tk es secr linier) (tk es secr linier) (es secr linier) LTIHN-LTIHN SOL. Mnkh dri himpunn vektor-vektor dlm R erikut ini yng tk-es secr linier. (, -, ), (-,, ). (-,, ), (, -, ), (,, ) c. (8, -, ), (,, ) d. (,, ), (,, ), (, -, ), (7,, -). Mnkh dri himpunn vektor-vektor dlm R erikut ini yng tk-es secr linier. (, 8, 7, -), (,,, -), (, -,, ), (,,, ). (,,, ), (,,, ), (,,, -) c. (,, -, -), (-,,, -), (, -, -, -), (, -8,, -) d. (,, -, ), (,,, ), (, -, -, ), (-,,, ) nit T. Kurniwti 8
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen BB V NILI EIGEN DN VEKTOR EIGEN Dlm gin ini kn dihs mslh vector-vektor tk nol yng dipetkn kedlm keliptn-keliptn sclr dri diriny sendiri oleh opertor linier. Umumny permslhn ini muncul dlm studi mengeni virsi, genetik, dinmik populsi, meknik kuntum, dn ekonomi, seperti yng is dipeljri dlm geometri... Definisi Seuh mtriks ujur sngkr dengn orde n n mislkn, dn seuh vektor n kolom X. Vektor X dlh vektor dlm rung Euklidin R yng dihuungkn dengn seuh persmn: X X Dimn dlh sutu sklr dn X dlh vektor yng tidk nol Sklr dinmkn nili Eigen dri mtriks. Nili eigen dlh nili krkteristik dri sutu mtriks ujur sngkr. Vektor X dlm persmn (7.) dlh sutu vektor yng tidk nol yng memenuhi persmn (7.) untuk nili eigen yng sesui dn diseut dengn vektor eigen. Jdi vektor X mempunyi nili tertentu untuk nili eigen tertentu. Contoh Mislkn Seuh vektor X dn seuh mtriks ujur sngkr orde, pil mtriks diklikn dengn X mk: X = Dimn: = = 8 nit T. Kurniwti 9
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen 8 = = X Dengn konstnt dn = Memenuhi persmn (7.). Konstnt diktkn nili eigen dri mtriks ujur sngkr Contoh Seuh vektor X dn seuh mtriks. pil mtriks diklikn X didpt: X = Dimn: = = = = X dengn. Mk dlh nili eigen dri mtriks. Contoh Seuh vektor X dn mteiks il mtriks diklikn dengn X mk: 8 X = 8 = = Dimn: = = dengn. dlh nili eigen dri mtriks dn vektor X 8 dlh vektor eigen dri mtriks yng ersesuin dengn nili eigen. 8 nit T. Kurniwti
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen nit T. Kurniwti Contoh Seuh vektor X dn mtriks. Perklin mtriks dengn X dlh: X = = = 9 Dimn 9 = =. Konstnt dlh nili eigen dri mtriks ujur sngkr Contoh Seuh vektor X dn mtriks. Mtriks diklikn X didpt: X = = = = = = X dengn dlh nili eigen mtriks Contoh Seuh vektor X dn mtriks = Perklin mtriks dn X dlh:
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen nit T. Kurniwti X = = = X = = = X, dengn. Mk dlh nili eigen dri =. NILI EIGEN Kit tinju perklin mtriks dn X dlm persmn (7.) pil kedu sisi dlm persmn terseut diklikn dengn mtriks identits didptkn: IX = X I X = IX X I (7.) Persmn (7.) terpenuhi jik dn hny jik: det I (7.) Dengn menyelesikn persmn (7.) dpt ditentukn nili eigen ( ) dri seuh mtriks ujur sngkr terseut/ Contoh Dptkn nili eigen dri mtriks = penyelesin Dri persmn mk: det =
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen ( )( ) Dengn menggunkn rumus c didptkn:, = ( ).. = = = = Mk penyelesin dlh: dn. Nili eigen mtriks = dlh: dn Contoh Dptkn nili eigen dri mtriks = Penyelesin Nili eigen ditentukn dengn persmn: det = mk: ( )( ) 9 9 9 Dengn rumus c didptkn:, 9 ( 9)..9 nit T. Kurniwti
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen, 9 8 7, 9 Didptkn, dn,, jdi nili eigen mtriks = dlh, Contoh Dptkn nili eigen dri = penyelesin Nili eigen ditentukn dri persmn: det I det = ( ) ( )( ) Penyelesin persmn terseut dlh: dn Jdi nili eigen mtriks = dlh dn. nit T. Kurniwti
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen Contoh. Dptkn nili eigen dri = penyelesin Determinn dri I = det ( )( ) Penyelesin persmn dlh: dn Jdi nili eigen dri mtriks = dlh: dn. Contoh Crilh nili eigen dri = penyelesin det I det ( )( )( ) ( ) = ( )( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( )( )( ) nit T. Kurniwti
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen Penyelesin persmn dlh: dn Jdi nili eigen yng ersesui untuk mtriks dlh:, dn. Contoh Dptkn Nili eigen dri mtriks 8 7 penyelesin Nili eigen didptkn dri persmn: det I = det 8 7 = ( ) ( )( ) = ( ) = ( ) = Mk nili dlh: nit T. Kurniwti
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen Dengn rumus c didptkn:,.,, 7 7 Jdi nili eigen dri mtriks 7 dlh: 8 dn, 7 Contoh. Dptkn nili eigen dri = 7 penyelesin Nili eigen didptkn dri persmn: det I 7 det = ( 7)( )( ) Mk nili dlh: 7 nit T. Kurniwti 7
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen 7 ( kli) 7 Jdi nili eigen dri mtriks = dlh dn 7 Contoh Dptkn nili eigen dri = penyelesin Berdsrkn persmn deti mk: det = ( ){( )( ) } ( ){ 7} Mk nili dlh: 7 Dengn rumus c didptkn:,.7, nit T. Kurniwti 8
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen Jdi nili eigen mtriks = dlh, dn Contoh Dptkn nili eigen dri = 7 penyelesin Dengn menggunkn persmn det I mk: 7 det ( 7)( )( ) Nili dlh: 7 7 Jdi nili eigen dri mtriks = 7 dlh: 7 dn. Contoh Dptkn Nili eigen dri = nit T. Kurniwti 9
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen penyelesin Dengn menggunkn persmn det I mk: det ( )[( )( ) ] ( )[ 7 ] ( )[ 7] ( ) ( 7) Mk nili-nili dlh: 7 7 Jdi nili-nili eigen dri mtriks = dlh:, dn 7.. VEKTOR EIGEN Kit tinju kemli persmn X X dimn dlh mtriks ujur sngkr dn X dlh vektor ukn nol yng memenuhi persmn terseut. Dlm su 7. telh dihs tentng perhitungn nili eigen dri mtriks ( ), pd su ini kit hs vektor yng memenuhi persmn terseut yng diseut vektor eigen(vektor krkteristik) yng sesui untuk nili eigenny. Kit tinju seuh mtriks ujur sngkr orde erikut: nit T. Kurniwti
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen = Persmn X X dpt dituliskn: (7.) Persmn (7.) diklikn dengn identits didptkn: = = = (7.) Persmn (7.) dlm entuk sistem persmn linier dituliskn: ( ) ( ) (7.) Persmn (7.) dlh sistem persmn linier homogen, vektor dlm rung R n yng tidk nol didptkn jik dn hny jik persmn terseut mempunyi solusi non trivil untuk nili eigen yng sesui. Contoh. Dptkn vektor eigen dri mtriks = penyelesin Pd contoh nili eigen didptkn dn persmn: ( ) Untuk mk:, vektor eigen didptkn dengn nit T. Kurniwti
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen Solusi non trivil sistem persmn ini dlh: Mislkn r mk r Vektor eigen mtriks = untuk dlh: X r r dimn r dlh ilngn semrng yng tidk nol. Untuk mk: Solusi non trivil sistem persmn terseut dlh: Mislkn s mk vektor eigen untuk dlh: s X dimn s dlh senrng ilngn yng tidk nol. s Contoh Dptkn vektor eigen dri mtriks = penyelesin Pd contoh 7. nili eigen mtriks terseut dlh dn mk vektor eigen didptkn dri persmn: ( ) ( ) Untuk didptkn sistem persmn linier erentuk: nit T. Kurniwti
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen Solusi non trivilny dlh mtriks untuk dlh:, il dimislkn r didptkn vektor eigen r X r dengn r ilngn semrng yng tidk nol. Untuk mk: ( ) ( ) Sistem persmn linier menjdi: Tidk d solusi non trivil dri sistem persmn linier terseut, jdi tidk terdpt vektor eigen dri mtriks untuk. Contoh Dptkn vektor eigen dri penyelesin Nili eigen mtriks didptkn dri persmn: det I det ( ) ( )( ) Nili eigen mtriks dlh: nit T. Kurniwti
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen, mk, mk Vektor eigen didptkn dengn persmn: ( ) Untuk mk: Solusi non trivil sistem persmn linier terseut dlh: Mislkn r mk r. Jdi vektor eigen mtriks untuk dlh: X r r dengn r ilngn semrng yng tidk nol. Untuk Vektor eigen didptkn dri sistem persmn linier: Solusi non trivil dlh:, mk Mislkn X r vektor eigen mtriks yng sesui dengn dlh: r dengn r ilngn semrng yng tidk nol. r Contoh nit T. Kurniwti
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen Dptkn vektor eigen dri = penyelesin Nili eigen mtriks didptkn dri persmn det I ( ) det ( ) ( )( ) mk mk Vektor eigen didptkn dri persmn: ( ) ( ) Untuk mk: Solusi non trivil persmn terseut dlh:, jik r mk r Vektor eigen yng sesui dengn dlh: r X dengn r ilngn semrng yng tidk nol. r Untuk mk: Solusi non trivil sistem persmn linier terseut dlh; nit T. Kurniwti
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen nit T. Kurniwti Mislkn r mk r Jdi vektor eigen yng sesui dengn dlh: r r X Contoh Dptkn vektor eigen dri = penyelesin Pd contoh 7. dikethui nili eigen mtriks dlh:, dn. 7 Vektor eigen ditentukn dri persmn: ) ( ) ( ) ( Untuk mk: Dlm entuk sistem persmn linier dituliskn: Solusi non trivil didptkn dri: Mk
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen nit T. Kurniwti 7 Jdi vektor eigen mtriks = untuk dlh: X Mislkn r mk: r r r X dengn r dlh ilngn semrng yng tidk nol. Untuk Vektor eigen ditentukn dri persmn: Dlm entuk sistem persmn linier dituliskn: Solusi sistem persmn linier dlh:
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen nit T. Kurniwti 8 Vektor eigen dri mtriks = untuk dlh: X Mislkn r mk: r X r dengn r ilngn semrng yng tidk nol. Untuk 7 Vektor eigen didptkn dri persmn: Dlm entuk sistem persmn linier dituliskn: Solusi sistem persmn linier dlh:
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen nit T. Kurniwti 9 Vektor eigen mtriks = untuk 7 dlh: X Mislkn r mk: r r X dengn r semrng ilngn yng tidk nol. Contoh Dptkn vektor eigen dri mtriks = penyelesin Pd contoh 7. dikethui nili eigen mtriks terseut yng merupkn ilngn ult dlh, vektor eigenny didptkn dri persmn: ) ( ) ( ) ( Dlm entuk sistem persmn linier dituliskn: Solusi non trivil sistem persmn linierny dlh:
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen nit T. Kurniwti 7 Vektor eigen mtriks = yng sesui dengn nili eigen dlh: X Mislkn s mk: s s X dengn s dlh ilngn semrng yng tidk nol. Contoh Dptkn vektor eigen dri = penyelesin Nili eigen didptkn dengn persmn: ) ( ) ( det ) ( ) ( ) ( ) ( Nili eigen mtriksny dlh:
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen nit T. Kurniwti 7 Vektor eigen didptkn erdsr persmn: ) ( ) ( Untuk Dlm entuk sistem persmn linier dituliskn: Solusi sistem persmn linierny dlh: Vektor eigen yng sesui dlh: X Mislkn t Vektor eigenny dlh: t t X dengn t ilngn semrng yng tidk nol. Untuk Sistem persmn linierny dlh:
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen nit T. Kurniwti 7 Solusi non trivil sistem persmn linierny dlh: Vektor eigen yng sesui dlh: X Mislkn p mk vektor eigenny dlh: p p p X dengn p ilngn semrng yng tidk nol. Untuk Sistem persmn linierny dlh: Solusi non trivil sistem persmn linierny dlh;
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen nit T. Kurniwti 7 Vektor eigen yng sesui dlh: X Mislkn q mk vektor eigenny dlh; q q q X dengn q ilngn semrng yng tidk nol. Contoh Dptkn vektor eigen dri mtriks = 8 7 penyelesin Dri penyelesin contoh 7. nili eigen yng merupkn ilngn ult dlh, mk vektor eigenny didptkn dri persmn: ) ( 8 7 ) ( ) ( Dlm entuk sistem persmn linier dlh: 8 7 Solusi non trivilny dlh: 8 8
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen Vektor eigen yng sesui dlh: X Mislkn X mk vektor eigenny dlh: Contoh Dptkn vektor eigen dri = penyelesin Nili eigen mtriks terseut didptkn dri persmn: det I ( ) det ( ) ( ) ( )( ) Nili eigenny dlh: Vektor eigen didptkn dri persmn: nit T. Kurniwti 7
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen nit T. Kurniwti 7 ) ( ) ( ) ( Untuk Sistem persmn linierny dituliskn: Tidk d solusi non trivil dri sistem persmn linier terseut, mk vektor eigen tidk terdefinisikn. Untuk Sitem persmn linierny dlh: Solusi non trivil sistem persmn linierny dlh: Vektor eigen yng sesui dlh: X Mislkn t mk vektor eigenny menjdi: t t X dengn t ilngn semrng yng tidk nol. Contoh
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen nit T. Kurniwti 7 Dptkn vektor eigen dri mtriks = penyelesin Nili eigen mtriks didptkn dri persmn: det I ) ( ) ( ) ( det ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Nili eigen mtriks dlh: Vektor eigen didptkn dri persmn: ) ( ) ( ) ( Untuk Dlm entuk sistem persmn linier dituliskn: Solusi non trivilny dlh:
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen nit T. Kurniwti 77 Vektor eigen yng sesui dlh: X Mislkn t mk vektor eigenny dlh: t t X dengn t ilngn semrng yng tidk nol. Untuk Sistem persmn linierny dlh: Solusi non trivilny dlh: Vektor eigen yng sesui dlh: X Mislkn r mk vektor eigeny dlh: r r X dengn r ilngn semrng yng tidk nol.
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen Contoh Dptkn vektor eigen dri = penyelesin Nili eigen dri mtriks didptkn dri persmn det I ( ) det ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) Nili eigen mtriks terseut dlh: Vektor eigen didptkn dri persmn: ( ) Untuk ( ) ( ) Dlm entuk sistem persmn linier dituliskn: nit T. Kurniwti 78
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen nit T. Kurniwti 79 Solusi non trivilny dlh: Vektor eigen yng sesui dlh: X Mislkn p mk vektor eigeny dlh: p p X dengn p dlh ilngn semrng yng tidk nol. Untuk Sistem persmn linier yng sesui dlh: Solusi non trivilny dlh: Vektor eigen yng sesui dlh: X Mislkn s mk vektor eigenny dlh:
B V Nili Eigen dn Vektor Eigen nit T. Kurniwti 8 s s s X dengn s ilngn semrng yng tidk nol. Untuk Sistem persmn linierny dlh: Solusi trivilny dlh: Vektor eigen yng sesui dlh: X Mislkn t mk t t t X dengn t ilngn semrng yng tidk nol.
B VI Trnsformsi Linier BB VI TRNSFORMSI LINIER Dlm gin ini kn dihs mslh penelhn fungsi erentuk w = F(), dimn peuh es dlh sutu vector dlm R n dn peuh tk-es w dlh sutu vector dlm R m. fungsi-fungsi seperti itu dinmkn TRNSFORMSI LINIER. Trnsformsi linier merupkn dsr dlm telh ljr linier dn mempunyi nyk penerpn penting dlm fisik, teknik, ilmu-ilmu socil dn ergi cng mtemtik... TRNSFORMSI LINIER DRI R n KE R m Jik derh sl sutu fungsi f dlh R n dn derh kwnny dlh R m (m dn n mungkin sm), mk f diseut sutu pet tu trnsformsi dri R n ke R m dn diktkn hw f memetkn R n ke R m. Untuk mengilustrsikn sutu cr penting dimn trnsformsi is muncul, nggp f, f,, f n dlh fungsi-fungsi ernili rel dri n peuh rel: w = f (,,, n ) w = f (,,, n ) w m = f m (,,, n ) m persmn terseut menemptkn sutu titik (w, w,, w m ) dlm R m ke setip titik (,,, n ) dlm R n, yng mendefinisikn sutu trnsformsi dri R n ke R m, yng dpt dinytkn segi: T(,,, n ) = (w, w,, w m ) nit T. Kurniwti 8
B VI Trnsformsi Linier dimn T dlh trnsformsi yng terentuk. Contoh: Dikethui trnsformsi T:R R yng didefinisikn segi erikut: w = + w = w = mk yngn titik (, ) dlh: T(, ) = ( +,, ) Jik dindikn = dn =-, mk T(,-) = (, -, ) Trnsformsi Liner dri R n ke R m Untuk trnsformsi liner, secr umum T:R n R m dpt didefinisikn segi erikut: w = + + + n n w = + + + n n tu dlm notsi mtriks: w m = m + m + + mn n w w w m m m n n mn n tu dpt diringks menjdi: W =. dimn dlh mtriks stndr untuk trnsformsi liner T nit T. Kurniwti 8