Cttn Kih BAB 4 Sistem Persmn Liner. Tinjn Ung Mtrik. Sistem Liner Segitig Ats. Eiminsi Gss dn Pivoting 4. Invers Mtriks 5. Dekomposisi Segitig 6. Metode Itersi Jcobi dn Gss-Seide 7. Sistem Liner Tridigon
Cttn Kih. Tinjn Ung Mtrik Mtrik dh deretn bingn berbentk sik empt yng dissn secr bersistem dm bris-bris dn koom-koom. Mtrik yng mempnyi M bris dn koom disebt mtrik M. Hrf kpit A menytkn st mtrik dn hrf keci berindeks ij menytkn st dri bingn-bingn yng membentk mtrik, ditis A ( ) ntk i M dn ij M dengn ij dh bingn yng d dioksi (i, j), yit eemen yng berd pd bris ke-i dn koom ke-j dm deretn tersebt. Dm bentk rinci ditis, j j A i i ij i Bris ke-i M M Mj M Koom ke-j j
Cttn Kih Beberp mtriks khss: Mtriks Bjr sngkr Mtriks bjr sngkr dh mtriks yng bnykny bris sm dengn bnykny koom. A berkrn. Mtriks Digon Mtriks digon dh mtrik bjrsngkr dengn sem eemen bkn digon bernii no. D Mtriks Stn Mtriks stn dh mtrik digon yng sem eemenny bernii st. Mtriks Segitig ts Mtrik segitig ts dh mtriks bjr sngkr dengn sem eemen di bwh digon bernii no. ij ntk i > j. I U
Cttn Kih Mtriks Segitig bwh Mtriks segitig bwh dh mtriks bjr sngkr dengn sem eemen di ts digon bernii no. ij ntk i < j. Mtriks Tridigon Mtriks tridigon dh mtrik bjrsngkr yng memenhi ij ntk i j T L Sistem Persmn Liner Sistem M persmn iner t himpnn M persmn iner simtn dm bingn,,, n yng tidk dikethi dh st himpnn persmn berbentk M M....... M c c c M Koefisien-koefisien ij dn c i dh bingn-bingn yng diberikn Sistem disebt homogen bi sem c i no, jik tidk sistem disebt tk homogen. 4
Cttn Kih Sistem persmn iner tersebt dpt jg ditiskn sebgi st persmn vektor, AX C dengn mtriks koefisien A [ ij ] dh mtriks M, c c A Sedngkn X dn C M M M c M dh vektorvektor koom Sosi dri sistem persmn iner dh himpnn bingn,,, yng memenhi sem M persmn tersebt. Vektor sosi dri sistem persmn iner dh vektor X yng komponen-komponenny merpkn sosi dri sistem persmn tersebt. 5
Cttn Kih. Sistem Liner Segitig Ats Sistem persmn iner AX C, dengn mtrik koefisien A berp mtrik segitig ts, dpt ditis dm bentk, Dengn smsi eemen-eemen c digon tk no, kk, ntk c k,,,, mk terdpt st sosi tngg dri sistem....... iner tersebt.,, c Jik smsi ini tidk terpenhi, mk kn tidk terdpt sosi c t tk hingg bnykny sosi Sosiny dpt dicri dengn mekkn penyihn mndr, yit dengn menyeesikn persmn terkhir pertm ki, diperoeh nii, setersny nii - dn yng terkhir diperoh dri persmn pertm dh nii. c Persmn terkhir bi diseesikn kn menghsikn dengn ii yng dikethi dpt dignkn dm persmn sebem persmn terkhir, diperoeh - dengn c,, 6
Cttn Kih Senjtny nii dn - dipki ntk mencri nii -. c,,, Seteh nii-nii, X -, -,, k dikethi, diperoeh nii k sebgi, k c k kk kj j k j, k,,, Agoritm Penyihn Mndr ntk sistem iner Segitig ts Mskn : n; ij, i, j,,,, n; c i, i,,,, n Lngkh-ngkh: c : Untk k : n-, n-,, kkn Jmh : Untk j : k, k,, n kkn k c Jmh : jmh kj. j k jmh kk 7
Cttn Kih Determinn mtrik Segitig Ats Jik A mtrik segitig, mk det(a), determinn A, diberikn oeh hsiki eemen-eemen digon, det(a).. Contoh 4. Gnkn penyihn mndr ntk menyeesikn sistem persmn iner 4 7 6 4 5 4 4 4 7 4 4 6 Jwb Dri persmn terkhir diperoeh 4 6/. Dengn memki 4 ntk mendptkn dri persmn ketig, diperoeh 4 5() 6 Dengn memki 4 dn ntk mendptkn dri persmn ked, diperoeh 7 7( ) 4() 4 ( 4) ( ) () 4 Akhirny diperoeh dri persmn pertm, 8
Cttn Kih. Eiminsi Gss dn Pivoting Akn dikembngkn sebh skem yng ebih efisien ntk menyeesikn sistem persmn iner mm AX C, dengn persmn dn bingn yng tidk dikethi. Crny dh sistem persmn iner mm tersebt dirbh menjdi sebh sistem persmn segitig ts UX Y yng setr dn kemdin dpt diseesikn menggnkn metode penyihn mndr. D sistem persmn iner berkrn diktkn setr jik himpnnhimpnn sosiny sm. Teorem-teorem dri jbr iner memperihtkn bhw bimn trnsformsi tertent diterpkn pd st sistem yng dikethi, mk himpnn sosiny tidk berbh. Opersi-opersi berikt bi diterpkn pd sistem iner kn menghsikn sistem yng setr.. Pertkrn : rtn dri d persmn dpt ditkr.. Penskn : perkin sebh persmn dengn konstnt tk no.. Penggntin : sebh persmn dpt digntikn oeh jmh persmn it dengn st keiptn sebrng persmn inny. 9
Cttn Kih Contoh 4. Crih persmn prbo y A B C yng mei titik-titik (,), (,-) dn (,). Jwb Untk msing-msing titik diperoeh persmn yng mengitkn nii terhdp nii y. Hsiny berp sistem A B A B 4C C A B 9C Pebh A dieiminsi dri persmn ked dn ketig dengn cr msing- msing mengrngkn persmn pertm dri ked dn ketig, diperoeh A B C B C B 8C Pebh B dieiminsi dri persmn ketig dengn cr mengrngknny dengn d ki persmn ked, diperoeh persmn yng setr A B C B C C 4 Dengn penyihn mndr diperoeh C, B -8 dn A 7 sehingg persmn prbo dh y 7-8.
Cttn Kih Cr yng ping efisien menyeesikn sistem iner AX C dh menyimpn sem koefisienny dm rry berkrn (). Koefisienkoefisien C disimpn dm koom dri rry, yit i, c i. Tip bris memt sem koefisien yng diperkn ntk menytkn st persmn dm sistem iner. Mtrik yng diengkpi, disingkt mtrik engkp dinytkn oeh [A,C] sehingg sistem iner dinytkn sebgi, c c [ A, C] c Sistem iner AX C dengn mtrik engkp yng diberikn dpt diseesikn dengn mekkn opersi bris eementer (OBE) pd mtrik engkp [A,C]. Pebh-pebh k dh pemegng posisi ntk koefisien-koefisien dn dpt dihingkn smpi khir perhitngn. Opersi-opersi bris berikt bi diterpkn pd mtrik engkp kn menghsikn sistem yng setr.. Pertkrn : rtn dri d bris dpt ditkr.. Penskn : perkin sebh bris dengn konstnt tk no.. Penggntin : sebh bris dpt digntikn oeh jmh bris it dengn st keiptn sebrng bris inny.
Cttn Kih Tmpn Bingn kk pd posisi (k, k) yng dipki ntk mengeiminsi k dm bris-bris k, k,, dinmkn eemen tmpn ke-k, dn k disebt bris tmpn. Contoh 4. ytkn sistem berikt dm bentk mtrik engkp dn cri st sistem segitig ts yng setr sert sosiny. 4 4 Jwb Mtrik engkpny dh: Tmpn p p 4 p 4-4 4 4 8 4 6 Diperoeh hsi, 4 4 4 4 8 6 Bris pertm sebgi bris tmpn yng dipki ntk mengeiminsi koom pertm dibwh digon dn sebgi eemen tmpn. ii p i dh pengi bris pertm yng hrs dikrngi dri bris i ntk i,, 4.
Cttn Kih Tmpn p.5 p 4 -.75 Tmpn p 4 -.9 4 Bris ked sebgi bris tmpn yng dipki ntk mengeiminsi koom ked dibwh 4 5 digon dn 6 5 sebgi eemen tmpn. ii p i dh pengi bris ked yng 7 6 4 45 hrs dikrngi dri bris i ntk i, 4. Diperoeh hsi, 4 Bris ketig sebgi bris tmpn yng dipki ntk mengeiminsi koom ketig dibwh 4 5 digon dn 5 7.5 5 sebgi eemen tmpn. ii p 4 dh pengi bris ketig yng 9.5 5.5 48. 5 hrs dikrngi dri bris ke 4. Diperoeh hsi, 4 Berp mtriks segitig ts. 4 5 Menggnkn goritm penyihn 5 7.5 5 mndr diperoeh 4, 4, - dn. 9 8 Proses yng dikkn di ts disebt dengn proses eiminsi Gss.
Cttn Kih Proses eiminsi Gss hrs dimodifiksi sehingg dpt dipki dm kedn ppn. Pivoting Jik kk mk bris ke-k tidk dpt dipki sebgi eemen tmpn. Kren it per mencri bris r, dengn rk dn r > k dn kemdin mempertkrkn bris k dn bris r sehingg diperoeh eemen tmpn tk no. Proses ini disebt pivoting, dn kriteri penentn bris mn yng dipiih disebt strtegi pivoting. Jdi strtegi pivoting yng ping sederhn dh jik kk mk ngsng dinjtkn mekkn eiminsi sedngkn jik kk mk dikkn pivoting. Agoritm Eiminsi Gss Diberikn mtrik engkp A [ ij ], n (n); terdiri dri [A,C]. Untk k,,,, n- kkn Cri i > k yng terkeci sehingg ik Jik i demikin tk d mk beri tnd bhw A singir dn berhenti Jik tidk, tkrkn isi bris I dn k dri A dn njtkn Untk i k, k,, n kkn p : ik / b kk Untk j k, k,, n kkn ij : ij p. kj Jik nn mk beri tnd bhw A singir dn berhenti. Lnjtkn dengn goritm penyihn mndr. 4
Cttn Kih Pivoting ntk memperkeci gt Jik terdpt beberp eemen tk no pd koom k yng teretk pd t di bwh digon, mk terdpt piihn ntk menentkn bris mn yng yng ditkr. Pivoting prsi ping mm dignkn. Kren kompter menggnkn hitngn presisi tetp, mk dimngkinkn bhw st gt keci kn terjdi setip ki opersi hitngn diksnkn. Untk memperkeci permbtn gt, mk periks besrny sem eemen di koom ke k yng teretk pd t di bwh digon, dn meoksikn bris r yng mempnyi eemen dengn nii mtk terbesr, yit rk mks{ kk, k, k,,, Kemdin menkrkn bris r dn bris k ntk r > k. Bisny mkin besr eemen tmpnny, kn menghsikn permbtn gt yng mkin keci, k k } 5
Cttn Kih Agoritm Eiminsi Gss dengn Pivoting Prsi Mskn : n ; ij, i,,, n ; j,,, n Lngkh-ngkh: Untk k,,,, n- kkn : k Untk i k, k,, n kkkn Jik ik > k mk : i Jik k mk mtrik singir dn hentikn proses Jik k mk Untk j k, k,, n kkn t : kj ; kj : j ; j : t Untk i k, k,, n kkn p : ik / kk Untk j k, k,, n kkn ij : ij p. kj n : n,n / nn Untk k : n-, n-,, kkn jmh : Untk j : k, k,, n kkn jmh : jmh kj. j k : ( k,n - jmh)/ kk Ltihn : Apiksikn goritm Eiminsi Gss dengn Pivoting Prsi ntk menyeesikn msh pd Contoh 4.. 6
Cttn Kih 4. Invers Mtriks Vrisi in dri eiminsi Gss dh eiminsi Gss-Jordn. Dm h ini penyihn mndr dm eiminsi Gss dihindri dengn mekkn perhitngn tmbhn yng meredksi mtriks ke bentk digon sebgi penggnti bentk segitig. Metode ini mempnyi kentngn dm menyeesikn sistem persmn pd kompter. Invers (bikn) st mtriks bjr sngkr A yng tk singir pd prinsipny dpt ditentkn dri penyeesin n sistem, AX c j, j,,, n dengn c j dh koom ke-j dri mtrik stn nn. Cr in yng ebih diski ntk menghsikn invers dri mtrik A, yit A -, dh menggnkn eiminsi Gss-Jordn ntk mengopersikn mtriks A dn mtrik stn I sehingg msing-msing diredksi menjdi mtrik I dn mtriks A -. Penyeesin sistem persmn iner n n dpt dikkn dengn mencri invers dri mtriks A. Sosi ntk AX C diberikn oeh X A - C. mn secr nmerik cr ini tidk efisien. 7
Cttn Kih Contoh 4.4 Tentkn invers dri mtrik Jwb A 5 Mi dengn mtrik engkp [A, I] 5.67.67...6...67 Eiminsi eemen-eemen pd koom keci pd digon A Tkr bris dengn bris, kemdin bgi bris sehingg Tkr bris dengn bris, kemdin bgi bris sehingg..4 Bgi bris..6.4.8...4.4.4.8 dengn - sehingg Mtrik Stn mnc pd bgin kiri dri mtriks engkp dn mtriks invers pd bgin knn, sehingg.67.67..67.67....67.67.67....4...4.4.6.8.4.4.8 Eiminsi eemen-eemen pd koom di bwh digon Eiminsi eemen-eemen pd koom di ts digon 8
Cttn Kih Agoritm Gss-Jordn ntk Invers Mtriks Mskn : n ; ij, i,,, n ; j,,, n (Mtrik A dh mtrik engkp [A,I]) Lngkh-ngkh: Untk k,,,, n kkn : k Jik k n, njtkn ke ngkh () Untk i k, k,, n kkkn Jik ik > k mk : i () Jik k mk mtrik singir dn hentikn proses Jik k mk Untk j k, k,, n kkn t : kj ; kj : j ; j : t Untk j k, k,, n kkn kj : kj / kk kk : Untk i,,, n kkn jik i k mk p : ik / b kk ntk j : k, k,, n kkn ij : ij - p kj Ltihn : Apiksikn goritm Eiminsi Gss-Jordn ntk invers mtriks ntk menyeesikn msh pd Contoh 4.4. rwen, M.Si / Jrsn Mtemtik FMIPA Unnd 9
Cttn Kih 5. Dekomposisi Segitig Pd sb-bb terdh teriht bhw betp mdhny ntk menyeesikn sistem segitig ts. Kren it, diberikn mtrik A yng tksingir, kemdin fktorkn mtrik A tersebt menjdi mtrik segitig ts U dn mtrik segitig bwh L. Agr mtrik U dn L tngg mk eemen-eemen digonny tidk boeh sebrng. Ad d mcm pemfktorn.. Pemfktorn Dooitte, mensyrtkn eemen digon L semny bernii dn eemen digon U tkno. Miskn mtrik A berkrn, bi A. difktorkn diperoeh: b. Pemfktorn Crot, mensyrtkn eemen digon L tkno dn sem eemen digon U bernii. Miskn mtrik A A berkrn, bi. difktorkn diperoeh:
Cttn Kih Jik penkrn bris tidk diperkn pd wkt menggnkn eiminsi Gss, mk pengi-pengi p ij dh eemen-eemen digon bwh dri mtrik L dm pemfktorn Dooitte. Miskn ntk mtriks A berkrn, mk p, p dn p. Sein it, eemen-eemen dri mtrik L dn U dpt dihitng secr ngsng, dengn menghitng hsi ki LU kemdin memki sift kesmn d mtriks LU A. Penyeesin sistem persmn iner. Miskn A dh mtrik koefisien dri sistem iner AX C yng mempnyi pemfktorn segitig A LU. Sosi dri sistem iner LUX C diperoeh dengn cr mendefinisikn Y UX dn kemdin menyeesikn d sistem LY C dn UX Y. Pertm diseesikn Y dri persmn LY C memki goritm penyihn mj dn diikti dengn menyeesikn X dri UX Y memki goritm penyihn mndr.
Cttn Kih Contoh 4.5 Diberikn sitem persmn iner berikt, 4 4 5 6 7. Bi A dh mtrik koefisien dri sistem persmn iner di ts, tentkn mtrik segitig L dn U sebgi fktor dri mtrik A. b. Tentkn sosi dri sistem persmn iner dits dengn menggnkn dekomposisi mtrik A tersebt. Jwb. Tis 4 A 4 5 6.
Cttn Kih Dri kesmn d mtriks dn kesmn eemen yng seetk, diperoeh 4.5 4.5 6.5 8.5 5.5 4.5 Sehingg mtrik segitig bwh L dn mtrik segitig ts U dh 4 L.5 U.5 4.5.5.5 8.5 b. Gnkn metode penyihn mj ntk menyeesikn persmn LY C. y.5 y.5 y y.5 y y 7 Diperoeh nii-nii y - y 9 y 7 Gnkn metode penyihn mndr ntk menyeesikn persmn UX Y. 4.5 8.5 4.5 9 7 Diperoeh nii-nii -4
Cttn Kih Pemfktorn Choesky Miskn A dh mtrik bjr sngkr yng definit positif dn simetri. Mk A dpt ditis dm bentk A LU dengn L dn U dh mtrikmtrik segitig bwh dn ts, dengn U L T. Contoh 4.6 Gnkn metode Choesky ntk menentkn sosi dri sitem persmn iner, 4 4 4 Jwb Tis 4 A 4 7 5 7 4 5 8 5 4 5 8 55. Dri kesmn d mtriks dn kesmn eemen yng seetk, diperoeh 4 4 ; 7; 5 ; ; 7 4 8 5 4
Cttn Kih Sehingg mtrik segitig bwh L dn mtrik segitig ts L T dh L 7 4 5 T L 4 7 5 Gnkn metode penyihn mj ntk menyeesikn persmn LY C. y y 7 y 4 y y 5 y 4 55 Diperoeh nii-nii y 7 y -7 y 5 Gnkn metode penyihn mndr ntk menyeesikn persmn L T X Y. 4 7 5 7 7 5 Diperoeh nii-nii -6 5
Cttn Kih 6. Metode Itersi Jcobi dn Gss-Seide Metode penyeesin sistem persmn iner yng teh dibhs sebemny dh metode perhitngn secr ngsng. Senjtny kn dibhs metode penyeesin sistem persmn iner secr tkngsng t metode itertif. Itersi Jcobi Miskn diberikn sistem persmn iner,....... c c c dengn mtrik Koefisien A 6