UKURAN NILAI PUSAT DAN UKURAN DISPERSI Nama Penulis pungkyrahmatika@gmail.com http:/statistikapendidikan.com Lisensi Dokumen: Seluruh dokumen di StatistikaPendidikan.Com dapat digunakan, dimodifikasi dan disebarkan secara bebas untuk tujuan bukan komersial (nonprofit), dengan syarat tidak menghapus atau merubah atribut penulis dan pernyataan copyright yang disertakan dalam setiap dokumen. Tidak diperbolehkan melakukan penulisan ulang, kecuali mendapatkan ijin terlebih dahulu dari StatistikaPendidikan.Com. Abstrak/Ringkasan Untuk keperluan penganalisisan data lebih lanjut, di samping pembuatan tabel dan grafik, diperlukan juga ukuranukuran yang dapat mewakili data tersebut, sehingga dapat diucapkan secara singkat dan dapat digunakan untuk membandingkan keadaan berbagai kelompok data. Untuk keperluan tersebut, statistik menyediakan suatu nilai berupa nilai tunggal yang cukup meakili keseluruhan nilai yang terdapat dalam data tersebut. Nilai tunggal dianggap dapat mewakili keseluruhan nilai dalam data dianggap sebagai rata-rata (averages), karena nilai rata-rata itu dihitung berdasarkan keseluruhan nilai yang terdapat dalam data bersangkutan. Nilai rata-rata itulah yang disebut ukuran nilai pusat atau ukuran tendensi pusat. Ukuran nilai pusat merupakan ukuran yang dapat mewakili data secara berkeseluruhan. Artinya, jika keseluruhan nilai yang ada dlam data tersebut diurutkan besarnya dan selanjutnya dimasukkan nilai rata-rata ke dalamnya. Nilai rata-rata tersebut memiliki kecenderungan (tendensi) terletak di urutan paling tengah atau pusat. Pendahuluan Penyajian data dengan cara-cara diagram, tabel, histogram, poligon, dan ozaiv dapat dikembangkan menjadi ukuran penempatan maupun ukuran gejala pusat. Ukuran penempatan disebut juga dengan istilah ukuran letak. Dan ukuran gejala pusat disebut juga ukuran tendensi sentral. Ukuran dari data sampel disebut statistik 1
dan ukuran dari populasi disebut parameter. Penempatan terdiri atas: 1. Median 2. Kuartil 3. Desil 4. Persentil Ukuran gejala pusat terdiri atas: 1. Rata-rata atau rata-rata hitung 2. Rata-rata ukur 3. Rata-rata harmonik 4. Modus Keadaan kelompok lainnya adalah simpangan baku dan angka baku. Isi JENIS-JENIS UKURAN NILAI PUSAT A. Rata-Rata Hitung (Mean) Rata-rata hitung (mean) adalah nilai rata-rata dari data-data yang ada. Rata-rata hitung dari populasi diberi simbol µ (baca miu). Rata-rata hitung dari sampel diberi simbol x (baca eks bar). Mencari rata-rata hitung secara umum dapat ditentukan dengan rumus. Rumus: 1) Rata-rata hitung (mean) untuk data tunggal Cara menghitung rata-rata hitung (mean) untuk data tunggal ialah sebagai berikut: Jika X 1, X 2,...., X n merupakan n buah nilai dari variabel X, maka rata-rata hitungnya sebagai berikut. X = Keterangan: X = rata-rata hitung (mean) X = wakil data n = jumlah data 2
Contoh soal: Hitunglah rata-rata hitung dari nilai-nilai 7, 6, 3, 4, 8, 8! Penyelesaian: X = 7, 6, 3, 4, 8, 8 n = 6 X = 7 + 6 + 3 + 4 + 8 + 8 = 36 X = 2) Rata-rata hitung (mean) data berkelompok Untuk data-data berkelompok, rata-rata hitung (mean) dapat dihitung dengan rumus: X = Contoh soal: Tentukan rata-rata hitung dari tabel berikut! Tabel 1.1 Berat badan 100 orang mahasiswa Universitas Negeri Jakarta tahun 2012 Berat Badan (kg) Banyaknya Mahasiswa (f) 60-62 10 63-65 25 66-68 32 69-71 15 72-74 18 3
Penyelesainnya Berat Titik Tengah Frekuensi fx Badan (kg) (X) (f) 60-62 61 10 610 63-65 64 25 1600 66-68 67 32 2144 69-71 70 15 1050 72-74 73 18 1314 Jumlah - 100 6718 Jawaban: X = B. Median (Nilai Tengah) Median adalah nilai tengah dari data yang ada setelah data diurutkan. Median merupakan rata-rata apabila ditinjau dari segi kedudukannya dalam urut data. Median sering pula disebut rata-rata posisi. Median ditulis singkat atau disimbolkan dengan Me, atau Md. Cara mencari median dibedakan antara data tunggal dan data kelompok. 1) Median data tunggal Median untuk data tunggaal dapat dicari dengan pedoman sebagai berikut; a) Jika jumlah data ganjil, mediannya adalah data yang berada paling tengah. b) Jika jumlah data genap, mediannya adalah hasil bagi jumlah dua data yang berbeda di tengah. Pedoman tersebut dirumuskan sebagai berikut. 4
2) Median data berkelompok Median untuk data berkelompok dapat dicari dengan rumus sebagai berikut:. c Keterangan: Me = Median Lo = Tepi bawah kelas median n = Jumlah frekuensi F k C F o = Jumlah frekuensi kelas-kelas sebelum kelas median = Panjang interval kelas = Frekuensi kelas median Dalam mencari median data kelompok (distribusi frekuensi) yang perlu dicari terlebih dahulu adalah kelas tempat median berada (kelas median). Kelas median dapat dicari dengan F k ½ n Contoh soal: Tentukan median dari distribusi frekuensi berikut! Tabel 1.2 Diameter dari 40 buah pipa Diameter Pipa (mm) Frekuensi (f) 65-67 3 68-70 5 71-73 13 74-76 14 77-79 4 80-82 2 Penyelesaian: Jumlah frekuensi (n) = 40 dan ½ n = 20 Kelas median adalah ( f 2 )o ½ n f 1 + f 2 + f 3 = 20 20 5
Jadi, kelas median adalah kelas ke-3 B = 70,5 F k = 7 C = 3 f Me =13 Me Bi = C. Modus (Mode) Modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam data. Modus sering ditulis singkat atau dimbolkan dengan Mo. Sejumlah data bisa tidak mempunyai modus, mempunyai satu modus (disebut Unimodal), mempunyai dua modus (Bimodal), atau mempunyai lebih dari dua modus (Multimodal). Cara mencari modus dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok. a) Modus data tunggal Modus dari data tunggal adalah data yang frekuensinya terbanyak. Contoh soal: Tentukan modus dari data-data berikut! 1) 1, 4, 7, 8, 9, 11 2) 1, 4, 7, 8, 9, 11, 13 3) 1, 2, 4, 4, 7, 9, 11, 11, 13 4) 1, 1, 3, 3, 7, 7, 12, 12, 14, 15 Penyelesaian: 1) Modus = 9 2) Modus = tidak ada 3) Modus = 4 dan 11 4) Modus = 1, 3, 7, 12 b) Modus data berkelompok Untuk data berkelompok, dalam hal ini adalah distribusi frekuensi, modus hanya dapat diperkirakan. Nilai yang paling sering muncul akan berada pada 6
kelas yang memiliki frekuensi terbesar. Kelas yang memiliki frekuensi terbesar disebut sebagai kelas modus. Modus data berkelompok dapat dicari dengan rumus berikut. C Mo = Modus L = Tepi bawah kelas modus d 1 d 2 c = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya = Panjang interval kelas Contoh soal: Tentukan modus dari distribusi frekuensi pada tabel 1.3. Diketahui data sebagai berikut: Nilai Data f X 60 62 2 61 63 65 7 64 66 68 8 67 69 71 3 70 20 Penyelesaian: L = 65,5 d 1 = 1 d 2 = 5 C = 3 Rumus C 3 = 66,375 7
Soal Latihan Diperoleh data berat badan mahasiswa PPKN Non Reguler 2012 sebanyak 29 orang, sebagai berikut: 45 55 59 69 74 50 56 62 69 76 50 56 64 73 79 52 57 69 74 81 54 57 69 74 84 54 59 69 74 Dari data diatas, coba tentukan nilai rata-rata, nilai tengah dan juga modus! Penyelesaian: Berat Badan Titik Tengah Frekuensi fx (kg) (x) (f) 45 51 48 3 144 52 58 55 8 440 59 65 62 4 248 66 72 69 5 345 73 79 72 7 504 80 86 83 2 166 Jumlah 389 29 1847 a) Mean (Nilai rata-rata) = X = X = b) Median (Nilai tengah) =. c 8
x 7 x 7 X 7 Me = 58,5 + 6,125 = 64,6 c) Modus = C 5 9 = 51,5 + 7 7 = 51,5 + 3, 89 = 55,39 SIFAT-SIFAT RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS Dalam memilih ukuran nilai pusat, sifat-sifat atau ciri-ciri dari masing-masing ukuran perlu diperhatikan. Berikut ini sifat-sifat dari ketiga ukuran tersebut. A. Sifat-Sifat Rata-Rata Hitung Beberapa sifat rata-rata hitung, antara lain sebagai berikut. 1) Nilai rata-rata hitung dipengaruhi olegh observasi atau pengamatan. 2) Nilai rata-rata hitung dapat menyimpang terlalu jauh. Hal itu disebabkan ratarata hitung dipengaruhi oleh bilangan-bilangn ekstream (nilai sangat besar atau sangat kecil), sehingga untuk distribusi dengan kecondongan yang jelek, ratarata hitung dapat kehilangan makna. 3) Rata-rata hitung tidak dapat dihitung dari distribusi yang memiliki kelas terbuka. 4) Rata-rata paling sering digunakan dan populer, sehingga penjelasan mengenai arti rata-rata hitung tidak diperlukan. 5) Jumlah dari penyimpangan sama nilai pengamatan dengan nilai rata-rata hitung sama dengan nol. 9
6) Jika selisih semua nilai pengamatan dengan nilai rata-rata hitung dikuadratkan maka jumlahnya lebih kecil dari pada jumlah penyimpangan kuadrat semua nilai pengamatan dari titik lain selain rata-rata hitung. 7) Rata-rata hitung dapat dimanipulasi secara aljabar. B. Sifat-Sifat Median Beberapa sifat median, antara lain sebagai berikut. 1) Median dipengaruhi oleh banyaknya observasi atau pengamatan, namun tidak dipengaruhi oleh nilai pengamatan, sehingga nilai median tidak dipengaruhi oleh bilangan-bilang ekstrem. 2) Median dapat dihitung dari distribusi yag memiliki kelas terbuka, kecuali jika kelas mediannya berada pada kelas terbuka tersebut. 3) Median sering digunakan pada distribusi yang memiliiki kecondongan yang sangat jelek. 4) Median didefinisikan dan diinterpretasikan. 5) Median lebih terpengaruh oleh fluktuasi sampling, namun adakalanya untuk distribusi tertentu median lebih konsatan terhadap fluktuasi sampling. 6) Jumlah penyimpangan (tanda diabaikan) nilai-nilai dari median lebih kecil daripada jumlah penyimpangan nilai-nilai dari titik yang lain. 7) Jika jumlah penyimpangan dari median dikuadratkan maka jumlahnya lebih besar daripada jun mlah penyimpangan kuadrat nilai-nilai dari rata-rata hitung. C. Sifat-Sifat Modus Beberapa sifat modus, antara lain sebagai berikut: 1) Dalam seperangkat data, modus bisa tidak ada dan bisa lebih dari satu. 2) Modus dapat ditempatkan pada distribusi yang memiliki kelas terbuka. 3) Modus tidak dipengaruhi oleh bilangan-bilangan yang ekstrem, dari suatu distribusi. 4) Letak modus atau nilai modus yang sebenarnya sukar ditentukan, karena itu kebanyakan hanya berdarakan taksiran dalam suatu distribusi. 5) Perhitungan modus tidak didasarkan pada seluruh nilai pengamatan, tetapi didasarkan pada individu yang berada pada titik tempat terjadinya 10
pemusatan yang terbanyak. 6) Untuk perhitungan-perhitungan secara aljabar lebih lamjut, modus tidak dapat digunakan. 7) Modus tidak sepopuler ukuran rata-rata hitung atau median. UKURAN-UKURAN YANG LAIN Selain ketiga nilai pusat (rata-rata hitung, median dan modus), fraktil, rata-rata ukur, dan rata-rata harmonis termasuk juga dalam ukuran nilai pusat. Fraktil Fraktil adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah menurut menjadi beberapa bagian sama. Fraktil dapat berupa kuartil, desil, dan persentil. a) Kuartil (Q) Kuartil adalah fraktil yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi empat bagian yang sama. Terdapat tiga jenis kuartil yaitu kuartil bawah atau pertama (Q 1 ). Kuartil tengah atau kedua (Q 2 ) dan kuartil atas atau ketiga (Q 3 ). Kuartil kedua sama dengan median. 1. Kuartil Data Tunggal Untuk data tunggal, kuartiil-kuartilnya dapat dicari dengan menggunakan metode mencari median atau rumus: Q i = nilai yang ke Contoh soal: i( n 1), i = 1, 2, 3 4 Tentukan kuartil dari data 2, 6, 8, 5, 4, 9, 12! Penyelesaian: Data diurutkan : 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12 n = 7 i( n 1) Q i = nilai ke 4 1(7 1) Q 1 = nilai ke 2, yaitu 4 4 2(7 1) Q 2 = nilai ke 4, yaitu 6 4 11
3(7 1) Q 3 = nilai ke 6, yaitu 9 4 2. Kuartil Data Berkelompok Untuk data berkelompok, kuartil-kuartilnya dapat dicari dengan rumus: Keterangan : B i n = tepi bawah kelas kuartil = jumlah semua frekuensi i = 1, 2, 3 ( f i )o = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil f Qi = frekuensi kelas kuartil Contoh soal : Tentukan Q 1, Q 2, dan Q 3 dari distribusi frekuensi pada tabel Nilai Data f 65 67 2 68 70 5 71 73 13 74 76 14 77-79 4 80-82 2 N = 40 Penyelesaian Dari tabel diatas diketahui: 1 1 3 n = 40, berarti n 10, n 20, n 30 4 2 4 Kelas Q 1 adalah kelas ke - 3 Kelas Q 2 adalah kelas ke - 3 Kelas Q 3 adalah kelas ke 4 12
B 1 = 70,5 (ada di kelas ke - 3) B 2 = 70,5 (ada di kelas ke - 3) B 3 = 70,5 (ada di kelas ke - 4) ( f 1 )o = 7 ( f 2 )o = 7 ( f 3 )o = 20 f Q1 = 13 f Q2 = 13 f Q3 = 14 C = 3 13
b) Desil (D) Desil adalah fraktil yang mebagi seperangkat data yang telah terurut menjadi sepuluh bagian yang sama. Terdapat sembilan jenis desil, yaitu desil pertama (D 1 ), desil kedua (D 2 ),...dan desil kesembilan (D 9 ). Desil kelima (D 5 ) sama dengan median. Cara mencari desil dibedakan antara data tunggal dan data kelompok. 1. Desil data tunggal Untuk data tunggal, desil-desilnya dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut: D i = nilai ke i( n 1), i 1, 2,... 9 10 Contoh soal: Tentukan desil ke-3 (D 3 ) dan desil ke-7 (D 7 ) dari data berikut ini! 23, 30, 32, 34, 38, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 46 Penyelesaian: D 3 = data ke 3(13 1) 10 42 = data ke 10 data ke 4,2 = X 4 + 0,2 (X 5 X 4 ) = 34 + 0,2 (38-34) = 34,8 D 7 = data ke 7(13 1) 10 98 = data ke 10 data ke 9,8 = X 9 + 0,8 (X 10 X 9 ) = 41 + 0,8 (43-41) = 41 + 1,6 = 42,6 14
2. Desil data berkelompok Untuk data berkelompok (distribusi frekuensi), desil-desilnya dapat dicari dengan rumus: Di Bi Keterangan : Di = desil ke-i Bi = tepi bawah kelas desil ke-i n = jumlah frekuensi ( f i )o = jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i C = panjang interval kelas desil ke-i f Di = frekuensi kelas desil ke-i i = 1, 2, 3,... Contoh soal: Tentukan desil ke-4 (D 4 ) dan desil ke-8 (D 8 ) dari distribusi frekuensi berikut! Nilai Statistika 40 Mahasiswa Universitas Negeri Jakarta Nilai Frekuensi (f) 30 39 5 40 49 3 50 59 6 60 69 7 70 79 8 80 89 7 90 99 4 Jumlah 40 Penyelesaian: Untuk mencari desil ke-4 dan desil ke-8, terlebih dahulu dicari kelas desil ke-4 dan desil ke-8 yaitu: 1) kelas desil ke-4, jika ( f 4 )o 4 ( n ) 10 2) kelas desil ke-8, jika ( f 8 )o 8 ( n ) 10 15
Dari tabel diatas diketahui: 4 8 n = 40, maka (40) = 16 dan (40) = 32 10 10 Kelas D 4 adalah kelas ke-4 Kelas D 8 adalah kelas ke-6 B 4 B 6 = 59,5 (tepi bawah kelas ke-4) = 79,5 (tepi bawah kelas ke-6) ( f 4 )o = 14 dan ( f 6 )o = 29 C = 10 F D4 = 7 dan F D8 = 7 = 59,5 + 2,86 = 62,36 = 79,5 + 4,29 = 83,79 16
Latihan: Berikut data berat badan mahasiswa kelas PPKN Non Reg 2012 Universitas Negeri Jakarta dari 29 orang mahasiswa. Berat Badan Frekuensi (kg) (f) f kb 45 51 3 29 52 58 8 26 59 65 4 18 66 72 5 14 73 79 7 9 80 86 2 2 Jumlah 29 - Dari data yang telah disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi di atas carilah Q 1, Q 2, Q 3, D 1, D 5, dan D 8! Jawaban: Q i = B i Di Bi Q 1 = 72,5 D 1 72,5 7,25 7 2 Q 2 = 58,5 + D 5 0,875 17
Q 3 = 51,5 + D 8 3,28125 Penutup Pengembangan dari penyajian data dengan tabel, diagram dapat dilanjutkan dengan ukuran penempatan dan ukuran gejala pusat. Ukuran yang dihitung dari data sampel disebut statistik dan ukuran yang dihitung dari populasi disebut parameter. Ukuran penempatan terdiri atas: median, kuartil, desil, dan persentil. Sedangkan ukuran gejala pusat terdiri atas: rata-rata (), rata-rata ukur (U), rata-rata harmonik (H), dan modus (Mo). Masing-masing ukuran mempunyai kegunaanya. Me ialah nilai tengah dari data yang diobservasi. Guna Me ialah untuk distribusi data yang tidak normal. Referensi Usman, Husaini. 2008. Pengantar Statistika. Jakarta: Bumi Aksara. Hasan, Iqbal. 2003. Pokok-Pokok Materi Statistik 1 (Statistik Deskriptif). Jakarta: Bumi Aksara. Biografi Penulis Pungky Rachmattika. Lahir di Jakarta, 19 Juni 1994. Riwayat Pendidikan: SD Angkasa III Jakarta; SMP Negeri 128 Jakarta; dan SMA Negeri 9 Jakarta. Dan saat ini sedang melanjutkan studi di Universitas Negeri Jakarta, Jurusan Ilmu Sosial Politik, Prodi PPKN Non Reguler 2012 (Semester IV). 18
19
20