BAB VIII Penggunaan Integral Dalam Fisika

BAB VIII Penggunaan Integral Dalam Fisika Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan persamaan potensial listrik antara dua titik menurut analisis analitik. 2. Menjelaskan persamaan potensial listrik antara dua titik menurut analisis numerik. 3. Menjelaskan persamaan usaha oleh gaya yang menyebabkan perpindahan benda menurut analisis analitik. 4. Menjelaskan persamaan usaha oleh gaya yang menyebabkan perpindahan benda menurut analitik numerik. 5. Memahami pengaruh jumlah pembagian segmen terhadap ketelitian data numerik dibandingkan data analitik. 6. Menjelaskan pengaruh jumlah muatan pada suatu titik terhadap besar potensial listrik. Pendahuluan Potensial listrik merupakan salah satu topik dalam bidang elektrostatika yang memerlukan pemahaman tentang medan listrik, energi potensial listrik dan usaha dalam medan listrik. Demikian kompleks banyak kasus potensial listrik yang ada sehingga dibutuhkan teknik-teknik khusus untuk menyelesaikannya. Sebagai contoh adanya potensial listrik yang harus diselesaikan dengan persamaan integral akan tetapi ternyata integral tersebut susah dipecahkan secara eksak sehingga dibutuhkan teknik numerik untuk menyelesaikannya. 225

226 8.1 Potensial Listrik 8.1.1 Potensial Listrik dengan Pendekatan Analitik Misalkan terdapat dua titik A dan B dalam medan listrik E, maka salah satu cara yang dapat digunakan untuk menentukan beda potensial antara A dan B adalah dengan menggerakkan muatan dari A ke B kemudian diukur usaha yang perlu dilakukan untuk memindahkan muatan. Secara matematis beda potensial diantara titik A dan B dapat dinyatakan dengan persamaan V B V A = W AB (8.1) biasanya titik A diambil pada titik jauh tak berhingga sehingga otomatis potensial listrik di titik A adalah nol, dengan demikian persamaan (8.1) dapat dinyatakan V = W (8.2) Berdasarkan definisi W AB = F.d =.E.d maka dengan mensubstitusi ke dalam persamaan (8.1) diperoleh V B V A = W AB = Ed (8.3) Persamaan (8.3) menyatakan hubungan antara perbedaan potensial listrik dan kekuatan suatu medan listrik dalam suatu kasus yang sederhana. Pada kasus umum, biasanya medan listriknya tidak seragam dan lintasan perpindahan muatannya tidak melewati garis lurus sehingga cara yang tepat untuk memecahkannya adalah dengan mempergunakan integral yakni menjumlahkan semua kontribusi usaha untuk seluruh segmen yang kecil dimana lintasan tersebut dibagi-bagi. Dengan demikian persamaan (8.3) dapat dinyatakan sebagai B W AB = F. dl A B = E. dl A (8.4) dimana dl menyatakan tiap segmen yang membentuk d. Tanda negatif menunjukkan bahwa untuk mempertahankan agar muatan tidak dipercepat dibutuhkan suatu gaya luar F yang besarnya tepat sama dengan E. Apabila persamaan (8.4) disubstitusikan dalam persamaan (8.1) akan diperoleh V B V A = W AB B = E. dl A (8.5) Misalkan akan dihitung potensial listrik yang ditimbulkan oleh sebuah muatan titik yang berada pada garis lurus dimana muatan muatan tersebut berada

227 diantara titik A dan B. Jika muatan listrik tersebut digerakkan dari A ke B maka r akan semakin berkurang karena r diukur dari A sebagai titik asal sehingga dl = -dr dengan mengingat bahwa E = 1 dan B adalah V B V A = 4πε 0 4πε 0 r 2 maka besarnya potensial diantara titik A r B dr = 1 1 r A r 2 4πε 0 r B r A (8.6) 8.1.2 Potensial Listrik dengan Pendekatan Numerik Berdasarkan teori integral numerik dengan metode trapezium yang menyatakan bahwa A = (0.5y 0 + y 1 + y 2 + y n 1 + 0.5y n ) x (8.7) maka persamaan (8.6) dapat pula dinyatakan dengan persamaan V B V A = (0.5V 4πε A + V 1 + V 2 + + V n 1 + 0.5V B ) x (8.10) 0 Contoh 8.1: Suatu sistem yang terdiri atas sebuah muatan listrik = 2 µc dan dua titik A dan B berada dalam suatu garis lurus. Jika jarak titik A terhadap muatan adalah 0,75 m dan jarak titik B terhadap muatan adalah 0,5 m analisislah besarnya beda potensial antara titik A dan B dengan menggunakan pendekatan analitik dan numerik. Penyelesaian: Tabel 8.1 Varibel-Variabel dalam Persamaan Potensial Listrik Variabel Nilai Satuan r_a 0,75 m r_b 0,5 m 0.000005 C k 9000000000 C 2 /Nm 2 N 100 N 0.01

228 Tabel 8.2 Perbandingan Potensial Listrik terhadap Jarak dengan dan Numerik dx V_Numerik 0.5 4 0.51 3.844675125 0.52 3.698224852 0.53 3.55998576 0.54 3.429355281 0.55 3.305785124 0.56 3.18877551 0.57 3.077870114 0.58 2.972651605 0.59 2.872737719 0.6 2.777777778 0.61 2.68744961 0.62 2.601456816 0.63 2.519526329 0.64 2.44140625 0.65 2.366863905 0.66 2.295684114 0.67 2.227667632 0.68 2.162629758 0.69 2.100399076 0.7 2.040816327 0.71 1.983733386 0.72 1.929012346 0.73 1.876524676 0.74 1.826150475 0.75 1.777777778 Langkah selanjutnya adalah perhitungan potensial listrik dengan menghitung nilai luas kurvanya dengan persamaan A = (0.5y 0 + y 1 + y 2 + y n 1 + 0.5y n ) x sehingga diperoleh: A = ((0.5x4)+3.844675125+ +1.826150475+(0.5x1.777777778))x0.01 A= 0.666760485 V = ka = 9.10 9.5x10-6 x 0.666760485

229 V_Numerik = 30004.22181 volt Langkah selanjutnya adalah perhitungan besarnya beda potensial listrik secara analitik dengan persamaan berikut. V Analitik = k( 1 rb 1 ra ) V Analitik = 9. 10 9. 5. 10 6 1 0.5 1 0.75 V_Analitik = 30000 volt Berdasarkan tabel 5.2 diperoleh bahwa beda potensial listrik menurut analisis numerik adalah 30004.22181 volt sedangkan menurut perhitungan analisis analitis potensial listriknya adalah 30000 Volt dengan demikian perhitungan dengan analisis numerik mengandung kesalahan 0,014%. 8.2 Usaha Oleh Gaya yang Berubah-Ubah Secara umum besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya untuk memindahkan suatu obyek dirumuskan dengan persamaan W = F x (8.11) Dengan w menyatakan usaha (J), gaya yang bekerja (N) dan x menyatakan perpindahan (m). Untuk tujuan praktis gaya sering dianggap konstan, namun demikian sebenarnya gaya yang bekerja tidaklah selalu konstan seperti jika kita menarik suatu pegas ke arah kanan maka semakin jauh kita menarik pegasnya semakin besar gaya yang dibutuhkan untuk menariknya. Misalkan gaya yang kita berikan adalah fungsi F(x) yang bekerja pada arah sumbu x positif ( ke kanan) sehingga pegas memanjang dari x 0 menjadi x 1 maka besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya F(x) dinyatakan dengan persamaan W = x 1 x 0 F x dx (8.12) Pada banyak kasus yang sebenarnya, masalah menjadi sedemikian kompleks jika gaya yang dilakukan juga tergantung pada sudut yang dibuat antara gaya dengan arah horizontal karena arah perpindahan juga dipengaruhi oleh fungsi posisinya seperti gambar berikut.

230 F(x) F(x) F(x) θ θ θ x 1 x 2 Gambar 8.1 Usaha yang Dilakukan Oleh Gaya yang Berubah Sebagai Fungsi Posisi dan Sudut Gambar 8.1 melukiskan posisi sebuah benda pada x 1 kemudian diberikan gaya yang berubah-ubah sebagai fungsi F(x) sehingga benda berpindah dari x 1 menuju x 2. Secara matematis besarnya usaha yang dilakukan menurut gambar 8.1 adalah W = x 1 x 0 F x cos θ(x) dx (8.13) Jika F x dan θ(x) merupakan fungsi sederhana maka besarnya usaha dengan mudah dapat kita hitung dengan analisis analitik, akan tetapi jika F x dan θ(x) merupakan fungsi yang cukup kompleks maka perhitungan usahan dengan metode numeric merupakan langkah yang tepat. Contoh 8.2: Sebuah gaya F x = 1 bekerja pada sebuah benda sehingga benda tersebut 2 x bergerak dari posisi awal x 1 = 1 m ke posisi akhir x 2 = 2 m. Tentukan besarnya usaha yang dilakukan gaya tersebut dengan menggunakan metode Simpson kemudian bandingkan hasilnya jika dianalisis dengan analisis analitik! (Petunjuk gunakan n =4).

231 Penyelesaian: Langkah awal yang perlu kita lakukan adalah dengan mendeklarasikan variablevariabelnya seperti dalam tabel berikut. Tabel 8.3 Variabel-Variabel dalam Persamaan Usaha Variabel Nilai Satuan a 1 m b 2 m n 4 h 0.25 Langkah selanjutnya adalah melakukan komputasi dengan Spreadsheet menggunakan metode Simpson sehingga akan diperoleh tabel berikut. Tabel 8.4 Perhitungan Usaha dengan Metode Simpson Penggali Jumlah xo=a= 1 y0=1/(x0) 2 = 1 1 1 x1=a+h= 1.25 0 y1=1/(x1) 2 = 0.64 4 2.56 x2=a+2h= 1.5 0 y2=1/(x2) 2 = 0.444444 2 0.888888889 x3=a+3h 1.75 0 y3=1/(x3) 2 0.326531 4 1.306122449 x4=a+4h= 2 0 y4=1/(x4) 2 0.25 1 0.25 Jumlah dari perkalian 6.005011338 Luas total=(h/3)*jumlah dari perkalian 0.500417611 Berdasarkan tabel 8.4 dapat disimpulkan bahwa besarnya usaha yang dihitung dengan metode Simpson adalah 0.500417611 J.

232 Berdasarkan analisis analitik, maka besarnya usaha adalah W = x 1 x 0 F x dx 2 W = 1 1 dx x 2 W = 1 Ι x 1 2 W = 1 ( 1 ) 2 1 W = 0,5 J Apabila dibandingkan dengan analisis analitik maka dapat disimpulkan bahwa perhitungan dengan metode Simpson menimbulkan kesalahan 0,08 %. Kesimpulan: 1. Besarnya beda potensial listrik yang antara titik A dan B dalam medan listrik E = 1 adalah V 4πε 0 r 2 B V A = 4πε 0 r B dr = 1 1 r A r 2 4πε 0 r B r A 2. Menurut analisis numeric dengan metode trapezium Besarnya beda potensial listrik yang antara titik A dan B dalam medan listrik E = 1 4πε 0 r 2 adalah V B V A = (0.5V 4πε A + V 1 + V 2 + + V n 1 + 0.5V B ) x 0 3. Dalam perhitungan usaha oleh gaya yang besarnya berubah-ubah apabila fungsi gayanya sederhana dapat menggunakan analisis analitik sedangkan apabila fungsi gayanya rumit lebih mudah dikerjakan dengan analisis numeric.

233 Soal: 1 Sebuah muatan persatuan panjang λ didistribusikan secara uniform sepanjang sebuah segmen garis lurus yang panjangnya L. P y L a. Buktikan bahwa potensial listrik pada titik P yang berjarak y dari salah satu ujung garis lurus adalah V = λ 4πε 0 Ln L+y y b. Hitunglah potensial di titik P dengan menggunakan analisis numerik! Anggaplah nilai L = 0,3 m, = 3 μc dan y = 0,1 m kemudian bandingkan apakah solusi numerik yang Anda peroleh sama dengan dengan solusi eksaknya? c. Hal-hal apakah yang perlu dilakukan agar solusi numeriknya memiliki ketelitian yang tinggi? 9 Sebuah gaya F x = 1 + x 3 bekerja pada sebuah benda sehingga benda tersebut bergerak dari posisi awal x 1 = 1 m ke posisi akhir x 2 = 3 m. Tentukan besarnya usaha yang dilakukan gaya tersebut dengan menggunakan metode Simpson dan metode trapezium dengan n = 10 tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut kemudian bandingkan dengan solusi analitiknnya. Metode apakah yang lebih teliti?