UJIAN AKHIR SEMESTER STATISTIKA DAN PROBABILITAS

Tgg tekaa [m] UJIAN AKHIR SEMESTER STATISTIKA DAN PROBABILITAS Se, 11 Desember 017 100 met [ Boleh membuka buku Tdak boleh memaka komputer ] SOAL 1 [SO A-3, BOBOT NILAI 50%] Sebuah PDAM melakuka pegukura tgg tekaa ar d ppa dstrbus utama. Hasl pegukura dsajka dalam tabel d bawah. Nomor data Jarak [km] Tgg tekaa [m] 1 0.6 4.9 1.1 9.3 3 1.6 8.7 4.3 7.8 5 3.1 6.9 6 3.8 6. 7 4.4 5.1 (a) Buatlah grafk yag meamplka data tersebut (scatter plot). [Bobot 5%] (b) Perhatka salah satu pasag data yag tampak berbeda dar pasag data yag la. Apa pedapat Saudara terhadap pasag data? Apa yag meurut Saudara perlu dlakuka? [Bobot 5%] (c) Temukalah persamaa tgg tekaa sebaga fugs jarak dega tekk regres lear, metode kuadrat terkecl. [Bobot 0%] (d) Berapakah koefse korelas hubuga lear kedua varabel tersebut? [Bobot 0%] PENYELESAIAN (a) Grafk data [bobot la 5%] 10 9 8 7 6 5 4 outler 3 1 0 0 1 3 4 5 Jarak [km] Peyelesaa Soal UAS Statstka da Probabltas 017 hlm 1 dar 6

(b) Outler [bobot la 5%] Dar gambar tampak bahwa salah satu pasag data berada pada poss yag meympag dar pola data yag la. D ttk stasu, yatu pada jarak 0.6 klometer, tgg tekaa adalah 4.9 meter. Pola data secara keseluruha meujukka tekaa tgg d stasu yag berjarak dekat. Tekaa turu serg dega pertambaha jarak. Pada jarak 0.6 meter, justru tekaa lebh redah darpada tekaa d tempat la. Datum sepert dkeal sebaga outler. Adaya outler dapat dsebabka oleh sfat keragama (varabltas) sampel atau dakbatka oleh kesalaha pegukura. Apabla peyebab outler dketahu, maka perlakua terhadapya dapat dtetuka dega mudah. Jka outler dsebabka oleh kesalaha pegukura, maka outler dkeluarka dar data da tdak dkutka dalam pegolaha data. Sebalkya, jka pegukura sudah bear, maka outler tetap dkutka dalam pegolaha data. Dega asums bahwa outler tersebut dsebabka oleh kesalaha pegukura, maka outler dkeluarka dar daftar data yag dolah. (c) Regres lear [bobot la 0%] Hubuga atara tgg tekaa H (h = h 1, h,, h ) da jarak X (x = x 1, x,, x ) dapat dperoleh dega tekk regres metode kuadrat terkecl yag dyataka dalam persamaa lear berkut: H = a 0 + a 1 X Varabel H atau serg pula dsmbolka dega H r adalah tgg tekaa dalam satua meter sebaga fugs jarak X dalam satua klometer. Nla a0 da a1 dalam persamaa regres dcar dega persamaa berkut: a 1 = x =1 h =1 x =1 h x =1 ( =1 x ) da a 0 = H a 1 X Dalam persamaa d atas, adalah jumlah data, H da X adalah tgg tekaa rata-rata da jarak rata-rata. Utuk meghemat peulsa, deks pada operator pejumlaha tdak dtulska, sehgga =1 x dtulska sebaga x da =1 h dtulska sebaga h. Htuga regres lear dega metode kuadrat terkecl dsajka pada Tabel 1 d bawah. TABEL 1 HITUNGAN REGRESI LINEAR HUBUNGAN ANTARA TINGGI TEKANAN DAN JARAK STASIUN DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL x [km] h [m] x h [km.m] x [km ] 1 1.1 9.3 10.3 1.1 1.6 8.7 13.9.56 3.3 7.8 17.94 5.9 4 3.1 6.9 1.39 9.61 5 3.8 6. 3.56 14.44 6 4.4 5.1.44 19.36 Σ 16.3 44 109.48 5.47 Dar Tabel 1, dperoleh formas sebaga berkut: jumlah pasag data, = 6; tgg tekaa rata-rata, H = h = 44 6 = 7.33 m; jarak rata-rata, X = x = 16.3 6 =.7 km. Koefse a 1 da a 0 pada persamaa kurva regres dhtug sebaga berkut: a 1 = x h x h x ( x ) = 6 109.48 16.3 44 6 5.47 16.3 = 1.3 m/km. Peyelesaa Soal UAS Statstka da Probabltas 017 hlm dar 6

a 0 = H a 1 X = 7.33 + 1.3.7 = 10.67 m. Perhatka bahwa jarak stasu pegukura da tgg tekaa memlk satua. Koefse a0 bersatua [m] da a1 bersatua [m/km]. Hubuga atara tgg tekaa da jarak stasu yag dperoleh dar regres lear atara kedua varabel adalah: H = 10.67 1.3 X atau h = 10.67 1.3 x. Tgg tekaa H dalam satua meter da jarak stasu X dalam satua klometer. (d) Koefse korelas [bobot la 0%] Koefse korelas, r, dyataka dalam persamaa berkut: r = S t S r S t = (h H ) (h h ) atau r = (h H ) x h ( x )( h ) x ( x ) h ( h ) Dalam persamaa d atas, operator pejumlaha x dbaca =1 x da deks = 1,,,. Htuga utuk medapatka la St da la Sr dlakuka secara tabulas dalam Tabel d bawah. Htuga megacu kepada persamaa r d atas yag d sebelah kr. TABEL HITUNGAN KOEFISIEN KORELASI ANTARA TINGGI BADAN DAN USIA SISWA x [km] h [m] (h H ) [m ] h [m] (h h ) [m ] 1 1.1 9.3 3.87 9.3 0.00 1.6 8.7 1.87 8.7 0.00 3.3 7.8 0. 7.8 0.00 4 3.1 6.9 0.19 6.9 0.00 5 3.8 6. 1.8 6.0 0.04 6 4.4 5.1 4.99 5.3 0.04 S t = 1.41 S r = 0.08 r = S t S r 1.41 0.08 = = 0.997. S t 1.41 Akar kuadrat dapat berla postf atau egatf. Koefse korelas dapat berla postf atau egatf. Karea grade kurva regres, a 1, berla egatf, atau dega kata la tgg tekaa berbadg terbalk dega jarak stasu, maka koefse korelas berla egatf, r = 0.997. SOAL [SO B-4, BOBOT NILAI 60%] Tabel d bawah adalah data jumlah peumpag bus suatu PO dar Yogyakarta ke Clacap utuk keberagkata tegah har selama bula November 017. Data dsajka sebaga raso jumlah peumpag terhadap kapastas tempat duduk (dyataka dalam perse, %). Jumlah peumpag (%) Frekues 50 60 60 70 7 70 80 10 80 90 8 90 100 3 (a) Berapakah la rata-rata, meda, da modus jumlah peumpag? [Bobot 10%] (b) Berapakah la smpaga baku jumlah peumpag? [Bobot 10%] Peyelesaa Soal UAS Statstka da Probabltas 017 hlm 3 dar 6

Frekues relatf (c) Tujukka retag keyaka jumlah peumpag rata-rata populas dega tgkat keyaka 80%. [Bobot 0%] (d) Ujlah hpotess yag meyataka bahwa jumlah peumpag rata-rata populas adalah 80% dega tgkat keyaka 90%. [Bobot 10%] PENYELESAIAN (a) Nla rata-rata, meda, da modus [bobot la 10%] Data jumlah peumpag bus tersebut adalah data sampel, buka data populas. Tabel frekues dsajka pada Tabel 3 d bawah. Jumlah peumpag bus dsmbolka dega otas X. TABEL 3 JUMLAH PENUMPANG BUS SEBUAH PO DARI YOGYAKARTA KE CILACAP UNTUK JADWAL KEBERANGKATAN TENGAH HARI SELAMA NOVEMBER 017 Jumlah peumpag, X [%] Frekues Frekues Kelas x f relatf f x [%] f x [% ] 1 50 60 55 0.067 110 6050 60 70 65 7 0.33 455 9575 3 70 80 75 10 0.333 750 5650 4 80 90 85 8 0.67 680 57800 5 90 100 95 3 0.100 85 7075 Σ = 30 1 80 176750 5 Jumlah data dalam sampel adalah f = 30. Operator pejumlaha f dbaca =1 f. Data jumlah peumpag bus dalam tabel frekues d atas dapat pula dsajka dalam betuk grafk batag atau hstogram sepert dsajka pada Gambar 1. 0.4 0.35 0.3 0.5 0. 0.15 0.1 0.05 0 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 Jumlah peumpag bus [%] GAMBAR 1 DISTRIBUSI PENUMPANG BUS SEBUAH PO DARI YOGYAKARTA KE CILACAP UNTUK JADWAL KEBERANGKATAN TENGAH HARI SELAMA NOVEMBER 017 Grafk tdak wajb dbuat karea soal tdak memtaya. Perhatka betuk kurva pada gambar tersebut. Tampak jelas bahwa betuk kurva mrp dega kurva pdf dstrbus ormal. Dega demka, sampel jumlah peumpag bus tersebut berdstrbus ormal. Nla rata-rata dhtug dega batua tabel frekues, yatu dega meambahka satu kolom yag bers la frekues dkalka dega la data, f x. Peyelesaa Soal UAS Statstka da Probabltas 017 hlm 4 dar 6

Kelembaba udara rata-rata adalah: X = f x = 80% = 76% f 30 Nla rata-rata dapat pula dbaca pada hstogram (Gambar 1). Karea hstogram data jumlah peumpag bus mrp dega kurva pdf dstrbus ormal, maka jumlah peumpag bus rata-rata berada d tegah, yatu dalam kelas 70-80 [%]. Nla meda adalah la data yag berada d tegah dalam deret data yag durutka dar kecl ke besar atau dar besar ke kecl. Tabel 3 telah megatur data dalam deret dar kecl ke besar. Karea jumlah data adalah 30, maka la meda adalah la yag berada d tegah atara data ke-15 da ke-16. Dar hstogram data (Gambar 1) da kolom frekues pada tabel frekues data (Tabel 3), tampak bahwa data berdstrbus secara smetrs dega sumbu smetr kelas 70-80 [%]. Nla meda jumlah peumpag bus, dega demka, adalah d atara 70% s.d. 80%. Nla meda dapat pula dhtug dega persamaa berkut: X meda = x l + ( m 1 =1 f ) (x f u x l ) m Dalam persamaa d atas, x l adalah batas bawah kelas yag megadug la meda, x u adalah batas atas kelas yag megadug la meda, m adalah omor urut kelas yag megadug la meda, da f adalah frekues data. X meda = 70 + ( 15 9 6 ) (80 70) = 70 + 10 = 76%. 10 10 Nla modus adalah la data yag memlk frekues tertgg, yatu kelas data 70-80 [%]. Nla modus dapat pula dhtug dega persamaa berkut: f m f m 1 X modus = x l + { (f m f m 1 ) + (f m f m+1 ) } (x u x l ) Dalam persamaa d atas, x l adalah batas bawah kelas yag megadug la modus, x u adalah batas atas kelas yag megadug la modus, m adalah omor urut kelas yag megadug la modus, da f adalah frekues data. 10 7 3 X modus = 70 + { } (80 70) = 70 + 10 = 76%. (10 7) + (10 8) 3 + Tampak bahwa la rata-rata, meda, da modus kelembaba udara adalah sama, yatu 76%. Kesamaa ketga la merupaka salah satu sfat data yag berdstrbus ormal. (b) Smpaga baku [bobot la 10%] Smpaga baku jumlah peumpag bus dhtug dega batua tabel frekues, yatu dega meambahka kolom yag bers f x. Nla smpaga baku adalah: s X = (x X ) ( f ) 1 = (f x ) ( f )(X ) 176750 30 76 = = 10.94%. ( f ) 1 30 1 (c) Retag keyaka jumlah peumpag bus rata-rata [bobot la 0%] Retag keyaka jumlah peumpag bus rata-rata, dega asums bahwa jumlah peumpag bus tersebut berdstrbus ormal, dyataka dega persamaa berkut: prob(l μ X u) = 1 α Peyelesaa Soal UAS Statstka da Probabltas 017 hlm 5 dar 6

Dalam persamaa d atas, l adalah batas bawah retag keyaka, u adalah batas atas retag keyaka, da 1 α adalah tgkat keyaka. Batas bawah da batas atas retag keyaka jumlah peumpag bus rata-rata dyataka dega persamaa berkut: l = X s X t 1 α, 1 da u = X + s X t 1 α, 1 Nla t 1 α, 1 adalah la t pada pdf dstrbus t sedemka hgga prob(t < t) = 1 α pada la derajat kebebasa ν = 1, da ukura sampel (jumlah data). Karea tgkat keyaka telah dtetapka, yatu 1 α = 80%, maka 1 α = 90%. Nla t 1 α, 1 = t 0.90,39 dbaca pada tabel dstrbus t. Bacaa tabel mejad mudah dlakuka dega cara membuat sketsa pdf dstrbus t. Dar tabel dstrbus t, dperoleh: t 0.90,39 = 1.3114 α = 0.10 Jad, retag keyaka 80% jumlah peumpag bus rata-rata adalah: prob(73.40% μ X 78.60%) = 0.80. Dega demka, batas bawah da batas atas retag adalah: l = 76 1.3114 10.94 30 = 73.40%. u = 76 + 1.3114 10.94 30 = 78.60%. (d) Uj hpotess jumlah peumpag bus rata-rata [bobot la 10%] H 0 : μ 0 = 80% H 1 : μ 0 80% Karea varas populas tdak dketahu (σ X tdak dketahu), maka statstka uj adalah: T = (X μ s 0 ) = 30 (76 80) =.009. X 10.94 Batas-batas peermaa atau peolaka statstka uj dega tgkat keyaka 1 α = 90% da jumlah sampel = 30 adalah: t α, 1 = t 0.05,9 da t 1 α, 1 = t 0.95,9. α = 0.05 t 0.10,9 = t 0.90,9 t 0.05,9 = 1.6991 1 α = 0.80 1 α = 0.90 t 0.90,9 α = 0.10 α = 0.05 t 0.95,9 = 1.6991 Dar tabel dstrbus t, dperoleh: t 0.95,9 = 1.6991 da t 0.05,9 = 1.6991 Dega demka, statstka uj T =.009 berada d luar retag peermaa hpotess H0 ( T > t 0.95,9 ), sehgga hpotess yag meyataka bahwa jumlah peumpag bus rata-rata adalah 80% tdak dterma atau dtolak. -o0o- Peyelesaa Soal UAS Statstka da Probabltas 017 hlm 6 dar 6