PANGKAT TAK SEBENARNYA

Transkripsi

1 PANGKAT TAK SEBENARNYA

2

3 Bab 5 Pangkat Tak Sebenarnya Sumber: www6.fheberswalde.de Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam pemecahan masalah sederhana dengan cara mengidentifikasi sifatsifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar, serta memecahkan masalah sederhana yang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar. Di Kelas VII kamu telah mempelajari sifat-sifat perkalian dan pembagian bilangan bulat berpangkat bilangan bulat positif. Pada bab ini sifat-sifat tersebut akan dikembangkan sampai bilangan rasional berpangkat bilangan bulat dan bentuk akar. Konsep-konsep bilangan berpangkat dan bentuk akar banyak digunakan dalam bidang ilmu dan teknologi, seperti pada contoh berikut. Jari-jari penampang melintang sebuah batang tumbuhan A. Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan 5 x cm. Adapun pada musim panas, ukurannya menyusut x cm. Setelah memdikotil pada musim dingin adalah pelajari bab ini, kamu dapat menghitung penurunan luas penampang tumbuhan dikotil tersebut pada musim panas. 111 Diagram Alur Bilangan Berpangkat terdiri atas Pangkat Tak Sebenarnya Pangkat Sebenarnya adalah adalah Pangkat Bilangan Bulat Positif Pangkat Nol sifat Pangkat Bilangan Bulat Negatif definisi definisi

4 am an = am + n am = am n an a m n a0 = 1, a bilangan rasional dan a 0 = am n = an m pan + qam = an (p + qam n) pan qam = an (p qam n) pam qan = an(pam n q) Pangkat Pecahan a n = 1 an dapat diubah menjadi sifat a bilangan rasional, a 0, dan n bilangan bulat positif 1 1 n m 1. p. m n. p p m n Bentuk Akar 1 = pm 1 m n = p

5 = p 1 n n = n = p m pm n m Tes Apersepsi Awal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihanmu. 1.. Tentukan nilai dari bilangan berpangkat berikut. a. 7 c. ( 11) b. 1 d. ( 15) Tentukan nilai dari akar bilangan berikut. a. 81 c b. d. 65 Selesaikan soal-soal berikut. a. 5 + ( ) b. 8 1 ( ) c. d. ( ) ( ) ( )4 Tentukan nilai dari bilangan berpangkat berikut. a. () b. () Selesaikan soal-soal berikut. a. (4) (15) b. () + ()4

6 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX A. Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat 1. Bilangan Rasional Di Kelas VII, kamu telah mempelajari konsep bilangan rasional. Agar tidak lupa, konsep tersebut akan dipelajari kembali pada bab ini. Untuk itu, pahami kembali definisi bilangan rasional berikut. Definisi 5.1 Bilangan rasional ialah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a, dengan a dan b adalah bilangan bulat b serta b 0. Bilangan 1, 1,,,, dan 5 merupakan bilangan rasional karena memenuhi bentuk seperti pada Definisi Pengertian Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat Positif Dalam kehidupan sehari-hari, kadang-kadang kamu harus mengalikan bilangan-bilangan berikut: ( ) ( ) ( ) ( ) (1,5) (1,5) (1,5) (1,5) (1,5) Perkalian berulang tersebut akan lebih sederhana jika ditulis dalam bentuk bilangan berpangkat, seperti berikut. ditulis dan dibaca "tiga pangkat dua" ditulis 5 dan dibaca "lima pangkat tiga". ( ) ( ) ( ) ( ) ditulis ( )4 dan dibaca "negatif dua pangkat empat". Coba kamu tentukan bentuk bilangan berpangkat dari perkalian berulang (1,5) (1,5) (1,5) (1,5) (1,5). Penulisan perkalian berulang dalam bentuk bilangan berpangkat tersebut memperjelas definisi berikut. Definisi 5. Jika a bilangan rasional dan n bilangan bulat positif maka perkalian berulang n faktor dari a ialah a a a a... a dituli a n Tugas untukmu Coba kamu selidiki apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan rasional? a. 0,5 b. 0,... c. 0, d. 1, e. 0, f. Tuliskan hasil penyelidikanmu pada buku latihan, kemudian kumpulkan kepada gurumu. InfoMatika Pangkat dua dari suatu bilangan yang digit terakhirnya 5 dapat dihitung dengan rumus n (n + 1) + 5 Dalam hal ini + berarti angka-angkanya didekatkan. Misalnya, berapa nilai dari 45? 45 berarti x n=4 4 (4 + 1) x = 05 Jadi, 45 = 05 Dengan penalaran yang sama seperti perhitungan tersebut, hitunglah a. 75 b. 85 n faktor a Pangkat Tak Sebenarnya 11

7 TechnoMath Dengan menggunakan Calculator Scientific tipe FX-570W kamu dapat menentukan nilai (4,9) dengan menekan tomboltombol berikut secara berurutan. ( 4 9 ) x Pada Definisi 5., an disebut bilangan berpangkat dengan a sebagai bilangan pokok dan n sebagai pangkat (eksponen). Contoh b. ( )4 Pada layar akan muncul tampilan Selanjutnya, untuk mengetahui hasilnya tekan tombol = sehingga pada layar akan muncul tampilan. Tugas untukmu Salin dan lengkapilah perkalian berikut. 1.,54,5.. ) (... ) = ( faktor = (..... ) Misalkan, a adalah bilangan rasional. a a5 = ( ) (... ) faktor... faktor = ( )... faktor = a... Berdasarkan uraian tersebut dapatkah kamu menerka sifat umum perkalian bilangan berpangkat? Cobalah nyatakan sifat tersebut dengan kata-katamu sendiri. Kemudian, ujilah dugaanmu untuk mengalikan bilangan berpangkat sebarang. 114 d. Penyelesaian: a. 7 = = 49 7 = 4 b. ( )4 = ( ) ( ) ( ) ( ) = 9 9 = 81 c. (4) = ( ) = (9 9) = 81 d.. =

8 8 7 Sebuah bak mandi berbentuk kubus dan mempunyai panjang rusuk 9, dm. Berapa mililiter volume bak mandi tersebut? Penyelesaian: Diketahui: Panjang rusuk bak mandi (p) = 9, dm Ditanyakan: Volume bak mandi (V) dalam satuan ml. V = p = (9,) = 9, 9, 9, = 84,64 9, = 778,688 Volume bak mandi itu adalah 778,688 dm atau 778,688 liter. Diketahui 1 liter = 1000 ml sehingga 778,688 liter = 778, ml = ml. Jadi, volume bak mandi tersebut adalah ml.... faktor... faktor =,5 Nyatakan bilangan berpangkat berikut dalam perkalian berulang, kemudian hitunglah. a. 7 c. (4). Sifat Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat Positif a. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat Pelajari operasi hitung berikut. = (1 4 ) ({ ) ffakktor ffakktor = = + ( ) faktor a Jadi, = +. Sekarang, lakukan Tugas untukmu di samping. Perkalian bilangan berpangkat tersebut memperjelas sifat berikut ini. Sifat 5.1 Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka am an = am+n Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX Siapa Berani? Contoh a. 5 5 = 5+ = 55 b. ( )4 ( )5 = ( )4+5 = ( )9 c. 4 tidak dapat disederhanakan karena bilangan pokoknya tidak sama. d. y y = y+ = y5, dengan y = bilangan rasional. Ketinggian suatu benda dapat ditentukan dengan menggunakan rumus gerak jatuh bebas, yaitu h = 1 gt. Dalam hal ini h = ketinggian benda, g = percepatan gravitasi bumi, dan t = waktu benda sampai jatuh ke tanah. Sebuah benda dijatuhkan dari puncak sebuah gedung. Hasil pengukuran menunjukkan bahwa waktu benda sampai jatuh ke tanah adalah 4,9 detik. Jika percepatan gravitasi bumi di tempat itu 9,8 m/det, berapa meterkah tinggi gedung tersebut? Penyelesaian: Diketahui: t = 4,9 detik dan g = 9,8 m/det Ditanyakan: h =? h = 1 gt = 1 9,8 (4,9) = 4,9 (4,9)

9 Salin dan lengkapilah pembagian bilangan berikut..... fa to 64 7faktor 8or 4... faktor... faktor = 1.. =... faktor Pelajari operasi hitung berikut.. Misalnya, a adalah bilangan rasional..... fa to 64 7faktor 8or (... ) a5 = (... ) a 14 5 fa a or 6 7faktor 4 48 = {... faktor ffakktor ( 5 ) fakto fakt ktor kto } = 14 = 5 = ( 5 ) faktor a { ffakktor =.... fa to 64 7faktor 8or (... ) (... ) faktor fak akto t r... faktor Selanjutnya, lakukan Tugas untukmu di samping. Pembagian bilangan berpangkat tersebut memenuhi sifat berikut. m positif maka a n = am n dengan m > n..... fa kttor tor 64 7ffaktor 4 8 (... ) = 1.. = a 5 Jadi, = 5 Sifat 5. Jika a bilangan rasional, a 0, dan m, n bilangan bulat (..... ) fa kttor tor.... fa to 64 7ffaktor faktor 8or = (... ) (... ) (... ) 14

10 b. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat Tugas untukmu = (... ) = (4,9)1+ = (4,9) = 117,649 Jadi, tinggi gedung tersebut adalah 117,649 meter. 5 Panjang rusuk sebuah kubus adalah 5 cm. Kemudian, panjang rusuk kubus tersebut diperpanjang menjadi 5 kali panjang rusuk semula. Berapa liter volume kubus yang baru? Berdasarkan uraian tersebut, coba kamu terka sifat umum pembagian bilangan berpangkat. Nyatakan sifat tersebut dengan kata-katamu sendiri. Kemudian, ujilah dugaanmu untuk menghitung pembagian dua bilangan berpangkat sebarang. a Pangkat Tak Sebenarnya 115 Contoh a. 7 = 7 4 = = 7 4 b. ( 5)6 = ( 5)6 4 = ( 5) = 5 ( 5)4 c. p5 = p5 = p p Percepatan sentripetal dari sebuah benda yang bergerak v Sumber: CD Image Tugas untukmu m = 16 m/det v = 57, 6 km =

11 Salin dan lengkapilah perpangkatan berikut (54) = faktor.. ) = ( faktor (... ) ) ( faktor... faktor... = 5 = faktor (a)4 = faktor... ) (..... ) = ( faktor (... ) 14 4 (... ) faktor... faktor... = 14.. = a faktor Kemudian, ujilah dugaanmu untuk memangkatkan bilangan berpangkat sebarang. Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menduga sifat umum perpangkatan bilangan berpangkat? Cobalah nyatakan sifat tersebut dengan kata-katamu sendiri. 116 jam a.600 det Ditanyakan as? as = v = 16 = 16 1 = 161 = 16 r 16 Jadi, percepatan sentripetalnya adalah 16 m/det

12 . Misalnya, a adalah bilangan rasional.... faktor melingkar dirumuskan as = r. Dalam hal ini as = percepatan sentripetal bersatuan m/det, v = kecepatan benda bersatuan m/det, dan r = jarak benda ke pusat lingkaran bersatuan meter. Sebuah mobil bergerak di suatu tikungan yang berbentuk seperempat lingkaran dengan jari-jari 16 m. Mobil melaju dengan kecepatan tetap 57,6 km/jam. Berapa m/det percepatan sentripetal mobil tersebut? Penyelesaian: Diketahui: r = 16 m c. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat Pelajari operasi hitung berikut ini. () = 1 ffakktor = (1 4 ) (1 4 ) = 1 4 ffakktor faktor a ( ) faktor a = Jadi, () = = Sekarang, kerjakan Tugas untukmu di samping. Perpangkatan bilangan berpangkat yang telah kamu pelajari tersebut memperjelas sifat berikut. Sifat 5. Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka (am)n = am n = an m Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX Contoh (4) = 4 = 8 a. ( c b. 5 1 = 1 4 = ( ) = ( )1

13 15 = ) Energi kinetik (Ek) sebuah benda bermassa m kg yang bergerak dengan kecepatan v m/det dirumuskan Ek = 1 mv. Sebuah benda bermassa 6 kg bergerak dengan kecepatan 7 m/det. Berapa joule energi kinetik benda tersebut? Penyelesaian: Diketahui: m = 6 kg v = 7 m/det = m/det Ditanyakan: Ek =? Ek = 1 1 mv = 6 () = = 6 = 7 =.187 Jadi, energi kinetiknya adalah.187 joule. Tugas untukmu d. Sifat Perpangkatan dari Bentuk Perkalian Pelajarilah operasi hitung berikut. ( ) = (1 ) ( 4) 4 (4 4 ) Salin dan lengkapilah operasi hitung berikut. 1. ( 5)4 = fakto f r... faktor =( = 1 4 ) (1 4 ) ffakktor = ( ) (..... ) 14 faktor a... faktor Jadi, ( ) =. Sekarang, kerjakan Tugas untukmu di samping. Perpangkatan dari bentuk perkalian yang telah kamu pelajari tersebut memperjelas sifat berikut. Sifat 5.4 Jika n bilangan bulat positif dan a, b bilangan rasional maka (a b)n = an bn. Misalkan, a dan b bilangan rasional.... (a b)5 = faktor

14 = ( ) (..... ) faktor Contoh a. ( 5) = 5 = 4 5 = 100 b. {( ) ) = ( ) = 7 8 = 16 c. ( pq)4 = ( )4 p4 q4 = 81p4q4 Suatu alat listrik mempunyai hambatan 10 ohm dialiri arus 10 ampere selama menit. Berapa joule besarnya energi listrik yang digunakan?... faktor = faktor = Berdasarkan uraian tersebut coba kamu terka sifat umum perpangkatan dari bentuk perkalian tersebut. Nyatakan sifat itu dengan kata-katamu sendiri. Pangkat Tak Sebenarnya 117 Tugas untukmu Penyelesaian: Diketahui: R = 10 ohm I = 10 ampere t = menit = 10 detik Ditanyakan W? W = I R t = ( 10) = (10) 10 1, 10 = 9, = 1,6 108 =, Jadi, energi listrik yang digunakan sebesar, joule. Bersama kelompok belajarmu, coba kamu selidiki mengapa pada Sifat 5.5 nilai b tidak boleh sama dengan nol. Presentasikan hasil penyelidikanmu di depan kelas bergantian dengan kelompok yang lain. e. Sifat Perpangkatan dari Bentuk Pembagian Tugas untukmu Salin dan lengkapilah operasi hitung berikut Untuk memahami sifat perpangkatan dari bentuk pembagian, pelajarilah operasi hitung berikut dengan saksama. = faktor

15 ... faktor =... = faktor.... fa aktor to 64 7faktor 8or (... ) (... ) 14 = a... b faktor Berdasarkan uraian tersebut coba kamu terka sifat umum perpangkatan dari bentuk pembagian itu. Nyatakan sifat tersebut dengan katakatamu sendiri. ffakktor Sifat distributif pada bentuk aljabar adalah a (b + c) = ab + ac. Sifat 5.5 Jika a, b bilangan rasional, b 0, dan n bilangan bulat n positif maka a b n = an. b Contoh f. Catatan = Sekarang, kerjakan Tugas untukmu di samping. Perpangkatan dari bentuk pembagian yang telah kamu pelajari itu memperjelas sifat berikut Jadi,

16 . Misalkan, a dan b bilangan rasional fak f ktor } = = = { { ffakktor.... fa to 64 7faktor 8or... (... ) = 5... (... ) 14 a b 7 7 = = 4 7 = ( 4. pq r = p q 4 pq = r r 4 ) = Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Berpangkat Sebelum mempelajari sifat penjumlahan dan pengurangan bilangan berpangkat, dapatkah kamu menyederhanakan penjumlahan bilangan berpangkat berikut? a c b. ( ) + ( )5 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX Cocokkan hasilnya dengan jawaban berikut. a = 5 (1 + ) (sifat distributif ) 5 5 = 10 = 10 b. ( ) + ( )5 = ( ) (1 + ( )) (sifat distributif ) = ( ) 10 = 10 ( ) 5 c = 5 ( + 5) (sifat distributif ) = 5 7 = 7 5 Uraian tersebut sesuai dengan konsep penjumlahan bilangan berpangkat seperti berikut. Edward Waring ( ) Sifat 5.6 Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif, dengan m n maka pan + qam = an(p + qam n) Konsep penjumlahan dua bilangan berpangkat tersebut berlaku

17 juga untuk pengurangan dua bilangan berpangkat seperti berikut. Sifat 5.7 Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif, dengan m n maka pan qam = an(p qam n) pam qan = an(pam n q) Contoh = 5 (1 + ) = 5 5 = = 55 (1 5) = 55 ( 4) = = 75 ( 7 ) = = (sifat 5.6) Setiap bilangan bulat merupakan bilangan pangkat tiga dari bilangan itu sendiri atau merupakan jumlah dari beberapa bilangan pangkat tiga. Pernyataan ini diungkapkan oleh seorang matematikawan Inggris, Edward Waring, pada tahun Pernyataan tersebut dapat dibuktikan kebenarannya. Jika diambil sebarang bilangan bulat, bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat berpangkat tiga. Misalnya, = ( 5) dan 0 = ( ) + ( ) + ( ) + ( ). Sumber: Ensiklopedi Matematika & Peradaban Manusia, 00 (sifat 5.7) (sifat 5.6) Tugas untukmu 4. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat Negatif dan Nol 1. Gunakan Sifat 5. untuk Berdasarkan Sifat 5., telah dipelajari bahwa untuk a adalah bilangan rasional, a 0, dan m, n adalah bilangan bulat am = am n. an a5. a8. Dengan menuliskan ke dalam bentuk faktorfaktornya, sederhanamenyederhanakan a. Pengertian Pangkat Bilangan Bulat Negatif positif dengan m > n, berlaku InfoMatika kanlah a5. a8 Berdasarkan kedua langkah tersebut, apa yang dapat kamu simpulkan? Pangkat Tak Sebenarnya 119 Siapa Berani? Sifat tersebut dapat dikembangkan untuk m < n. Sebagai contoh, amatilah bentuk berikut.

18 Bilangan sempurna adalah bilangan yang jumlah seluruh faktornya sama dengan dua kali bilangan tersebut. Sebagai contoh, 8 merupakan bilangan sempurna karena jumlah seluruh faktornya sama dengan 8, yaitu = = 56 = 8 Untuk mengetahui bilangan sempurna, salah satunya dapat menggunakan rumus p (P p+1 1). Dalam hal ini p merupakan bilangan prima. Coba kamu tentukan paling sedikit dua buah bilangan sempurna lainnya (selain 8) dengan menggunakan rumus tersebut. a = a 5 = a... (1) a 5 Dengan cara menuliskan ke dalam bentuk faktorfaktornya, pembagian tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. a a a a = = a a a a5 a a a a a a a a 1 1 =... () =1 a a a Berdasarkan (1) dan () dapat disimpulkan bahwa a = 1. a Dengan demikian, kamu dapat mengubah bilangan rasional berpangkat bilangan bulat negatif ke dalam bentuk bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif dan sebaliknya. Secara umum, untuk bilangan berpangkat n, dengan n adalah bilangan bulat positif dapat ditulis seperti berikut. 1 = a n, a 0 an Sekarang, amati bentuk perpangkatan berikut yang dihitung dengan menggunakan kalkulator. InfoMatika t t cokelat hitam merah perak Nilai dari komponen resistor ditandai oleh sebuah sistem warna garis. Inilah cara untuk menuliskan bilangan yang besar dalam benda yang kecil. Dua garis yang pertama menunjukkan sebuah bagian dan yang ketiga mewakili operasi perkalian dengan pangkat 10. Adapun garis yang keempat menunjukkan toleransi nilai. Sumber: Ensiklopedi Matematika & Peradaban Manusia, a a 1 4 = 0,15 = 1 = = 0,5 = 1 = 0, = 1 = t 9 Uraian tersebut memenuhi definisi bilangan rasional berpangkat bilangan bulat negatif seperti

19 definisi berikut. Definisi 5. Jika a bilangan rasional, a 0, dan n adalah bilangan bulat positif maka a n = 1n a Contoh 5.8 Ubahlah bentuk pangkat berikut menjadi bentuk pangkat positif. a. 5 b. Penyelesaian: a. 5 = 1 5 b. = 1 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX Sifat pangkat bilangan bulat positif dari Sifat 5.1 sampai dengan Sifat 5.5 berlaku juga untuk bilangan berpangkat bilangan bulat negatif, dengan a, b adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat negatif. Coba kamu tuliskan kelima sifat tersebut di buku tugasmu. Contoh 5.9 a = = 5 = 5 5 = 5 b. ( ( ) = ( ) 4 = ( ) = (( ) 1) = )4 1 1 = 1 = 9 1 Siapa Berani? 1. Ubahlah bentuk pangkat berikut menjadi bentuk pangkat positif. a b. ( ) c. ( 8) d Selesaikan soal berikut. Kemudian, ubahlah hasilnya ke bentuk pangkat negatif. b. Pengertian Pangkat Nol b. Kamu telah mempelajari Sifat 5. bilangan rasional berc. Sebagai contoh, a 5 = a5 5 = a0... (1) a Dengan cara menuliskan ke dalam bentuk faktor-faktornya, pembagian tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. a5 = a a a a a = 1 a a a a a a5

20 ... () Berdasarkan (1) dan () dapat disimpulkan bahwa a0 = 1. Uraian tersebut memenuhi konsep bilangan berpangkat nol seperti definisi berikut. Definisi 5.4 a0 = 1, dengan a bilangan rasional dan a 0 Contoh 5.10 Hitunglah bentuk perpangkatan bilangan rasional berikut Tugas untukmu Pada Definisi 5.4, disebutkan bahwa a0 = 1. Selidiki mengapa hal tersebut berlaku untuk a bilangan rasional dan a 0? Bagaimana jika a = 0? Tulis hasil penyelidikanmu pada buku tugasmu, kemudian kumpulkan pada gurumu. Siapa Berani? Sifat 5.1 sampai dengan Sifat 5.5 yang telah kamu pelajari pada bagian berlaku juga untuk bilangan berpangkat nol, dengan m = n = 0, a adalah bilangan rasional, dan a 0. Coba tuliskan kelima sifat tersebut. 1 a

21 5 4 m pangkat bilangan bulat positif dan negatif, yaitu a n = am n, dengan a bilangan rasional, m dan n adalah bilangan bulat, m 0, n 0, serta m n. Sekarang, amati sifat tersebut untuk m = n a. Ubahlah bentuk pangkat berikut menjadi bentuk pangkat positif. a. 5 7 b. 9 c. d. 4 5 (0,1) (0,15) 1 Pangkat Tak Sebenarnya 11 Penyelesaian: =

22 5 8 = 7 ( ) = = 5 = = = 5 4 = 4 = Tes Kompetensi 5.1 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1. Hitunglah: a. 5 : 4. 5 b. c. (0,5) (0,5)4

23 d. ( 7) e.. 4 Tentukan R jika R1 = Hitunglah dalam bentuk yang paling sederhana. Volume sebuah kerucut dinyatakan dengan rumus V = t alas kerucut dan t = tinggi kerucut. 4. R= 1 r Jika r = 1 d, dalam hal ini d = diameter alas kerucut, nyatakan: a. V dalam ¾, d, dan t; b. t dalam V, ¾ dan r; c. d dalam ¾, V, dan t; d. t dalam ¾, V, dan d. Hambatan total R dari sebuah rangkaian seri paralel ditentukan oleh persamaan 1

24 1 R R 6. 1 ¾ rt, dengan r = jari-jari 1 1 R R4, R = ¾, dan R4 = ¾. Diketahui produksi semen (x) sebuah pabrik memenuhi persamaan x = 5 4 t 106 dengan t bilangan bulat positif yang menyatakan waktu berjalan dalam tahun. Jika keuntungan perusahaan dinyatakan p = 5 105, oleh p dari persamaan x dan nyatakan hasilnya 1, R = 1 7. berapakah keuntungan perusahaan yang diperoleh selama tahun? Gunakanlah Sifat 5.6 dan 5.7 untuk menyederhanakan bilangan berpangkat berikut. a b c. ( 5)6 ( 5)5 d Hambatan sebuah alat listrik (R) bersatuan ohm dirumuskan R = 8. V. Dalam hal ini P V = tegangan listrik bersatuan volt, dan P = daya listrik bersatuan watt. Pada sebuah alat listrik tertulis 0 volt, 0 watt. Berapa ohm hambatan alat listrik tersebut? Besarnya energi listrik yang digunakan pada sebuah alat listrik dirumuskan W = I Rt. Dalam hal ini W = energi listrik bersatuan joule, I = kuat arus listrik Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

25 9. bersatuan ampere, R = hambatan listrik bersatuan ohm, dan t = waktu bersatuan detik. Suatu alat listrik mempunyai hambatan 10 ohm dialiri arus 10 ampere selama 5 menit. Berapa joule besarnya energi listrik yang digunakan? Sebuah penampungan air berbentuk kubus dengan panjang rusuk 1,5 10 cm. Berapa liter volume penampungan air tersebut? 10. Panjang sebuah karet gelang () dirumuskan sebagai berikut. = (4a ) 5 ( 9)4 dengan a merupakan bilangan 1,,, 4, dan 5 yang menyatakan jenis karet gelang. Jenis karet gelang manakah yang memiliki ukuran terpanjang? B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan 1. Bilangan Real A Di Subbab A kamu telah mempelajari konsep bilangan rasional. Agar kamu lebih memahami konsep bilangan rasional, coba kamu selidiki apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan rasional? a. c. 0, b. 0, d. ¾ Sekarang, pelajarilah Gambar 5.1. Gambar tersebut memperlihatkan sebuah segitiga sikusiku istimewa dengan besar sudut lancipnya 45 dan panjang sisi siku-sikunya 1 satuan panjang. Panjang sisi AC dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil Pythagoras seperti berikut. (AC) = (AB) + (BC) AC = 1 1 =. Jadi, panjang sisi AC adalah satuan panjang. Amati bilangan tersebut. Dengan menggunakan kalkulator, akan diperoleh nilai = 1, Apakah merupakan bilangan rasional? Coba kamu cari nilainilai a dan b agar = a, dalam hal ini a dan b b bilangan bulat dan b 0. Ternyata, tidak ada nilai a dan b yang memenuhi a = b, sehingga bukan bilangan rasional. Jadi, merupakan bilangan irasional. Gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional merupakan himpunan bilangan real B 1 C

26 Gambar 5.1 Catatan Hubungan antara macam-macam bilangan dapat disajikan seperti diagram berikut. Bilangan Real Bilangan Rasional Bilangan Bulat Bilangan Cacah Bilangan Bulat Positif (Bilangan Asli) Bilangan Irasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Negatif Bilangan Nol Pangkat Tak Sebenarnya 1. Pengertian Bentuk Akar Untuk memahami pengertian bentuk akar, pelajarilah perhitungan-perhitungan berikut ini. Siapa Berani? 4 = Bentuk 4 x dengan x 0 dapat merupakan bentuk akar atau bukan bentuk akar. Tentukan paling sedikit dua nilai x agar bentuk tersebut merupakan a. bentuk akar, b. bukan bentuk akar. Tugas untukmu Bentuk akar hanyalah sebagian kecil dari anggota-anggota himpunan bilangan irasional. Contoh bilangan irasional yang bukan bentuk akar yaitu ¾ dan e. Carilah informasi mengenai bilangan ¾ dan e. Kemudian, buatlah laporan dari tugas tersebut dan kumpulkan. Siapa Berani? Perhatikan balok berikut. H G F E D A = Berapakah 6, 9 = 16 = 4 = 4

27 5 = 5 64, dan 81? 5 = 49, Perhitungan akar pangkat bilangan tersebut memenuhi definisi berikut. Definisi 5.5 a = a, bil a r 0 a, bil a 0 Amati contoh-contoh berikut. 1. Misalkan, a = (a > 0) Nilai a = =. Misalkan, a = (a < 0) Nilai a = ( ) = ( ) = Sekarang, adakah akar pangkat yang tidak memenuhi? Akar pangkat bilangan yang tidak memenuhi Definisi 5.5 dinamakan bentuk akar, seperti,, 5, 7, dan 8. Bentuk akar tersebut merupakan bilangan irasional.. Menyederhanakan Bentuk Akar Sebuah bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan, dengan salah satu akar pangkat bilangan memenuhi Definisi 5.5. Amati dan pelajari contoh berikut. 8 = 4 = 4 = = 18 = 9 = 9 = = Berdasarkan perhitungan tersebut, dapatkah kamu menemukan sifat berikut? Sifat 5.8 C ab a B Diketahui AB = 8 cm, BC = 4 cm, dan CG = 6 cm. Hitunglah panjang diagonal sisi AC dan diagonal ruang AG dalam bentuk akar yang paling sederhana. 14 = b, dengan a dan b adalah bilangan rasional positif. Contoh = 4 = 4 = 4 = 4 6 = 4 6 = 6

28 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX 4. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Di buku Kelas VII Bab, kamu telah mempelajari penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar, misalnya x + x = ( + )x = 5x... (1) 5y y = (5 )y = y... () Konsep tersebut berlaku juga untuk bentuk akar, misalnya... () + = ( + ) = 5... (4) 5 = (5 ) = Berdasarkan kedua contoh tersebut dapatkah kamu menerka sifat umum penjumlahan dan pengurangan bentuk akar? Nyatakan sifat tersebut dengan kata-katamu sendiri. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar tersebut memperjelas sifat berikut. Sifat 5.9 Siapa Berani? Hitunglah operasi bentuk akar berikut dengan terlebih dahulu menyederhanakan bentuk akarnya. a. a c b c = (a + b) c a c b c = (a b) c dengan a, b, c adalah bilangan rasional dan c 0. + b c. + 8 d Contoh = (4 + ) = (Tidak dapat dijumlahkan karena tidak meme-. nuhi aturan penjumlahan bentuk akar) b. Perkalian Bentuk Akar Dengan menggunakan Sifat 5.8, kamu dapat menghitung perkalian bentuk akar berikut. = = 6

29 = = 9 = Sederhanakan bentuk akar berikut. 5 6 = 5 6 = 0 6 Ketiga perkalian tersebut memenuhi sifat perkalian bentuk akar, yang secara umum ditulis seperti berikut. Sifat 5.10 a b Siapa Berani? a. b. c. d. e c d = ac bd dengan a, b, c, d adalah bilangan rasional, b 0, dan d 0. Pangkat Tak Sebenarnya 15 Contoh 5.1 Sederhanakan bentuk-bentuk berikut. b. 5 a. Penyelesaian: a. Ingat perkalian suku dua. (a + b) (a b) = a ab + ab b = a b Oleh karena itu, Sederhanakan bentuk akar berikut b. 150

30 5 7 c Pada Sifat 5.11, dituliskan persamaan b = = = c. Pembagian Bentuk Akar Untuk memahami pembagian bentuk akar, amati dan pelajarilah uraian berikut. 100 : 4 = 10 : = 5 = 100 : 4 = 5 = : 9 = 6 : = = 6 : 9 = 4 =. Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh hubungan berikut. 100 : 4 = 100 : 4 = : 9 = 6 : 9 =. Perhitungan tersebut menggambarkan sifat pembagian dalam bentuk akar seperti berikut. Sifat 5.11 a b dengan a dan b bilangan rasional, a 0, dan b > 0. Selidikilah bagaimana jika a dan b negatif? Berilah beberapa contoh, lalu amati. Kemudian, tuliskan hasil penyelidikanmu pada buku tugasmu dan kumpulkan pada gurumu. 16 5

31 Tugas untukmu a = = = = =1 b. Ingat, (a + b) = a + ab + b Oleh karena itu, Siapa Berani? a. a = b a atau b a = b a b dengan a dan b adalah bilangan rasional, a 0, dan b > 0. Contoh 5.14 a. 18 = 18 = 6 b. Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX 6 15 = 6 15 = 5

32 5. Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan Kamu telah mempelajari bahwa bentuk akar merupakan bilangan irasional, seperti, 5, + 5,, dan 5 +. Pecahan bentuk akar merupakan bilangan irasional juga Misalnya 1 1, 1,, 5, dan Penyebut pecahan-pecahan tersebut dapat diubah menjadi bilangan rasional. Cara merasionalkan setiap penyebut berlainan. Akan tetapi, prinsip dasarnya sama, yaitu mengalikan penyebut-penyebut tersebut dengan pasangan bentuk akar sekawannya sehingga diperoleh penyebut bilangan rasional. Berdasarkan contoh pecahan-pecahan bentuk akar tersebut, secara umum bentuk akar yang dapat dirasionalkan, a c c c c yaitu,,,, dan, dengan b a b a b b d b d a, b, c, dan d adalah bilangan rasional dan b > 0, d > 0. Penyebut dari pecahan-pecahan tersebut berturut-turut b,a b,a b, b d, dan b d. Apakah bentuk sekawan dari setiap penyebut itu? a. Bentuk sekawan dari b adalah b. b. Bentuk sekawan dari a + b adalah a b. c. Bentuk sekawan dari b + d adalah b d. Perkalian bentuk akar dengan sekawannya akan menghasilkan bilangan rasional. Berikut ini perkalian bentuk akar dengan pasangan sekawannya yang menghasilkan bilangan rasional. a. b.

33 b a b b = b b a b = a b d b d = b b = = a b d =b d dengan b, a b, dan b d adalah bilangan rasional. Sampai saat ini, kamu telah mempelajari perkalian penyebut pecahan bentuk akar dengan pasangan sekawannya sehingga diperoleh penyebut bilangan rasional. Sekarang, kamu akan mempelajari bagaimana penerapannya dalam merasionalkan penyebut dari pecahan bentuk akar. Secara umum, pecahan bentuk akar yang dapat dirasionalkan penyebutnya adalah c. a c c c, dan,,, b a b a b b d c b InfoNet Kamu dapat menambah wawasanmu tentang materi dalam bab ini dari internet dengan mengunjungi alamat: manajemen.klanis.or.id/ warehouse/bab%01%0 bilangan%0pangkat.doc. d Pangkat Tak Sebenarnya 17 Pecahan tersebut masing-masing dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawan dari penyebutnya, yaitu sebagai berikut. a. a = a b b b b Ingat, b b 1 = a b = a b = a b b Uji Kecerdikan Kerjakan soal-soal berikut. Kemudian, pasangkan hasilnya dengan jawaban yang

34 bersesuaian dengan cara menuliskan hurufhuruf soal pada kotak yang tersedia. Jika kamu menjawab dengan benar, kamu akan memperoleh kalimat pernyataan dari seorang matematikawan Jerman, Carl Friedrich Gauss. A. 4 6 E. H. ( 5) I. 4 K. M. c. 15 1/ /9 1/4 7 N. 4 : 44 R. 5

35 T. U. Ingat, a b a b d b c e. b d b b d d = c b b d d d d b b d = c b b d d d c =

36 1 b b c = Contoh 5.15 Sederhanakan penyebut pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya. a. 10 1/9 a Penyelesaian: 40 6 b c b 56 = c a b b b b = c a b = c a a b a b a b c c a b c = = a b a b a b a b a b d.

37 1/9 a a a 1/6 6 b b c = a 16/81 6 c b. b b b. 10 = = 5 = 10 5 = = 6 5 = = 5+ 5

38 6. Pangkat Pecahan Kamu telah mempelajari bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif. Selanjutnya, kamu akan mempelajari bilangan berpangkat pecahan. Misalkan, 18 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX pandanglah persamaan 9n =. Ini berarti 9 dipangkatkan n sama dengan. Selain itu, 9n = dapat juga ditulis dalam bentuk ()n = n = 1 1 Artinya, n = 1 atau n =. Jadi, jika 9n =, sama artinya 1 dengan 9 =. 1 1 adalah eksponen pecahan. 1 Bilangan 9 dinamakan bilangan berpangkat pecahan. Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa 9 = dan Pada bentuk 9, bilangan =. Jadi, 9 = 9 =. Secara umum, jika an = p dengan a, p adalah bilangan real 1 dan n adalah bilangan bulat, dengan n > 0 maka a = p n. Definisikan a = n p (dibaca: "a adalah akar pangkat n dari p"). Pada definisi tersebut berlaku ketentuan berikut. Catatan (i) p merupakan bilangan real positif dan nol untuk n bilangan genap. (ii) p merupakan semua bilangan real untuk n bilangan ganjil. Contoh: Jika 15k = 5 maka (5)k = 5 ¾ 5k = 51 ¾ k = 1 ¾ k = 1 1 Jadi, 15 = 5, atau 15 = 5. Dengan menggunakan pengembangan Sifat 5., kamu dapat menentukan hubungan antara akar pangkat suatu bilangan dan bilangan berpangkat pecahan seperti berikut. 1

39 pn n 1 = pn n n = p n = p1 = p p 1 n Bilangan berpangkat tak sebenarnya meliputi, bilangan berpangkat nol, bilangan berpangkat bilangan bulat negatif, dan bilangan berpangkat pecahan seperti 1, dan =p Bilangan berpangkat bilangan bulat positif disebut juga bilangan berpangkat sebenarnya, seperti, ( ), n 1, 5, 0, 50,, 10, dan 1

40 5, (0,), 1. 1 p n adalah akar pangkat n dari p atau dituliskan n p = pn. 1 p n disebut bilangan berpangkat pecahan. 1 Pada p n berlaku ketentuan berikut. (i) p merupakan bilangan real positif dan nol, untuk n bilangan genap. (ii) p merupakan semua bilangan real untuk n bilangan ganjil. Secara umum, untuk bilangan berpangkat pecahan, berlaku sifat berikut. Pangkat Tak Sebenarnya 19 Sifat 5.1 Uji Kecerdikan Penjualan sepeda motor pada suatu dealer mengikuti persamaan p Sifat n 1 m = p m 1 m n pn = p ms 1 n

41 = pm 1 n = n pm Sifat 5.14 p = t. m Dalam hal ini, t adalah bilangan bulat positif yang menyatakan waktu dalam tahun. a. Hitung banyaknya sepeda motor yang terjual pada tahun ke-4. b. Apakah penjualan terus meningkat dari tahun ke tahun? Jika ya, bagaimana pendapatmu mengenai dampaknya terhadap lingkungan? m 1 = pn µ = 1 sm p n = pn n m p Berdasarkan Sifat 5.1 dan 5.14, terlihat bahwa m pn = pm = n n m p

42 Contoh Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut. 5 b. a. 8 Penyelesaian: 8 = a. b. = = = 1 = 5 5 = = 8 4= 8 4. = 4 = 4 = 4 Ubahlah bentuk akar berikut menjadi pangkat pecahan. a. 5 b. 5 81

43 Penyelesaian: 4 Hal Penting. eksponen polinem bilangan berpangkat pangkat negatif pangkat pecahan bentuk akar 5 b = 4 = 5 a. 5 = 5 Ubahlah pangkat pecahan berikut menjadi bentuk akar. 1 a. 1 4 Penyelesaian: 6 c. = a. b = 1 6 = 1 b. c. = =

44 8 = 6 Contoh 5.17 x Jari-jari penampang melintang sebuah batang tumbuhan dikotil 5 x x x 10 x cm. Adapun pada musim pada musim dingin adalah panas, ukurannya tersebut menyusut sejauh x cm, seperti pada gambar di samping. Hitunglah penurunan luas penampang tumbuhan dikotil tersebut pada musim panas. Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX Penyelesaian: Langkah 1 Menuliskan apa yang diketahui dan yang ditanyakan soal tersebut. 5 x cm 5 x Jari-jari batang setelah menyusut r = Diketahui: Jari-jari batang mula-mula = r1 = cm x Ditanyakan: Penurunan luas penampang (¾L) Langkah Menentukan konsep yang akan digunakan untuk menjawab soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah luas daerah lingkaran dan operasi pada bentuk akar. Langkah Menyelesaikan soal. ¾L = Luas mula-mula Luas batang setelah menyusut 5 x = πr1 πr = = 5 x 4 x 5 x = 5 x 4

45 x 9 16 πx = 4πx x= 4 4 x = x= 9 x 4 = 4πx + 5 x= 4 5 x 1. Sederhanakanlah soal-soal berikut. a. 8 b c. d e. 8 f.

46 g. Jadi, penurunan luas penampang tumbuhan tersebut = 4πx cm. Langkah 4 Memeriksa kembali jawaban yang telah diperoleh. Oleh karena ¾L = πr1 πr maka ¾L + πr = 4πx + Siapa Berani? Ubahlah bentuk akar berikut menjadi pangkat pecahan. a. a. Jadi, jawaban ¾L = 4πx cm tersebut benar karena ¾L + πr = πr1. 1 b. 16 d.. Ubahlah pangkat pecahan berikut menjadi bentuk akar. 1 = πr1 c. 11 b. 7 c. 115

47 Tes Kompetensi 5. Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1. Sederhanakan bentuk akar berikut a. c b. d. Hitunglah operasi-operasi berikut. a. 6 6 b. 7 c. 48 d Sederhanakan pecahan bentuk akar berikut dengan merasionalkan penyebutnya. a. b c. d Nyatakan soal-soal berikut dalam bentuk akar yang paling sederhana. 1 a. 10 b Pangkat Tak Sebenarnya

48 11 5. Sederhanakanlah soal-soal berikut dan nyatakan hasilnya dalam bentuk bilangan berpangkat rasional positif. a b ( 5) ( ) p= b. p = x 1 x bilangan Selidikilah apakah pernyataan berikut benar atau salah. Jelaskan hasil penyelidikanmu. a = a = ( )( ) 1 = Ubahlah persamaan tersebut dalam bentuk yang paling sederhana, tanpa menggunakan pangkat bilangan negatif. 7. Hitunglah p + q, p q, dan p q, serta sederhanakan hasilnya jika a. rasional untuk x =

49 c. b. 4 4 d Amati persamaan berikut. 1 a 9. Tunjukkan bahwa dan q = 1 dan q = Carilah nilai x untuk persamaan a ) a = ( = a 11. Sebuah kubus dengan R R Z panjang rusuk 6 cm disandarkan pada S dinding sehingga Q posisinya miring seperti pada gambar. Y P Jika PY = 4 cm dan RZ = 1 cm, berapa tinggi titik R dari lantai? 1. Sederhanakan bentuk a b untuk x 4x = 1. 4 a= 1, dan b = 1. Ringkasan Berikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini. 1. Bilangan rasional ialah bilangan yang dapat

50 4. a b dinyatakan dalam bentuk, dengan a dan.. b adalah bilangan bulat serta b 0. Jika a adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif maka am an = am + n. Jika a adalah bilangan rasional, dengan a 0, dan m, n adalah bilangan bulat m positif maka a n = am n dengan m > n. a Jika a adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif maka (am)n = am n = an m. Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif dengan m n maka pan + qam = an (p + qam n). Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif dengan m n maka pan qam = an (p qam n); pam qan = an (pam n q). Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan katakatamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu. 1 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX Refleksi 1... Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 sampai 8 orang atau disesuaikan dengan kondisi kelasmu. Setiap anggota kelompok menceritakan tentang materi apa saja dari bab ini yang menurutmu paling mudah dan yang paling sulit dipahami berikut alasannya. Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain. Tes Kompetensi Bab 5 Kerjakanlah pada buku tugasmu. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat Nilai ( 6) sama dengan... a. 6 c b. d =... a b.

51 c d Dengan merasionalkan penyebutnya, 6 dapat disederhanakan bentuk menjadi... a. + c. d. b. 4 =... a. 7 b =... a. 5 b. 8 c. 6 d. 7 c. 5 d =... 8 a. 6 c. 6 b. 8 d =... a. c. b. 15 d Dengan merasionalkan penyebutnya, bentuk 6 dapat disederhanakan menjadi... d. a. c. b =... a. b. c. d. 8 5 =...

52 a. 5 b. 5 c. 5 5 d. Pangkat Tak Sebenarnya =... 9 c. a. 8 b = a. b. c. 5 d Dengan cara merasionalkan penyebutnya, bentuk akar menjadi... a a. b. c. d. dapat disederhanakan 17.

53 1 5 c. 5 1 d. b b. c. d a. b. c. d =... = =

54 a. b. c. d = a. b. c. d. =... a. d a. b. c. d a. b. c. d = Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX 8 =...

55