BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 3.1 Definisi Graf Graf G didefenisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis dengan notasi G=(V,E). Dalam hal ini, V merupakan himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (verticeataunode) digambarkan dalam titik-titik, dan E adalah himpunan sisi-sisi (edges atau arcs) digambarkan dalam garis-garis yang menghubungkan sepasang simpul [6]. Dapat dilihat pada Gambar 2.1. B e 1 e 2 e 3 A e 4 C Gambar 2.1 Graf [14] Pada Gambar 2.1 diatas, graf terdiri dari himpunan V dan E yaitu: V = (A, B, C) E = (e1, e2, e3, e4) Simpul-simpul pada graf dapat merupakan objek sembarang seperti kota, atom-atom suatu zat, nama anak, jenis buah, komponen alat elektronik dan Satuan Kerja Perangkat Daerah yang merupakan studi kasus penulis. Sisi graf dapat menunjukkan hubungan (relasi) sembarang seperti rute penerbangan, jalan raya, sambungan telepon, ikatan kimia, dan lain-lain.

2 7 Notasi graf: G(V,E) artinya graf G memiliki V simpul dan E sisi. Banyaknya simpul (anggota V) disebut orde Graf G, sedangkan banyaknya sisi (anggota E) disebut derajat/ukuran (size) Graf G Jenis-Jenis Graf Garf terdiri dari beberapa jenis sebagai berikut: 1. Graf sederhana (simple graph) Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi ganda dinamakan graf sederhana. [14] 2. Graf tak-sederhana (insimple graph) Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana Termonologi graf. [14] Macam-Macam Graf Menurut arah dan bobotnya, graf dibagi menjadi empat bagian, yaitu: 1. Graf berarah dan berbobot. Garf yang tiap busur mempunyai anak panah dan bobot.dapat dilihat pada Gambar B E A D 2 G C F 3 Gambar 2.2 Graf berarah dan berbobot 2. Graf tidak berarah dan berbobot Tiap busur tidak mempunyai anak panah tetapi mempunyai bobot.dapat dilihat pada Gambar 2.3.

3 8 2 B E A D 2 G C F 3 Gambar 2.3 Graf tidak berarah dan berbobot 3. Graf berarah dan tidak berbobot. Tiap busur mempunyai anak panah yang tidak berbobot.dapat dilihat pada Gambar 2.4. B E A D G C F Gambar 2.4 Graf berarah dan tidak berbobot 4. Graf tidak berarah dan tidak berbobot Tiap busur tidak mempunyai anak panah dan tidak berbobot.dapat dilihat pada Gambar 2.5. B E A D G C F Gambar 2.5 Graf tidak berarah dan tidak berbobot Representasi Graf Dalam pemrosesan graf dengan program komputer, graf harus direpresentasikan di dalam memori.terdapat beberapa representasi yang mungkin untuk graf.terdapat tiga

4 9 macam representasi yang sering digunakan pada graf sederhana, yaitu matriks ketetanggaan, bersisian, dan senarai ketetanggaan Matriks Ketetanggaan Dalam mempermudah perhitungan pada program komputer, graf dapat direpresentasikan dengan menggunakan matriks. Salahsatunya adalah matriks ketetanggaan. Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf sederhana dimana V = n, n > 1. Misalkan simpul dari G adalah v1, v2, vn. Maka, matriks ketetanggaan A dari G adalah n x n matriks, dimana dalamnotasi matematika dituliskan sebagai berikut [11] : = 1, jika simpul i dan j bertetangga. = 0, jika simpul i dan jtidak bertetangga. (2.1) Matriks ketetanggaan dari sebuah graf mengacu pada keterurutan dari simpul. Sehingga, ada sebanyak n! keterurutan yang berbeda yang terbentuk dari n simpul. Matriks ketetanggaan merupakan graf sederhana yang simetris, yaitu =. Hal ini disebabkan oleh kedua-duanya adalah 1 ketika vi dan vj mempunyai sisi, dan adalah 0 jika tidak ada sisi diantaranya, dinamakan juga matriks nol-satu, sedangkan untuk graf berarah, mtriks ketetanggaanya belum tentu simetri (akan berupa simetri jika berupa graf berarah lengkap). Selain itu, graf sederhana tidak mempunyai gelang, sehingga diagonal utamanya selalu 0 karena aii, i = 1, 2, 3,, n adalah 0. Sayangnya, matriks ketetanggaan nol-satu tidak dapat digunakan untuk merepresentasikan graf yang mempunyai sisi ganda. Untuk mengatasinya, maka elemen aij pada matriks ketetanggaan sama dengan jumlah yang berasosiasi dengan (vi, vj). Matriks ketetanggaannya bukan lagi matriks nol-satu untuk graf semu, gelang

5 10 pada simpul vi dinyatakan dengan nilai satu pada posisi (i, j) di matriks ketetanggaannya. Keuntungan representasi dengan matriks adalah elemen matriksnya dapat diakses langsung melalui indeks.selain itu, kita dapatmengetahui secara langsung apakah simpul i dan simpul j bertetangga Matriks Bersisian Bila matriks ketetanggaan menyatakan ketetanggaan simpul-simpul di dalam graf, maka matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi. Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul dan m buah sisi, maka matriks kebersisian A dari graf G adalah matriks yang berukuran m x n. Baris menunjukkan label simpul, sementara kolom menunjukkan label sisinya.dalam notasi matematika dituliskan sebagai berikut [11] : = 1, jika simpul i berisian dengan sisi j. = 0, jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j. (2.2) Senarai Ketetanggaan Kelemahan matriks ketetanggaan adalah bila graf memiliki jumlah sisi relatif sedikit, karena matriksnya bersifat jarang, yaitu banyak mengandung elemen nol, sedangkan elemen yang bukan nol sedikit.ditinjau dari segi implementasi, kebutuhan ruang memory untuk matriks jarang, boros, karena komputer menyimpan banyak elemen nol yang tidak perlu. Untuk mengatasi masalah ini,senarai ketetanggaan mengenumerasi simpul-simpul yang bertetangga dengan setiap simpul di dalam graf [14].

6 Traveling Salesman Problem Sejarah Traveling Salesman Problem Permasalahan matematik yang berkaitan dengan Traveling Salesman Problem (TSP) mulai muncul sekitar tahun 1800-an. Masalah ini dikemukakan oleh dua orang matematikawan, yaitu Sir William Rowan Hamilton yang berasal dari Irlandia dan Thomas Penyngton Kirkman yang berasal dari Inggris. Diskusi mengenai awal studi dari persoalan TSP ini dapat ditemukan di buku Graph Theory by N.L. Biggs, E.K. LLoyd, and R.J. Wilson, Clarendon Press, Oxford, Bentuk umum dari persoalan TSP pertama kali dipelajari oleh para matematikawan mulai tahun 1930-an Karl Menger di Vienna dan Harvard. Persoalan tersebut kemudian dikembangkan oleh Hassler Whitney dan Merril Flood di Princeton. Penelitian secara mendetail hubungan antara Menger dan Whitney, dan perkembangan persoalan TSP sebagai sebuah topik studi dapat ditemukan pada tulisan Alexander Schriver On the history of combinatorial optimization (till 1960). [2] Definisi Traveling Salesman Problem Persoalan Traveling Salesman Problem (TSP) merupakan salah satu persoalan kombinatorial.banyak permasalahan yang dapat direpresentasikan dalam bentuk TSP. Persoalan ini sendiri menggunakan representasi graf untuk memodelkan persoalan yang diwakili sehingga lebih memudahkan penyelesaiannya. Diantara permasalahan yang dapat direpresentasikan dengan TSP adalah masalah transportasi, efisiensi pengiriman surat atau barang, perancangan pemasangan pipa saluran, proses pembuatan PCB (Printed Cirtcuit Board) dan lain-lain. Persoalan yang muncul adalah bagaimana cara mengunjungi simpul (node) pada graf dari titik awal ke setiap titiktitik lainnya dengan bobot minimum (biaya paling murah). Bobot atau biaya ini sendiri dapat mewakili berbagai hal, seperti biaya, jarak, bahan bakar, waktu, kenyamanan dan lain-lain.

7 12 Pada Traveling Salesman Problem (TSP), jumlah jalur yang mungkin diproleh dalam notasi matematika dituliskan sebagai berikut [11]: (2.3) Dimana: n = jumlah seluruh node k = jumlah node yang diseleksi Terdapat dua jenis Traveling Salesman Problem (TSP), yaitu asimetris dan simetris. Pada TSP asimetris, biaya dari node 1 ke node 2 tidak sama dengan biaya dari node 2 ke node 1. Sedangkan pada TSP simetris, biaya dari node 1 ke node 2 sama dengan biaya dari node 2 ke node 1. Untuk Traveling Salesman Problem (TSP) asimetris, jumlah jalur yang mungkin adalah permutasi dari jumlah node dibagi dengan jumlah node. Hal ini dapat dipahami karena secara siklus, sebuah jalur dengan urutan adalah sama dengan jalur dan Tetapi jalur dengan urutan tidak sama dengan Jadi apabila terdapat 10 node, maka jalur yang mungkin untuk TSP asimetris adalah: (2.4) Sedagkan untuk Traveling Salesman Problem (TSP) simetris, jumlah jalur yang mungkin adalah permutasi dari jumlah node dibagi dengan dua kali jumlah node. Hal ini dapat dipahami karena secara siklus sebuah jalur dengan urutan adalah sama dengan jalur dan Karena biaya dari node 1 ke node 2 sama dengan biaya dari node 2 ke node 1, maka jalur dengan urutan sama dengan jalur Jadi apabila terdapat 10 node, maka jalur yang mungkin untuk TSP simetris adalah: (2.5) Dalam sebuah graph, TSP digambarkan seperti Gambar 2.6 berikut:

8 13 A 5 B E D 2 C Gambar 2.6 Ilustrasi Masalah TSP Kota-kota pada Gambar 2.6 masing-masing mempunyai koordinat (x,y) sehingga jarak antar kedua kota dapat dihitung dengan rumusan: [2] (2.6) Pencarian Lintas Terpendek dapat dinyatakan dengan persamaan: [2] (2.7) Kompleksitas Masalah Solusi langsung atas masalah Traveling Salesman Problem (TSP) adalah metode brute force, yakni dengan mencoba semua kemungkinan yang ada, kemudian dilihat mana biaya yang paling minimum. Tetapi cara ini membutuhkan tenaga dan waktu yang cukup banyak, karena jumlah kemungkinan yang dicoba berjumlah n!, di mana n merupakan banyak titik atau kota. Karena itu cara ini mustahil untuk dipraktekkan Algoritma Penyelesaian Traveling Salesman Problem Metode penyelesaian dibagi menjadi dua, yaitu penyelesaian secara eksak dan dengan menggunakan pendekatan (heuristic). Untuk yang secara eksak, hanya baik apabila

9 14 jumlah titik atau kota tidak terlalu banyak. Kurang rasional kalau untuk jumlah titik yang banyak digunakan cara eksak, karena akan memakan waktu dan tenaga yang sangat banyak. Metode heuristic, walaupun tidak dapat dibuktikan bahwa solusi tersebut paling optimal, tetapi secara rasio cara ini yang paling mungkin dipakai. Waktu untuk menghasilkan solusi lebih singkat, dapat dipakai untuk ribuan titik, dan hasil yang didapat juga dapat dikatakan hampir mendekati, bahkan kadang-kadang sama dengan solusi optimal. 1. Algoritma Eksak a. Algoritma Branch and Bound Hanya dapat dipakai untuk jumlah kota atau titik yang kecil (40 sampai 60 kota). Terbagi menjadi dua proses, yaitu branching dan bounding. Di mana dalam branching suatu feasible region dipecah-pecah menjadi beberapa feasible subregion, kemudian dalam bounding, subregionsubregion yang feasible tersebut digabungkan kembali. b. Algoritma Cutting Plane Algoritma ini berdasarkan linear programming. Cara kerjanya adalah dengan menyelesaikan program linier non integer, kemudian diuji apakah nilai optimum yang didapat merupakan solusi integer. Jika tidak, maka non integer dihilangkan, tetapi tidakmenghilangkan integer pada daerah feasible. Cara ini dilakukan terus-menerus sampai menemukan solusi integer optimal. 2. Nearest Neighbour Algoritma ini tidak memerlukan banyak tenaga atau waktu dalam perhitungan dan dapat menghasilkan solusi yang cukup mendekati rute optimal, namun hanya bisa diandalkan untuk kasus tertentu saja. Untuk kasus yang umum metode ini seringkali menghasilkan rute tidak optimum.

10 Algoritma Genetik Algoritma Genetik (AG) banyak dipengaruhi oleh ilmu Biologi [9]. Sesuai dengan namanya, proses-proses yang terjadi dalam AGsama dengan apa yang terjadi pada evolusi biologi. Dalam biologi, sekumpulan individu yang sama, yang disebut spesies, hidup, bereproduksi, dan mati dalam suatu area, yang disebut populasi. Jika anggotaanggota populasi terpisah, misalkan karena terjadi banjir, gempa bumi atau bencana alam lainnya, maka individu-individu tersebut akan membentuk beberapa populasi yang terpisah. Dalam waktu yang cukup lama, mungkin saja akan terjadi proses pembentukan spesies baru. Dalam hal ini, terjadi perubahan hereditas secara bertahap yang membentuk ciri-ciri baru pada spesies tersebut. Perubahan bertahap secara bersamaan pada kedua spesies dikenal sebagai co-evolution. Konsep yang penting disini adalah hereditas, yaitu sebuah ide yang menyatakan bahwa sifat-sifat individu dapat dikodekan dengan cara tertentu, sehingga sifat-sifattersebut dapat diturunkan kepada generasi berikutnya. Setiap individu dari suatu spesies membawa sebuah genome yang berisi beberapa kromosom dalam bentuk molekul-molekul DNA (Deoxyribo Nucleic Acid). Setiap kromosom berisi sejumlah gen, dimana unit-unit hereditas dan pengkodean informasi diperlukan untuk membangun dan menjaga suatu individu. Setiap gen dibangun dari suatu urutan bases. Terdapat empat bases dalam kromosom yang dinyatakan sebagai A, C, G, dan T. Jadi, informasi disimpan dalam suatu pola digital, menggunakan keempat simbol tersebut. Selama perkembangan dan juga selama kehidupan suatu individu, DNA dibaca dengan suatu enzim yang disebut RNA (Ribo Nucleic Acid) polymerase. Proses ini dikenal sebagai transcription yang menghasilkan MesengerRNA(mRNA). Selanjutnya, protein dibentuk dalam suatu proses yang disebut translation menggunakan mrna sebagai sebuah template. Masing-masing gen dapat memiliki beberapa setting, yang dikenal dengan allele. Selanjutnya, genome yang lengkap dari suatu individu dengan semua settingnya disebut sebagai genotype. Suatu individu dengan semua sifat-sifatnya dikenal dengan istilah phenotype.

11 16 Konsep penting dalam teori evolusi adalah fitness dan selection untuk proses reproduksi. Pada proses evolusi di dunia nyata, terdapat dua cara reproduksi, yaitu reproduksi seksual dan aseksual. Pada reproduksi seksual, kromosom-kromosom dari dua individu (sebagai orang tua) dikombinasikan untuk menghasilkan individu baru. Artinya, kromosom pada individu baru berisi beberapa gen yang diambil dari orangtua pertama dan beberapa gen lainnya diambil dari orangtua kedua. Hal ini disebut dengan crossover (pindah silang). Namun demikian, proses pengkopian gen orangtua ini tidak luput dari kesalahan. Kesalahan pengkopian gen ini dikenal dengan istilah mutation (mutasi). Sedangkan pada reproduksi aseksual, hanya satu individu orangtua yang diperhatikan, sehingga tidak terjadi proses crossover. Tetapi, proses mutasi juga mungkin terjadi pada reproduksi aseksual. Algoritma Genetik (AG) adalah teknik optimasi yang terkenal. Secara umum ada tiga golongan besar teknik optimasi, yang berbasis pada kalkulus, enumeratif dan pencarian acak terarah (guide random search). Seperti dapat dilihat pada Gambar 2.7 berikut ini. TEKNIK PENCARIAN BERBASIS KALKULUS DIPANDU BIL. ACAK ENUMERTIVE LANGSUNG TIDAK LANGSUNG SIMULATED ANNEALING ALGORITMA EVOLUSI DYNAMIC PROGRAMMING FIBONACCI NEWTON STRATEGI EVOLUSI PEMROGRAMAN EVOLUSIONER DINAMIKA EVOLUSIONER ALGORITMA GENETIK Gambar 2.7 Diagram pengelompokan dalam teknik pencarian [11]. Sejak pertama kali dirintis oleh John Holland pada tahun 1960-an, Algoritma Genetik (AG) telah dipelajari, diteliti dan diaplikasikan secara kuat pada berbagai

12 17 bidang. AG sangat berguna dan efisien untuk masalah dengan karakteristik sebagai berikut: a. Ruang masalah sangat besar, kompleks, dan sulit dipahami. b. Kurang atau bahkan tidak ada pengetahuan yang memadai untuk merepresentasikan masalah ke dalam ruang pencarian yang lebih sempit. c. Tidak tersedianya analisis matematika yang memadai. d. Ketika metode konvensional tidak mampu menyelesaikan masalah yang dihadapi. e. Solusi yang diharapkan tidak harus paling optimal, tetapi cukup dapat diterima. f. Terdapat batasan waktu, misalnya dalam real time system Pengertian Individu Individu menyatakan salah satu solusi yang mungkin. Individu dapat dikatakan samadengan kromosom, yang merupakan kumpulan gen. Beberapa definisi penting yang perlu diperhatikan dalam membangun penyelesain masalah menggunakan Algoritma Genetik (AG), yakni: 1 Genotipe (Gen), sebuah nilai yang menyatakan satuan dasar yang membentuk suatu arti tertentu dalam satu kesatuan gen yang dinamakan kromosom. Dalam AG, gen ini dapat berupa nilai biner, float, integer maupun karakter atau kombinatorial. 2 Allele, nilai dari gen. 3 Kromosom, gabungan gen yang membentuk nilai tertentu. 4 Individu, menyatakan suatu nilai atau keadaan yang menyatakan salah satu solusi yang mungkin dari permasalahan yang diangkat. 5 Populasi, merupakan sekumpulan individu yang akan diproses bersama dalam satu siklus proses evolusi. 6 Generasi, menyatakan satu siklus evolusi atau satu iterasi di dalam AG. 7 Phenotype, string (kromosom) yang merupakan solusi akhir. 8 Genotype, sejumlah kromosom hasil perkawinan yang berpotensi sebagai solusi.

13 18 Gambar 2.8 berikut ini menjelaskan hubungan dari istilah-istilah yang didefinisikan di atas. Allele 1 Gen Kromosom Allele Individu 1 Gen Kromosom Individu Allele 1 Gen Kromosom Individu Populasi Gambar 2.8 Ilustrasi definisi individu dalam algoritma genetik [11]

14 Struktur Umum Algoritma Genetik Algoritma Genetik (AG) memulai dengan suatu himpunan penyelesaian acak awal yang disebut populasi. Masing-masing individu di dalam populasi disebut kromosom yang merepresentasikan suatu penyelesaian terhadap masalah yang ditangani. Sebuah kromosom terdiri dari sebuah string yang terdiri dari berbagai simbol dan biasanya, tetapi tidak mutlak, string tersebut berupa sederetan bit-bit biner 0 dan 1. [2] Sebuah kromosom tumbuh atau berkembang biak melalui berbagai iterasi yang berulang-ulang, yang disebut juga generasi. Pada masing-masing generasi, berbagai kromosom yang dihasilkan akan di evaluasi menggunakan suatu pengukuran fitness. Untuk menghasilkan suatu generasi yang baru, berbagai kromosom baru yang disebut offspring, dibentuk dengan salah satu cara berikut: 1. Memadukan dua kromosom dari generasi terakhir mengunakan operator crossover. 2. Memodifikasi sebuah kromosommenggunakan operator mutasi. Generasi yang baru dapat dihasilkan denan cara: 1. Penseleksian, berdasarkan nilai fitness, berbagai parent, dan offspring. 2. Menolak yang lainnya, untuk menjaga ukuran populasi agar tetap konstan. Secara umum Algoritma Genetik dapat dilihat pada Gambar 2.9 berikut ini:

15 20 Gambar 2.9 Struktur Umum Algoritma Genetik. [2] Komponen- Komponen Algoritma Genetik Secara umum sebuah penerapan Algoritma Genetik akan melalui siklus sederhana yang terdiri dari 4 langkah, yaitu: [5] 1 Membangun sebuah populasi yang terdiri dari beberapa string (kromosom). 2 Evaluasi Masing-masing string (fitness value). 3 Proses seleksi agar didapat string yang terbaik. 4 Manipulasi genetik untuk menciptakan populasi baru dari string. Ilsutrasi mengenai siklus 4 langkah yang dinspirasi dari proses biologi untuk Algoritma Genetik di atas dapat dilihat pada Gambar 2.10.

16 21 Keturunan POPULASI (Kumpulan kromosom) Generasi Baru Induk Rekombinasi OPERATOR GENETIK Manipulasi EVALUASI (fungsi fitness) Reproduksi SELEKSI (proses pengkawinan) Gambar 2.10 Siklus algoritma genetik [11] Setiap siklus yang dilalui memunculkan generasi baru yang dimungkinkan sebagai solusi bagi permasalahan yang ada. Pada dasarnya AlgoritmaGenetik memiliki tujuh komponen. Tetapi banyak metode yang bervariasi yang diusulkan pada masing-masing komponen tersebut. Masing-masing metode memiliki kelebihan dan kekurangan. Suatu metode yang bagus untuk penyelesaian masalah A belum tentu bagus untuk masalah B, atau bahkan tidak bisa digunakan untuk masalah C Skema Pengkodean Pengkodean suatu kromosom adalah langkah pertama ketika kita menggunakan Algoritma Genetik untuk menyelesaikan suatu masalah. Pengkodean ini biasanya tergantung kepada masalah yang dihadapi. Pengkodean ini meliputi pengkodean terhadap gen yang terdapat dalam kromosom.

17 22 Terdapat tiga skema yang paling umum digunakan dalam pengkodean, yaitu: 1. Binary encoding. Setiap gen hanya dapat bernilai 0 atau 1. [11] X1 X2 X g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 Gambar 2.11 Skema pengkodean Binary Encoding [11] 2. Discrete decimal encoding. Setiap gen dapat bernilai salah satu bilangan bulat dalam interval [0,9]. [11] X1 X2 X g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 Gambar 2.12 Skema pengkodean Discrete decimal encoding [11] 3. Real-number encoding. Pada skema ini, nilai gen berada dalam interval [0,R], di mana R adalah bilangan real positif dan biasanya R=1. [11] X1 X2 X3 0,2390 1,0000 0,0131 g1 g2 g3 Gambar 2.13 Skema pengkodean Real-number encoding [11] 4. Permutation Encoding, setiap kromosom merupakan string dari sejumlah angka atau nomor yang merepresentasikan suatu posisi dalam suatu urutan. [11] Kromosom A Kromosom B

18 23 Pada contoh Gambar 2.11, 2.12 dan 2.13 skema pengkodean di atas terdapat tiga variabel, yaitu x 1, x 2, x 3 yang dikodekan ke dalam sebuah koromosom yang terdiri dari 9 gen (untuk binary encoding dan discrete decimal encoding) dimana setiap variabel dikodekan ke dalam 3 gen. Sedangkan pada real-number encoding ketiga variabeldikodekan ke dalam koromosom yang terdiri dari 3 gen, dimana masingmasing variabel dikodekan ke dalam 1 gen Nilai Fitness Suatu individu dievaluasi berdasarkan suatu fungsi tertentu sebagai ukuran performansinya. Di dalam evolusi alam, individu yang memiliki nilai fitness tinggi yang akan bertahan hidup. Sedangkan individu yang bernilai fitness rendah akan mati. Dalam masalah optimasi, jika masalah yang dicari adalah memaksimalkan sebuah fungsi h (dikenal sebagai masalah maksimasi) maka nilai fitness yang digunakan adalah nilai dari fungsi h tersebut, yakni f = h (dimana f adalah nilai fitness). Tetapi jika masalah adalah meminimalkan fungsi h (masalah minimasi), maka fungsi h tidak dapat digunakan secara langsung. Hal ini disebabkan adanya aturan bahwa individu yang memiliki fitness tertinggi lebih mampu bertahan hidup pada generasi berikutnya. Oleh karena itu nilai fitness yang dapat digunakan adalah f = 1/h, yang artinya semakin kecil nilai h, semkin besar nilai f. Pada masalah-masalah tertentu h dapat bernilai 0, yang mengakibatkan f dapat bernilai tak hingga. Untuk mengatsinya, h perlu ditambah sebuah bilangan yang dianggap sangat kecil sehingga niali fitness-nya menjadi: Dalam notasi matematika dituliskan sebagai berikut [11] : (2.8) Keterangan: f = fitness h = fungsi a = Bilangan yang dianggap sangat kecil dan bervariasi

19 24 Di mana a adalah bilangan yang dianggap sangat kecil dan bervariasi sesuai dengan masalah yang akan diselesaikan. Perbedaan nilai-nilai fitness yang terlalu kecil pada semua individu dalam populasi akan menyebabkan kencenderungan konvergen pada optimum lokal. Maka untuk menguranginya digunakan penskalaan nilai fitness. Prosedur ini juga akan mengurutkan nilai fitness secara ascending (menaik) dalam interval [f min, f max ]. [14] (2.9) Keterangan: f(i) = fungsinilai fitness f max f min = fitness maksimum = fitness minimum R(i),I = iterasi ke-i N,n = ukuran populasi Seleksi Induk Pemilihan dua buah kromosom sebagai induk, yang akan dipindahsilangkan, biasanya dilakukan secara proporsional sesuai dengan nilai fitness-nya. Beberapa metode yang biasa digunakan: 1. Roulette-wheel Sesuai dengan namanya, metode ini menirukan permainan roulette-wheel dimana masing-masing kromosom menempati potongan lingkaran pada roda roulette secara proporsional sesuai dengan nilai fitnessnya. Kromosom yang memiliki nilai fitness lebih besar menempati potongan lingkaran yang lebih besar dibandingkan dengan kromosom yang bernilai fitness rendah. Gambar 2.14 mengilustrasikan sebuah contoh penggunaan roulette wheel.

20 25 Gambar 2.14 Contoh penggunaan metode Roulette-wheel Pada proses roulette wheel ini akan dihitung nilai kumulatif dari probabilitas fitness masing-masing kromosom. P[i] = fitness[i] / jumlah fitness (2.10) (2.11) Keterangan: P[i] = probabilitas fitness[i] C[i] = nilai kumulatif indeks ke-i i = indeks kromosom (1,2,3, n) k = counter (1,2,3, n) Metode roullette-wheel sangat mudah diimplementasikan dalam pemrograman. Pertama, dibuat interval nilai kumulatif (dalam interval [0,1]) dari niali fitness masing-masing kromosom dibagi total nilai fitness dari semua kromosom. Sebuah kromosom akan terpilih jika bilangan random yang dibangkitkan berada pada interval nilai kumulatifnya. Pada Gambar 2.16 di atas, K1 menempati interval nilai kumulatif [0;0,25], K2 berada dalam interval [0,25;0,75], K3 dalam interval [0,75;0,875] dan K4 dalam interval [0,875;1]. Misalkan, jika bilangan random yang dibangkitkan adalah 0,6 maka kromosom K2 terpilih sebagai orang tua. Tetapi jika bilangan random yang dibangkitkan 0,99 maka kromosom K4 yang terpilih. Seperti dilihat pada Gambar 2.15.

21 26 Bilangan random=0,6 Bilangan random=0,99 Gambar 2.15 Ilustrasi prinsip kerja metode Roulette-wheel 2. Tournament Pada seleksi alam yang terjadi di dunia nyata, beberapa individu (biasanya individu jantan) berkompetisi dalam sebuah kelompok kecil sampai tersisa hanya satu individu pemenang. Individu pemenang inilah yang bisa kawin (pindah silang). Metode roulette-wheel selection tidak mengkombinasikan masalah ini. Sebuah metode tournament selection mencoba mengadopsi karakteristik alami ini. Dalam bentuk paling sederhana, metode ini mengambil dua kromosom secara random dan kemudian menyeleksi salah satu yang bernilai fitness paling tinggi untuk menjadi orang tua pertama. Cara yang sama dilakukan lagi untuk mendapatkan orang tua yang kedua. Metode tournament yang lebih rumit adalah dengan mengambil m kromosom secara random. Kemudian kromosom bernilai fitness tertinggi dipilih menjadi orang tua pertama, apabila bilangan random yang dibangkitkan kurang dari suatu nilai batas yang ditentukan p dalam interval [0,1]. Pemilihan orang tua akan dilakukan secara random dari m - 1 koromosom yang ada jika bilangan yang dibangkitkan lebih dari atau sama dengan p. Pada tournament selection, variabel m adalah tournament size (ukuran grup) dan p adalah tournament probability. Biasanya m diset sebagai suatu nilai yang sangat kecil, misal 4 atau 5. Sedangkan p biasanya diset sekitar 0,75.

22 Proses Reproduksi (Probabilitas Reproduksi) Proses reproduksi merupakan suatu proses untuk membentuk keturunan baru dengan mewariskan sifat-sifat yang sama dari kromosom induk. Proses reproduksi sebenarnya merupakan proses duplikasi dan tidak menghilangkan sifat kromosom induk yang lama. Hal ini dilakukan dalam proses algoritma genetika untuk menjaga sifat-sifat induk yang baik tidak akan hilang begitu saja. Prosedur Reproduksi Prosedur ini akan menduplikasi ulang kromosom induk secara lengkap sehingga menghasilkan turunan baru yang sama dengan induknya Pindah Silang (Crossover) Salah satu komponen paling penting dalam Algoritma Genetik adalah crossover atau pindah silang. Sebuah kromosom yang mengarah pada solusi yang bagus bisa diperoleh dari proses memindah-silangkan dua buah kromosom. Contoh pindah silang: Titik potong X 1 X 2 Orang tua Orang tua g 1 g 10 g 11 g 20 Anak Anak g 1 g 10 g 11 g 20 Gambar 2.16 Contoh proses pindah silang [11] Pada Gambar 2.16 contoh proses pindah silang di atas apabila solusi yang dicari adalah dan, maka koromosom Anak 1 memiliki nilai fitness tinggi dan menuju pada solusi yang dicari.

23 28 Pindah silang bisa juga berakibat buruk jika ukuran populasinya sangat kecil. Dalam suatu populasi yang sangat kecil, suatu kromosom dengan gen-gen yang mengarah ke solusi akan sangat cepat menyebar ke kromosom-kromosom lainnya. Untuk mengatasi masalah ini digunakan suatu aturan bahwa pindah silang hanya bisa dilakukan dengan suatu probabilitas tertentu Probabilitas Crossover (Pc). Artinya, pindah silang bisa dilakukan hanya jika suatu bilangan random [0,1] yang dibangkitkan kurang dari Pc yang ditentukan. Pada umumnya Pc diset mendekati 1, misalnya 0,8. Pindah silang bisa dilakukan dalam beberapa cara berbeda,yang paling sederhana adalah pindah silang satu titik potong (one-point crossover). Suatu titik potong dipilih secara random, kemudian bagian pertama dari orang tua 1 digabung dengan bagian kedua dari orang tua 2. Untuk kromosom yang sangat panjang, misalkan 1000 gen, mungkin saja diperlukan beberapa titik potong. Pindah silang lebih dari satu titik potong disebut n-point crossover, dimana n titik potong dipilih secara random dan bagian-bagian kromosom dipilih dengan probabilitas 0,5 dari salahsatu orang tuanya. [9] Mutasi Prosedur mutasi sangatlah sederhana. Untuk semua gen yang ada, jika bilangan random yang dibangkitkan kurang dari probabilitas mutasi (Pm)yang ditentukan maka ubah gen tersebut menjadi nilai kebalikannya (dalam binary encoding, 0 diubah 1, dan 1 diubah 0). Dalam swapping mutation dilakukan pertukaran tempat node. Biasanya Pm diset sebagai 1/n, dimana n adalah jumlah gen dalam kromosom. Dengan Pm sebesar ini berarti mutasi terjadi pada sekitar satu gen saja. Pada algoritma genetik sederhana nilai Pm tetap selama evolusi. Beberapa skema mutasi yang biasa digunakan: 1. Mutasi biner, contoh : => Swapping mutation, contoh : ( ) => ( )

24 Elitisme Karena seleksi dilakukan secara random, maka tidak ada jaminan bahwa suatu individu bernilai fitness tertinggi akan selalu terpilih. Kalaupun individu bernilai fitness tertinggi terpilih, mungkin saja individu tersebut akan rusak (nilai fitness-nya menurun) karena proses pindah silang. Untuk menjaga agar individu bernilai fitness tertinggi tersebut tidak hilang selama evolusi, maka perlu dibuat satu atau beberapa kopinya. Prosedur ini dikenal sebagai elitisme Pergantian Populasi Dalam Algoritma Genetik dikenal skema penggantian populasi yang disebut generational replacement, yang berarti semua individu (misal N individu dalam suatu populasi) dari suatu generasi digantikan sekaligus oleh N individu baru hasil pindah silang dan mutasi. Skema penggantian ini tidak realistis dari sudut pandang biologi. Di dunia nyata, individu-individu dari generasi berbeda bisa berada pada waktu yang bersamaan. Fakta lainnya adalah individu-individu muncul dan hilang secara konstan, tidak pada generasi tertentu. Secara umum skema pergantian populasi dapat dirumuskan berdasarkan suatu ukuran yang disebut generational gap G. Ukuran ini meunjukan persentase populasi yang digantikan dalam setiap generasi. Pada skema generational replacement, G = 1. Skema pergantian yang paling ekstrem adalah hanya mengganti satu individu dalam setiap generasi, yaitu G = 1/N, dimana N adalah jumlah individu dalam populasi. Skema pergantian ini disebut sebagai Steady-state reproduction. Pada skema tersebut, G biasanya sama dengan 1/N atau 2/N. Dalam setiap generasi, sejumlah NG individu harus dihapus untuk menjaga ukuran populasi tetap N. Terdapat beberapa prosedur penghapusan individu, yaitu penghapusan individu yang bernilai fitness paling rendah atau penghapusan individu yang paling tua. Penghapusan bisa berlaku hanya pada individu orang tua saja atau bisa juga berlaku pada semua individu dalam populasi. [9]

25 Cara Kerja Algoritma Genetik Secara garis besar, proses Algoritma Genetik adalah sebagai berikut: Choose initial population Repeat Evaluate the individual fitnesses of a certain proportion of the population Select pairs of best-ranking individuals to reproduce Apply crossover operator Apply mutation operator Until terminating condition Penjelasan tahapan algoritma genetik: 1. Tahap Inisialisasi, kromosom digenerasi secara random. Penting untuk dibuat sebarannya acak agar bisa menghasilkan solusi yang baik. 2. Tahap Evaluasi tiap-tiap kromosom diurutkan sesuai seberapa baik kromosom itu menyelesaikan masalah. Suatu nilai fitness diberikan untuk tiap kromosom. 3. Tahap Seleksi, kromosom yang paling fit dipilih untuk propagasi generasi berikutnya sesuai dengan seberapa fit mereka. 4. Tahap Rekombinasi, individu kromosom dan sepasang kromosom direkombinasi dan dimodifikasi, kemudian dikembalikan ke dalam populasi. Selanjutnya, tiap kromosom di encode sebagai tour yang mungkin. Kemudian dilakukan operasi crossover/persilangan dan roulette wheel selection. Tetapi crossover sederhana tidak dapat langsung dilakukan. Sebagai contoh, dapat diperhatikan pad Tabel 2.1 berikut ini. Tabel 2.1 Tur Parent Dengan Childnya ID PATH Parent Parent Child Child

26 31 Pada child 1 kota 1 dikunjungi 2 kali dan kota 5 tidak pernah 1 kali pun dikunjungi. Sedangkan pada child 2, kota 5 dikunjungi 2 kali dan kota 1 tidak pernah dikunjungi sama sekali. Karena itu diperlukan suatu metode crossover, biasanya menggunakan partially matched crossover. Menurut Buckland, tehnik partially matched crossover dijelaskan sebagai berikut [11]. Daerah crossing dipilih Parent 1: 12x34x5 Parent 2: 35x21x4 Mapping berikut ditentukan 3 -> 2 4 -> 1 Lalu kembali ke gen parent, dan gen diganti sesuai mapping gen di atas. Iterasi pertama (tukar 3 dengan 2) : Child 1: Child 2: Iterasi kedua (tukar 4 dengan 1) : Child 1: Child 2: Gen terakhir yang telah di crossover merupakan permutasi valid tanpa duplikasi. Roulette Wheel Selection merupakan teknik memilih anggota populasi dari kromosom sesuai dengan kebugaran/fitnessnya Traveling Salesman Problem dalam Algoritma Genetik Traveling Saalesman Problem (TSP) dapat dirumuskan sebagai berikut: terdapat sekumpulan N node dengan posisi-posisi koordinatnya {x,y}, i = 1,2,3,,N. Algoritma Genetik dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah TSP ini dengan cara sebagai berikut:

27 32 Suatu solusi direpresentasikan ke dalam suatu koromosom yang berisi nomor urut dari semua node yang ada. Masing-masing nomor urut node hanya boleh muncul satu kali di dalam koromosom sehingga satu koromosom merepresentasikan satu ruteatau satu solusi yang valid. Representasi ini disebut sebagai permutation encoding, dimana suatu kromosom merepresentasikan suatu permutasi dari nomor urut kota 1,2,3,,N. Kromosom-koromosom tersebut diperiksa nilai fitness-nya Kromosom yang nilai fitness-nya paling tinggi akan dipilih untuk terus hidup pada generasi berikutnya dan berpeluang melakukan crossover untuk menghasilkan kromosom atau individu baru yang diharapkan mempunyai nilai fitness yang lebih baik. Dengan adanya mutasi diharapkan dapat memperbaiki kromosom yang sudah ada. Individu-individu pada generasi-generasi berikutnya diharapkan akan memiliki nilai fitness yang lebih baik dan mengarah pada suatu solusi yang diharapkan. Solusi yang diambil adalah solusi pada individu atau kromosom yang paling besar nilai fitness-nya. Dalam TSP, pindah silang dapat diimplementasikan dengan skema order crossover. Pada skema ini satu bagian koromosom dipertukarkan dengan tetap menjaga urutan node (gen) yang bukan bagian dari koromosom tersebut. Di bawah ini adalah ilustrasi skema order crossover: K 1 K (a) A 1 A 2 A 1 A (b) (c) Gambar 2.17 Pindah silang menggunakan order crossover [11]

28 33 Mula-mula dua buah titik potong TP1 dan TP2, dibangkitkan secara random untuk memotong dua buah kromosom induk (orang tua), K1 dan K2 (Gambar 2.17.a). Kemudian dua koromosom anak, A1 dan A2 mendapat gen-gen dari bagian koromosom K1 dan K2 secara menyilang. Koromosom A1 mendapatkan {6, 5, 1} dan A2 mendapatkan {5, 3, 4} (Gambar 2.17.b). Posisi gen yang masih kosong pada A1 diisi dengan gen-gen dari K1, secara berurutan dari gen 1 sampai gen 6, yang belum ada pada A1. Hal yang sama juga dilakukan untuk koromosom A2 (Gambar 2.17.c). Pada TSP, operator mutasi biasanya diimplementasikan dengan menunkan gen termutasi dengan gen lain yang terpilih secara random. Misalnya, kromosom {2, 3, 4, 5, 6, 1} dapat termutasi menjadi koromosom {2, 6, 4, 5,3,1}. Dalam hal ini gen 3 dan 6 saling ditukar. Skema mutasi ini dikenal dengan swapping mutation.