PEMBAURAN dan PERULANGAN FRAKSIONAL DALAM RANCANGAN PERCOBAAN FAKTORIAL 2 k SKRIPSI

Transkripsi

1 PEMBAURAN da PERULANGAN FRAKSIONAL DALAM RANCANGAN PERCOBAAN FAKTORIAL k SKRIPSI Dajka tk Mmh Salah Sat Syarat Mmprolh Glar Sarjaa Sas (S.s) Program Std Matmatka Dss olh : C. Btart No Srya NIM : PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 007

2

3

4 PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya myataka dga ssgghya bahwa skrps yag saya tls tdak mmat karya ata baga dar karya orag la, kcal yag tlah dsbtka dalam ktpa da daftar pstaka, sbagmaa layakya karya llmah. Yogyakarta, 3 Jl 007 Pls

5 Sgala ssat dah pada waktya (Pth : 3:) Klak dsaat bgt bayak jala tbtag dhadapam da ka tak ta jala maa yag hars ka ambl. Jagala mmlhya dga asal saja. Ttap.. Ddklah da tggallah ssaat, Tarklah afas dalam-dalam dga ph kprcayaa sprt saat ka brafas d har prtamam d da Jaga barka apap mgalhka prhatam, Tgglah.da tgglah lbh lama lag Brdam drlah ttap hg da dgarka hatm Ktka hatm brbcara, brajaklah da Prglah kmaa hatm mmbawam. (Va do t porta l Cor, Ssaa Tamaro) Skrps k prsmbahka kpada Sahabatk Yss Krsts yag slal sta da hadr mmak

6 ABSTRAK Dalam praktk srg tdak mmgkka tk mlakka prcobaa faktoral k scara lgkap dalam kadaa yag homog, maka dlakka pmbara. Pmbara k-p dalam racaga prcobaa faktoral k mrpaka sat tkk dalam racaga prcobaa faktoral dga mmbag jmlah amata dalam prcobaa faktoral k mjad p blok dga mmlh p fk yag aka dbarka. Shgga aka mmmmka ksalaha amata. Bayakya amata dalam racaga racaga prcobaa faktoral k aka mgakbatka tdak prakts da fs. Jka jmlah faktor yag damat ckp bsar maka bbrapa faktor aka mmpya fk yag sama, shgga dga prlaga fraksoal jmlah amata lbh kcl dar racaga faktoral k. Prlaga fraksoal k-p dalam racaga prcobaa faktoral k mrpaka sat cara tk mgaalss racaga prcobaa faktoral k dalam -p dar k amata.

7 ABSTRACT Practcally, t I mpossbl to do th xprmt of k factoral compltly a homog codto, so thr shold b cofdg. Cofdg th k-p factoral dsg s tcq factoral dsg by ddg th mbr of tratmt k factoral xprmt to p block by choosg p ffct that wll b dffsd. A larg mbr of tratmt k factoral dsg wll b practcal ad ffct. If th tratmt s largr ogh, som factors wll ha sam ffct so by dog fractoal rplcato.,th tratmt wll b lss tha k factoral dsg.th k-p fractoal dsg s a way to aalys th k factoral dsg -p from k tratmt.

8 KATA PENGANTAR Pj da sykr kpada Tha Yss da Bda Mara kara brkat kara da rahmat yag tlah dbrka, pls dapat mylsaka skrps. Bayak hambata da kslta yag dtm pls dalam mys da mls skrps. Nam brkat kash, bata da doroga dar brbaga phak, bak lagsg map tak lagsg, akhrya skrps dapat trslsaka. Olh kara t pls g mgcapka trmakash kpada:. Ib CH. Ey Mrwagtyas, S.S, M.S, slak dos pmbmbg yag dga ph ksabara da kash tlah mlagka wakt, pkra srta ksabara mmbmbg pls mys da mylsaka skrps.. Bapak Ir. Ig. Ars Dwatmoko, M.Sc slak Dka FMIPA USD Yogyakarta. 3. Bapak da Ib Dos FMIPA yag tlah mmbrka lm kpada pls slama d bagk klah. 4. Ib Swar da Mas Tkjo yag tlah mmbrka playaa admtras dalam rsa rsa akadmk kpada pls. 5. Bapak Sopr Agkot twty da bs kota jalr yag tlah mgatar pls k kamps. 6. Kda oragtak yag tak ht-htya mdoaka da mmbrka dkga bak moral map matr shgga pls dapat mylska skrps.

9 7. Kakak-kakakk trcta. 8. Sahabat sahabat yag tlah mmbrka smagat, kcraa da khagata slama : Ayk, Bga, La, Vct, La, Ddk, Prast, Wawa, Wlly, Flks, Frry, Narto, To, Wahy Broto, Fr. Rsto, Rr, Tawag, Rm Raa, Rm. Krstyato da Rm. Jayaswaya, Ntty. 9. Tma-tma agkata 00, agkata 98,agkata 99 da agkata 0 0. Tma-tma Jmpg Chor, mas Haha, mbak Tyas da klarga bsarya, Adr, Ar, mas Loly Pls myadar bahwa skrps mash jah dar smpra, olh kara t pls mmbka dr tk mrma krtk srta sara yag brmafaat bag ksmpraa skrps. Da akhrya pls brharap smoga skrps mmbrka mafaat da brga bag sma phak. Yogyakarta, Jl 007 Pls x

10 DAFTAR ISI Halama HALAMAN JUDUL HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA HALAMAN PERSEMBAHAN ABSTRAK ABSTACT KATA PENGANTAR DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR DAFTAR TABEL DAFTAR LAMPIRAN x x x x BAB I PENDAHULUAN A. Latar Blakag B. Rmsa Masalah 3 C. Batasa Masalah 3 D. Mafaat Plsa 4 E. Tja plsa 4 F. Mtod Plsa 4 G. Sstmatka Plsa 4 x

11 BAB II LANDASAN TEORI 6 A. Dstrbs Normal, dstrbs Kh-kadrat, da dstrbs - F 6 B. Aalss Varas 3 C. Kotras 3 D. Racaga Prcobaa 33. Tahap - Tahap Prcobaa 33. Dasar Prcobaa Js-js racaga Prcobaa 37 BAB III RANCANGAN PERCOBAAN FAKTORIAL k 39 A. Racaga Prcobaa faktoral 40 B. Racaga Prcobaa faktoral 3 50 C. Racaga Prcobaa faktoral k 57 D. Algortma Yat s 6 BAB IV PEMBAURAN da PERULANGAN FRAKSIONAL k-p 69 A. Pmbara 7 B. Prlaga Fraksoaal k-p 8. Racaga Fraksoal k- 83. Racaga Fraksoal k-p Mgabgka Pcaha 98 BAB V KESIMPULAN 05 DAFTAR PUSTAKA 08 LAMPIRAN 09 x

12 DAFTAR GAMBAR Halama Gambar x

13 DAFTAR TABEL Halama Tabl. 3 Tabl. 9 Tabl.3 9 Tabl.4 3 Tabl 3. 4 Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl x

14 Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Lampra 09 Tabl Lampra 0 Tabl Lampra 3 x

15 DAFTAR LAMPIRAN Halama Tabl Lampra 09 Tabl Lampra 0 Tabl Lampra 3 Tabl Lampra 4 3 Tabl Lampra 5 5 Tabl Lampra 6 8 Tabl Lampra 7 0 Tabl Lampra 8 x

16 BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Racaga prcobaa (dsg kprmt) mrpaka lagkah lgkap yag prl dambl sblm mlakka prcobaa (kprmt), agar data yag smstya dprlka dapat dprolh. Shgga aka mmbawa kpada aalss yag obyktf da ksmpla yag brlak tk prsoala yag dbahas. Scara mm racaga prcobaa dapat dbag mjad da klompok yat racaga prcobaa lgkap da racaga prcobaa tdak lgkap. Yag dmaksd dga racaga prcobaa lgkap adalah prcobaa yag slrh prlakaya mcl brsama-sama dalam sat klompok. Sdagka prcobaa tak lgkap alah prcobaa yag sbaga prlakaya ada yag mcl dalam sat klompok. Brkt mrpaka cotoh pggaa racaga prcobaa dalam khdpa shar-har:. Sorag plt prtaaa aka mlt faktor apa saja yag mmpgarh hasl paa pad, maka a mlt da js artas, da js ppk da da mtod pgdala glma.. Sat pross kma mmpya da bah faktor yag mmpgarh kcpata raks yat kostras rakta da jmlah katals, pada kostras rakta mmpya da js yat yag brkadar 5% da

17 yag bkadar 5%. Sdagka jmlah katals dtmpatka dkotak A da kotak B. Prcobaa d atas trmask racaga prcobaa faktoral k. Sat prcobaa dapat dmaska kdalam racaga prcobaa faktoral k apabla pada prcobaa trsbt trdr atas da faktor ata lbh (k>) yag mmpgarh da masg-masg faktor mmpya da prlaka. Racaga prcobaa faktoral dgaka tk mgj (mgaalss) sma kombas prlaka yag ada shgga dprolh prlaka yag brpgarh trhadap prcobaa trsbt Jmlah amata dalam sbah racaga faktoral k aka mgkat sbadg dga jmlah faktor yag trlbat. Sbaga cotoh, racaga prcobaa 6 dga rplkas sbayak sat kal aka mmbthka 64 amata. Utk mgtah faktor ata kombas prlaka yag mmpgarh prcobaa trsbt maka dprlka pgamata scara lgkap yat sbayak 64 dalam kadaa yag homog. Kara kadaa yag homog slt ata bahka tdak mgk dcapa, maka dapat dlakka pmbara. Pmbara mrpaka sbah tkk dalam racaga prcobaa faktoral, yat dga mmbag racaga prcobaa faktoral kdalam blokblok yag brkra lbh kcl. Dga pmbara aka d dapat kadaa yag lbh homog. Utk mlakka prcobaa faktoral dga jmlah amata lgkap mmrlka baya, wakt da matr yag ckp bayak. Jka dalam mlakka racaga prcobaa ada ktrbatasa baya, wakt da matr

18 3 maka dapat dlakka prcobaa dga mgamat sbaga dar jmlah amata faktoral lgkap. Pylsaa racaga prcobaa faktoral dga mgamat sbaga dar racaga faktoral lgkap dsbt dga prlaga fraksoal. Racaga yag trbtk dar prlaga fraksoal srg dkal dga racaga fraksoal. B. RUMUSAN MASALAH Pokok prmasalaha yag aka dbahas dalam tlsa adalah:. Apa yag dmaksd dga racaga prcobaa.. Apa yag dmaksd racaga prcobaa faktoral k. 3. Bagamaa mylsaka da mgaalsa racaga prcobaa faktoral k dga pmbara. 4. Bagamaa mylsaka da mgaalsa racaga prcobaa faktoral dga prlaga fraksoal. C. PEMBATASAN MASALAH Plsa skrps tdak mmbahas sma tor yag brhbga dga skrps. Ttap dbatas pada bbrapa hal yat:. Torma ktggala tdak dbktka, kara dlar jagkaa skrps.. Pmbahasa ttag racaga faktoral k haya dbatas pada pmbara da prlaga fraksoal dga jmlah amata sama.

19 4 3. Pambaha ttk tgah, racaga Placktt-Brma da racaga rsols tdak dbahas. D. MANFAAT PENULISAN Mafaat plsa adalah tk mmplajar ttag pmbara da pglaga fraksoal dalam racaga prcobaa faktoral k. E. TUJUAN PENULISAN Tja yag g dcapa adalah mmaham tkk dalam racaga prcobaa khssya racaga prcobaa faktoral k dga pmbara da prlaga fraksoal. F. METODE PENULISAN Mtod yag dgaka dalam plsa adalah std pstaka yat dga mmbaca bk-bk yag brkata dga racaga prcobaa faktoral. G. SISTEMATIKA PENULISAN Sbaga gambara ttag hal apa saja yag dbahas dalam plsa, brkt adalah sstmatka pmbahasa yag ada dalam skrps. Bab I mmbahas ttag gambara mm skrps yag trdr dar latar blakag masalah, rmsa masalah, pmbatasa masalah, mafaat plsa, tja plsa, da mtod plsa.

20 5 Bab II aka mmbahas ttag dstrbs ormal, Kh-kadrat da dstbs -F, Aalss aras, racaga prcobaa, srta ttag kotras. Pada bab III brs ttag racaga prcobaa faktoral, 3, k da algortma Yat s yag aka dgaka tk mghtg jmlah kadrat da stmas fk dalam racaga faktoral k. Bab IV brs ttag pmbara racaga faktoral k dalam blok da dalam p blok srta prlaga fraksoal dalam racaga faktoral k. Da tk bab V brs ttag ksmpla.

21 6 BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab aka mmbahas matr yag brhbga dga pmbara da prlaga fraksoal racaga prcobaa faktoral k. A. Dstrbs Normal, dstrbs Kh-kadrat da dstrbs-f Sbbab aka mmbahas dstrbs ormal, dstrbs Kh-kadrat da dstrbs-f kara dalam pmbahasa slajtya ktga dstrbs trsbt sagat dprlka. Dfs. Sbah arabl radom dkataka brdstrbs ormal jka fgs dstasya d brka sbaga brkt: xμ f ( x) tk - <x< π dga paramtr μ da brada dalam tral - <μ< da > 0. Torma. Jka arabl radom yag brdstrbs ormal maka rata-rata da aras arabl radom adalah E() μ da V(). Bkt: Rata-rata dstrbs ormal dapat dprolh dga cara sbaga brkt:

22 7 [ ] dx x dx x f x E x ) (. μ π msal x μ y maka [ ] dy y dy y E y y ) ( ) ( π μ π μ μ μ π μ π 0 dy dy y y y sdagka aras dar dstrbs ormal adalah ( ) [ ] ( ) ( ) dx x dx x f x E V x ) ( ) (. ) ( μ π μ μ μ msal x μ y maka [ ] ( ) dy y V y π ( ) dy y y π ( ) 0 π π dy y y y Jad fgs dstrbs ormal mmpya da paramtr yat μ da, dga μ adalah rata-rata da adalah aras. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

23 8 Torma. Jka arabl radom yag brdstrbs ormal maka fgs pmbagkt momya adalah: () t t t m μ Bkt: Msalka brdstrbs ormal dga rata-rata μ da aras maka mmpya fgs pmbagkt mom: [ ] tx E t m ) ( ( ) ( ) dx dx x f x tx tx. μ π ( ) ( ) ( ) dx dx t t t x t x x x tx 4 ( μ μ μ μ μ π π ( ) ( ) ( ) ( ) dx dx t x t t t x t x t t 4 4 μ μ μ μ μ π π t t μ. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

24 9 Torma.3 Jka,, 3,, sat sampl radom brkra dar sat dstrbs ormal yag mmpya rata-rata μ da aras maka: brdstrbs ormal dga rata-rata μ da aras Bkt: Kara,, 3,, adalah sampl radom dar poplas ormal dga rata- rata μ da aras da adalah arabl radom salg bbas yag brdstrbs ormal dga E() μ da V(),,,3,, Slajtya ( ) ( ) ( ) ( ) 3 Κ Shgga brdstrbs ormal dga rata-rata da aras sbaga brkt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E E 3 Κ μ μ μ μ μ Κ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V 3 Κ Κ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

25 0 Dar Torma.3 datas maka dapat dsmplka bahwa rata-rata dstrbs sampl sama dga rata-rata dar arabl radom da aras dstrbs sampl sama dga aras d bag kra sampl. Brdasarka Torma.3 brdstrbs ormal dga rata-rata μ μ da aras maka: Z μ μ brdsrrbs ormal stadart. Torma.4 (Torma ktggala) Msalka da Y da arabl radom, dga fgs pmbagkt mom m (t) da m Y (t). Jka m (t) m Y (t) tk sma la t, maka ada Y mmpya dstrbs probabltas yag sama. Torma.4 dalam Skrps tdak dbktka. Dfs. ( ) k t Fgs gamma ddfska dga Γ k t dt tk sma k >0 Dfs.3 Sat arabl radom mmpya fgs dstas f r ( x) x, x [0, ) r Γ( r ) x dkataka mmpya dstrbs Kh-kadrat dga drajat bbas r. 0

26 Torma.5 Jka arabl radom brdstrbs Kh-kadrat dga drajat bbas r maka mmpya fgs pmbagkt mom: m Bkt: () t t r Fgs pmbagkt mom dstrbs Kh-kadrat aka dtjkka sprt d bawah : tx m ( t) f ( x) dx 0 m ( t) tx r Γ 0 msalka a r maka r x r x dx m ( t) tx a Γ( a ) 0 x a x dx 0 Γ x a ( a ) a x(t ) dx msalka y x( t) maka m y t ( t) Γ( a ) 0 a y a dy ( t)

27 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( Γ Γ a a y a a a y a a t dy a y t dy a y t t tk < t maka dprolh fgs pmbagkt mom dar dstrbs Khkadrat yat ) ( ) ( r t t m r t. Torma.6 Jka brdstrbs ormal dga rata-rata μ da aras maka μ Z brdstrbs Kh-kadrat dga drajat bbas. Bkt: Msal fgs dstrbs ( ) [ ] [ ] ( )dz z f w Z w P w P Z w F w w W dga trasformas y z shgga y dy dz maka ( ) ( ) 0, w dy y y dy dz z f w F w y w y w W π π PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

28 3 kara f(w)f W(w) maka f ( w) w Z brdstrbs Kh-kadrat dga drajat bbas. w brdasarka Dfs. maka π Torma.7 Jka arabl radom.,, k brdstrbs ormal da salg bbas dga rata-rata μ da aras maka U k μ brdstrbs Kh-kadrat dga drajat bbas k. Bkt: Jka μ Z maka Z brdstrbs ormal stadar. Maka fgs pmbagkt mom dar U dttka sbaga brkt U k t t z k k ( t) E[ ] tz tz E E E[ ] m dga z tz tz [ ] dz E π π ( t ) z dz tk t < maka E[ ] tz t t π ( t ) z dz t

29 4 Kara t π ( t ) z dz mjkka las darah d bawah kra ormal dga aras t k k k E t tz. Maka [ ] t mrpaka fgs pmbagkt mom dar dstrbs Kh-kadrat dga drajat bbas k. Shgga U k μ brdstrbs Kh-kadrat dga drajat bbas k. Torma.8 Jka mrpaka rata-rata dar,, 3,, adalah sampl radom brkra yag mmpya rata-rata μ da aras maka: ( μ) U brdstrbs kh-kadrat dga drajat bbas. Bkt: Mrt Torma.3 brdstrbs ormal dga rata-rata μ da aras μ, maka Z brdstrbs ormal stadart, shgga Fgs Pmbagkt mom dar U dapat dttka sbaga brkt: m ( t) E U dga t [ ] k t E z

30 5 tz tz z [ ] dz E π π ( t ) Z dz tk t < maka tz E[ ] t t π ( t ) z dz t t ( ) maka mrt Torma.5 maka drajat bbas. ( μ) U brdstrbs Kh-kadrat dga Torma.9 Adaka,, 3,, adalah sampl radom yag salg bbas da brkra dar sat dstrbs ormal yag mmpya rata-rata μ da aras μ maka Z adalah sampl radom yag salg bbas da brdstrbs ormal da drajat bbas. Bkt: Z μ brdstrbs Kh-kadrat dga Kara,, 3,, adalah sampl radom yag salg bbas da brkra dar dstrbs ormal yag mmpya rata-rata μ da aras maka μ Z brdstrbs ormal stadar. Sampl Z salg bbas shgga

31 6 mrt Torma.6 maka Z μ brdstrbs Kh-kadrat dga drajat bbas. Torma.0 Jka,,, mrpaka sampl dar dstrbs ormal dga rata-rata μ da aras maka: ( ) S Z brdstrbs Kh-kadrat dga drajat bbas -. Bkt: Dga mambah da mgrag rata-rata sampl maka: ( ) ( ) ( ) [ ] μ μ ( ) ( ) ( ) ( ) μ μ kara ( ) ( ) ( ) μ μ μ μ μ μ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

32 7 0 μ μ maka ( ) ( ) ( ) μ μ Da ( ) ( ) ( ) μ μ ( ) ( ) S μ Kara brdstrbs ormal dga μ da aras / brdasarka Torma.8 maka ( ) μ brdstrbs Kh-kadrat dga drajat bbas da brdasarka Torma.9 maka ( ) μ brdstrbs Kh-kadrat dga drajat bbas, maka ( ) S brdstrbs Kh-kadrat dga drajat bbas (- ). Salah sat dstrbs yag trptg dalam statstka alah dstrbs-f. Statstk F ddfska sbaga da arabl radom Kh-kadrat yag salg bbas da masg-masg dbag dga drajat bbasya. Jad dapat dtls: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

33 8 Y F dga da Y mrpaka arabl radom yag masg-masg brdstrbs Kh-kadrat dga drajat bbas da. Torma. Jka da Y arabl radom yag salg bbas da masg-masg brdstrbs Kh-kadrat dga drajat bbas da. Maka dstrbs arabl radom Y F mmpya fgs dstas probabltas ( ) > Γ Γ Γ 0, 0 0, f f f f f f F Da arabl radom F brdstrbs-f dga drajat bbas da. Bkt: Dktah da Y brdstrbs Kh-kadrat dga drajat bbas da maka ( ) > Γ 0, 0 0, x x x x f x ( ) > Γ 0, 0 0, y y y y f y Y Shgga dstrbs plag gabga arabl radom da Y adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

34 9 ( ),, y x Y y x y x f Γ Γ Γ Γ y x y x Msalka zy da padag trasformas y z f h y x : y x y x f y x fy x kara z y maka fz x Da trasformasya mjad y z fz x h : dar fgs- fgs trsbt mghaslka z fz f f x ( ) 0 z f f y f fz z z x ( ) z z z y Jacoba (J(x,y)) dprolh dga dtrma dar ( ) z y f y z x f x y x J, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

35 0 z f z 0 shgga z J Trasformas sat-sat mmtaka ttk { } < < < < 0, ) 0, ( k hmpa { < < < < z f z f 0, ) 0, ( } maka dprolh dstrbs gabga F da Z: ( ) ( ) J z f f z f Z F,,, λ z z fz z fz Γ Γ ( ) z z z f z f z fz Γ Γ, λ Γ Γ Γ Γ f z f z z f z z f Maka ( ) ( ) 0, dz z f f f F λ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

36 dz z f f z Γ Γ 0 Γ Γ 0 dz z f f z Utk mtka f F (f) dmsalka : f z t shgga f t z da dt f dz.maka dprolh dt f f t f f f t F 0 ) ( Γ Γ Γ 0 t f dt t f f Γ Γ Γ Γ f f Jad trbkt bahwa. ( ) > Γ Γ Γ 0, 0 0, f f f f f f F PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

37 Drajat bbas yag brkata dga arabl radom Kh-kadrat pada pmblag F slal dtls lbh dahl kmda dkt olh drajat bbas yag brkata dga arabl radom Kh-kadrat yag mcl pada pybt. Jad kra dstrbs F tdak haya brgatg pada kda paramtr da, ttap jga pada rta plsaya. Bgt pla jka kda blaga dttka maka kraya mjad trtt. Torma. Jka S da S aras sampl radom yag salg bbas brkra da yag dambl dar da poplas brdstrbs ormal maka: F S S S S brdstrbs- F dga drajat bbas - da -. Bkt: Msalka sampl radom brkra da dambl dar poplas radom, masg-masg dga aras da. Mgaka Torma.0 maka dprolh: Z ( ) S da Z ( ) S myataka da arabl radom yag brdstrbs Kh-kadrat dga drajat bbas - da -. Kara kda sampl dambl scara radom maka arabl radom trsbt salg bbas. Jka Z da Z maka dga mgaka Torma.9 dprolh: Y

38 3 F Y Z Z ( ) ( ) S S ( ) ( ) S S S S da arabl radom F brdstrbs-f dga drajat bbas - da -. B. Aalss Varas Msalka sampl radom brkra dambl dar k poplas, k-k poplas dklasfkaska mrt prlaka ata klompok yag brbda. Dasmska bahwa k poplas t brdstrbs ormal dga rata-rata μ, μ, μ 3,, μ k da aras yag sama. Shgga j hpotssya adalah: H o : μ μ μ 3 μ k H : skrag-kragya da la rata-rata tdak sama. Msalka j adalah sampl k-j dar poplas k-, maka data- data dar pgamata dar k poplas dapat d tlska sbaga brkt: Tabl. : k sampl radom Sampl : Poplas k k k : : : : k Total Pgamata.. :. Total Poplas k Rata-rata Poplas k... k... k

39 4 Dga:,j : Sampl k dar poplas k-j, dga,, 3,,k da j,, 3,,. Jmlah total pollas k-.. Jmlah total sma k pgamata. Rata-rata pgamata pada pollas k-.. Rata-rata sma k pgamata Stap pgamata dapat dtls dga btk lar: j μ ε (.) j dga : j : bsarya pgamata k-, prlaka k-j. μ : paramtr rata-rata. ε j : ror yag brdstrbs N(0, ) :,, 3,, k da j :,,, Btk la dar prsamaa (.) dprolh dga msbttska μ μ kdalam prsamaa (.) dga μ adalah rata-rata dar μ da: τ Shgga prsamaa (.) dapat dtls: μ k μ k j μ τ ε (.) j k dga: τ ( μ μ) 0 k

40 5 τ dsbt sbaga fk ata pgarh prlaka k-. Shgga hpotss ol yag myataka bahwa sma la rata-rata k-k poplas sama mlawa hpotss altratfya yag myataka bahwa skragkragya ada da rata-rata tdak sama. Dapat dyataka sbaga brkt: H o : τ τ Λ τ k 0 H : skrag-kragya sat τ tdak sama dga ol. Shgga Uj yag aka dgaka brdasarka pada prbadga da la dgaa bbas dar ksamaa aras poplas. Kda la dgaa trsbt dprolh dga mgraka total aras mjad da kompo. Torma. Bkt : k k k ( j.. ) (. ) ( j. ) j j k k ( ) [ ( ) ( )] j. j. j j k [ (. ) (. )( j. ) ( j. ) ] j k k k (. ) (. )( j. ) ( j. ) j j j k Sk prtama prsamaa datas dapat dtls mjad (. ) kara sk prtama prsamaa datas tdak mpya sbkrp j. Kmda pjmlaha sk kda prsamaa datas aka mghaslka:

41 6 k k ( )( ). j. (. )( j. ) j j k (. ) ( j. ) j j k ( ). ( j ) j j k ( ). ( j ) j j k j 0 ( )( 0). k k k Jad trbkt ( j ) (. ) ( j. ) j. j... j j Agar mmdahka pggaaya maka sk-sk dalam Torma. maka dotaska dga: k ( j k ( k ( j j.. ) jmlah kadrat total (JK T ) (.4). ) jmlah kadrat prlaka (JK P ) (.5) j. ) jmlah kadrat ror (JK E ) (.6) shgga jmlah kadrat dalam Torma. dapat dlambagka dga prsamaa:

42 7 JK T JK P JK E (.7) Salah sat la dgaa bag yag ddasarka pada k- drajat bbas adalah: S k (... ) JK P (.8) k k. : rata- rata sampl dar poplas k-.. : rata- rata total pgamata S : aras atar klompok (btw- grop arac) Bla H o bar, S mrpaka pdga tak bas bag. Jka H bar maka JK P cdrg mghaslka la yag lbh bsar, artya S mdga lbh dar. Nla dgaa bag yag la brdasarka pada k(-) adalah: S ( ) k ( j. ) ( ) JK E j (.9) k k Nla mdga S brdasarka ror yat slsh atara stap pgamata dga rata-rata dar klompok/prlaka masg-masg. Nla dgaa S brsfat takbas, bak tk hpotss bar ata salah. Apabla hpotss ol bar, maka pdga tak bas bag adalah: JKT S (.0) k

43 8 Torma. tdak haya mgraka Jmlah Kadrat Total, ttap jga jmlah total drajat bbasya: S da. k- k- k(-) (.) Statstk j tk mgj H o τ τ τ k 0 adalah prbadga S S f (.) S Bla hpotss ol bar, maka Prsamaa (.) mrpaka arabl radom F yag mmpya dstrbs-f dga drajat bbas (k-) da k(-). Jka H o salah maka S mdga lbh dar shgga dprolh j aras sat arah dga darah krts yag slrhya trltak d jg kaa fgs dstrbsya. Da hpotss ol dtolak pada taraf sgfka a bla: f > fα [( k ), ( k( ) )] (.3) Utk prhtga Jmlah Kadrat dapat dprolh dga mmprlas da mydrhaaka dfs JK P da JK T dalam Torma..Shgga mghaslka: JK T k j j.. k (.4) JK P k... k (.5) JK E JK JK (.6) T P

44 9 Prhtga aalss aras dapat dtlska sbaga brkt: Tabl. : Tabl aalss aras sat arah Smbr Varas Jmlah Kadrat Atar k prlaka ( Eror Total k ( j. ) j. ) k ( j ) j Drajat bbas k- Rata-rata jmlah kadrat JK P S k JK E S k(-) k( ). k- f htg S f S Cotoh. Sbah pabrk tas mggaka krtas sbaga baha plaps tas yag aka dprodksya. Shgga prl dtlt kkata daya rggag krtas trsbt. Ddga kkata daya rggag krtas adalah fgs kostras kkrasa kay dalam bbr krtas. Maka dlakka plta dga mgaka lma kostras kkrasa kay yag brbda dalam bbr krtas. Kostras kkrasa kay yag dgaka adalah 5%, 0%, 5%, 0% da 5%. Dalam Plta trsbt dambl 5 pgamata scara radom pada masg-masg kostras. Maka dprolh hasl pgamata sbaga brkt: Tabl.3: Data Cotoh. Kostras Pgamata kkrasa kay (%) Total pgamata

45 30 Jawab: Aka dbadgka pgarh bbrapa kostras kkrasa kay trhadap daya rggag prodks tas. Hpotss ol myataka bahwa rata-rata daya rggag klma prlaka sama sdagka tk hpotss altratfya myataka bahwa rata-rata daya rggag klma prlaka tdak sama. Shgga hpotss trsbt dtls: a. H o : μ μ μ 3 μ 4 μ 5 H : skrag-kragya da la rata-rata tdak sama. b. Jmlah kadratya adalah: JK JK T P 5 j j ( 7 7 Κ 5 ) ( Κ 54 ) JK E JKT JK P shgga JK k 4 P S JK k ( ) E S S 8.99 f S 8.06

46 3 Tabl.4:Aalss aras cotoh. Smbr Varas Jmlah Kadrat Drajat bbas Rata-rata jmlah kadrat f htg Atar prlaka JK P S f 4.76 Eror JK E S Total JK T c. Statstk j F aka mmlk dstrbs-f dga drajat bbas pmblag 5-4 da drajat bbas pybt Maka dar tabl la F 0.0;4: Shgga darah prmaa Ho adalah [0: 4.43) da darah polakaya adalah [4.43: ). d. Kara f maka hpotss ol d tolak. Jad ada prbdaa rata-rata daya rggag datara klma prlaka trsbt. Shgga dsmplka bahwa kostras kkrasa kay dalam bbr krtas scara brart mmpgarh kkata daya rggag krtas. C. Kotras Uj hpotss dalam aalss aras sat arah mjkka bahwa apakah rata-rata prlaka sama ata tdak. Ttap dalam plta srg dlakka aalss yag lbh jah, shgga prbadga rata-rata prlaka atar klompok sagat brga. Rata-rata prlaka k- dapat ddfska sbaga μ μ τ da μ ddga dga.

47 3 Msal dalam Cotoh., hpotss olya adalah H : τ 0dtolak 0 dga τ pgarh kostras kkrasa kay. Padahal dktah bbrapa js kostras mghaslka daya kkata rggag yag brbda, ttap kostras maa yag mgakbatka prbdaa t. Dalam Cotoh. msal ddga bahwa kostras js da 5 aka mghaslka kkata daya rggag sama, brart hpotss yag dgaka H H 0 : μ μ : μ μ 5 5 Hpotss dapat dj dga mggaka sbah kombas lar dar total prlaka Jka ddga rata-rata prlaka kostras da 3 tdak brbda dar rata-rata prlaka kostras 4 da 5, maka hpotssya adalah H H 0 : μ μ μ μ 3 : μ μ μ μ Yag brart kombas lar total prlakaya dga. : total prlaka kostras 5% 3. : total prlaka kostras 5% 4. : total prlaka kostras 0% 5. : total prlaka kostras 5% 0 Scara mm prbadga rata-rata prlaka yag mmpgarh dapat dyataka dalam sbah kombas lar total prlaka sbaga

48 33 a Q q (.7) dga a q 0, total prlaka k-, a bayakya prlaka, q mrpaka kofs kotras. Kombas lar dalam Prsamaa (.7) dsbt kotras. Maka jmlah kadrat (JK) tk stap kotras adalah JK Q a q Q a a q q (.8) dga adalah jmlah pglaga stap prlaka dga drajat bbas tggal. Sbah kotras dj dga mmbadgka jmlah kadrat rata-rata ror (JK E ), maka statstk yag dhaslka aka brdstrbs F dga drajat bbas da N-a. Dga N mrpaka total pgamata da a adalah bayakya prlaka. D. Racaga Prcobaa Dalam mracag sbah prcobaa ada bbrapa hal yag prl dktah atara la apa yag dmaksd dga prcobaa, da hal-hal yag prl dprhatka saat mmbat sbah racaga prcobaa. Pada baga aka mmbahas ttag hal-hal yag brkata dga racaga prcobaa.. Tahap- tahap prcobaa Prcobaa srg dlakka olh brbaga bdag lm. Tja dlakka ya sbah prcobaa adalah tk myldk hbga atar prlaka yag mmpggarh sat pross. Mracag prcobaa trlbh dahl sagatlah

49 34 dprlka, hal brtja agar data yag dprolh rla dgaka da ddapat formas sbayak mgk. Shgga prcobaa yag dlakka aka lbh fktf, fs. Dalam sbah prcobaa ada tga tahap yag prl dlakka : a. Prcobaa pdahla Sblm mlakka prcobaa yag ssgghya maka dprlka adaya prcobaa pdahla, hal brtja tk mmprolh ptjk dalam pmlha prlaka. Shgga pada tahap dlakka prbadga bbrapa prlaka. b. Prcobaa sbarya Stlah prcobaa pdahla maka tahap slajtya adalah prcobaa sbarya. Pgdala kragama faktor yag mmpgarh prcobaa dlakka scara ktat. Hal brtja tk mtka prlaka (tratmt). Pada tahap sagat mmprhatka prsp racaga prcobaa, shgga hasl yag dprolh mmh prsyarata tk daalss. c. Prcobaa dmotras Tahap trakhr dalam prcobaa adalah prcobaa dmotras, yag brtja mjkka hasl da kggla dar prcobaa yag tlah dlakka srta mmbadgka dga hasl prcobaa sblmya.. Dasar- dasar racaga prcobaa Dalam mracag sbah prcobaa, prmsa masalah scara rc mrpaka hal trptg kara dga prmsa masalah yag rc aka

50 35 ddapat brbaga altratf pylsaa da ksmpla yag ald da objktf. Dbawah mrpaka lagkah-lagkah tk mracag sbah prcobaa: a. Mtka adaya sat masalah. b. Mrmska masalah scara jlas da rc. Prmsa masalah yag jlas aka mmbrka pgrta kadaa sbarya da pylsaa dar masalah tsbt dga lbh bak. c. Mmlh faktor da taraf Faktor mrpaka js prlaka. Sdagka yag dmaksd dga prlaka adalah kods trtt yag dbrka dalam sbah prcobaa. Shgga dalam mracag prcobaa plt hars dapat mmlh faktor yag mmpgarh prcobaa trsbt, faktor srg dsbt dga arabl bbas. Taraf (ll) mrpaka prlaka trhadap stap faktor. Ada da js taraf yat taraf kaltatf da kattatf. Taraf kaltatf adalah taraf yag brpa data kaltatf (qaltat data) da taraf kattatf adalah taraf yag brpa data kattatf (qattat data). Data kaltatf scara sdrhaa dsbt data yag bka brpa agka. Data dbag mjad da yat data omal da data ordal. Data kattatf (qattat data) mrpaka data yag brpa agka dalam art sbarya. Data kattatf dapat dbag mjad da yat data tral da data raso.

51 36 d. Mmlh arabl rspo. Varabl rspo dalam sat prcobaa mrpaka arabl yag aka dkr. Varabl jga dsbt dga arabl trkat.. Mmlh racaga prcobaa. Pmlha js racaga prcobaa yag tpat aka mmpgarh tgkat fss prcobaa. f. Aalss data Dga aalss statstk yag tpat maka aka dprolh ksmpla yag bar da objktf. g. Ksmpla Dalam mracag sbah prcobaa ada bbrapa prsp dasar yag hars dph yat: a. Radomsas Radomsas brtja agar stap prlaka dalam prcobaa mdapat plag yag sama. Fgs radomsas adalah: Asms salg bbas atar prlaka trph. Agar stmas ror da rata rata prlaka tdak trjad bas. Mmprkcl kmgka adaya korlas atar pgamata da korlas atar ror. Mgkatka objktftas dalam mmbrka prlaka matr prcobaa.

52 37 b. Rplkas Jka dalam racaga prcobaa stap prlaka dlag sbayak kal maka racaga t dkataka mmpya rplkas (prlaga). Fgs dar rplkas adalah tk mtka bsarya aras ror, mmprtgg ktpata prcobaa da mmprlas rag lgkp prcobaa.aras ror mrpaka prbdaa hasl dar sat pgamata dga prlaka yag sama. Bayakya rplkas trgatg pada bayak prlaka, tgkat homogtas da bayakya matr prcoba. Jka jmlah prlaka da matr ckp bayak da homog maka tdak mmrlka rplkas yag bayak, hal aka mmblka pmbgkaa baya da prcobaa krag fktf. c. Pmbloka Pmbloka brart mgmplka matr prcobaa yag rlatf homog mjad sat klompok, shgga dprolh bbrapa klompok matr prcobaa dga aras dalam klompok ttap kcl da aras atar klompok lbh bsar. 3. Js-js racaga prcobaa Scara mm racaga prcobaa dapat dbag mjad da klompok yat racaga prcobaa klompok lgkap da racaga klompok tdak lgkap. Racaga klompok lgkap adalah racaga prcobaa yag slrh prlakaya mcl dalam sat klompok. Sdagka racaga klompok

53 38 tdak lgkap adalah racaga prcobaa yag haya sbaga dar prlaka mcl dalam stap klompok. Racaga prcobaa klompok lgkap dbag mjad mpat js yat racaga klompok tapa pmbatasa, racaga klompok dga sat batasa, racaga klompok dga da batasa da racaga klompok dga batasa tga ata lbh. Sdagka cotoh klompok tdak lgkap adalah racaga ptak trpsah. Racaga acak lgkap trmask racaga klompok tapa batasa. Racaga js dgaka tk prcobaa yag mmpya matr da faktor prcobaa yag rlatf homog, bayakya prcobaa stap prlaka tdak sama.. Msalya prcobaa yag dlakka ddalam laboratorm. Sdagka racaga klompok dga sat pmbatasa adalah racaga acak klompok (radom blok dsg) yat sbah racaga klompok lgkap yag mmpya batasa pgacaka. Dalam racaga matr prcobaa dbag mjad bbrapa klompok brdasarka homogtas matr da stap amata dalam klompok dapat dlag. Racaga faktoral trmask dalam klompok. Cotoh racaga prcobaa klompok dga da pmbatasa adalah racaga bjrsagkar lat da crossor dsg, sdag cotoh klompok dga tga ata lbh pmbatasa adalah racaga bjrsagkar lat graco da racaga bjrsagkar hypr graco

54 39 BAB III RANCANGAN PERCOBAAN FAKTORIAL k Dalam prcobaa srg mlbatka sjmlah faktor da stap faktor trsbt basaya trdr dar bbrapa prlaka (taraf). Kombas prlaka dar sbah prcobaa dttka olh kombas dar stap kombas taraf d stap faktorya. Jka dalam sbah prcobaa aka mlt sma kombas prlaka yag ada, maka prcobaa trsbt damaka prcobaa faktoral. Shgga prcobaa faktoral dprolh dga mylagka sma taraf dar stap faktorya. Msal sat prcobaa aka mmbadgka lma js artas taama dga tga cara brcocok taam yag brbda. Maka aka dprolh prcobaa faktoral 5 x 3, yag mmrlka 5 kombas prlaka yag brbda. Dalam khdpa shar-har bayak prcobaa yag mlbatka sjmlah faktor dmaa stap faktorya trdr atas da taraf. Msal sbah prcobaa yag haya mlbatka da macam tmpratr kstrm yat tgg da rdah, da js ms cc yat js lama da js bar. Jka sat prcobaa yag mlbatka k bah faktor yag masg-masg faktor mmpya da taraf maka prcobaa t dsbt prcobaa faktoral k. Bayakya taraf dtls sbaga blaga pokok da k yag mrpaka bayakya faktor dtls sbaga pagkat. Msal sbah racaga prcobaa aka mlbatka da faktor yat A da B, masg- masg faktor trdr atas da taraf, maka trmask racaga prcobaa faktoral. Shgga tk prcobaa faktoral k aka mmpya kombas

55 40 prlaka sbayak k. Dalam prcoba faktoral k dasmska bahwa sma faktor yag trlbat adalah ttap da pgamata yag dambl brdstrbs ormal. A. Racaga Prcobaa Faktoral Btk racaga faktoral k yag palg sdrhaa adalah racaga prcobaa faktoral, kara dalam racaga trsbt haya mlbatka faktor da masg-masg faktor mmpya da taraf. Msal dalam sat prcobaa yag mlbatka bah faktor yat A da B. Faktor A mdapat prlaka a da, a sdagka faktor B mdapat prlaka b da b, shgga trdapat 4 bah kombas prlaka yat a b, a b,a b da a b. Da tk stap kombas prlaka mdapat rplkas sbayak kal. Taraf dalam racaga prcobaa faktoral aka dbdaka mjad taraf rdah da tgg. Taraf rdah (low ll) aka dotas dga (-) da taraf tgg ( hgh ll) yag dotaska dga (). Idks myataka taraf rdah da dks myataka taraf tgg. Hrf kaptal dalam racaga prcobaa faktoral myataka fk tama faktor sdagka hrf kcl myataka kombas prlaka. Kbradaa sat hrf myataka faktor yag brsagkta brada pada taraf yag tgg dalam amata trsbt. Sdagka ktdakbradaa hrf myataka bahwa faktor yag brsagkta brada pada taraf rdah. Jka sma faktor pada taraf yag rdah maka dyataka dga otas (). Msal kombas prlaka a myataka jmlah pgamata dga taraf faktor A lbh tgg dar taraf

56 4 faktor B, b myataka jmlah pgamata dga taraf faktor B lbh tgg dar taraf faktor A, ab myataka jmlah pgamata kda faktor pada taraf yag tgg. Scara mm pgamata prcobaa faktoral dga rplkas dapat dyataka dalam Tabl 3. Tabl 3. : Prcobaa faktoral Faktor B A a a b () a b b ab Sla t dalam racaga prcobaa srg trdapat stlah fk tama da fk sdrhaa. Efk sdrhaa adalah prbdaa pgamata pada taraf tgg da taraf rdah dar sat faktor, sdagka fk tama adalah rata-rata dar fk sdrhaa. Efk sdrhaa dar faktor A trhadap b adalah (a-())/ sdag fk sdrahaa faktor A pada b adalah (ab-b)/. Efk sdrhaa faktor B pada a adalah (b-())/ sdagka pada a adalah (ab-a)/. Kara fk tama adalah rata-rata dar fk sdrhaa maka fk tama faktor A da fk tama faktor B adalah: ab b a () A ( ab a b () ) (3.) ab a b () B ( ab b a () ) (3.) sdagka tk trkas AB mrpaka rata-rata slsh dar fk sdrhaa faktor A pada taraf b dga taraf b ata slsh dar fk sdrhaa faktor B pada taraf a dga taraf a shgga dapat dyataka sbaga brkt:

57 4 AB ) {( ab b) ( a ( ) )} ( ab ( a b ) (3.3) Prsamaa (3.), (3.) da (3.3) dapat dyataka dga mghtg slsh ratarata hasl pgamata sat faktor pada kda taraf. Shgga tk fk tama faktor A da faktor B adalah A A A ab a b () ( ab a b () ) (3.4) B B B dga ab b a () ( ab b a () ) (3.5) : Rata-rata pgamata faktor A pada taraf a A : Rata-rata pgamata faktor A pada taraf a A : Rata-rata pgamata faktor B pada taraf b B : Rata-rata pgamata faktor B pada taraf a B sdagka tk traks AB mrpaka rata-rata dar slsh (ab da ()) dga (a da b) shgga: ab () b a AB ( ab () a b) (3.6) Kotras mrpaka kombas lar dar total prlaka, shgga dalam prcobaa faktoral trdapat kotras dga drajat bbas tggal tk rata-rata stap faktorya. Shgga Kofs kotras slal bla ata. Sbah tabl tada pls () da ms dapat dgaka tk mtka tada stap

58 43 kombas prlaka sbah kotras. Tabl 3. mjka tada kotras tk prcobaa faktoral. Pada baga bars myataka kombas prlaka da tk baga kolom myataka fk tama dga dtambah kolom dttas yag dbr lambag I. Kolom dttas slal brska tada (), da tk kolom faktor ds ssa dga apakah faktor trsbt brada pada taraf tgg ata rdah dalam kombas prlaka yag brssaa, msal pada kombas () faktor A brada pada taraf yag rdah maka pada kolom A ds tada (-), pada kombas a faktor A brada pada taraf tgg maka pada kolom A brs tada () da strsya. Sdagka traks atar prlaka mrpaka hasl prkala tada dar faktor pysya. Tabl 3.: Tada kotras pada prcobaa faktoral kombas fk prlaka I A B AB () - - a - - b - - ab Sbah kotras dapat dbtk dga mggaka tabl kotras yat dga cara mgalka tada dalam kolom I dga kombas prlaka yag ada dalam bars kmda jmlahka. Dga mggaka prsamaa (.) da kofs kotras dalam Tabl 3. maka kotras tk faktor A (Q A ), kotras tk faktor B (Q B ), da kotras tk traks faktor A da B(Q AB ) dapat dyataka: ( )() () a ( ) b ( ) ab ab a ( ) Q A b (3.7) ( )( ) ( ) a ( ) b ( ) ab ab b ( ) Q B a (3.8)

59 44 Q AB ()() ( ) a ( ) b ( ) ab ab a b (3.9) Dar prsamaa (3.7), (3.8) da (3.9), kotras A mrpaka jmlah kombas prlaka faktor A pada taraf tgg dkrag taraf rdah, kotras B mrpaka jmlah kombas prlaka faktor B pada taraf tgg dkrag taraf rdah sdagka kotras AB mrpaka slsh dar dagoal dalam Tabl 3.. Shgga kotras mrpaka total jmlah pgamata stap kombas prlaka. Sdagka tk jmlah kadrat (JK) A, B da AB, dapat mgaka prsamaa (.). Prsamaa trsbt mmprlhatka hbga atara sbah kotras dga jmlah kadrat kofsya. Shgga jmlah kadrat A, B da AB adalah JK A JK B A ( ) ( ) ) ( ab a b ) ( Q ) ( ) (3.0) 4 B ( ) ( ) ) ( ab b a ) ( Q ) ( ) (3.) 4 JK AB AB ( ( ) ( ) ) ( ab () a b) ( Q ) (3.) 4 Racaga prcobaa faktoral mmpya Modl prsamaa lar sbaga brkt: jk μ τ β ( τβ ) ε j j ( j )k dga: μ τ : Rata-rata total pgamata : Pgarh prlaka faktor A taraf k-,,

60 45 β j : Pgarh prlaka faktor B taraf k-j, j, (τβ) j : Pgarh prlaka kombas faktora da B pada taraf k- da k-j ε (j)k : rror dga,; j, da k,,3,, Shgga jmlah kadrat total (JK T ) adalah JK T j k 4 Κ jk (3.3) Scara smbols jmlah kadrat total (JK T ) dalam prsamaa (3.9) dapat dtls JK T JK A JK B JK B ABJK E (3.4) JK E JK T -JK A -JK B -JK B AB (3.5) Faktor A,B da kombas AB mmpya drajat bbas sbayak sdagka tk rror mmpya drajat bbas sbayak 4(-) da tk total pgamata mmpya drajat bbas 4-. Maka rata-rata kadrat (RJK) dar masg-masg fk kombas prlaka adalah jmlah kadrat pada masgmasg fk prlaka dbag dga drajat bbasya. JK JK (3.6) A RJK A A JK RJK B JK B B (3.7) JK AB RJK AB JK AB (3.8) JK E RJK E (3.9) 4( )

61 46 Stlah mcar la RJK tk stap faktor da kombasya maka dapat dttka j statstk tk faktor A da B srta kombas AB yat: F A RJK RJK A E (3.0) RJK B F B (3.) RJK E RJK AB F AB (3.) RJK E Cotoh 3. Sat prcobaa kma aka mlt pgarh kostras rakta da js katals trhadap prbaha hasl sat pross kma, shgga aka dprolh hasl maksmm. Kostras rakta yag dtlt trdr dar prlaka yat pada kostras 5% da 5% sdag tk js katals ada macam yat js da. Utk stap kombas prlaka aka mdapat rplkas sbayak tga kal. Hasl prbaha pross kma trsbt tampak sprt dalam Tabl 3.3 Tabl 3.3 : Data tk Cotoh 3. Faktor Kostras rakta 5% 5% Js Katals Dar prcobaa kma trsbt apakah aka trjad prbdaa rata-rata dar stap kombas prlaka, shgga dapat dttka kombas prlaka maa yag mmpya pgarh trhadap prcobaa kma trsbt.

62 47 Jawab: Prcobaa dalam cotoh 3. trmask dalam prcobaa faktoral, kara stap faktorya mmpya da bah taraf. Msalka faktor A adalah js rakta dga taraf a adalah 5% da a adalah 5% sdag faktor B adalah js katals dga js sbaga taraf b da js sbaga taraf b. Tabl 3.3 dapat drgkas sprt Tabl 3.4 Tabl 3.4 : Rgkasa dar data Tabl 3.3 Faktor A a a B b b Dga mgaka prsamaa (3.), (3.), (3.3) maka la stmas tk fk tama A, B da kombas AB adalah A B AB ( ab a b () ) ( ab b a () ) ( ab () a b) ( ) 3 ( ) 3 ( ) , ,00 6 0,67 6 Sblm mcar Jmlah kadrat (JK) trlbh dahl mtka Kotras dar srap prlaka dga mgaka prsamaa (3.7), (3.8) da (3.9) kotras kotras kotras A B AB stlah kotras dttka maka dlajtka dga mtka Jmlah Kadrat dga mgaka prsamaa (3.0), (3.) da (3.).

63 48 JK JK JK A B AB ( kotras 4 ( kotras 4 A B ( kotras 4 ) ) AB ) (50) 3 ( 4) ( 30) 3 ( 4) (0) 3 ( 4) ( 00) 08,333 75,00 8,33 Dga mgaka prsamaa (3.3) maka aka dprolh JK T JK T j k 4 Κ jk da dga prsamaa (3.5) maka aka dprolh Κ ( Κ 9) JK JK E E JK T JK A JK JK AB 33 08, ,33 3,34 B Dar sma pross prhtga datas, maka dapat dbtk tabl Aalss Varas. Sprt tampak dalam Tabl 3.5 Tabl 3.5 : Aalss aras tk cotoh 3. Smbr aras Jmlah Kadrat(JK) Drajat bbas Rata-rata jmlah kadrat(rjk) F 0 A ,33 53,5 B ,00 9,3 AB ,33,3 Error ,9 Total MS MS fk rror Dar Tabl (3.5) maka faktor A da B brpgarh scara sgfka trhadap prbaha hasl raks kma. Kara la F 0 lbh bsar dar F tabl (5.3). Da la stmas tk A 8.33 da B sdagka kombas js rakta

64 49 da katals (AB) tdak brpgarh trhadap prbaha hasl prcobaa. Dar aalss aras datas maka dapat dttka modl matmatka tk prcobaa trsbt ˆ Y 7.5 Yˆ Dga 7.5 adalah rata-rata pgamata, adalah js rakta da adalah js katals. Nla da adalah ata ssa taraf dalam kombas prlaka. Dga mgaka modl trsbt maka aka ddapat la dgaa tk stap kombas prlaka. Adap la dgaa stap prlaka sbaga brkt: Yˆ Yˆ Yˆ Yˆ Yˆ.5 () ( ).5( ) a ().5( ) b ( ).5( ) ().5 () ab la rror () tk kombas prlaka () dstap rplkasya adalah sbaga brkt: la rror () tk kombas prlaka a dstap rplkasya adalah sbaga brkt:

65 50 la rror () tk kombas prlaka b dstap rplkasya adalah sbaga brkt: la rror () tk kombas prlaka ab dstap rplkasya adalah sbaga brkt: Dar la rror yag ddapat maka kombas prlaka a yat kombas prlaka dga faktor js rakta pada taraf tgg da js rakta pada taraf rdah mghaslka la rror yag kcl shgga kombas trsbt dapat mghaslka hasl raks yag maksmm. Hasl prhtga prcobaa datas dapat dlakka dga mgaka program Mtab 4 (Lampra 4) B. Racaga Prcobaa Faktoral 3 Racaga prcobaa faktoral 3 mrpaka sbah racaga prcobaa dga tga bah faktor msalya A, B, C da stap faktor mmpya da taraf prlaka. Shgga tk prcobaa faktoral 3 trdapat 8 kombas prlaka dga masg-masg kombas prlaka mdapat rplkas. Adap kdlapa kombas prlaka trsbt adalah (), a,b, c, ab, ac, bc, da abc.

66 5 Scara mm tk jmlah pgamata dalam prcobaa 3 dapat dyataka sprt dalam Tabl 3.6 Tabl 3.6 : Prcobaa faktoral 3 A b b B c c c c a () c b bc a a ac ab abc Efk sdrhaa adalah prbdaa pgamata pada taraf tgg da taraf rdah sat faktor maka fk sdrhaa tk faktor A pada b da c adalah (a- ())/, fk sdrhaa tk faktor A pada b da c adalah (ab-b)/, tk faktor A pada b da c adalah (ac-c)/ da tk faktor A pada b da c adalah (abcbc)/. Efk sdrhaa tk faktor B pada a da c adalah (b-())/, tk faktor B pada a da c adalah (ab-a)/, fk sdrhaa faktor B pada a da c adalah (bc-c)/ srta fk sdrhaa faktor B pada a da c adalah (abc-ac)/. Sdagka fk tk sdrhaa faktor C pada a da b adalah (c-())/ da faktor C pada a da b adalah (ac-a)/. Efk sdrhaa tk faktor C pada a da b adalah (cb-b)/ sdagka pada a da b adalah (abc-ab)/. Efk tama stap faktor mrpaka rata-rata dar stap fk sdrhaaya. Maka fk tama tk faktor A, B da C adalah sbaga brkt: A ( a () ab b ac c abc bc) (3.3) 4 B ( b () ab a bc c abc ac) (3.4) 4

67 5 C ( c () ac a ab b abc bc) (3.5) 4 Sdagka tk traks faktor mrpaka stgah dar slsh ratarata faktor pada kda taraf. Shgga kombas AB mrpaka stgah dar slsh rata-rata faktor A pada b da b, tk kombas AC mrpaka stgah dar slsh rata-rata faktor A pada taraf c da c sdagka tk kombas BC adalah stgah dar slsh rata-rata faktor C pada taraf b da b. Adap slsh rata-rata faktor A, da C dyataka dalam Tabl 3.7 Tabl 3.7 : Slsh rata-rata faktor A da C dalam racaga prcobaa faktoral 3 B Rata-rata fk A Rata-rata fk C C Rata-rata fk A b {(abc-bc)(abb)}/b)}/c)}/ {(abc-ab)(bc- c {(abc-bc)(ac- {(ac-c)(a-())}/ {(ac-a)(c-())}/ {(ab-b)(a-())}/ b c Slsh {abc-bcab-bacc-a()}/ {abc-abbc-baca-c()}/ {abc-bcac-cabb-a()}/ Kara kombas AB, AC da BC adalah stgah dar slsh rata-rata faktor A da C maka: {( ) abc ab c a b bc ac} AB (3.6) 4 {( ) abc ac b a c bc ab} AC (3.7) 4 {( ) abc bc a b c ab ac} BC (3.8) 4 Da tk kombas ABC mrpaka rata-rata dar fk sdrhaa faktor A pada b c dtambah dga pada taraf b c dkrag dga fk sdrhaa faktor A

68 53 pada taraf b c da c b ata mrpaka rata-rata dar fk sdrhaa faktor B pada a c dtambah dga pada taraf a c dkrag dga fk sdrhaa faktor B pada taraf a c da c a ata rata-rata dar fk sdrhaa faktor C pada b a dtambah dga pada taraf b a dkrag dga fk sdrhaa faktor C pada taraf b a da a b. Shgga dapat dyataka sbaga brkt: {( abc bc) ( a () ( ac c) ( ab b))} abc a b c ab ac bc () ABC (3.9) 4 4 Tabl 3.8 : Tada kotras prcobaa faktoral 3 Kombas Efk prlaka I A B C AB AC BC ABC a b ab c ac bc abc Jmlah kadrat dar kombas prlaka dapat d htg dga mgkadratka kotras da dbag dga jmlah kombas prlaka da jmlah prlaga. Brdasarka prsamaa (.) da dga mgaka Tabl (3.8) maka kotras dar stap kombas prlaka sbaga brkt: Kotras A (aabacabc-()-b-c-bc) (3.9) Kotras B (babbcabc-()-a-c-ac) B (3.30) Kotras C (cacbcabc-()-a-b-ab) (3.3) Kotras AB (abc-ac-bccab-a-b()) (3.3) Kotras AC (abc-ab-bcbac-a-c()) (3.33)

69 54 Kotras BC (abc-ab-acabc-b-c()) (3.34) Kotras ABC (abc-ac-bcc-abab-()) (3.35) Dga mggaka prsamaa (.) maka jmlah kadrat tk stap kombas prlaka dalam prcobaa faktoral 3 sbaga brkt: JK JK JK JK A B C AB ( kotras A ) (3.37) 8 ( kotrasb ) 8 (3.38) ( kotrasc ) 8 (3.39) ( kotras AB ) (3.40) 8 JK JK JK AC BC ABC ( kotras AC ) 8 (3.4) ( kotrasbc ) 8 (3.4) ( kotras ABC ) (3.43) 8 Stap pgamata dalam racaga prcobaa faktoral 3 dapat dyataka dga modl matmatka sbaga brkt: jkl μ τ β γ ( τβ ) ( τγ ) ( βγ ) ( τβγ ) ε j k j k jk jk ( jk )l dga: μ τ β j : Rata-rata total pgamata : Pgarh faktor A taraf k-,, : Pgarh faktor B taraf k-j,j,

70 55 γ k : Pgarh faktor C taraf k-k, k, (τβ) j : Pgarh kombas faktor A taraf k- da B taraf k-j (τγ) k (βγ) jk : Pgarh kombas faktor A taraf k- da C taraf k-k : Pgarh kombas faktor B taraf k-j da C taraf k-k (τβγ) jk : Pgarh kombas faktor A taraf k-, faktor B taraf k-j da C taraf k-k ε (jk)l : rror pada taraf k-,k-j,k-k da k-l, l,,3, Shgga jmlah kadrat total (JK T )dar prcobaa faktoral 3 sbaga brkt: JK T jkl (3.44) 8 j k l Scara smbolk prsamaa (3.44) dapat dyataka JK T JK A JK B JK B CJK AB JK AC JK AB JK ABC JK E (3.45) JK E JK T -JK A -JK B -JK B C-JK AB -JK AC -JK AB -JK ABC (3.46) Faktor A, B, C da kombas AB, AC, BC da ABC mmpya drajat bbas. Sdagka rror mmpya drajat bbas sbayak 8(-) da tk total pgamata mmpya 8- drajat bbas. Sdagka tk rata-rata kadrat (RJK) dar masg-masg kombas prlaka dapat dttka dga : JK JK (3.47) A RJK A A JK JK (3.48) B RJK B B JK JK (3.49) C RJK C C

71 56 JK AB RJK AB JK BC RJK BC JK AC MS AC JK JK JK JK ABC RJK ABC AB AC JK BC ABC (3.50) (3.5) (3.5) (3.53) JKT RJKT (3.54) 8( ) Sdagka j statstk tk faktor A, B da C, kombas AB, AC, BC da ABC adalah sbaga brkt : RJK F A RJK A E (3.55) RJK B F B (3.56) RJK E RJKc F c (3.57) RJK E RJK F AB RJK AB E (3.58) RJK BC F BC (3.59) RJK E RJK AC F AC (3.60) RJK E RJK ABC F ABC (3.6) RJK E

72 57 C. Racaga Prcobaa Faktoral k Prcobaa faktoral k mrpaka sat prcobaa yag mlbatka k faktor da masg-masg faktor mmpya taraf. Shgga trdapat k kombas prlaka yag hars dj. Utk racaga faktoral k tabl tada kotras dapat dss dga cara mls tada () da (-) scara brgata tk faktor A da tk faktor B tada () da (-) dtls scara brpasaga - -, bgt strsya scara brgata. Shgga tk faktor tama K aka brska k- tada () da k- tada (-). Sdagka tk kombas atar faktor tada () da (-) mrpaka hasl kal tada () ata (-) dar faktor pysya. Tada () tk taraf tgg da tada (-) tk kombas prlaka yag brtaraf rdah. Dalam racaga prcobaa faktoral k mmpya k kolom fk tama da k bars kombas prlaka. Dar Tabl 3.8 dapat dttka bbrapa sfat dar tabl tada kotras:. Stap kolom mmpya jmlah tada () da (-) yag sama kcal tk kolom dttas.. Jmlah prkala tada dalam da kolom smbarag adalah 0. Kadaa dsbt sbaga ortogoal. 3. Prkala smbarag kolom dga kolom dttas mghaslka kolom yag sama. 4. Prkala da kolom kombas atar faktor aka mghaslka kolom dalam tabl yag sama. Cotoh: AB x ABC A B C I x I x C C Dar prsamaa (3.7) (3.9) da prsamaa (3.30) (3.36) maka scara mm kotras tk k faktor dapat dyataka dga :

73 58 kotras ABC ( a ± )( b ± )( c ± ) Λ ( ± ) Κ k (3.6) K tada gatf (-) jka faktor yag brsagkta aka dhtg dalam kotras trsbt da tada postf () jka faktor yag brsagkta tdak dhtg dalam kotras trsbt. Msal kotras tk faktor A (Q A ) dar prcobaa faktoral 3 adalah Q A ( a ) ( b )( c ) ( ab a b ) ( c ) abc ac bc c ab a ( ) b Hal ssa dga hasl dalam prsamaa (3.7). Dar prsamaa (3.0) (3.) da prsamaa (3.37) (3.45) maka jmlah kadrat tk racaga prcobaa faktoral k adalah JK A, B,..., K ( kotrasa, B,..., K ) (3.63) k Utk mtka bahwa sat fk sgfka, maka dgaka aalss aras. Dalam Motgomr (99) tlah mragkm aalss aras tk k. Tampak sprt pada Tabl 3.9 Tabl 3.9 : Aalss aras tk racaga prcobaa faktoral k Smbr aras K K fk tama A B C Μ K Itraks faktor AB AC Μ.JK Jmlah Kadrat JK A JK B JK C Μ JK K JK AB JK AC Μ JK JK Drajat Bbas Μ Μ

74 59 Smbr aras K K K Itraks 3 faktor 3 ABC ABD Μ IJK Μ Itraks K faktor ABC K Error Total Jmlah Kadrat JK ABC JK ABD.Μ JK jk Μ JK AB K JK E JK T Drajat Bbas Μ Μ k (-) k Sla dga mggaka aalss aras, sgfka sat fk dapat dttka dga mmbadgka Stadar Error Efk (S E (fk)) dga bsarya fk faktor ata traks atar faktor mlal da lmt dar stadar rror da stmas fk yat: A, B, C, Κ, K / AB, AC, Κ, ABCΚ K Estmas fk ± tα / S E ( fk). Error mrpaka slsh dar la sbarya dga la ramalaya. Itral datas mdkat tral kprcayaa α. Faktor ata traks yag sgfka dapat dlhat dar tral trsbt dga mlhat tral yag tdak mgadg ol. Stadar rror dar stmas sat fk (S (Efk)) dapat dhtg dga: S ( Efk) Var( fk) (3.64) Sdagka aras fk (Var fk)dapat dhtg mlal bbrapa cara:. Jka racaga prcobaa faktoral k dga rplkas pada stap amata, maka stmas dar aras fk:

75 60 Var(fk) kotras Var k Var( kotras) (3.65) ( k ) Dktah aras dar amata k- adalah S j ) dga,,3,, k ( j da stmas aras dar k amata adalah S k ( ) k ( j ) j kara kotras mrpaka kombas lar dar total pgamata dar prcobaa k yag trdr dar rplkas shgga aras dar stap pgamata adalah maka Var(kotras) k. dapat dstmas dga S ( ˆ S ) dalam tabl aalss aras dyataka dga la RJK. Shgga aka dprolh: Var( fk) k k ( ) E k 4 k 4 dga N k (3.66) N. Jka racaga prcobaa k dga laga. Var(fk) kotras Var Var( kotras) k k ( ) Var( fk) k k ( )

76 6 4 k k 4 dga N k (3.67) N Dga mlakka racaga prcobaa faktoral k maka sma pgamata dapat dgaka tk mla sma kombas prlaka, shgga pggaa smbr daya mjad lbh fs. Racaga prcobaa faktoral k jga mmpya klmaha atara la jmlah kombas prlaka smak bayak sbadg dga jmlah faktor yag trlbat. Bayakya prlaka mgakbatka brkragya fss prcobaa hal kara bayakya rplkas. Mmrlka matr, wakt da baya yag ckp bayak. D. Algortma Yat s Algortma Yat s mrpaka salah sat tkk tk mgstmas fk da jmlah kadrat dalam racaga faktoral k, yag dprkalka olh Yat s(937). Kombas prlaka dtls k bawah dalam rta stadar, dalam sat tabl trdr dar bbrapa kolom da kolom (brska jmlah total pgamata) pada kombas prlaka yag brssaa. Stgah prtama dar kolom () dprolh dga mjmlahka pasaga agka yag brdkata pada kolom, stgah kda kolom () dprolh dga mgragka blaga yag dbawah dga yag datasya pada stap pasag blaga dar kolom.

77 6 Kolom kda dprolh dar kolom () dga cara yag sama, bgt strsya sampa kolom (k). Scara mm k kolom aka dbtk mlal tada postf () da gatf( ) pasaga yag brssaa. Hasl pada kolom (k) mrpaka kotras dar fk prlaka. Utk mmprolh stmas fk, blaga dalam kolom (k) hars dbag dga k-, kcal tk blaga prtama dbag dga k, kara stmas prtama mrpaka rata-rata kslrha dar sma pgamata. Sdagka tk Jmlah Kadrat fk dprolh dga mgkadratka lmlm dalam kolom (k) da dbag dga k kcal tk lm prtama tdak brlak. Prhtga dga mgaka Algortma Yat s dapat dprksa ktltaya dga cara mghtg total jmlah kadrat dalam stap kolom prtama dga total jmlah kadrat kolom, slajtya total jmlah kadrat dalam kolom prtama () adalah da kal total jmlah kadrat kolom, da jmlah kadrat kolom kda () adalah kal total jmlah kadrat kolom. Jad m total jmlah kadrat dalam kolom (m) adalah dga adalah jmlah kadrat lm dalam kolom pgamata, da adalah la pgamata. Sla t tk mgck prhtga Algortma Yat s dapat dga cara mghtg jmlah lm dalam tap kolom. Jka prhtga tlah dlakka dga bar maka jmlah lm-lm dalam kolom ( ) adalah da kal jmlah stap lm kda dalam kolom k-, ata da kal jmlah stap blaga kda dar pasaga blaga dalam kolom k-.

78 63 Nla stmas ˆ da rror kbalka algortma Yats: ˆ tk racaga k dapat dprolh dar a. Elm dalam kolom (k) pada algortma Yats dtls kmbal dalam tabl bar dga dss dbalk da mmbr la ol tk fk yag tdak sgfka ata yag dapat dabaka. b. Elm dalam kolom ( k ) trsbt mjad lm pada tabl bar ata kolom ( ) yag tlah dmodfkas. c. Prosdr algortma Yats dlakka trhadap kolom shgga dprolh kolom ( kˆ ) yag bar. d. Nla stmas ˆ dprolh dga mmbag kolom ( kˆ ) dga k da tk la rsdal adalah ˆ. Cotoh 3. Sorag syr mkak aka mlt pgarh tgkat kcpata, dalamya pmotoga da sdt potog trhadap prmkaa hasl pmotoga sat logam. Pmotoga logam t dlakka pada tgkat kcpata 0 c/ mt da 30 c/mt dga dalamya pmotoga 0.05 c da 0.04 c. Sdagka bsarya sdt pmotoga 5 o da 5 o. Stap pgamata mdapat prlaga sbayak kal. Data hasl pgamata prcobaa trsbt dyataka dalam Tabl 3.0. Shgga dar prcobaa t dapat dttka kombas prlaka maa yag aka mghaslka prmkaa yag hals da bak.