ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR MIDDLE EAST RESPIRATORY SYNDROME- CORONA VIRUS

Transkripsi

1 ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR MIDDLE EAST RESPIRATORY SYNDROME- CORONA VIRUS (MERS-CoV) ANTAR WILAYAH INDONESIA (INA) DAN ARAB SAUDI (KSA) SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains Oleh MUHAMMAD SYARIFUDIN PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2017 i

2 ii

3 iii

4 PERNYATAAN Yang bertanda tangan di bawah ini saya: Nama : Muhammad Syarifudin NIM : Prodi : Matematika Jurusan : Pendidikan Matematika Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Judul : ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR MIDDLE EAST RESPIRATORY SYNDROME-CORONA VIRUS (MERS-CoV) ANTAR WILAYAH INDONESIA (INA) DAN ARAB SAUDI (KSA) Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya sendiri. Sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang lain kecuali sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti kata penulisan karya ilmiah yang telah lazim. Apabila terbukti bahwa pernyataan ini tidak benar maka sepenuhnya menjadi tanggungjawab saya dan saya bersedia menerima sanksi sesuai peraturan yang berlaku. Yogyakarta, 26 Januari 2017 Yang Menyatakan, Muhammad Syarifudin NIM iv

5 MOTTO Sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan. Maka apabila engkau telah selesai (dari suatu urusan), tetaplah bekerja keras (untuk urusan yang lain) (Q.S Al Insyirah: 6-7) Hidup adalah perjuangan life is a struggle Jadikanlah ilmu berguna bagi diri sendiri dan orang lain Segala yang indah belum tentu baik, namun segala yang baik sudah tentu indah "Develop success from failures. Discouragement and failure are two of the surest stepping stones to success" (Dale Carnegie) Barang siapa menginginkan kebahagiaan di dunia maka haruslah dengan ilmu, barang siapa yang menginginkan kebahagiaan di akhirat haruslah dengan ilmu, dan barang siapa yang menginginkan kebahagiaan pada keduanya maka haruslah dengan ilmu (HR. Ibn Asakir) v

6 PERSEMBAHAN Alhamdulillah... segala puji bagi Allah SWT... dengan memanjatkan puja-puji syukur atas kehadirat-nya, karya yang sederhana ini saya persembahkan kepada: Alm. Ayahku tercinta, Bapak Ngizudin... yang selama hidupnya telah mendidik, selalu memberikan nasihat, memberikan kasih sayang yang tak pernah henti dan selalu medo akan dengan tulus disetiap harinya untuk kebaikan dan kesuksesan bagiku, semoga Allah SWT membalas semua kebaikan-kebaikannya dengan memberikan tempat yang paling mulia di sisi- Nya... Aamiin Yaa Robbal Aalamiin. Ibunda tercinta, Ibu Salami... yang selalu memberikan kasih sayang tak terbatas, dan do anya yang tulus yang selalu menyertaiku. Jasa-jasamu sungguh mulia bahkan takkan mampu diriku tuk membalasnya, yang bisa kulakukan hanyalah berdo a, Semoga Ibunda selalu dalam lindungan Allah SWT, Aamiin Yaa Robbal Aalamiin. Kakak ku dan keponakan ku yang tercinta, Mbak Siti, Mbak Qib, Mas Ilham, Rona, Zaki, Farich, dan Licha... terimakasih atas perhatian, dukungan dan do a kalian semua, kalian adalah tempatku berbagi kebahagian, tempatku melepas kesedihan dan kesulitan yang kalian ubah itu menjadi keindahan dengan canda tawa kalian, I love you all... semoga kalian semua selalu dalam lindungan-nya... Aamiin. My second mother, Ibu Hj. Harini Tjaswadi. Terimakasih banyak Ibu... yang telah memberikanku banyak ilmu selain yang diajarkan di kampus. Terima kasih telah berkenan menyediakan tempat tinggal dan memenuhi segala kebutuhan hidupku selama di jogja. Engkau selalu memberikan nasihat, memberikan masukan, dukungan dan selalu mendo akanku untuk menjadi yang lebih baik. Maafkan segala kesalahan saya dan maaf tidak bisa membalas semua kebaikan Ibu, saya hanya bisa mendo akan semoga kebaikan-kebaikan Ibu memperoleh balasan yang lebih baik dari Allah SWT dan semoga Ibu selalu dalam lindungan-nya. Aamiin. Untuk semua teman-temanku terutama dari pasukan SAMBAR 59 maupun dari kelas Matswa 2012, Matsub 2012, kakak dan adik angkatan, Mahadiksi, UKKI JAM, HASKA JMF dan untuk semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu per satu. Kalian luar biasa... succes always for all. vi

7 ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR MIDDLE EAST RESPIRATORY SYNDROME- CORONA VIRUS (MERS-CoV) ANTAR WILAYAH INDONESIA (INA) DAN ARAB SAUDI (KSA) Oleh Muhammad Syarifudin NIM ABSTRAK Middle East Respiratory Syndrome-Corona Virus (MERS-CoV) merupakan penyakit sindrom pernapasan yang disebabkan oleh Virus-Corona yang menyerang saluran pernapasan mulai dari yang ringan sampai yang berat. Penyakit ini dapat menjadi wabah dalam suatu wilayah karena sifat menularnya yang begitu cepat. Oleh karena itu, diberikan program vaksinasi sebagai upaya pencegahan penyebaran penyakit MERS-CoV. Skripsi ini mengkaji tentang model matematika pada penyebaran penyakit MERS-CoV dengan vaksinasi. Model matematika yang digunakan yaitu model SIV (Susceptible-Infected-Vaccinated) dengan individu tervaksinasi hanya dari Indonesia. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh tingkat vaksinasi terhadap penyebaran penyakit MERS-CoV dalam populasi antar dua wilayah. Analisis model SIV yang dilakukan pada penyebaran penyakit MERS-CoV dalam pembahasan ini terdapat 5 tahapan. Pertama, membentuk model SIV; kedua, mencari titik ekuilibrium; ketiga, menentukan bilangan reproduksi dasar (R 0 ); kemudian yang keempat, menganalisis kestabilan di sekitar titik ekuilibrium dan yang terakhir yaitu melakukan simulasi menggunakan software Maple 18. Model SIV pada penyebaran penyakit MERS-CoV memiliki lima kelas populasi yaitu kelas Susceptible Indonesia (S INA ), kelas Susceptible Arab Saudi (S KSA ), kelas Vaccinated Indonesia (V INA ), kelas Infected Indonesia (I INA ) dan kelas Infected Arab Saudi (I KSA ). Pemodelan matematika yang didapatkan berupa sistem persamaan diferensial nonlinear. Berdasarkan simulasi, untuk pengaruh pemberian vaksin Meningitis terhadap calon jama ah haji/umrah asal Indonesia diperoleh bahwa semakin tinggi tingkat vaksinasi yang diberikan, menyebabkan banyaknya individu yang terinfeksi semakin menurun. Hal ini menunjukkan bahwa program vaksinasi dapat digunakan untuk menekan banyaknya individu terinfeksi yang diakibatkan oleh penyebaran penyakit menular MERS-CoV yang terjadi antar dua wilayah yang berbeda. Kata Kunci: MERS-CoV, model SIV, titik ekuilibrium, Bilangan Reproduksi Dasar, kestabilan. vii

8 KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan segala karunia, rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penuliasan skripsi dengan judul Analisis Kestabilan Model Penyebaran Penyakit Menular Middle East Respiratory Syndrome Corona Virus (MERS-CoV) Antar Wilayah Indonesia (INA) dan Arab Saudi (KSA). Tugas Akhir Skripsi ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk menyelesaian Studi Sarjana Sains (S.Si). Sejak awal kuliah hingga terselesainya tugas akhir ini, penulis mendapat dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dan memberikan dukungan kepada penulis, yaitu: 1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika 3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Prodi Matematika 4. Ibu Dwi Lestari M.Sc. dan Ibu Husna Arifah M.Sc. selaku dosen pembimbing skripsi yang telah memberikan pengarahan, saran, bimbingan dan masukan sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan Tugas Akhir Skripsi ini 5. Bapak Ibu Dosen Jurusan Pendidikan Matematikda yang telah memberikan ilmu kepada penulis secara langsung maupun tidak langsung 6. Bapak, Ibu dan keluarga yang tidak pernah lelah memberikan dukungan dan do a untuk penulis viii

9 7. Ibu Hj. Harini Tjaswadi selaku orang tua asuh yang telah memberikan nasihat, dukungan serta do a demi kelancaran penulis dalam menyelesaikan tugas akhir 8. Seluruh Mahasiswa Matematika Angkatan 2012 dan semua pihak yang telah memberikan motivasi dan membantu secara langsung maupun tidak langsung sehingga dapat memperlancar proses penyusunan tugas akhir ini. Semoga tugas akhir ini dapat berkah dan bermanfaat untuk setiap orang yang membacanya, Aamiin. Wassalamu alaikum Wr. Wb. Yogyakarta, 26 Januari 2017 Penulis Muhammad Syarifudin NIM ix

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii PERNYATAAN... iv MOTTO... v PERSEMBAHAN... vi ABSTRAK... vii KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR TABEL... xii DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR LAMPIRAN... xiv DAFTAR SIMBOL... xv BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang... 1 B. Identifikasi Masalah... 5 C. Pembatasan Masalah... 5 D. Perumusan Masalah... 5 E. Tujuan Penelitian... 6 F. Manfaat Penelitian... 6 BAB II LANDASAN TEORI... 8 A. Pemodelan Matematika... 8 x

11 B. Persamaan Diferensial C. Solusi Persamaan Diferensial D. Sistem Persamaan Diferensial E. Nilai Eigen dan Vektor Eigen F. Titik Ekuilibrium G. Linearisasi H. Kestabilan I. Bilangan Reproduksi Dasar BAB III PEMBAHASAN A. Permasalahan Nyata B. Formulasi Model C. Transformasi Model D. Titik Ekuilibrium E. Bilangan Reproduksi Dasar F. Kestabilan Lokal di sekitar Titik Ekuibrium G. Simulasi Model Penyebaran Penyakit MERS-CoV BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xi

12 DAFTAR TABEL Tabel 3.1 Variabel dan Parameter xii

13 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Proses Pemodelan Matematika... 8 Gambar 2.2 Ilustrasi Kestabilan Gambar 3.1 Diagram Kompartemen Model Penyebaran Penyakit Menular MERS-CoV antar Wilayah INA dan KSA Gambar 3.2 Simulasi Sistem (3.20) dengan v = Gambar 3.3 Simulasi Sistem (3.20) dengan v = Gambar 3.4 Simulasi Sistem (3.20) dengan v = Gambar 3.5 Simulasi Sistem (3.20) dengan v = Gambar 3.6 Simulasi Sistem (3.20) dengan v = xiii

14 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1 Program Maple untuk model matematika penyebaran penyakit MERS- CoV tanpa pengaruh vaksinasi atau b = Lampiran 2 Program Maple untuk model matematika penyebaran penyakit MERS- CoV dengan pengaruh vaksinasi untuk b = Lampiran 3 Program Maple untuk model matematika penyebaran penyakit MERS- CoV dengan pengaruh vaksinasi untuk b = Lampiran 4 Program Maple untuk model matematika penyebaran penyakit MERS- CoV dengan pengaruh vaksinasi untuk b = Lampiran 5 Program Maple untuk model matematika penyebaran penyakit MERS- CoV dengan pengaruh vaksinasi untuk b = xiv

15 DAFTAR SIMBOL N INA Jumlah total populasi dari Indonesia (INA) N KSA Jumlah total populasi dari Arab Saudi (KSA) S INA (t) Populasi kelas Susceptible INA pada saat t S KSA (t) Populasi kelas Susceptible KSA pada saat t I INA (t) Populasi kelas Infected INA pada saat t I KSA (t) Populasi kelas Infected KSA pada saat t V INA (t) Populasi kelas Vaccinated INA pada saat t s INA (t) Proporsi kelas Susceptible INA pada saat t s KSA (t) Proporsi kelas Susceptible KSA pada saat t i INA (t) Proporsi kelas Infected INA pada saat t i KSA (t) Proporsi kelas Infected KSA pada saat t v INA (t) Proporsi kelas Vaccinated INA pada saat t R n Himpunan bilangan real dimensi n x Turunan pertama x terhadap t x 0 Nilai awal atau kondisi awal x Titik ekuilibrium E Himpunan terbuka C (E) Himpunan semua fungsi yang mempunyai turunan pertama yang kontinu di E Df(x 0 ) Turunan f di x 0 J(f(x )) Matiks jacobian di x λ Nilai eigen A Matriks berukuran n n I Matriks Identitas Re(λ i ) Bagian real pada nilai eigen ke i E 0 Titik ekuilibrium bebas penyakit E 1 Titik ekuilibrium endemik R 0 Bilangan reproduksi dasar A 1 Banyaknya calon jamaah haji/umrah dari Indonesia A 2 Banyaknya calon jamaah haji/umrah dari Arab Saudi α 1 Laju perpindahan individu rentan dan terinfeksi dari wilayah Indonesia ke wilayah Arab Saudi α 2 Laju perpindahan individu rentan dan terinfeksi dari wilayah Arab Saudi ke wilayah Indonesia xv

16 µ Laju individu rentan yang meninggal secara alami µ mrs Laju individu terinfeksi yang meninggal karena penyakit v Laju perpindahan individu rentan yang ada di Indonesia yang diberi vaksinasi dari kelompok S INA ke kelompok V INA ε Laju individu terinfeksi yang pulih ω Laju perpindahan penyakit antar individu rentan dan terinfeksi yang berasal dari wilayah yang berbeda β Laju perpindahan penyakit antar individu rentan dan terinfeksi yang berasal dari wilayah yang sama a 1 Proporsi banyaknya calon jamaah haji/umrah dari Indonesia a 2 Proporsi banyaknya calon jamaah haji/umrah dari Arab Saudi F i Laju kemunculan infeksi baru pada kompartemen ke-i Laju perpindahan individu yang keluar dari komparte-men ke-i V i xvi