PROSEDUR KOMPUTASI PENALIZED QUASI LIKELIHOOD DALAM PENAKSIRAN PARAMETER MODEL REGRESI POISSON MULTILEVEL

Transkripsi

1 A9 Semar Nasoal ekolog Iformas 16 PROSEDUR KOMPUASI PENALIZED QUASI LIKELIHOOD DALAM PENAKSIRAN PARAMEER MODEL REGRESI POISSON MULILEVEL Bertho atular 1) Resa Septa Potoh ) Def Yust Fadah 3) 1,,3) Departeme Statstka FMIPA UNPAD Jl. Raya Badug-Sumedag KM 1 Sumedag Idoesa emal : bertho@upad.ac.d 1),resa.septa@upad.ac.d, ) def.yust@upad.ac.d ABSRAC Data yag memlk respo cacaha (coutg data) daalss megguaka regres posso. Model regres posso megguaka fugs peghubug log dalam pembetuka modelya. etap ada kalaya data yag dguaka memlk struktur herark. Aalss regres posso utuk data herark harus memperhtugka adaya struktur herark. Model multlevel merupaka suatu model yag dapat dguaka pada struktur data tersarag (ested) sepert data herark. Secara umum utuk meaksr parameter pada model regres posso multlevel tdak dapat megguaka metode maksmum lkelhood. Pedekata yag dapat dguaka adalah megguaka metode pealzed quas lkelhood. Metode membutuhka suatu pedekata lersas deret taylor da metode teratve geeralzed least square. Adaya prosedur teratve memerluka suatu algortma komputas dalam memperoleh hasl peaksraya. Keywords posso multlevel models, pealzed quas lkelhood, teratvely geeralzed least square 1. Pedahulua Model yag dapat meggambarka hubuga atara suatu peubah bebas dega peubah tak bebas adalah aalss regres. Respo yag berupa data cacaha megkut dstrbus Posso sehgga utuk memodelka respo cacaha harus megguaka Geeralzed Lear Models (GLM). Dalam GLM pembetuka model dlakuka melalu suatu fugs yag dsebut dega lk fucto, Metode peaksra yag dguaka dalam GLM adalah metode maxmum lkelhood yag dalam prosesya harus megguaka metode teratf Newto-Rhapso atau Fsher Scorg[1]. Pada data herark, varabel-varabel yag dukur berasal dar tgkata (level) yag berbeda sehgga dataya dsebut sebaga data multlevel. Utuk memodelka data herark harus melalu pedekata model multlevel. Pada data dega respo cacaha (coutg) maka model yag dguaka adalah model regres posso. Oleh karea dataya merupaka data herark maka model yag dguaka adalah model regres posso multlevel [4]. Metode peaksra utuk model multlevel tdak bsa megguaka metode yag basa karea ada dua es parameter yag terlbat yatu parameter tetap (fxed parameter) da parameter acak (radom parameter). Pedekata yag dlakuka adalah melalu model campura (mxed model). Utuk model campura pada data cacaha termasuk dalam geeralzed lear mxed models (GLMM). Metode peaksra utuk GLMM megguaka beberapa pedekata yatu metode pealzed quas lkelhood, metode laplace, da Adaptve Gaussa Quadrature. Ketga metode membutuhka suatu prosedur komputas karea melbatka proses teratve dalam proses peaksraya. Dalam tulsa aka dbahas megea prosedur komputas metode pealzed quas lkelhood utuk meaksr parameter model regres posso multlevel.. Kaa Lteratur Model regres utuk respo data cacaha daalss megguaka GLM [1]. Model yag terbetuk tdak dapat medefska suatu fugs lear dar ekspektas kompoe acak (respose) terhadap kompoe sstematsya (lear predctor). Msalka Y,..., 1 Y adalah varabel acak depede dega Y merupaka umlah keada yag megkut dstrbus Posso dega fugs massa peluag: y e P Y y y y! ;,1,,... dega la drumuska sebaga berkut: (Y ) = µ = λ. Ekspektas dar Y dapat 174

2 Semar Nasoal ekolog Iformas 16 A9 Dalam model posso, kebergatuga varabel peelasya (X ) drumuska: x e sehgga model dalam GLMya mead: E( Y ) e x terhadap Oleh karea tu fugs peghubug (lk fucto) harus dguaka dalam pemodelaya. Utuk respo berbetuk data cacaha, fugs peghubug yag dguaka adalah log-lk[1]. Model regres sepert dsebut model regres posso. log( ) (1) x Utuk meaksr parameter pada model regres posso tdak bsa megguaka metode Ordary Least Square (OLS) tetap harus megguaka metode maxmum lkelhood (ML). Fugs lkelhood utuk regres posso adalah L 1 y x x e exp e y! da fugs log-lkelhood sebaga berkut: x x y e y l L l! dega la turua pertama: l L x y x x e 1 1 da la turua kedua: l L x x xe 1 Melalu cara tdak bsa dperoleh peaksr parameter parameter yag eksplst sehgga metode peaksraya harus melalu proses teras. Metode teras yag dguaka umumya, dalam hal metode yag dguaka adalah Fsher Scorg yag memafaatka turua pertama sebaga vector score (U(β)) da ekspektas turua kedua sebaga matrks formas (Ι(β)) [3]. Proses teras pada Fsher Scorg Method aka memeuh persamaa: 1 U t1 t t t () Proses dteras hgga koverge. Kemuda utuk pegua keberarta model dguaka Statstk rato lkelhood ( drumuska sebaga berkut: G )yag G l L L (3) ˆ ˆ ˆ x ˆ x x y e x y e L adalah fugs lkelhood pada model dega kosta da L adalah fugs lkelhood pada model peuh. Krtera u pada LR yatu tolak H ka G,db da meerma utuk sebalkya, dmaa db adalah selsh deraat bebas pada model peuh da model kosta. [1]. Utuk u parsal dguaka statstk Wald dega rumusa sebaga berkut ˆ W SE ˆ (4) Statstk W aka megkut dstrbus ch-kuadrta dega deraat kebebasa sebesar 1 (satu). Apabla data yag dguaka merupaka data herark maka dalam pemodelaya harus melbatka adaya usur herark, Dalam pemodela utuk data herark setap level yag terlbat harus dakomodas dalam model [4]. Sehgga model yag dguaka adalah model regres posso multlevel radom tercept. log( ) x o (5) Z u Dalam hal u dasumska berdstrbus ormal dega rata-rata ol da varas σ u. Utuk meaksr parameter pada persamaa (5) tdak bsa megguaka metode Fsher Scorg karea dalam setap turuaya mash megadug usur parameter. Sehgga dlakuka pedekata melalu lersas perluasa deret taylor yag dsebut sebaga Quas Lkelhood. Metode yag dapat dguaka adalah Margal Quas-Lkelhood (MQL) yag dusulka oleh Goldste [4]. Meurut Goldste [4] peaksra koefse dega megguaka MQL aka meyebabka uderestmate terutama utuk sampel kecl. Begtu pula meurut Rodrguez da Goldma [1] peaksra yag dturuka megguaka MQL utuk respo ber aka meyebabka bas pada saat kuattas klasterya cukup besar. Sela megguaka MQL parameter-parameter tersebut uga bsa dtaksr dega megguaka Pealzed Quas-Lkelhood (PQL) yag dusulka oleh Hedeker [5]. 3. Prosedur Komputas Pemodela yag dguaka utuk data respo cacaha adalah model regres posso multlevel. 175

3 A9 Semar Nasoal ekolog Iformas 16 Model palg sederhaa adalah radom tercept (5). Megguaka substtus dapat dubah mead (6) log( ) Z x u Peaksra parameter utuk model pada Persamaa (6) megguaka PQL sepert yag dusulka oleh Hedeker [5]. Metode PQL dlakuka dega megubah baga yag o-ler mead ler agar meghaslka model yag ler. Baga yag tdak ler pada Persamaa (6) adalah µ =. Cara melersas adalah dega megguaka perluasa deret aylor. Dmsalka, sehgga perluasa deret aylor sampa order pertama utuk fugs dyataka sebaga berkut: Dega mesubtstuska dega,da meyataka suatu la, maka persamaa d atas mead = + Peaksra parameter utuk model regres posso dua level radom tercept pada kasus megguaka metode PQL order pertama, sehgga perluasa deret aylor dlakuka pada la da. Metode PQL dlakuka secara teras hgga mecapa koverge. Lersas baga yag o ler dar model pada teras ke-t megkut ketetua metode PQL order pertama dapat dtulska sebaga berkut: + (H t) + ( - ) ( Pada saat tercapa koverge betuk persamaa sehgga dperoleh : (7) Dega adalah varabel respo utuk ut ke pada level satu dalam ut ke pada level dua da adalah galatya. Lagkah selautya adalah membag ruas kr da ruas kaa dega, sehgga aka terbetuk persamaa sebaga berkut Dega (8) adalah la respo yag telah dtrasformas utuk ut ke- pada level satu dalam ut ke- pada level dua pada saat teras ke-t. da : Persamaa (8) merupaka persamaa yag sudah dalam betuk ler. Parameter-parameter dalam persamaa (8) dtaksr dega megguaka metode Iteratve Geeralzed Least Square (IGLS). Metode IGLS dguaka utuk meaksr parameter tetap ( da parameter acak ( ). Peaksr parameter tetap adalah sebaga berkut : (9) dega la V adalah matrks varas kovaras. Sedagka peaksr parameter acak yatu da adalah (1) Dega Z adalah matrks desa parameter acak da sedagka da Y* vec[( Y Yˆ)( Y Yˆ) ]. Peaksra parameter tetap da acak dlakuka secara teratf hgga meghaslka la parameter yag koverge. Secara umum prosdur komputas PQL adalah sebaga berkut: 1. etuka fugs dstrbus peluag respo yatu dstrbus Posso.. etuka log-lkelhood dar dstrbus respo tersebut 3. Lakuka lersas sepert pada persamaa (7) hgga dperoleh persamaa (8) 4. Lakuka prosedur IGLS utuk memperoleh peaksr bag β. Semetara prosedur komputas IGLS adalah sebaga berkut 1. etuka la β dega Metode Kuadrat erkecl Basa. Htug la y* = yy dalam hal berukura ( x ) dega y yag berukura ( x 1) dega = m 1. etuka bahwa E(y*) = V dega V merupaka matrks varas-kovaras utuk model yag laya tdak dketahu. Buatlah vektor y** = vec(y*) berukura ( x 1) sehgga E(y**) = Z*θ dalam hal vektor θ bers parameter-parameter kompoe acak da Z* adalah matrks racaga koefse acak. 3. Htuglah peaksr θ sepert pada persamaa (1). Guaka V = I utuk teras pertama. 4. Guaka peaksr pada lagkah 5 utuk megs eleme matrks V yag bersesuaa. 5. etuka la β dega metode GLS sepert pada Persamaa (9) dega matrks V yag dperoleh pada lagkah 6 6. Ulag lagkah ke- da proses dteras hgga ddapatka hasl yag koverge. 7. Guaka peaksr pada lagkah 5 utuk megs eleme matrks V yag bersesuaa. 8. etuka la β dega metode GLS sepert pada Persamaa (9) dega matrks V yag dperoleh pada lagkah 6 9. Ulag lagkah ke- da proses dteras hgga ddapatka hasl yag koverge. 176

4 Semar Nasoal ekolog Iformas 16 A9 4. Hasl da Pembahasa Dalam baga dlakuka stud smulas utuk melhat perlaku model regres posso multlevel. Secara umum prosedur smulas dlakuka utuk model multlevel tersep acak tapa predktor pada level. Varabel X dbagktka dar berdstrbus bomal dega ukura 1 da parameter propors masgmasg sebesar.4,.4,.47 da.9. Dtetapka efek tersep (u ) yag terdr dar 11 kelompok dega ukura yag berbeda-beda. Efek tersep acak dbagktka dar dstrbus ormal dega rata-rata berbeda dega smpaga baku yag sama yatu.5. etuka parameter koefse tersep adalah da koefse slope adalah.5. Kemuda htug parameter Posso sebaga μ = exp(.5 X X +.5 X X 4 + u). Nla respo Y dbagktka dar dstrbus Posso dega parameter μ. Dalam smulas dlakuka sebayak 1 kal. Setap hasl smulas dhtug la taksra parameter tetap da stadard error-ya dar metode PQL utuk model regres posso multlevel yag telah delaska sebelumya kemuda dbadgka dega metode fsher scorg model regres posso sepert pada persamaa (). Dar smulas yag telah dlakuka hasl-hasl yag dperoleh dsaka dalam betuk tabel dperlhatka perlaku dar masg-masg peaksr berkut stadard error-ya. abel berkut adalah hasl smulas yag telah dlakuka. abel 1 Paramet er etap Peaksr Metode PQL dega Fsher Scorg PQL Fsher Scorg Peaksr Std. Error Peaksr Std. Err Itersep β β β β Parameter Acak σu Dar abel 1 terlhat bahwa utuk parameter tetap peaksr tersep relatf bas utuk peaksr Fsher Scorg utuk model regres posso sedagka peaksr PQL utuk model regres posso multlevel tak bas. Aka tetap meskpu bas model regres posso lebh efse dbadg model regres posso multlevel. Hal terlhat dar stadard error utuk model regres posso multlevel dar metode PQL lebh besar dar model regres posso megguaka metode fsher scorg. Sedagka utuk parameter slope kedua metode memperlhatka taksra yag tak bas dega stadard error yag relatf kecl. Semetara tu utuk parameter acak haya dhaslka oleh model regres posso multlevel dega metode PQL. Hal meuukka bahwa model regres posso multlevel dapat memperlhatka adaya keragama atar kelompok yag tdak dapat dperlhatka oleh model regres posso. abel Peaksr da Stadard Error Metode PQL utuk Model Posso Multlevel Berbaga Ukura Sampel Paramet er etap = 8 = 13 = 5 Peaksr SE Peaksr SE Peaksr SE Itersep β β β β Parameter Acak σu Dar abel terlhat bahwa utuk ukura sapel 8 parameter tetap peaksr tersep relatf bas dega stadard error yag relatf lebh besar. Hal yag sama uga dtuukka oleh peaksr parameter slope. Semetara utuk parameter acak haya ukura sampel 8 yag memberka hasl yag berbeda. Secara umum dapat dkataka bahwa dega bertambahya ukura sampel peaksr yag dhaslka aka semak bak dega stadard error yag semak kecl. 5. Kesmpula Berdasarka hasl smulas, model Regres Posso Multlevel yag dtaksr megguaka metode PQL dapat memperlhatka adaya keragama atar kelompok yag tdak dapat dperlhatka oleh model Regres Posso yag dtaksr megguaka metode Fsher scorg. Secara umum dapat dkataka bahwa dega bertambahya ukura sampel peaksr yag dhaslka metode PQL aka semak bak dega stadard error yag semak kecl. REFERENSI [1] Agrest, Ala.. Categorcal Data Aalyss. d edto New York: Joh Wley & Sos, Ic. [] Blese, P. 6. Multlevel Models R (.) R Developmet Core eam. [3] Dobso, Aette J.. A Itroducto to Geeralzed Lear Models d edto Lodo. Chapma & Hall. [4] Goldste, Harvey Multlevel Statstcal Model: d ed, Lodo, Arold. [5] Hedeker, Doald. 7. Multlevel Models for Ordal ad Nomal Varables Hadbook of Multlevel 177

5 A9 Semar Nasoal ekolog Iformas 16 Aalys: edted by Leeuw ad Meer. New York. Sprger. [6] Hesketh, S.,Rabe. 3. Multlevel modelg of ordered ad uordered categorcal Resposes. Lodo. Isttute of Chld Health. [7] Hox, J.J.. Multlevel Aalyss: echques ad Applcatos New Jersey. Lawrece Erlbaum Assocates Publshers. [8] Kramer, M. 5. R Statstcs for Mxed Models Publshed Paper Bometrcal Cosultg Servce, ARS (Beltsvlle, MD), USDA. [9] McCullagh ad Nelder Geeralzed Lear Models dedto., Lodo. Chapma & Hall. [1] Rodrguez, G., Goldma, N. 1. Improved estmato procedures for multlevel models wth bary respose: a case-study Joural Royal Statst.Soc A, 164, Part pp [11] Sder, om A. B., Bosker, Roel J Multlevel Aalyss: A troducto to basc ad advace multlevel modellg Lodo. SAGE Publcatos. [1] atular, Bertho. 14. Stud Smulas Model Posso Multlevel dalam Meetuka Faktor Resko Peyebab B Makalah dpresetaska pada Semar Nasoal Statstka IV Departeme Statstka FMIPA UNPAD [13] atular, Bertho. 15. Peetua Ukura Sampel pada Model Posso Multlevel. Makalah dpresetaska pada Semar Matematka da Peddka Matematka UNY 15. [14] atular, Bertho. 16. Pegguaa Pealzed Quas Lkelhood Dalam Peaksra Parameter Model Regres Posso Multlevel. Prosdg Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka (Sedka) 16 Prod Matematka UMP. ISSN: X Bertho atular, memperoleh gelar S.S. dar Jurusa Statstka FMIPA Uverstas Padadara, Badug tahu Kemuda tahu 9 memperoleh M.S. dar Program Stud Statstka Isttut Pertaa Bogor. Saat sebaga Staf Pegaar program stud Statstka Uverstas Padadara. 178