ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI LOGISTIK ORDINAL TERBOBOTI GEOGRAFIS (RLOTG) DENGAN METODE FISHER SCORING

Transkripsi

1 ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI LOGISTIK ORDINAL TERBOBOTI GEOGRAFIS RLOTG DENGAN METODE FISHER SCORING Aulia Nugrahani Putri, Purnami Widyaningsih, dan Dewi Retno Sari Saputro Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak Model RLOTG merupakan gabungan model regresi logistik ordinal dan model RTG Pada model RLOTG terdapat variabel respon, variabel prediktor, dan parameter Variabel respon dan variabel prediktor dapat diketahui berdasarkan sampel, sedangkan parameternya tidak dapat diketahui sehingga diperlukan estimasi parameter berdasarkan sampel tersebut Estimasi parameter model RLOTG dilakukan dengan metode maksimum likelihood Estimasi parameter dengan metode tersebut ditemui kendala yaitu suatu sistem persamaaan nonlinear yang sulit ditentukan penyelesaiannya Oleh karena itu penyelesaiannya ditentukan secara numerik dengan metode Fisher scoring Tujuan penelitian ini adalah menentukan estimasi parameter model RLOTG dengan metode Fisher scoring dan menerapkannya pada data tingkat kerawanan DBD di Kota Semarang Hasil estimasi parameter model RLOTG dengan metode Fisher scoring adalah ˆV V m+1 dengan V m+1 V m +Inf 1 m S m dan diberikan nilai awal yang diperoleh dari nilai estimasi parameter model regresi logistik ordinal Pada penerapan diperoleh hasil estimasi parameter untuk kelurahan Kuningan yaitu ˆV [ , , , , , , ] T dan untuk kelurahan Tinjomoyo yaitu ˆV [ , , , , , , ] T Sarana kesehatan memiliki pengaruh yang paling besar terhadap peluang banyaknya penderita DBD di kedua kelurahan tersebut Berdasarkan banyaknya penderita DBD, dapat ditentukan kategori IR DBD pada kedua kelurahan tersebut Kata kunci : estimasi parameter, RLOTG, Fisher scoring 1 Pendahuluan Dalam model-model nondeterministik, untuk mengetahui hubungan antara dua atau lebih variabel digunakan model regresi Variabel tersebut adalah variabel prediktor dan variabel respon Variabel respon dapat bertipe kuantitatif atau kualitatif Kualitatif atau yang disebut kategorik merupakan hasil pengukuran dari suatu variabel yang berupa dua atau lebih kemungkinan nilai kategori Jika hanya terdapat dua kategori variabel respon, maka variabel respon tersebut bersifat biner atau dikotomus dan yang memiliki lebih dari dua kategori, maka variabel respon tersebut bersifat polikotomus McCullagh dan Nelder [5] Model regresi dengan variabel respon bertipe kategorik dan variabel prediktor bertipe kategorik dan/atau kuantitatif disebut model regresi logistik Model regresi logistik merepresentasikan peluang kejadian suatu peristiwa yang diakibatkan oleh variabel prediktor Terdapat dua tipe model regresi logistik polikotomus yaitu regresi logistik ordinalcommit dan regresi to user logistik nominal Regresi logistik ordinal memiliki urutan pada variabel respon, sedangkan regresi logistik nominal tidak memiliki urutan pada variabel responnya, Hosmer dan Lemeshow [3] 1

2 Model regresi yang merepresentasikan hubungan antara variabel respon dengan variabel prediktor yang mempertimbangkan lokasi geografis adalah model regresi terboboti geografis RTG Model regresi logistik telah dikembangkan untuk merepresentasikan hubungan antara variabel respon dengan variabel prediktor yang mempertimbangkan lokasi geografis dimana data diamati Menurut Atkinson et al [2], model yang dimaksud adalah regresi logistik terboboti geografis RLTG Model RLTG ini dapat dikembangkan untuk variabel respon yang memiliki skala ordinal oleh Purhadi et al [6], yaitu model regresi logistik ordinal terboboti geografis RLOTG Model RLOTG merupakan gabungan model regresi logistik ordinal dan model RTG Pada model RLOTG terdapat variabel respon, variabel prediktor, dan parameter Variabel respon dan variabel prediktor dapat diketahui berdasarkan sampel, sedangkan parameternya tidak dapat diketahui sehingga diperlukan estimasi parameter berdasarkan sampel tersebut Menurut Hosmer dan Lemeshow [3], metode yang dapat digunakan untuk menentukan estimasi parameter model RLOTG adalah maksimum likelihood Estimasi parameter dengan metode tersebut ditemui kendala yaitu suatu sistem persamaan nonlinear yang sulit ditentukan penyelesaiannya Oleh karena itu penyelesaiannya ditentukan secara numerik Metode Fisher scoring merupakan metode numerik yang menggunakan vektor score dan matriks informasi Fisher Pada tahun 2004, Schworer dan Hovey [7] membandingkan keunggulan pada dua metode numerik yaitu metode Newton- Raphson dan Fisher scoring dalam perhitungan estimasi maksimum likelihood Pada penelitian tersebut ditunjukkan bahwa metode Fisher scoring lebih baik daripada metode Newton-Raphson karena metode Fisher scoring tetap konvergen ketika metode Newton-Raphson tidak konvergen Hal itu dikarenakan metode Fisher scoring menggunakan nilai harapan pada setiap iterasi Pada tahun 2013, Marius dan Anaene [4] menerapkan estimasi parameter dengan metode Fisher scoring pada model regresi logistik biner Keunggulan menggunakan metode Fisher scoring adalah lebih dijamin konvergensinya daripada metode Newton-Raphson Dengan memperhatikan hal tersebut, pada penelitian ini dikaji estimasi parameter dengan metode Fisher scoring pada model RLOTG dan diberikan contoh penerapan pada data tingkat kerawanan Demam Berdarah Dengue DBD di Kota Semarang karena Kota Semarang memiliki tingkat kerawanan DBD tertinggi di Jawa Tengah dan DBD merupakan commit penyakit to user yang berbasis spasial

3 2 Metode Penelitian Penelitian ini merupakan kajian teori dengan mempelajari metode Fisher scoring yang dipergunakan untuk mengestimasi parameter model RLOTG Metode tersebut kemudian diterapkan pada data tingkat kerawanan DBD di Kota Semarang Data yang dipergunakan diperoleh dari Badan Pusat Statistik BPS dan Dinas Kesehatan Kota Semarang Langkah-langkah untuk mencapai tujuan penelitian adalah menentukan fungsi likelihood dari fungsi densitas peluang bersama dan membentuk fungsi ln-likelihood nya Setelah diperoleh fungsi ln-likelihood, ditentukan penyelesaian yang memaksimumkannya Pada tahapan tersebut ditemui kendala yaitu sistem persamaan nonlinear yang sulit ditentukan penyelesaiannya sehingga ditentukan secara numerik dengan metode Fisher scoring Kemudian hasil estimasi parameternya diterapkan pada data tingkat kerawanan DBD di Kota Semarang dengan langkah, mengategorikan penderita DBD Menurut Kementerian Kesehatan Kemenkes, kategori penderita DBD berdasarkan incidence rate IR yaitu ringan, sedang, dan berat, kemudian menentukan titik koordinat setiap kelurahan di Kota Semarang, menentukan jarak antar kelurahan, menentukan pembobot setiap kelurahan, dan menentukan estimasi parameter Pada tahapan tersebut diperoleh nilai estimasi parameter dan diperoleh model RLOTG 3 Hasil dan Pembahasan 31 Model RLOTG Model RLOTG adalah model yang merepresentasikan hubungan antara variabel respon berskala ordinal dengan variabel prediktor yang masing-masing parameter bergantung pada lokasi u i, v i Menurut Purhadi et al [6], model RLOTG dengan variabel respon K kategori dinyatakan sebagai LogitP Y i s x i α s u i, v i + x T i βu i, v i 31 dengan s1,2,,k -1 dan,2,,n Parameter α s u i, v i merupakan intersep, βu i, v i [β 1 u i, v i, β 2 u i, v i,, β p u i, v i ] T merupakan vektor koefisien regresi untuk lokasi ke-i, x T i [x i1, x i2,, x ip ] adalah vektor variabel prediktor untuk lokasi ke-i dengan p adalah banyaknya variabel prediktor, dan u i, v i adalah titik koordinat latitude, longitude untuk lokasi ke-i 32 Estimasi Parameter Pada penelitian ini, diperhatikan sampel pengamatan variabel respon Y 1, Y 2,, Y n yang memiliki K kategori dan memiliki peluang kategori terhadap x adalah P k x dengan k 1, 2,, K, K k1 P kx 1 Karena variabel respon memiliki Kcommit kategori to user berdistribusi multinomial, fungsi likelihood-nya dinyatakan sebagai fungsi densitas peluang bersama dari distribusi multinomial Fungsi densitas peluang multinomial dinyatakan sebagai

4 fy k y k P k x y k k 1, 2,, K sehingga diperoleh fungsi likelihood n sampel pengamatan yaitu n Lu i, v i fy i1 fy i2 fy ik n P 1 x i y i1 P 2 x i y i2 P K x i y ik n expα1 u i, v i + x T i βu i, v i yi1 1 + expα 1 u i, v i + x T i βu i, v i expα2 u i, v i + x T i βu i, v i 1 + expα 2 u i, v i + x T i βu i, v i expα 1 u i, v i + x T i βu i, v i yi2 1 + expα 1 u i, v i + x T i βu i, v i 1 expα K 1u i, v i + x T i βu i, v i yik 1 + expα K 1 u i, v i + x T i βu i, v i Fungsi likelihood merupakan fungsi eksponensial sehingga untuk memudahkan perhitungan, fungsi likelihood diubah ke dalam fungsi ln likelihood Pada analisis spasial, untuk mengetahui kedekatan antara lokasi satu dengan yang lain diperlukan suatu pembobot sehingga pembobot diberikan pada bentuk lnlikelihood Jika pembobot untuk setiap lokasi u i, v i adalah w ij u i, v i, maka fungsi ln-likelihood terboboti dinyatakan sebagai n expα1 u i, v i + x T i ln Lu i, v i y i1 ln βu i, v i 1 + expα 1 u i, v i + x T i βu + i, v i expα 2 u i, v i + x T i y i2 ln βu i, v i 1 + expα 2 u i, v i + x T i βu i, v i expα 1 u i, v i + x T i βu i, v i 1 + expα 1 u i, v i + x T i βu + + y ik ln i, v i 1 expα K 1u i, v i + x T i βu i, v i 1 + expα K 1 u i, v i + x T i βu w ij u i, v i i, v i Pembobot w ij u i, v i adalah pembobot kernel fixed Gaussian yang dinyatakan sebagai w ij u i, v i exp 1 dij 2 2 h dengan d ij u i u j 2 + v i v j 2 adalah jarak antara lokasi u i, v i dan lokasi u j, v j, dan h adalah bandwidth ukuran kebertetanggaan Untuk memperoleh nilai parameter commit yang to user memaksimumkan fungsi ln-likelihood dapat ditentukan dengan menghitung turunan pertama fungsi ln-likelihood terhadap masing-masing parameter, yaitu

5 ln Lu i, v i α 1 u i, v i ln Lu i, v i α 2 u i, v i n 1 e e 2 y i1 y i2 w ij u i, v i 1 + e e 1 e 2 e 1 n e e 1 y i2 w ij u i, v i 1 + e 2 e 2 e 1 32 ln Lu i, v i n ek 1 y ik w ij u i, v i α K 1 u i, v i 1 + e K 1 ln Lu i, v i n x T i x T i y i1 y u i, v i 1 + e 1 e 2 i2 βu i, v i 1 + e e e 2 x T i y e K 1 ik w ij u i, v i 1 + e K 1 dengan e 1 expα 1 u i, v i + x T i βu i, v i, e 2 expα 2 u i, v i + x T i βu i, v i, dan e K 1 expα K 1 u i, v i + x T i βu i, v i Selain itu ditentukan turunan kedua fungsi ln-likelihood terhadap masingmasing parameter yang bernilai negatif sehingga penyelesaian yang diperoleh sudah maksimum Nilai parameter model RLOTG dapat ditentukan dari penyelesaian sistem 32 Sistem 32 merupakan sistem persamaan nonlinear Penyelesaian eksak sistem 32 sulit ditentukan sehingga ditentukan secara numerik dengan metode Fisher scoring Metode Fisher scoring membutuhkan vektor score dan matriks informasi Fisher Vektor score merupakan vektor yang elemennya turunan pertama fungsi ln-likelihood terhadap masing-masing parameter yaitu n 1 y i1 1+e 1 y e1 1+e 2 i2 1+e 1 e 2 e 1 w ij u i, v i n y e2 1+e 1 i2 1+e 2 e 2 e 1 w ij u i, v i S n y ek 1 ik 1+e K 1 w ij u i, v i n x T y i x T i1 1+e 1 y i u i,v i 1+e 1 e 2 i2 1+e 1 1+e 2 x T y i e K 1 ik 1+e K 1 w ij u i, v i Matriks informasi Fisher merupakan commit to matriks user yang elemen-elemennya terdiri atas nilai harapan dari turunan kedua fungsi ln-likelihood terhadap masingmasing parameter yang dinyatakan sebagai

6 E 2 lnlu i,v i E 2 lnlu i,v i E 2 lnlu i,v i α 2 1 u i,v i α 1 u i,v i α 2 u i,v i α 1 u i,v i βu i,v i E 2 lnlu i,v i Inf E 2 lnlu i,v i E 2 lnlu i,v i α 2 u i,v i α 1 u i,v i α 2 2 u i,v i α 2 u i,v i βu i,v i E 2 lnlu i,v i E 2 lnlu i,v i E 2 lnlu i,v i βu i,v i α 1 u i,v i βu i,v i α 2 u i,v i Berikut adalah algoritme Fisher scoring β 2 u i,v i 1 Menentukan nilai awal m0 vektor parameter V 0 yang diperoleh dari nilai estimasi parameter model regresi logistik ordinal 2 Menghitung nilai parameter V m+1 V m + Inf 1 m S m dengan m 0, 1, 2, 3 Menghitung norm V m+1 V m V m+1 V m dengan V m+1 V m α 1m+1 u i, v i α 1m u i, v i β pm+1 u i, v i β pm u i, v i 2 V m+1 V m digunakan untuk menghentikan iterasi dengan kriteria V m+1 V m < toleransi eror Jika kriteria dipenuhi, maka proses iterasi berhenti dan nilai estimasi parameternya adalah ˆV V m+1 Sebaliknya, jika V m+1 V m > toleransi eror, maka proses iterasi diulang ke langkah 2 sampai dengan 3 Setelah nilai estimasi parameter diperoleh, model RLOTG-nya dinyatakan sebagai LogitP Y i s x i ˆα s u i, v i + x T ˆβu i i, v i 33 Penerapan Pada penerapan ini data yang digunakan adalah data tingkat kerawanan DBD di Kota Semarang pada tahun 2014 Tingkat kerawanan DBD tersebut terdiri atas tiga kategori K 3 berdasarkan IR, yaitu ringan, sedang, dan berat yang digunakan sebagai variabel respon dan variabel prediktornya adalah kepadatan penduduk X 1, banyak penduduk kelompok umur 0-14 tahun X 2, banyaknya rumah semi permanen X 3, adanya sarana kesehatan X 4, dan angka bebas jentik nyamuk X 5, sehingga p5 Jadi terdapat tujuh parameter model, yaitu V [α 1 u i, v i, α 2 u i, v i, β 1 u i, v i, β 2 u i, v i, β 3 u i, v i, β 4 u i, v i, β 5 u i, v i ] Kota Semarang terdiri atas 16 kecamatan dengan 177 kelurahan sehingga terdapat n177 Berdasarkan persamaan 31 terdapat model RLOTG yang terdiri atas 177 model untuk parameter intersep 1 dan 177 model untuk parameter intersep 2 Masing-masing parameter intersep diberikan contoh 2 kelurahan Langkah-langkah yang dilakukan adalah mengategorikan penderita DBD berdasarkan kategori, menentukan commit titik koordinat to user latitude, longitude setiap kelurahan, menghitung jarak antar kelurahan, menghitung pembobot setiap kelurahan, dan menentukan estimasi parameter Nilai awal yang digunakan adalah

7 α , α , β , β , β , β , β sehingga diperoleh S 0 [ , ,, ] T dan Inf Hasil estimasi parameter dengan toleransi eror diperoleh iterasi ke-15 Hasil estimasi parameter untuk kelurahan Kuningan dan Tinjomoyo ditunjukkan pada Tabel 1 Tabel 1 Hasil estimasi parameter model RLOTG Kel ˆα 1 u i, v i ˆα 2 u i, v i ˆβ1 u i, v i ˆβ2 u i, v i ˆβ3 u i, v i ˆβ4 u i, v i ˆβ5 u i, v i Ku Ti Berdasarkan Tabel 1 diperoleh model RLOTG berikut 1 Model RLOTG pada data DBD untuk kelurahan Kuningan yaitu LogitP Y 1 1 x i x i x i x i x i x i5 LogitP Y 1 2 x i x i x i x i x i x i5 2 Model RLOTG pada data DBD untuk kelurahan Tinjomoyo yaitu LogitP Y 2 1 x i x i x i x i x i x i5 LogitP Y 2 2 x i x i x i x i x i x i5 Berdasarkan model yang diperoleh, jika setiap bertambahnya satu orang penduduk X 1 dan satu unit rumah semi permanen X 3 di kelurahan Kuningan, maka peluang banyaknya penderita DBD mengalami kenaikan sebesar 00042% dan 00533% sehingga kelurahan tersebut masuk dalam kategori IR DBD sedang atau berat Jika setiap bertambahnya satu orang penduduk umur 0-14 tahun X 2, satu unit sarana kesehatan X 4, dan 1 % angka bebas jentik nyamuk X 5, maka peluang banyaknya penderitacommit DBD mengalami to user penurunan sebesar 00048%, %, dan 17453% sehingga kelurahan tersebut masuk dalam kategori IR DBD ringan atau sedang

8 Untuk kelurahan Tinjomoyo, jika setiap bertambahnya satu unit rumah semi permanen X 3, maka peluang banyaknya penderita DBD mengalami kenaikan sebesar 00376% sehingga kelurahan tersebut masuk dalam kategori IR DBD sedang atau berat Jika setiap bertambahnya satu orang penduduk X 1, satu orang penduduk umur 0-14 tahun X 2, satu unit sarana kesehatan X 4, dan 1 % angka bebas jentik nyamuk X 5, maka peluang banyaknya penderita DBD mengalami penurunan sebesar 00004%, 00047%, %, dan 1849% sehingga kelurahan tersebut masuk dalam kategori IR DBD ringan atau sedang 4 Kesimpulan 1 Hasil estimasi parameter model RLOTG dengan metode Fisher scoring adalah ˆV V m+1 dengan V m+1 V m + Inf 1 m S m dan diberikan nilai awal yang diperoleh dari nilai estimasi parameter model regresi logistik ordinal sehingga model RLOTG-nya dinyatakan sebagai LogitP Y i s x i ˆα s u i, v i + x T i ˆβu i, v i dengan s 1, 2,, K 1 2 Pada data tingkat kerawanan DBD di Kota Semarang, diperoleh hasil estimasi parameter untuk kelurahan Kuningan yaitu ˆV [ , , , , , , ] T dan untuk kelurahan Tinjomoyo yaitu ˆV [ , , , , , , ] T Sarana kesehatan memiliki pengaruh yang paling besar terhadap peluang banyaknya penderita DBD di kedua kelurahan tersebut Berdasarkan banyaknya penderita DBD, dapat ditentukan kategori IR DBD pada kedua kelurahan tersebut DAFTAR PUSTAKA [1] Agresti, A, Categorical Data Analysis, John Wiley and Sons, Inc, New York, 2002 [2] Atkinson, P M, S E German, D A Sear, and M J Clark, Exploring the Relations Between Riverbank Erison and Geomorphological Control Using Geographically Weighted Logistic Regression, Ohio: Ohio State University , [3] Hosmer, D W and S Lemeshow, Applied Logistic Regression, John Wiley and Sons, Inc, USA, 2000 [4] Marius, O U and O I C Anaene, Estimating the Fisher s Scoring Matrix Formula from Logistic Model, American Journal of Theoretical and Applied Statistics , [5] McCullagh, P and J A Nelder, Generalized Linear Models, second ed, Chapman and Hall, 1983 [6] Purhadi, M Rifada, and P Wulandari, Geographically Weighted Ordinal Logistic Regression commit to user Model, International Journal of Mathematics and Computation , [7] Schworer, A and P Hovey, Newton Raphson versus Fisher Scoring Algorithms in Calculating Maximum Likelihood Estimates, Dayton,