LAPORAN HASIL PENELITIAN

Transkripsi

1 LAPORAN HASIL PENELITIAN VISUALISASI PEMBELAJARAN RANTAI MARKOV DENGAN MEMANFAATKAN FUNGSI MATLAB DAN PAKET R markovchain DALAM PENGANTAR PROSES STOKASTIK Disusun oleh: Maria Titah Jatipaningrum E DIBIAYAI DARI DANA BANTUAN PENELITIAN TAHUN ANGGARAN 2014 Nomor Kontrak : 29/SPP/LPPM/PL/IV/2014 INSTITUT SAINS & TEKNOLOGI AKPRIND YOGYAKARTA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS TERAPAN INSTITUT SAINS & TEKNOLOGI AKPRIND YOGYAKARTA 2014

2

3 KATA PENGANTAR Pada tempat pertama sungguh layak dan sepantasnya penulis ucapkan syukur pada Sang Alfa dan Omega dari suatu semesta tak terdefinisi yang selalu bersemayam dalam semangat dan setia memberikan Roh Pengetahuan selama perjalanan hidup. Dalam perjalanan waktu yang kompetitif penulis dapat menemukan titik-titik krusial untuk menyelesaikan penelitian dengan judul: Visualisasi pembelajaran rantai Markov dengan memanfaatkan fungsi Matlab dan paket R markovchain dalam pengantar proses stokastik. Penelitian ini merupakan penelitian pertama yang dibiayai dari dana bantuan penelitian Institut Sains & Teknologi Akprind Yogyakarta tahun anggaran 2014 nomor kontrak : 29/SPP/LPPM/PL/IV/2014. Penulis menyadari berada dalam semesta pengetahuan yang maha luas, mengimplikasikan bahwa penelitian ini membutuhkan kritik dan saran untuk penyempurnaan pada tahap selanjutnya. Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan terima kasih dan apresiasi kepada semua pihak yang telah membantu menyelesaikan penelitian terutama: 1. Bapak Hadi Prasetyo Suseno, ST., M.Si sebagai dekan Fakultas Sains Terapan Institut Sains & Teknologi Akprind Yogyakarta. 2. Ibu Dra. Noeryanti, M.Si sebagai Ketua Jurusan Matematika 3. Bapak Ir. Prastyono Eko Pambudi, M.T sebagai Ketua Ketua Lembaga Penelitian dan Pengabdian Masyarakat Institut Sains & Teknologi Akprind Yogyakarta. 4. Seluruh staf pengajar Jurusan Matematika yang telah menambah semesta pengetahuan sebagai pendukung dalam penyelesaian penelitian. 5. Staf administrasi Fakultas Sains Terapan. Yogyakarta, 12 September 2014 Peneliti (Maria Titah Jatipaningrum) iii

4 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PENGESAHAN... ii KATA PENGANTAR... iii DAFTAR ISI... iv INTISARI... v BAB I. PENDAHULUAN Latar Belakang dan Permasalahan Tujuan Penelitian Tujuan khusus Tujuan umum Perumusan Masalah Sistematika Penulisan... 3 BAB II. TINJAUAN PUSTAKA... 5 BAB III. LANDASAN TEORI Peluang Rantai Markov... 7 BAB IV. METODOLOGI PENELITIAN Prosedur pada program Matlab Prosedur pada program R BAB V. HASIL PENELITIAN Permasalahan dan solusi program Matlab Perbandingan program Matlab dan program R Pembahasan program R BAB VI. KESIMPULAN Kesimpulan DAFTAR PUSTAKA iv

5 INTISARI VISUALISASI PEMBELAJARAN RANTAI MARKOV DENGAN MEMANFAATKAN FUNGSI MATLAB DAN PAKET R markovchain DALAM PENGANTAR PROSES STOKASTIK oleh Maria Titah Jatipaningrum E Rantai Markov adalah salah satu teori dalam ilmu probabilitas dan implementasinya digunakan dalam berbagai bidang. Keunggulan penyelesaian menggunakan program R package markovchain dapat mengeplot grafik dengan menggunakan fungsi plotmc. Pada penelitian ini, telah dilakukan visualisasi rantai Markov waktu diskret dengan menggunakan program Matlab dan program R. Alasan penggunaan program tersebut, untuk memudahkan mahasiswa dalam mempelajari rantai Markov waktu diskret dengan lebih mudah. v

6 VISUALISASI PEMBELAJARAN RANTAI MARKOV DENGAN MEMANFAATKAN FUNGSI MATLAB DAN PAKET R markovchain DALAM PENGANTAR PROSES STOKASTIK BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar belakang dan permasalahan Rantai Markov adalah salah satu teori dalam ilmu probabilitas. Banyak sekali hal yang berkaitan dengan teori ini. Baik secara langsung maupun tidak langsung. Implementasinya sering digunakan dalam berbagai bidang di sekitar kita. Beberapa aplikasinya banyak ditemukan dalam bidang perindustrian, perdagangan, perekonomian, periklanan, dan masih banyak lagi. Bahkan permainan pun bisa menggunakan teori ini. Khususnya untuk melihat kemungkinan saat seorang pemain mendapatkan giliran untuk bermain. Contoh yang paling mudah adalah dalam permainan ular tangga. Ada juga contoh lain tentang aplikasi teori ini di dalam bidang sistem dan teknologi informasi, yaitu di dalam jaringan internet. Namun, Rantai Markov sangat jarang dibahas secara khusus dalam buku probabilitas yang umumnya digunakan sebagai bahan kuliah. Untuk itu dalam penelitian ini akan dibahas secara mendetail mengenai teori ini. Di dalam penelitian ini juga akan coba dijelaskan dengan bahasa sederhana mengenai aplikasi teori Rantai Markov yang erat kaitannya dalam kehidupan kita sehari-hari. Probabilitas dapat diartikan sebagai peluang atau kemungkinan munculnya suatu kejadian secara acak. Dalam kehidupan kita sehari-hari banyak sekali hal yang berkaitan dengan probabilitas ini. Hal-hal sederhana yang ada di sekitar kita ini biasanya tidak kita sadari bahwa itu merupakan bagian dari ilmu probabilitas. Misalnya saja saat bermain kartu remi, memilih barang yang akan dibeli, dan masih banyak lagi. Meskipun begitu, tentu saja masalah probabilitas ini sudah dikenal saat di bangku sekolah. Bahkan sampai kuliah pun ada materi tentang probabilitas ini. Namun, tidak semua materi mengenai probabilitas ini dipelajari. Salah satunya adalah mengenai teori Rantai 1

7 Markov. Walaupun bukan merupakan suatu bahan pelajaran di kelas, namun aplikasi dari Rantai Markov ini sebenarnya banyak sekali. Dan semuanya hal-hal sederhana yang ada di sekitar kita. Proses stokastik untuk memodelkan hubungan dinamik antara kejadian random dalam berbagai bidang ilmu seperti engineering, natural dan social science. Mata kuliah ini mempelajari struktur matematik yang dipergunakan untuk memodelkan evolusi dari suatu sistem yang memuat ketidakpastian. Materi kuliah ini meliputi : Pengantar proses stokastik, Rantai Markov dengan parameter diskrit, Proses Poisson, Rantai Markov dengan parameter kontinu, Renewal process. Mata kuliah ini diharapkan dapat memperkenalkan beberapa proses stokastik klasik dan kelakuannya setelah proses berjalan lama. Mahasiswa diharapkan setelah mengambil mata kuliah ini dapat membedakan variabel stokastik dan variabel deterministik dari suatu proses, menentukan ruang parameter dan ruang keadaan dari suatu proses, mengambil keputusan, terutama dalam masalah matematika keuangan, asuransi, masalah inventori, evaluasi performa dari jaringan komputer, evaluasi performa dari sistem telekomunikasi, dan teori antrian. Karena latar belakang di atas maka perlu diadakan penelitian pembelajaran rantai Markov dengan memanfaatkan fungsi Matlab dan paket R markovchain. Motivasi penelitin merujuk latar belakang di atas yaitu visualisasi rantai Markov waktu diskret (DTMC) dalam pembelajaran pengantar proses stokastik dan mengeksplorasi terapan rantai Markov waktu diskret dengan fungsi yang tersedia pada Matlab dan paket open source R markovchain Tujuan Penelitian a. Tujuan khusus: Tujuan khusus penelitian ini adalah membantu mahasiswa dalam memvisualisasi rantai Markov dalam pembelajaran Pengantar Proses Stokastik dengan bantuan fungsi Matlab dan paket R markovchain. Penelitian ini sebagai pengembangan bahan ajar pengantar proses stokastik. b. Tujuan Umum: Penelitian ini dapat digunakan sebagai simultan mahasiswa untuk 2

8 bereksplorasi dengan fungsi Matlab dan dan paket R markovchain untuk menyelesaikan kasus rantai Markov yang ada di sekitar kehidupan seharihari Perumusan Masalah Dari uraian latar belakang permasalahan diatas, secara umum permasalahan yang dibahas adalah bagaimana pembentukan fungsi Matlab yang dapat menunjang pembelajaran Pengantar Proses Stokastik dan apa saja fungsi yang bisa dibangun untuk mendukung pembelajaran Sistematika Penulisan Untuk memahami isi dari tahapan-tahapan penelitian, penulisan disusun secara sistematis dalam beberapa bab, dengan rincian sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi tentang latar belakang masalah, batasan masalah, perumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan, BAB II TINJAUAN PUSTAKA Bab ini menguraikan tentang metode dan hasil penelitian sebelumnya yang menjadi bahan rujukan. BAB III LANDASAN TEORI Bab ini menguraikan dasar-dasar teori berkaitan dengan penelitian yang meliputi konsep peluang, rantai Markov, BAB III METODOLOGI PENELITIAN Bab ini berisi langkah-langkah / prosedur penyelesaian matriks peluang transisi BAB IV HASIL PENELITIAN 3

9 Berisi problem-problem yang dicari solusinya menggunakan program Matlab dan package markovchain pada program open source R. BAB V KESIMPULAN Bab ini sebagai penutup berisi kesimpulan dari keseluruhan penelitian yang telah dilakukan 4

10 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Menurut Feres (2007), tercantum matlab listing untuk penyelesaian markov chain. Matlab listing yang dimaksudkan adalah fungsi commclass dan fungsi canform. Belum disertai contoh-contoh problem disertai penyelesaiannya. Menurut Spedicato (2013), ditemukan package markovchain untuk menyelesaikan discrete time markov chain dengan mudah, dengan memanggil library(markovchain) pada program R. Pada penelitian ini, akan dibahas problem-problem rantai Markov disertai solusinya menggunakan program Matlab dan program R opensource dengan package markovchain. Dalam penelitian ini juga disertai perbandingan output kedua program, dan pada program R dapat menggambarkan plot matriks peluang transisi dengan lebih jelas dengan fungsi plotmc (fungsi yang memplot rantai Markov waktu diskret) 5

11 BAB III LANDASAN TEORI A. Peluang Probabilitas merupakan suatu ilmu yang sudah diajarkan saat seseorang sudah berada di bangku sekolah. Hal ini disebabkan oleh banyaknya kejadian dalam hidup ini yang menggunakan prinsip probabilitas. Sehingga setidaknya seseorang bisa mengerti teori ini untuk menentukan keputusan yang akan diambil. Namun sebenarnya tanpa mempelajari ilmu ini seseorang sudah sering menerapkan ilmu ini untuk sebuah keputusan yang akan diambilnya. Seseorang yang akan mengambil keputusan tentu saja akan melihat kejadian-kejadian yang telah terjadi. Kemudian akan memprediksi kejadian selanjutnya yang akan terjadi. Secara sederhana probabilitas dapat didefinisikan sebagai suatu cara untuk mengungkapkan suatu informasi atau pengetahuan bahwa suatu kejadian akan terjadi maupun telah terjadi. Probabilitas sering disebut juga sebagai peluang atau kemungkinan. Untuk menuliskan probabilitas dari suatu kejadian digunakan sebuah angka yang dikenal sebagai probabilitas suatu kejadian. Angka ini nilainya 0 1. Semakin besar nilai probabilitas suatu kejadian tertentu, maka kejadian tersebut paling memungkinkan untuk terjadi. Apabila suatu kejadian sama sekali tidak memungkinkan untuk terjadi atau mustahil untuk terjadi, maka probabilitas kejadian tersebut adalah 0. Untuk menyatakan probabilitas suatu kejadian, terdapat notasi yang sudah menjadi kesepakatan bersama. Untuk melambangkan notasi probabilitas kejadian A, maka ditulis P(A). Demikian juga dengan kejadian lainnya. Notasi probabilitas kejadian B adalah P(B), notasi probabilitas kejadian C adalah P(C). Nilai untuk P(A) dapat dirumuskan sebagai berikut. Keterangan: A : Jumlah kejadian A S : Sampel P A n A ns 6

12 B. Rantai Markov Teori Rantai Markov pertama kali ditemukan oleh Andrey Andreyevich Markov pada tahun Ia adalah seorang matematikawan dari Rusia yang hidup pada tahun 1856 sampai tahun Ia merupakan murid dari Chebysev, seorang yang terkenal di dunia probabilitas karena rumus yang ditemukannya. Sebagaimana halnya dengan Chebysev, Markov pun tidak mau kalah. Ia mengungkapkan teori bahwa suatu kejadian berikutnya tergantung hanya pada keadaan saat ini dan bukan pada kejadian masa lalu. Pada tahun 1913 ia menerapkan temuannya ini yang pertama kali untuk pertama Pushkin huruf Eugine Onegin.Berdasarkan teori yang diungkapkan oleh Markov di atas dapat dibuat dengan kata lain. Rantai markov merupakan suatu teknik yang terdapat di dalam ilmu probabilitas yang bisa digunakan untuk menganalisis pergerakan suatu probabilitas dari suatu keadaan ke keadaan lainnya. Rantai Markov bukanlah suatu teknik optimisasi melainkan suatu teknik deskriptif. Maksudnya adalah bahwa Rantai Markov bukanlah suatu cara yang bisa digunakan untuk menghasilkan suatu keputusan rekomendasi (optimis). Akan tetapi, Rantai Markov ini hanya digunakan untuk membantu seseorang untuk mengambil keputusan (deskriptif). Sehingga bisa dikatakan bahwa analisa Rantai Markov ini mirip dengan analisis keputusan. Untuk menentukan sebuah keputusan memungkinkan untuk terjadi perpindahan keputusan. Dari keputusan yang satu akan mungkin pindah ke keputusan yang lain. Kemungkinan tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut. n Pr n 0 P X j X i ij Dalam proses menerapkan Rantai Markov ke dalam suatu kasus tertentu, terdapat beberapa syarat yang harus dipenuhi. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai berikut. i. Jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem sama dengan satu. ii. Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam sistem. iii. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu. iv. Kondisi merupakan kondisi yang independen (bebas) sepanjang waktu. 7

13 Rantai Markov bisa digunakan untuk modeling (pembuatan model) berbagai macam sistem dan proses. Dengan menggunakan teori ini bisa dianalisa kejadiankejadian pada waktu mendatang secara sistematis dan matematis. Rantai Markov merupakan suatu kumpulan variabel acak X1, X2, X3, X 4, Atau secara formal bisa dituliskan sebagai berikut: Pr Xn 1 x Xn y Pr Xn 1 x Xn y 8

14 BAB IV METODE PENELITIAN Prosedur Penelitian Langkah 1: Inisialisasi fungsi pada Matlab misalkan: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%% function [C,v]=commclasses(P) %Input - P is a stochastic matrix %Output - C is a matrix of 0s and 1s. % - C(i,j) is 1 if and only if j is in the % - communicating class of i. % - v is a row vector of 0s and 1s. v(i)=1 if % - the class C(i) is closed, and 0 otherwise. [m m]=size(p); T=zeros(m,m); i=1; while i<=m a=[i]; b=zeros(1,m); b(1,i)=1; old=1; new=0; while old ~= new old=sum(find(b>0)); [ignore,n]=size(a); c=sum(p(a,:),1); d=find(c>0); [ignore,n]=size(d); b(1,d)=ones(1,n); new=sum(find(b>0)); a=d; end T(i,:)=b; i=i+1; end F=T ; C=T&F; v=(sum(c ==T )==m); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%% Langkah 2: Jalankan fungsi Matlab dengan membangkitkan matrix nol dimensi 10 x 10 >> P=zeros(10,10); P(1,[1 3])=1/2; 9

15 P(2,2)=1/3; P(2,7)=2/3; P(3,1)=1; P(4,5)=1; P(5,[4 5 9])=1/3; P(6,6)=1; P(7,7)=1/4; P(7,9)=3/4; P(8,[ ])=1/4; P(9,2)=1; P(10,[2 5 10])=1/3; >> [C,v]=commclasses(P) C = v = [Q p]=canform(p) Q = p = Langkah 3: Pendeskripsian output dari fungsi Matlab yang berkaitan dengan pembelajaran rantai Markov 10

16 Langkah 4: bentuk kanonik rantai Markov Fungsi Matlab %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%% function [Q p]=canform(p) %Obtain the canonical form Q of a stochastic matrix P. %The permutation of indices is p. %Uses the function commclasses(p) [m m]=size(p); [C,v]=commclasses(P); u=find(v==1); %indices in u comprise union of closed classes w=find(v==0); R=[]; while length(u)>0 R=[R u(1)]; v=v.*(c(u(1),:)==0); u=find(v==1); end %R is now the set of representatives of closed classes %Each closed class has a unique representative in R. p=[]; for i=1:length(r) a=find(c(r(i),:)); p=[p a]; end p=[p w]; %We have now a permutation p of indices, p, that %gives the new stochastic matrix Q. Q=P(p,p); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%% Langkah 5: output fungsi Matlab bentuk kanonik. 11

17 Software Open Source paket R markovchain Akan diteliti lebih lanjut beberapa fungsi Matlab yang mendukung pembelajaran Pengantar Proses Stokastik. > library("markovchain") > weatherstates<-c("sunny","cloudy","rain") > byrow=true > weatherstates<matrix(data=c(0.70,0.2,0.1,0.3,0.4,0.3,0.2,0.45,0.35),b yrow=byrow,nrow=3,dimnames=list(weatherstates,weatherst ates)) > mcweather<new("markovchain",states=c("sunny","cloudy","rain"),tra nsitionmatrix=matrix(data=c(0.70,0.2,0.1,0.3,0.4,0.3,0. 2,0.45,0.35),byrow=byRow,nrow=3),name="Weather") > defaultmc<-new("markovchain") > mclist<new("markovchainlist",markovchains=list(mcweather,defau ltmc),name="a list of Markov chains") > initialstate<-c(0,1,0) > after2days<-initialstate*(mcweather*mcweather) > after7days<-initialstate*(mcweather^7) > after2days sunny cloudy rain [1,] > after7days sunny cloudy rain [1,] > initialstate<-c(0,1,0) > mcweathertransposed<-t(mcweather) > after2days<- (mcweathertransposed*mcweathertransposed)*initialstate > after7days<-(mcweathertransposed^7)*initialstate > after2days [,1] sunny cloudy rain > after7days [,1] sunny cloudy rain > states(mcweather) [1] "sunny" "cloudy" "rain" > dim(mcweather) [1] 3 > transitionprobability(mcweather, "cloudy", "rain") [1]

18 > mcweather[2,3] [1] 0.3 > print(mcweather) sunny cloudy rain sunny cloudy rain > show(mcweather) Weather A 3 - dimensional discrete Markov Chain with following states sunny cloudy rain The transition matrix (by rows) is defined as follows sunny cloudy rain sunny cloudy rain > mcdf<-as(mcweather,"data.frame") > mcnew<-as(mcdf,"markovchain") > mcdf t0 t1 prob 1 sunny sunny sunny cloudy sunny rain cloudy sunny cloudy cloudy cloudy rain rain sunny rain cloudy rain rain 0.35 > mcigraph<-as(mcweather,"igraph") > plotmc(mcweather) 13

19 14

20 BAB V HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Problem matriks peluang transisi Model penyebaran suatu penyakit adalah sebagai berikut: Jumlah populasi adalah N = 5, sebagian sakit dan sisanya sehat. Dalam setiap waktu 2 orang akan dipilih secara acak dari populasi tersebut dan keduanya berinteraksi. Pemilihan orangorang tersebut dilakukan sedemikian hingga interaksi antara setiap pasangan adalah sama. Jika satu orang dari suatu pasangan sakit, yang lain sehat, maka penyakit akan disebarkan ke orang yang sehat dengan peluang 0,1. Diluar kondisi tersebut, tidak ada penyakit yang disebarkan. Misalkan Xn menyatakan jumlah orang yang sakit dalam populasi diakhir periode ke-n. Bentuklah suatu matriks peluang transisi yang mungkin. Solusi matriks peluang transisi: Keadaan: 0,1,2,3,4,5 yang menyatakan jumlah orang yang sakit P00=1, P55=1 (jika tidak ada atau semua orang sakit maka PASTI keadaan berubah ke tidak ada atau semua orang sakit) i 5 i CC 5 C2 1 1 Pi,i+1=0,1 0,01 i 5 i Pii, 1 0,01 i 5 i untuk i 1,2,3, P

21 16

22 Problem kedua: Akan dicari communicate class, closed class dan bentuk kanonik matriks P! 17

23 Pada program Matlab: 18

24 19

25 20

26 Hasil library markovchain 21

27 22

28 23

29 BAB VI KESIMPULAN Berdasarkan hasil visualisasi rantai markov, diperoleh beberapa point kesimpulan sebagai berikut: 1. dapat membandingkan input dan output fungsi commclass (communicating class) dan canform (bentuk kanonik) pada matlab dan R. 2. pada paket program R markovchain, dapat menggambarkan plot matriks peluang transisi dengan jelas dengan fungsi plotmc (fungsi untuk memplot rantai Markov waktu diskret). 24

30 DAFTAR PUSTAKA Agwuegbo, S.O.N., A. P. Adewole and A. N. Maduegbuna, A random walk model for stock market prices. J. Math. Stat., 6: DOI: /jmssp Feres R, 2007, Notes for Math 450 Matlab Listings for Markov Chains. URL Grimmett, G.R. and Stirzaker, D.R., 2001 Probability and Random Processes third ed., Oxford University Press Nicholson W, 2013, DTMCPack: Suite of functions related to discrete-time discrete-state Markov Chains. R package version Ross, Sheldon, 2010, Introduction to Probability Models, Tenth Edition, Elsevier. Spedicato GA, 2013, markovchain : an R package to easily handle discrete markov chain. R package version Spedicato GA, The markovchain Package: A Package for Easily Handling Discrete Markov Chains in R. Taylor, H. M. & Karlin, S., An Introduction to Stochastic Modeling, Academic Press,

31 SINOPSIS Sinopsis ini mengemukakan hasil dan saran sebagai masalah terbuka untuk dikembangkan selanjutnya. Rantai Markov adalah salah satu teori dalam ilmu probabilitas dan implementasinya digunakan dalam berbagai bidang. Keunggulan penyelesaian menggunakan program R package markovchain dapat mengeplot grafik dengan menggunakan fungsi plotmc. Pada penelitian ini, telah dilakukan visualisasi rantai Markov waktu diskret dengan menggunakan program Matlab dan program R. Alasan penggunaan program tersebut, untuk memudahkan mahasiswa dalam mempelajari rantai Markov waktu diskret dengan lebih mudah. Berdasarkan hasil kajian dalam penelitian yang telah dilakukan, beberapa saran sebagai landasan untuk pengembangan penelitian lebih lanjut, sebagai berikut: 1. Penelitian selanjutnya dapat menggunakan program-program selain Matlab dan opensource R untuk menyelesaikan masalah rantai Markov waktu diskret. 2. Pengembangan lebih lanjut pada fungsi-fungsi program Matlab dan program opensource R.