KALKULUS BUKAN SEKEDAR KALKULASI. Hendra Gunawan Kampus UNJ, 21 November 2015

Transkripsi

1 KALKULUS BUKAN SEKEDAR KALKULASI Hendr Gunwn Kmpus UNJ, 21 Novemer 2015

2 MENGAPA KALKULUS? APA YANG DIGARAP? c) Hendr Gunwn 2015) 2

3 Isc Newton ) & Keceptn Sest Mslkn seuh prtkel ergerk sepnjng grs lurus sehngg possny pd st t dlh = t). Keceptn rt rt ny dr t = s/d t = dlh v[,] = [) )]/ ). Keceptn sest pd t = dlh v ) lm ) ). Jmes Gregory ) Isc Brrow ) c) Hendr Gunwn 2015) 3

4 y Gottfred Lenz ) & Grden Grs Snggung Msl kt mempuny fungs y = f) yng grfkny cukup mulus d sektr =, sehngg mempuny grs snggung d ttk P,f)). P Q Grden grs yg mellu ttk P,f)) dn Q,f)) dlh m = [f) f)] ). Grden grs snggung pd kurv y = f) d P,f)) dlh f ) f ) m lm. c) Hendr Gunwn 2015) 4

5 Turunn & Teorem Nl Rt Rt Turunn dr fungs f d ttk = ddefnskn seg ' ) Teorem Nl Rt Rt: Jk f kontnu pd ntervl [,] dn mempuny turunn d setp ttk d dlm,), mk untuk sutu c ϵ,). f f ) lm f f ) ) f c) Hendr Gunwn 2015) f ). ' c) 5

6 Defns Lmt Fungs d Sutu Ttk lm f ) L jk dn hny jk A L. Cuchy ) c untuk setp ε > 0 terdpt δ > 0 sehngg: jk 0 < c < δ, mk f) L < ε. K. Weerstrss ) OMG, n ukn sutu klmt yng mudh! Sejk kpn mnus erurusn dengn dun nfntesml? c) Hendr Gunwn 2015) 6

7 Antphon & Lngkrn Antphon 425 SM) memuktkn hw lus seg 2 n erturn d dlm lngkrn leh esr dr n ) kl lus lngkrn. Kren lus seg 2 n erturn sendng dengn kudrt dmeter ny, Antphon llu menympulkn hw lus lngkrn jug mest sendng dgn kudrt dmeterny: L = k2r) 2 = 4kr 2. c) Hendr Gunwn 2015) perseus.mpwgerln.mpg.de 7

8 Eudous & Lngkrn Fkt hw lus lngkrn sendng dengn kudrt dmeterny duktkn* secr rgorous oleh Eudous ~375 SM). people.fmouswhy.com *Dlm pemuktnny, Eudous jug menggunkn fkt hw lus seg 2 n erturn yng memut lngkrn leh kecl dr n ) kl c) Hendr Gunwn 2015) lus lngkrn terseut, seln fkt yng telh duktkn o/ Antphon. 8

9 Archmedes & Lngkrn Archmedes ~ SM) memuktkn hw lus lngkrn sm dengn ½ kellng jr jr. en.wkped.org c) Hendr Gunwn 2015) 9

10 Archmedes & Lngkrn Buktny s: Andkn lus lngkrn = L >T= ½ kellng jr jr. Plh l n sedemkn shg T< lus seg 2 n < L. Msl AB ss seg 2 n. Pd segtg OAB, rus grs ON tegk lurus thd AB. D sn, ON < jr jr. Jd, Lus seg 2 n = 2 n ½ AB ON ) = ½ 2 n AB ON ) < ½ kellng jr jr = T. Kontrdks. Dgn cr yg sm, musthl L<T. Jd mestlh L= T. c) Hendr Gunwn 2015) A O N 10 B

11 Archmedes & Lngkrn Berdsrkn temun seelumny, jk K = kellng lngkrn erdmeter 1, mk lusnysmdengnk/4. Sekrng mslkn L = lus lngkrn erjrjr r. Mk, erdsrkn temun Antphon dn Eudous: 2 L 2r). 2 K / 4 1 Aktny, L = Kr 2. Llu, dgn menggunkn seg 96, Archmedes memperoleh K 22/7. c) Hendr Gunwn 2015) 11

12 BAGAIMANA DENGAN BANGUN DATAR LAINNYA? c) Hendr Gunwn 2015) 12

13 Sstem Koordnt Crtesus II III y Qc,d) 1 O 1 I P,) IV c) Hendr Gunwn 2015) Rene Descrtes , Flsuf & Mtemtkwn Perncs, terkenl dengn kryny L geometre 1637) dn ucpn Cogto ergo sum. 13

14 Lus Derh d Bwh Kurv Mslkn kt ngn menghtung lus derh d wh kurv y = f) = 2, 0 1. Pertm, g selng [0,1] ts n selng gn yng sm pnjngny. Llu, lus derh terseut L) kt hmpr dgn jumlh lus n perseg pnjng d wh kurv, ykn n L n n n 0 1) 2 n. c) Hendr Gunwn 2015) /n 2/n 1

15 Perhtkn hw deret d rus knn dpt kt tulsulng seg n 1) 3 n yng jumlhny n 1) n2n 1). 3 6n Jd, kt kt peroleh hmprn n 1) n2n 1) L : L. 3 n 6n Dr sn kt peroleh L n 1/3 l n cukup esr. Jd, kt dpt mendug hw lus derh yng sedng kt cr dlh 1/3. [Benrkh lusny = 1/3??] c) Hendr Gunwn 2015) 15

16 Jumlh Remnn Mslkn f : [,] R kontnu kecul d sejumlh terhngg ttk. Bg selng [,]ts n selng gn tk perlu sm pnjng), dengn ttk ttk pemg y=f) en.wkped.org = 0 < 1 < 2 < < n 1 < n =. Hmpunn ttk ttk n dseut seg prts dr [,]. Untuk = 1,, n, tuls = 1 = ler selng gn ke ). 1 n 1 c) Hendr Gunwn 2015) 16

17 Jumlh Remnn Pd setp selng gn, plh ttk smpel t є [ 1, ], semrng. Llu entuk penjumlhn erkut n R : f t ). P 1 dengn ndeks erjln dr 1 hngg n. Bentuk n dkenl seg jumlh Remnn utk f terhdp prts P = {= 0, 1,, n 1, n =} dn ttk ttk smpel t. c) Hendr Gunwn 2015) 17

18 Integrl Remnn Jumlh Remnn untuk f merupkn hmprn untuk lus derh d wh kurv y = f), є [,]. Semkn hlus prtsny, semkn k hmprn terseut. Jk lm P 0 n 1 ). d, mk f dktkn terntegrlkn pd [,] dn ntegrl tentu f pd [,] ddefnskn seg f t f ) d lm P 0 n 1 f t ). Cttn. P = mks { : = 1,, n}. Jk = )/n dn n, mk P 0. c) Hendr Gunwn 2015) 18

19 Fungs Akumuls Mslkn f terntegrlkn pd [, ]. Defnskn F ) f t) dt. D sn, F) menytkn lus derh d wh kurv y = ft), t lht gmr). Perhtkn hw F) = 0 dn F ) f t) dt. Fungs F dseut fungs kumuls dr f. c) Hendr Gunwn 2015) 19

20 Teorem Dsr Klkulus I Jk f kontnu d 0 ϵ,), mk F 0 ) = f 0 ); ykn, d f t) dt f 0). d Cttn: 1. TDK I menytkn hw fungs kumuls merupkn nt turunn drf. 2. TDK I memer thu kt hw turunn dn ntegrl merupkn semcm kelkn stu terhdp yng lnny. c) Hendr Gunwn 2015) 20 0

21 Bukt Teorem Dsr Klkulus I Menurut defns turunn, Ketk h 0, f tk eruh nyk pd [ 0, 0 +h]. Pd selng n, ft) f 0 ), sehngg ntegrl ny kr kr sm dengn h.f 0 ). Jd F 0 ) = f 0 ). c) Hendr Gunwn 2015) 21. ) 1 lm ) ) 1 lm ) ) lm ) ' h h h h h dt t f h dt t f dt t f h h F h F F

22 Teorem Dsr Klkulus II Jk f kontnu dn mempuny nt turunn F pd [, ], mk f ) d F ) F ). Cttn: 1. Sepert hlny TDK I, TDK II mengtkn ntegrl tentu dengn nt turunnny. 2. TDK II merupkn kt dr TDK I, tetp dpt duktkn pul dgnmenggunkn Teorem Nl Rt Rt untuk Turunn. c) Hendr Gunwn 2015) 22

23 Bukt Teorem Dsr Klkulus II Mslkn f kontnu dn mempuny nt turunn F pd [, ]. Mk, f terntegrlkn pd [, ], dn untuk setp prts = 0 < 1 < 2 < < n 1 < n = kt mempuny Kren tu c) Hendr Gunwn 2015) 23, ) )] ) [ ) ) n n t f F F F F ). ) ). lm ) 1 0 F F t f d f n P Teorem Nl Rt Rt Turunn

24 Teorem Nl Rt Rt Integrl Jk f kontnu pd [, ], mk terdpt c є [,] sedemkn sehngg 1 f c) f t) dt. y = ft) Cttn. Nl fc) dlm teorem n dseut nl rt rt ntegrl f pd [, ] lht gmr). Perhtkn hw lus derh d wh kurv y = ft), t є [, ], sm dengn fc) ). c c) Hendr Gunwn 2015) 24

25 Nl Rt Rt Turunn & Nl Rt Rt Integrl Jk F = f kontnu pd [,], mk F ) F ) 1 f t) dt. Keduny sm dengn nl fc) untuk sutu c d ntr dn. c) Hendr Gunwn 2015) 25

26 Klkulus ukn sekedr klkuls, tetp merupkn seuh kerngk erpkr yng merjut du konsep mendsr, ytu turunn dn ntegrl, dengn merngkul konsep nfntesml the ghosts of deprted qunttes ). TERIMA KASIH. c) Hendr Gunwn 2015) 26