Moduler Prima Kurang Dari 50

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Moduler Prima Kurang Dari 50"

Transkripsi

1 Moduler Prima Kurang Dari 50 Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Teori Bilangan Dosen Pembimbing Eko Yulianto, M.pd Oleh, Dini Indriani PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SILIWANGI 2015

2 2 MODULER PRIMA Dalam mata kuliah Teori Bilangan kita pasti mengenal istilah aritmatika moduler, bahkan istilah itu sudah tidak asing lagi khususnya bagi mahasiswa pendidikan matematika pada semester kedua, karena disetiap pembahasan materinya kata moduler selalu diikut sertakan dalam menyelesaikan permasalahan disetiap bab nya. Untuk itu marilah kita bahas apa itu aritmatika moduler dan bagaimana menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan aritmatika moduler. Aritmatika moduler (kadang juga disebut aritmatika jam) adalah sistem aritmatika untuk bilangan bulat dimana kedua bilangan bulat dioperasikan sampai mencapai nilai tertentu, yaitu modulus (sisa) atau juga merupakan bilangan sisa dari suatu pembagian bilangan bulat. Aritmetika modulo diperkenalkan pertama kali oleh Carl Friedrich Gaus dalam bukunya Disquistiones Arithmaticae yang dipublikasikan pada tahun Gambar 1. Carl Friedrich Gaus Gambar 2. Cover Buku Disquistiones Arithmaticae Dalam hal ini aritmatika akan diikut sertakan untuk menemukan sisa pembagian dari bilangan yang

3 3 tidak habis dibagi oleh suatu bilangan prima yang kurang dari 50, Karena jika hanya berfokus pada ciri-ciri bilangan yang habis dibagi oleh bilangan prima maka ketika kita mengetahui ciri-cirinya, kita hanya akan mendapatkan jawaban iya atau tidak. Lantas bagaimana jika diperjalanan kita menemukan bilangan yang tidak habis dibagi oleh bilangan prima, berdasarkan ciri-ciri tadi kita hanya bisa mendapatkan jawaban tidak tanpa kita tahu berapa sisa pembagiannya. Namun sebelum itu akan dibahas terlebih dahulu ciriciri bilangan yang habis dibagi oleh bilangan prima kurang dari 50. a. Bilangan habis dibagi 2 Semua bilangan habis dibagi dua jika bilangan yang diwakili oleh angka terakhirnya genap. Bukti: misalkan bilangan tersebut adalah. Supaya habis dibagi 2, maka haruslah b habis dibagi 2. Contoh 1 : Apakah bilangan 567 habis dibagi 2? jika tidak berapakah sisa pembagiannya? Jawab : 567 tidak habis dibagi 2 karena bilangan yang diwakili angka terakhirnya ganjil. Untuk mengetahui sisa pembagiannya maka disinilah saatnya menggunakan aritmatika moduler. Karena pembaginya 2 maka 2 merupakan modulo, oleh karena itu untuk sisa pembagiannya antara 0 dan 1. Sehingga kita bisa membuat hubungan seperti ini : = 37 = = 2 3 Maka sisa pembagian dari 567 : 2 adalah 1 atau bisa ditulis dalam bentuk 567 Ada keistimewaan tersendiri dari bilangan yang tidak habis dibagi dua karena untuk mencari sisa pembagianya tidak perlu menggunakan cara diatas karena sudah pasti sisa pembagiannya 1, karena angka yang diwakili oleh angka terakhirnya ganjil.

4 4 sedangkan 0 hanya digunakan untuk bilangan yang habis dibagi 2 yaitu dengan ciri angka yang diwakili oleh angka terakhirnya genap. b. Bilangan habis dibagi 3 Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah bilangan yang diwakili oleh angka-angkanya habis dibagi 3. Contoh 1: Apakah bilangan 3456 habis dibagi 3? jika tidak berapa sisa pembagiannya? Jawab : 3456 = =3 18 Ternyata 18 habis dibagi 3 maka 3456 habis dibagi 3. sehingga sisa pembagiannya 0. Contoh 2: Apakah 1234 habis dibagi 3? Jika tidak berapa sisa pembagiannya? Jawab: 1234 = = 10 Untuk mengetahui sisa pembagiannya yaitu menggunakan aritmatika moduler, dengan 3 sebagai modulernya karena beperan sebagai pembagi, sehingga dibuat hubungan seperti berikut : Untuk sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 3, sama dengan sisa pembagian jumlah digit angka bilangan awal. Maka sisa pembagian dari 1234 : 3 sama dengan sisa pembagian 10 : 3 adalah 1 atau bisa di tulis dalam bentuk atau Contoh 3: Apakah habis dibagi 3? Jika tidak berapa sisa pembagiannya? Jawab: = = 35 3 Untuk mengetahui sisa pembagiannya yaitu menggunakan aritmatika moduler, dengan 3 sebagai modulernya karena beperan

5 5 sebagai pembagi, sehingga dibuat hubungan seperti berikut : tidak habis dibagi 3 dengan sisa pembagian 2. c. Bilangan habis dibagi 5 Suatu bilangan habis dibagi 5 jika angka paling kanan dari bilangan tersebut adalah 5 atau 0. Contoh 1: Apakah dan habis dibagi 5? jika tidak tentukan sisa pembagiannya? Jawab: habis dibagi 5 karena angka paling kanan nya adalah 5 sesuai dengan ciri bilangan habis dibagi tidak habis dibagi 5 karena angka terakhirnya bukan 0 maupun 5. Adapun untuk mengetahui sisa pembagiannya yaitu ada 2 cara untuk bilangan yang tidak habis dibagi 5, yaitu : 1. Jika angka terakhirnya maka sisa pembagiannya yaitu angka terakhir itu sendiri. 2. Jika angka terakhirnya lebih dari 5 maka sisa pembagiannya yaitu angka terakhir dikurangi 5. d. Bilangan habis dibagi 7 Bilangan habis dibagi 7 jika bilangan kelipatan 7 mendekati angka awal tetapi lebih dari angka awal kemudian dikurangi angka awal, jika hasilnya habis membagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7. Contoh 1 : Apakah 100 dan 123 habis dibagi 7? jika tidak berapa sisa pembagiannya? Jawab: 100 : 7 = = 40 = = 30 = = = 2 Sisa dari (100 : 7) yaitu 2 atau bisa ditulis sebagai : 7 =

6 = 4 (mod 7) Sisa nya, = 4 Sisa pembagian dari 123:7 yaitu 4 atau bisa ditulis, 123 e. Bilangan habis dibagi 11 Suatu bilangan habis dibagi 11 jika pada bilangan tersebut jumlah bilangan yang diwakili oleh angka pada tempat ganjil (dihitung dari sebelah kanan) dikurangi dengan jumlah bilangan yang diwakili oleh angka-angka pada tempat genap habis dibagi =( )-( ) = = Ternyata tidak habis dibagi 11 dengan sisa pembagian 4 atau bisa ditulis f. Bilangan habis dibagi 13 Bilangan habis dibagi 13 jika bilangan kelipatan 13 mendekati angka awal tetapi lebih dari angka awal kemudian dikurangi angka awal, jika hasilnya habis membagi 13 maka bilangan awal habis dibagi 13. Contoh 1: Apakah 2613, , 655 habis dibagi 13? jika tidak berapa sisa pembagiannya? Jawab : 2613 : 13 = = 0 habis dibagi 13 Sehingga 2613 habis dibagi = = = 12 = = = = 5 Sisa = tidak habis dibagi 13 dengan sisa pembagian 7 atau bisa ditulis = = = tidak habis dibagi 13 dengan sisa pembagian 5.

7 7 g. Bilangan habis dibagi 17 jika FPB dari bilangan itu dengan 17 adalah 17 maka bilangan itu habis dibagi 17, atau bisa menggunakan cara pengurangan kelipatan 17 dengan bilangan itu. Mencari FPB yang digunakan adalah menggunakan aturan Algoritma Stein, yaitu aturan ganjil genap. 1. Jika kedua bilangan ganjil, Misalkan dengan maka 2. Kedua bilangan genap Misalkan 3. jika bilangan ganjil dan genap misalkan dengan u genap dan v ganjil maka, Contoh : Apakah bilangan 357 habis dibagi 17? Jika tidak berapa sisa pembagiannya? Jawab : Menggunakan cara dengan mencari FPB dari (357, 17) (357,17) = = (170, 17) = (85, 17) = (34, 17) = (17, 17 ) Ternyata FPB dari 357 dan 17 adalah 17 sehingga bilangan itu habis dibagi 17. Tetapi cara menggunakan FPB kurang efektif untuk bilangan prima karena tidak mengetahui sisa pembagiannya jika bilangan itu tidak habis dibagi. h. Bilangan habis dibagi 19 Bilangan habis dibagi 19 jika FPB dari bilangan itu dengan 19 adalah 19 maka bilangan itu habis dibagi 19, atau bisa menggunakan cara pengurangan kelipatan 19 dengan bilangan itu. Contoh ; Apakah bilangan dan 2381 habis dibagi 19? Jika tidak berapa sisanya? Jawab ; Disini kita menggunakan cara pada catatan poin 2 karena yang diminta dari soal selain menjawab habis dibagi atau tidak tetapi juga diminta untuk menjawab sisa pembagiannya, karena jika menggunakan cara

8 8 FPB tidak langsung mengetahui sisa pembagiannya = = 8955 = = 545 = = 25 = = Maka bilangan tidak habis dibagi 19 dengan sisa pembagiannya 13 sesuai dengan cara pada catatan poin 2. i. Sisa pembagian Bilangan tidak habis dibagi 23. Sama seperti cara pada bilangan prima yang sebelumnya, sekarang bisa langsung diaplikasikan kepada contoh soal karena 23 merupakan bilangan prima. Contoh : Apakah 1578 habis dibagi 23?jika tidak berapa sisanya? Jawab : = = 722 = = 198 = = 32 = = Bilangan 1578 tidak habis dibagi 23 dengan sisa 14. j. Bilangan habis dibagi = = 1902 = = 998 = = 452 = = 273 = = = tidak habis dibagi 29 dengan sisa 12 k. Sisa pembagian Bilangan tidak habis dibagi 31. FPB(12345,31) = (12345, 31) = (6157, 31) = (3063, 31) = (3032, 31) = (1516, 31) = (758, 31) = (379, 31) = (174, 31)

9 9 = (87, 31) = (28,31) = (7, 31) = (7, 3) = (1,1) Maka tidak habis dibagi 31 karena FPB nya 1. Namun cara ini tidak menandakan sisa pembagian karena 31 merupakan bilangan prima. Untuk mengetahui sisa pembagiannya bisa menggunakan cara pada poin-poin pada catatan. Disini kita menggunakan cara pada poin = = 3155 = = 4595 = = 1605 = = 1495 = = 55 = = 7 31 Sisa pembagiannya 7. l. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 37 Suatu bilangan habis dibagi 37 jika bilangan itu dipisahkan tiga digit tiga digit dari belakang kemudian jika jumlah dari bilangan yang telah dipecah tadi bernilai bilangan berulang kelipatan tiga digit maka bilangan tersebut habis dibagi 37 atau bisa menggunakan FPB dari bilangan itu dengan 37 jika FPB nya bilangan prima itu sendiri maka bilangan tersebut habis dibagi 37. Contoh 1 : Apakah habis dibagi 37? jika tidak berapa sisa pembagiannya? Jawab : = = 1057 = = Sehingga sisa pembagiannya 21. Contoh 2 : Apakah 2345 habis dibagi 37? jika tidak berapa sisa pembagiannya? 2345 = = 347 =

10 10 = Sehingga 2345 tidak habis dibagi 37 dengan sisa pembagian 14. m. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 41 Contoh : 2341 = = 1759 = = 291 = = 119 = = Karena 86 tidak habis dibagi 41 maka 2341 tidak habis dibagi 41 sehingga didapat sisa pembagiannya 4 n. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 43 Contoh : 546 = = 314 = = 116 = = = 30 Karena 99 tidak habis dibagi 43 maka 546 tidak habis dibagi 43 sehingga didapat sisa pembagiannya 30. Contoh 2 : 4352 = Sisa pembagiannya = = 9 Karena 52 tidak habis dibagi 43 maka 4352 tidak habis dibagi 43 sehingga didapat sisa pembagiannya 9. o. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 47 Contoh : 234 = = 236 = = (-1) 47-1 Karena (-1) tidak habis dibagi 47 maka 234 tidak habis dibagi 47

11 11 sehingga didapat sisa pembagiannya 46. Contoh 2: 546 = = 394 = = (76) (76) Karena 76 tidak habis dibagi 47 maka 546 tidak habis dibagi 47 sehingga didapat sisa pembagiannya 29. Adapun cara lain untuk mengetahui sisa pembagian bilangan prima 19 yaitu menggunakan aturan aritmatika modulo. Langkah-langkahnya : 1. Jika terdiri dari dua angka, pisahkan satu angka dari kiri dan tambahkan dengan 2 kali angka dari kanan, kemudian jika hasinya kurang dari modulo dan genap maka hasilnya dibagi 2 setelah dibagi 2 maka hasilnya sama dengan sisa pembagiannya. Jika setelah penjumlahan tadi hasilnya ganjil maka bilangan itu di tambah modulo dikurangi ganjil dibagi 2 hasilnya sama dengan sisa pembagiannya. 2. Jika terdiri dari 3 angka atau lebih maka lakukan cara diatas dengan memisahkan dua angka dari kiri kemudian lanjutkan seperti cara diatas setelah mendapatkan sisa dari penguraiandua angka dari kiri maka sisanya dibuat sebagai puluhan dan satuannya yaitu angka setelah yang dipisahkan tadi. Lakukan langkah itu sampai angka terakhir bilangan yang akan dibagi. Contoh yang terdiri dari dua angka: Tentukan sisa pembagian dari 98 dibagi 19? Jawab: 98 = 9 + 2(8) = 25 Karena 6 adalah genap maka sisa pembagiannya 6 dibagi 2 yaitu 3. Contoh yang terdiri dari 3 angka : Tentukan sisa pembagian dari 978 dibagi 19? Jawab: Karena terdiri dari 3 angka maka ambil dua angka dari kiri dan cari sisanya, 97 = 9 + 2(7) = 23

12 12 Karena angka 4 genap maka 4 dibagi 2 hasinya 2. Kemudian hasilnya dibuat menjadi puluhan dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu = 2 + 2(8) = 18 Karena 18 genap maka 18 dibagi 2 hasilnya 9 dan 9 adalah sisa dari 978 dibagi 19. Contoh yang terdiri dari 6 angka : Tentukan sisa pembagian dari dibagi 19? Jawab : Seperti halnya pada contoh yang terdiri dari tiga angka maka pisahkan dua angka dari kiri, karena dalam soal diatas dua angka dari kiri adalah 17 dan maka ambil tiga angka dari kiri terlebih dahulu. 178 = (8) = Diperoleh dari 33 dikurangi 19 atau bisa menggunakan cara seperti berikut, 33 = 3 + 2(3) = 9 Karena 9 ganjil maka modulo dikurangi 9 kemudian hasilnya di bagi 2 selanjutnya jumlahkan dengan = 10 = = = 14 Karena 14 genap maka 14 dibagi 2 hasilnya 7. Setelah diketahui sisanya 7 kemudian dibuat menjadi puluhan dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu = 7 + 2(2) = 11 Karena 11 ganjil maka, = 8 = = = 15 Setelah diketahui sisanya 15 kemudian dibuat menjadi puluhan dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu = (3) = 21 Karena 2 genap maka, = 1

13 13 Setelah diketahui sisanya 1 kemudian dibuat menjadi puluhan dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu 5. Dalam hal ini tidak perlu diuraikan kembali karena 15 masih anggota dari modulo. Karena tidak ada lagi bilangan yang belum diuraikan maka sisa pembagiannya adalah hasil terakhir yaitu 15. Catatan : 1. untuk bilangan kelipatan yang digunakan untuk dikurangi bilangan awal jika kelipatannya mengikuti pendekatan kelipatan modulo dari digit depan pada bilangan awal maka sisa pengurangan merupakan sisa pembagian bilangan awal, 2. jika menggunakan pola pendekatan kelipatan modulo yang dibagi 2 dari setiap bilangan sisa, jika tidak habis dibagi 2 maka menggunakan kelipatan 13 itu sendiri tetapi tidak begitu mendekati bilangan awal maka untuk mengetahui sisa pembagiannya yaitu dengan mengurangkan modulo dengan sisa pengurangan bilangan awal. 3. Jika bilangan awal menggunakan kelipatan yang nmendekati sekali bilangan awal maka sisa pengurangannya merupakan sisa pembagian bilangan awal dengan prima. 4. Jika yang digunakan adalah perkalian atau penjumlahan maka hasil dari perkalian dan penjumlahan itu merupakan sisa pembagiannya. Manfaat dari moduler prima ini yaitu untuk mengetahui sisa pembagian untuk bilangan yang tidak habis dibagi bilangan prima tanpa harus menggunakan pembagian secara manual, yaitu dengan menggunakan metode pendekatan dari bilangan yang akan dibagi adapun untuk mengetahui bilangan yang habis dibagi atau tidak maka bisa menggunakan FPB jika FPB nya 1 maka bilangan itu tidak habis dibagi oleh bilangan prima.

14 14 DAFTAR PUSTAKA Anonim. [Online]. Tersedia: arch?q=buku+disquisitiones +arithmeticae&newwindow =1. [26 juni 2015] Hakim, Arnaz Maliku. [Online]. Tersedia: rdpress.com. [19 juni 2015] Hoca, Senol. [Online]. Tersedia: h?v=kgoi_y9lufa. [19 juni 2015] Nngermanto, Agus. [Online]. Tersedia: h?v=7hh0likudn0.[19 juni 2015] Sihabudin. [Online]. Tersedia: m/2010/05/03/modulo-dankongruensi/.[20 juni2015]

Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS

Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS Program Studi : Pendidikan Matematika Semester : IV (Empat) Oleh : Nego Linuhung, M.Pd Aritmetika Modulo Misalkan a adalah bilangan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan bulat, bilangan prima,modular, dan kekongruenan. 2.1 Bilangan Bulat Sifat Pembagian

Lebih terperinci

2. Pengurangan pada Bilangan Bulat

2. Pengurangan pada Bilangan Bulat b. Penjumlahan tanpa alat bantu Penjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilangan yang bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan.

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas

LANDASAN TEORI. bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan prima, bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas (square free), keterbagian,

Lebih terperinci

BAB I BILANGAN. Skema Bilangan. I. Pengertian. Bilangan Kompleks. Bilangan Genap Bilangan Ganjil Bilangan Prima Bilangan Komposit

BAB I BILANGAN. Skema Bilangan. I. Pengertian. Bilangan Kompleks. Bilangan Genap Bilangan Ganjil Bilangan Prima Bilangan Komposit BAB I BILANGAN Skema Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Imajiner Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan Cacah Bilangan Bulat Negatif Bilangan Asli

Lebih terperinci

Saat menemui penjumlahan langsung pikirkan hasilnya dengan cepat lalu lakukan penjumlahan untuk setiap jawaban yang diperoleh.

Saat menemui penjumlahan langsung pikirkan hasilnya dengan cepat lalu lakukan penjumlahan untuk setiap jawaban yang diperoleh. TRIK PENJUMLAHAN DENGAN BERPIKIR LANGSUNG HASILNYA Penjumlahan merupakan salah satu dari proses berpikir dan menghapal. Keahlian menjumlahkan secara cepat tidak bisa didapat begitu saja melainkan harus

Lebih terperinci

1 INDUKSI MATEMATIKA

1 INDUKSI MATEMATIKA 1 INDUKSI MATEMATIKA Induksi Matematis Induksi matematis merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematis maka dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua

Lebih terperinci

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN. Bilangan Totient sempurna (Perpect Totient Number atau PTN) adalah suatu

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN. Bilangan Totient sempurna (Perpect Totient Number atau PTN) adalah suatu IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Fungsi Euler Definisi 4.1 Bilangan Totient sempurna (Perpect Totient Number atau PTN) adalah suatu bilangan bulat yang sama dengan jumlah dari iterasi Totientnya. yaitu jika

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar

II. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar 4 II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar yang menunjang dan disajikan

Lebih terperinci

Teori bilangan. Nama Mata Kuliah : Teori bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 sks. Deskripsi Mata Kuliah. Tujuan Perkuliahan.

Teori bilangan. Nama Mata Kuliah : Teori bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 sks. Deskripsi Mata Kuliah. Tujuan Perkuliahan. Nama : Teori bilangan Kode /SKS : MAT- / 2 sks Program Studi : Pendidikan Matematika Semester : IV (Empat) TEORI BILANGAN Oleh : RINA AGUSTINA, M.Pd. NEGO LINUHUNG, M.Pd Mata kuliah ini masih merupakan

Lebih terperinci

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) 1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat

Lebih terperinci

2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika

2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika Bilangan prima telah dikenal sejak sekolah dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri. Bilangan prima memegang peranan penting karena pada dasarnya konsep apapun

Lebih terperinci

Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS

Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS Program Studi : Pendidikan Matematika Semester : IV (Empat) Oleh : Nego Linuhung, M.Pd Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan

Lebih terperinci

OPERATOR. Percobaan 1: Mengimplementasikan Assignment operator dalam bahasa C.

OPERATOR. Percobaan 1: Mengimplementasikan Assignment operator dalam bahasa C. OPERATOR Percobaan 1: Mengimplementasikan Assignment operator dalam bahasa C. Tujuan: Mahasiswa memahami serta mampu membuat menggunakan operator Assignment. program dalam bahasa C Materi: Operasi yang

Lebih terperinci

KHAIRUL MUKMIN LUBIS

KHAIRUL MUKMIN LUBIS Barisan dan Deret Eni Sumarminingsih, SSi, MM Elizal A. Barisan Aritmetika Definisi Barisan aritmetik adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap

Lebih terperinci

Materi W6b BARISAN DAN DERET. Kelas X, Semester 2. B. Barisan dan Deret Aritmatika.

Materi W6b BARISAN DAN DERET. Kelas X, Semester 2. B. Barisan dan Deret Aritmatika. Materi W6b BARISAN DAN DERET Kelas X, Semester 2 B. Barisan dan Deret Aritmatika www.yudarwi.com B. Barisan dan Deret Aritmatika Barisan adalah kumpulan objek-objek yang disusun menurut pola tertentu U

Lebih terperinci

FAKTOR DAN KELIPATAN KELAS MARS SD TETUM BUNAYA

FAKTOR DAN KELIPATAN KELAS MARS SD TETUM BUNAYA FAKTOR DAN KELIPATAN KELAS MARS SD TETUM BUNAYA A. KELIPATAN A. KELIPATAN Kelipatan suatu bilangan dapat diperoleh: 1. penjumlahan berulang, dan 2. penjumlahan bilangan dengan bilangan asli Contoh: Tentukanlah

Lebih terperinci

TEORI BILANGAN. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0.

TEORI BILANGAN. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. TEORI BILANGAN Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan

Lebih terperinci

K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika Wajib

K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika Wajib K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika Wajib Baris dan Deret Aritmatika - Latihan Soal Ulangan Doc. Name: RK13AR11MATWJB0603 Version : 2016-11 halaman 1 01. Suku ke-20 pada barisan 3, 9, 15, 21,. Adalah

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA

LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Latihan 1 1. A. NOTASI SIGMA 1. Pengertian Notasi Sigma Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U

Lebih terperinci

Sri Purwaningsih. Modul ke: Fakultas EKONOMI BISNIS. Program Studi Manajemen dan Akuntansi.

Sri Purwaningsih. Modul ke: Fakultas EKONOMI BISNIS. Program Studi Manajemen dan Akuntansi. Modul ke: Fakultas EKONOMI BISNIS MATEMATIKA BISNIS Sesi 2 ini akan membahasteori Deret Hiutung dan Deret Ukur pada Matematika Bisnis sehingga Mahasiswa mempunyai dasar yang kuat untuk melakukan pengukuran

Lebih terperinci

Aplikasi Aritmetika Modulo dalam Validasi Nomor Kartu Kredit

Aplikasi Aritmetika Modulo dalam Validasi Nomor Kartu Kredit Aplikasi Aritmetika Modulo dalam Validasi Nomor Kartu Kredit Yudha Adiprabowo - 13506050 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha 10, Bandung E-mail : if16050@students.if.itb.ac.id

Lebih terperinci

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN BAHAN AJAR TEORI BILANGAN DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 KATA PENGANTAR ب

Lebih terperinci

Materi Olimpiade Tingkat Sekolah Dasar BIDANG ALJABAR

Materi Olimpiade Tingkat Sekolah Dasar BIDANG ALJABAR Materi Olimpiade Tingkat Sekolah Dasar BIDANG ALJABAR Caturiyati M.Si. Jurdik Matematika FMIPA NY wcaturiyati@yahoo.com Operasi Dasar (penjumlahan pengurangan perkalian pembagian) Hal-hal yang perlu diperhatikan

Lebih terperinci

TEORI BILANGAN DALAM PERSAMAAN DIOPHANTINE

TEORI BILANGAN DALAM PERSAMAAN DIOPHANTINE TEORI BILANGAN DALAM PERSAMAAN DIOPHANTINE Ginan Ginanjar Pramadita NIM: 150601 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha 10, Bandung

Lebih terperinci

Mengenal Bilangan Bulat

Mengenal Bilangan Bulat Mengenal Bilangan Bulat Kita sudah mempelajari bilangan-bilangan yang dimulai dari nol sampai tak terhingga. Selama ini yang kita pelajari 0 (nol) adalah bilangan terkecil. Tetapi tahukah kamu bahwa ada

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2013 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2014

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2013 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2014 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2013 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2014 Waktu : 210 Menit KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT

Lebih terperinci

TEORI BILANGAN Setelah mempelajari modul ini diharapakan kamu bisa :

TEORI BILANGAN Setelah mempelajari modul ini diharapakan kamu bisa : TEORI BILANGAN Setelah mempelajari modul ini diharapakan kamu bisa : 1 Menggunakan algoritma Euclid untuk menyelesaikan masalah. 2 Menggunakan notasi kekongruenan. 3 Menggunakan teorema Fermat dan teorema

Lebih terperinci

Pemfaktoran prima (2)

Pemfaktoran prima (2) FPB dan KPK Konsep Habis Dibagi Definisi: Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi habis b (dinyatakan dengan a b) jika dan hanya jika ada sebuah bilangan bulat c demikian

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Secara umum, apabila α bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada

II. LANDASAN TEORI. Secara umum, apabila α bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada II. LANDASAN TEORI Pada bilangan ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan sempurna, bilangan bulat, bilangan prima,faktor bilangan bulat dan kekongruenan. 2.1

Lebih terperinci

Disusun Oleh : ARISMAN WIJAYA. Aris

Disusun Oleh : ARISMAN WIJAYA. Aris Disusun Oleh : ARISMAN WIJAYA (arisman_wijaya@yahoo.com) Aris _^M@thLover^ TRIK BERHITUNG CEPAT ( MATHMAGIC ) 1. Perkalian dengan angka 11 Perkalian dengan angka 11 atau (11, 110, 1,1 dan seterusnya) bisa

Lebih terperinci

Metode pembuktian untuk proposisi yang berkaitan dengan bilangan bulat adalah induksi matematik.

Metode pembuktian untuk proposisi yang berkaitan dengan bilangan bulat adalah induksi matematik. Induksi Matematika Metode pembuktian untuk proposisi yang berkaitan dengan bilangan bulat adalah induksi matematik. Contoh: 1. Buktikan bahwa jumlah n bilangan bilangan bulat positif pertama adalah n(n

Lebih terperinci

R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Induksi Matematika Induksi matematika adalah : Salah satu metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat Induksi matematika merupakan teknik

Lebih terperinci

Tentukan semua bilangan bulat x sedemikian sehingga x 1 (mod 10). Jawab. x 1 (mod 10) jika dan hanya jika x 1 = 10 k untuk setiap k bilangan bulat.

Tentukan semua bilangan bulat x sedemikian sehingga x 1 (mod 10). Jawab. x 1 (mod 10) jika dan hanya jika x 1 = 10 k untuk setiap k bilangan bulat. Aritmatika Modular Banyak konsep aritmatika jam dapat digunakan untuk mengerjakan masalah-masalah yang berkenaan dengan kalender. Misalkan, hari minggu pada bulan Juli 2006 jatuh pada tanggal 2, 9, 16,

Lebih terperinci

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2013 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan

Lebih terperinci

Pengantar Teori Bilangan

Pengantar Teori Bilangan Pengantar Teori Bilangan I Bilangan Bulat dan Operasinya Pembekalan dan pemahaman dasar tentang bentuk bilangan pada suatu kelompok/set/himpunan salah satunya adalah bilangan bulat (yang lazim disebut

Lebih terperinci

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 14 April Pekan Ke-2, 2006 Nomor Soal:

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 14 April Pekan Ke-2, 2006 Nomor Soal: Solusi Pengayaan Matematika Edisi 4 April Pekan Ke-, 006 Nomor Soal: 3-40 3. Manakah yang paling besar di antara bilangan-bilangan 0 9 b, 5 c, 0 d 5, dan 0 e 4 3? A. e B. d C. c D. b E. a Solusi: [E] 5

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Sejak tiga abad yang lalu, pakar-pakar matematika telah menghabiskan banyak waktu untuk mengeksplorasi dunia bilangan prima. Banyak sifat unik dari bilangan prima yang menakjubkan.

Lebih terperinci

Mengenal Bilangan Bulat

Mengenal Bilangan Bulat Mengenal Bilangan Bulat Kita sudah mempelajari bilangan-bilangan yang dimulai dari nol sampai tak terhingga. Selama ini yang kita pelajari 0 (nol) adalah bilangan terkecil. Tetapi tahukah kamu bahwa ada

Lebih terperinci

MODUL PERSIAPAN OLIMPIADE. Oleh: MUSTHOFA

MODUL PERSIAPAN OLIMPIADE. Oleh: MUSTHOFA MODUL PERSIAPAN OLIMPIADE Oleh: MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2007 1 TEORI BILANGAN Dalam teori bilangan, semesta pembicaraan

Lebih terperinci

Beberapa Uji Keterbagian Bilangan Bulat

Beberapa Uji Keterbagian Bilangan Bulat Beberapa Uji Keterbagian Bilangan Bulat Untuk menguji suatu bilangan bulat dapat dibagi (habis dibagi) atau tidak dapat dibagi oleh bilangan bulat lain kita dapat menggunakan kalkulator atau dengan metode

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori dalam aljabar dan teori bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan carmichael akan dibutuhkan definisi

Lebih terperinci

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA HANDOUT TEORI BILANGAN MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2011 1 RELASI KETERBAGIAN Dalam teori bilangan, semesta pembicaraan

Lebih terperinci

METODE SOLOVAY-STRASSEN UNTUK PENGUJIAN BILANGAN PRIMA

METODE SOLOVAY-STRASSEN UNTUK PENGUJIAN BILANGAN PRIMA Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 1 (2015), hal 85 94 METODE SOLOVAY-STRASSEN UNTUK PENGUJIAN BILANGAN PRIMA Sari Puspita, Evi Noviani, Bayu Prihandono INTISARI Bilangan prima

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, 3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.

Lebih terperinci

Teori Bilangan (Number Theory)

Teori Bilangan (Number Theory) Bahan Kuliah ke-3 IF5054 Kriptografi Teori Bilangan (Number Theory) Disusun oleh: Ir. Rinaldi Munir, M.T. Departemen Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung 2004 3. Teori Bilangan Teori bilangan

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2010

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2010 Dapatkan soal-soal lainnya di http://forum.pelatihan-osn.com SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2010 Waktu : 210 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT

Lebih terperinci

3 TEORI KONGRUENSI. Contoh 3.1. Misalkan hari ini adalah Sabtu, hari apa setelah 100 hari dari sekarang?

3 TEORI KONGRUENSI. Contoh 3.1. Misalkan hari ini adalah Sabtu, hari apa setelah 100 hari dari sekarang? Pada bab ini dipelajari aritmatika modular yaitu aritmatika tentang kelas-kelas ekuivalensi, dimana permasalahan dalam teori bilangan disederhanakan dengan cara mengganti setiap bilangan bulat dengan sisanya

Lebih terperinci

MODUL PERKULIAHAN EDISI 1 MATEMATIKA DISKRIT

MODUL PERKULIAHAN EDISI 1 MATEMATIKA DISKRIT MODUL PERKULIAHAN EDISI 1 MATEMATIKA DISKRIT Penulis : Nelly Indriani Widiastuti S.Si., M.T. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 6 INDUKSI MATEMATIKA JUMLAH PERTEMUAN

Lebih terperinci

PEMBANGKIT BILANGAN ACAK (Random Number Generator)

PEMBANGKIT BILANGAN ACAK (Random Number Generator) PEMBANGKIT BILANGAN ACAK (Random Number Generator) Mata Kuliah Pemodelan & Simulasi Jurusan Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia 1 2 Random Number Generator (1) Cara memperoleh : ZAMAN DAHULU,

Lebih terperinci

Manusia itu seperti pensil Pensil setiap hari diraut sehingga yang tersisa tinggal catatan yang dituliskannya. Manusia setiap hari diraut oleh rautan

Manusia itu seperti pensil Pensil setiap hari diraut sehingga yang tersisa tinggal catatan yang dituliskannya. Manusia setiap hari diraut oleh rautan Manusia itu seperti pensil Pensil setiap hari diraut sehingga yang tersisa tinggal catatan yang dituliskannya. Manusia setiap hari diraut oleh rautan umur hingga habis, dan yang tersisa tinggal catatan

Lebih terperinci

Lembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan

Lembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan Lembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan N a m a : NIM/Kelas : Waktu Kuliah : Kompetensi Dasar dan Indikator: 1. Memahami pengertian faktor dan kelipatan bilangan bulat. a) Menuliskan denisi faktor suatu

Lebih terperinci

Pembahasan Soal Final Kompetisi Matematika Pasiad ( KMP ) VIII Tahun 2012 Tingkat SMP

Pembahasan Soal Final Kompetisi Matematika Pasiad ( KMP ) VIII Tahun 2012 Tingkat SMP Pembahasan Soal Final Kompetisi Matematika Pasiad ( KMP ) VIII Tahun 01 Tingkat SMP Oleh Tutur Widodo I. Soal Pilihan Ganda (Cara Penilaian : Benar = 1 poin, Kosong = 0, Salah = 0.5 poin) 1. Terdapat berapa

Lebih terperinci

MODUL TEKNIK DIGITAL MODUL II ARITMATIKA BINER

MODUL TEKNIK DIGITAL MODUL II ARITMATIKA BINER MODUL TEKNIK DIGITAL MODUL II ARITMATIKA BINER YAYASAN SANDHYKARA PUTRA TELKOM SMK TELKOM SANDHY PUTRA MALANG 2008 MODUL II ARITMATIKA BINER Mata Pelajaran : Teknik Digital Kelas : I (Satu) Semester :

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi 5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna. Seperti, teori keterbagian bilangan bulat, bilangan prima, kongruensi

Lebih terperinci

Induksi Matematika. Fitriyanti Mayasari

Induksi Matematika. Fitriyanti Mayasari Induksi Matematika Fitriyanti Mayasari Pendahuluan Induksi Matematika merupakan salah satu cara yang dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan-pernyataan yang menegaskan bahwa suatu p(n) adalah benar

Lebih terperinci

Penggunaan Algoritma LUHN Sebagai Validator Kartu Kredit dan Ponsel

Penggunaan Algoritma LUHN Sebagai Validator Kartu Kredit dan Ponsel Penggunaan Algoritma LUHN Sebagai Validator Kartu Kredit dan Ponsel Christy Gunawan Simarmata - 13515110 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,

Lebih terperinci

A. PRINSIP INDUKSI SEDERHANA

A. PRINSIP INDUKSI SEDERHANA INDUKSI MATEMATIK Induksi matematik adalah merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam Matematika. Induksi matematik digunakan untuk membuktikan pernyataan yang khusus menyangkut bilangan bulat positif.

Lebih terperinci

PENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca.

PENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca. PENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca. Karena hampir semua rumus dan hukum yang berlaku tidak tercipta

Lebih terperinci

BAB IV ALOGARITMA DALAM OPERASI ARITMATIKA PENDAHULUAN

BAB IV ALOGARITMA DALAM OPERASI ARITMATIKA PENDAHULUAN BAB IV ALOGARITMA DALAM OPERASI ARITMATIKA PENDAHULUAN Algoritma adalah suatu prosedur yang singkat dan sistematis untuk melakukan operasi aritmetika, misalnya penjumlahan dan perkalian. Jika kita melakukan

Lebih terperinci

BAB VI BILANGAN REAL

BAB VI BILANGAN REAL BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Drs. CARNOTO, M.Pd. NIP Pola Barisan Bilangan

BARISAN DAN DERET. Drs. CARNOTO, M.Pd. NIP Pola Barisan Bilangan BARISAN DAN DERET Drs. CARNOTO, M.Pd. NIP. 19640121 199010 1 001 Pola Barisan Bilangan Beberapa urutan bilangan yang sering kita pergunakan mempunyai pola tertentu. Pola ini Sering digunakan untuk menentukan

Lebih terperinci

134 Ayo Belajar Matematika Kelas IV

134 Ayo Belajar Matematika Kelas IV Bilangan Bulat 133 134 Ayo Belajar Matematika Kelas IV Bab 5 Bilangan Bulat Mari menggunakan konsep keliling dan luas bangun datar sederhana dalam pemecahan masalah. Bilangan Bulat 135 136 Ayo Belajar

Lebih terperinci

Melakukan Operasi Hitung Bilangan Bulat dalam Pemecahan Masalah

Melakukan Operasi Hitung Bilangan Bulat dalam Pemecahan Masalah Bab 1 Melakukan Operasi Hitung Bilangan Bulat dalam Pemecahan Masalah Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, diharapkan siswa dapat: 1. menguasai sifat-sifat operasi hitung bilangan bulat,. menjumlahkan

Lebih terperinci

SMP kelas 9 - MATEMATIKA BAB 16. HIMPUNANLatihan Soal 16.1 {22, 25, 26, 28, 30) {21, 24, 26, 28, 30) {21, 23, 24, 27, 29) {21, 23, 25, 27, 29)

SMP kelas 9 - MATEMATIKA BAB 16. HIMPUNANLatihan Soal 16.1 {22, 25, 26, 28, 30) {21, 24, 26, 28, 30) {21, 23, 24, 27, 29) {21, 23, 25, 27, 29) SMP kelas 9 - MATEMATIKA BAB 16. HIMPUNANLatihan Soal 16.1 1. Complemen gabungan 2 himpunan. Diketahui : S = {21, 22, 23, 24,..., 30} A = {x 20 x 30, X Bil.Prima} B = {y 20 x 30, X Bil.Kelipatan 3} {22,

Lebih terperinci

Induksi 1 Matematika

Induksi 1 Matematika Induksi 1 Matematika Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Contoh : p(n): Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2. Buktikan p(n) benar!

Lebih terperinci

Contoh Masalah Matematika dan Solusinya dengan Menggunakan Strategi Penemuan Pola

Contoh Masalah Matematika dan Solusinya dengan Menggunakan Strategi Penemuan Pola Contoh Masalah Matematika dan Solusinya dengan Menggunakan Strategi Penemuan Pola 1 Problem: Tentukan digit terakhir dari 8 Solusi: Banyak siswa akan mencoba menyelesaikan masalah tersebut dengan menggunakan

Lebih terperinci

Penerapan Algoritma Brute Force dalam mencari Faktor Prima pada suatu Bilangan

Penerapan Algoritma Brute Force dalam mencari Faktor Prima pada suatu Bilangan Penerapan Algoritma Brute Force dalam mencari Faktor Prima pada suatu Bilangan Widhaprasa Ekamatra Waliprana - 13508080 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut

Lebih terperinci

Aplikasi Teori Bilangan Bulat dalam Pembangkitan Bilangan Acak Semu

Aplikasi Teori Bilangan Bulat dalam Pembangkitan Bilangan Acak Semu Aplikasi Teori Bilangan Bulat dalam Pembangkitan Bilangan Acak Semu Ferdian Thung 13507127 Program Studi Teknik Informatika ITB, Jalan Ganesha 10 Bandung, Jawa Barat, email: if17127@students.if.itb.ac.id

Lebih terperinci

Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.

Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Induksi Matematik 1 Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Contoh : p(n): Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2. Buktikan p(n) benar!

Lebih terperinci

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 06 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD BAB I BILANGAN Dra.Hj.Rosdiah Salam, M.Pd. Dra. Nurfaizah, M.Hum. Drs. Latri S, S.Pd., M.Pd. Prof.Dr.H. Pattabundu, M.Ed. Widya

Lebih terperinci

MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3 DEFINISI DAN PERISTILAHAN MATEMATIKA (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Ingat PROPOSISI Ini? Proposisi. Jika segitiga siku-siku XYZ dengan

Lebih terperinci

Sifat Prima Terhadap Fungsionalitas Algoritma RSA

Sifat Prima Terhadap Fungsionalitas Algoritma RSA Sifat Prima Terhadap Fungsionalitas Algoritma RSA Kamal Mahmudi Mahasiswa Jurusan Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung Labtek V, Jalan Ganeca 10 Bandung

Lebih terperinci

BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN

BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN A. Bilangan Bulat I. Pengertian Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif atau bilangan asli, bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat

Lebih terperinci

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR KAMPUS CIBIRU UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA SATUAN ACARA PERKULIAHAN

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR KAMPUS CIBIRU UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR KAMPUS CIBIRU UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA SATUAN ACARA PERKULIAHAN Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika Kompetensi Umum : Memahami dan mengkaji pengetahuan

Lebih terperinci

Analisis Kompleksitas Algoritma dalam Operasi BigMod

Analisis Kompleksitas Algoritma dalam Operasi BigMod Analisis Kompleksitas Algoritma dalam Operasi BigMod Calvin sadewa / 13512066 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung

Lebih terperinci

Problem A. Raja yang Bijak

Problem A. Raja yang Bijak Problem A Raja yang Bijak Wacat adalah seorang pangeran yang baru saja diangkat menjadi raja menggantikan ayahnya, Hubu, seorang raja yang terkenal bijaksana. Hubu mampu mengambil segala keputusan yang

Lebih terperinci

BAB V BILANGAN BULAT

BAB V BILANGAN BULAT BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan

Lebih terperinci

Percobaan Perancangan Fungsi Pembangkit Bilangan Acak Semu serta Analisisnya

Percobaan Perancangan Fungsi Pembangkit Bilangan Acak Semu serta Analisisnya Percobaan Perancangan Fungsi Pembangkit Bilangan Acak Semu serta Analisisnya Athia Saelan (13508029) 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,

Lebih terperinci

BILANGAN CACAH. b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 + 1 = 5). tulis 5. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 + 5 = 8), tulis 8.

BILANGAN CACAH. b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 + 1 = 5). tulis 5. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 + 5 = 8), tulis 8. BILANGAN CACAH a. Pengertian Bilangan Cacah Bilangan cacah terdiri dari semua bilangan asli (bilangan bulat positif) dan unsur (elemen) nol yang diberi lambang 0, yaitu 0, 1, 2, 3, Bilangan cacah disajikan

Lebih terperinci

PENERAPAN AKSIOMA KETERBAGIAN DALAM PEMBELAJARAN KONSEP AKAR PANGKAT DUA DI KELAS VII SMP Oleh : Andi Syamsuddin*

PENERAPAN AKSIOMA KETERBAGIAN DALAM PEMBELAJARAN KONSEP AKAR PANGKAT DUA DI KELAS VII SMP Oleh : Andi Syamsuddin* PENERAPAN AKSIOMA KETERBAGIAN DALAM PEMBELAJARAN KONSEP AKAR PANGKAT DUA DI KELAS VII SMP Oleh : Andi Syamsuddin* A. Aksioma Keterbagian Sebuah bilangan dikatakan habis dibagi (terbagi) dengan sebuah bilangan

Lebih terperinci

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2009 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan

Lebih terperinci

Himpunan dari Bilangan-Bilangan

Himpunan dari Bilangan-Bilangan Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 22, 2014 1 Khususnya dalam analisis, maka yang teristimewa penting adalah himpunan dari bilangan-bilangan riil, yang dinyatakan dengan R. Himpunan

Lebih terperinci

1. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan :

1. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan : BAB I BILANGAN. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan : Bulat positif (,,, 4, 5, ) Nol : 0 Bulat Negatif (,-5,-4,-,-,-) Himpunan Bilangan bulat A = {, -4,

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET 1. A. Barisan dan Deret Aritmatika 11/13/2015. Peta Konsep. A. Barisan dan Deret Aritmatika

BARISAN DAN DERET 1. A. Barisan dan Deret Aritmatika 11/13/2015. Peta Konsep. A. Barisan dan Deret Aritmatika Jurnal Peta Konsep Daftar Hadir MateriA SoalLatihan Materi Umum BARISAN DAN DERET 1 Kelas X, Semester A. Barisan dan Deret Aritmatika Barisan dan Deret Aritmatika Barisan dan Deret Soal Aplikasi dalam

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN

SATUAN ACARA PERKULIAHAN SATUAN ACARA PERKULIAHAN PERT MATERI POKOK 1 Teori belajar dalam : teori belajar aliran latihan mental, aliran psikologi tingkah laku, dan aliran kognitif INDIKATOR KETERCAPAIAN KOMPETENSI Menjelaskan

Lebih terperinci

PERANAN ARITMETIKA MODULO DAN BILANGAN PRIMA PADA ALGORITMA KRIPTOGRAFI RSA (Rivest-Shamir-Adleman)

PERANAN ARITMETIKA MODULO DAN BILANGAN PRIMA PADA ALGORITMA KRIPTOGRAFI RSA (Rivest-Shamir-Adleman) Media Informatika Vol. 9 No. 2 (2010) PERANAN ARITMETIKA MODULO DAN BILANGAN PRIMA PADA ALGORITMA KRIPTOGRAFI RSA (Rivest-Shamir-Adleman) Dahlia Br Ginting Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer

Lebih terperinci

STRATEGI PENYELESAIAN MASALAH (PROBLEM SOLVING STRATEGIES) EDDY HERMANTO

STRATEGI PENYELESAIAN MASALAH (PROBLEM SOLVING STRATEGIES) EDDY HERMANTO STRATEGI PENYELESAIAN MASALAH (PROBLEM SOLVING STRATEGIES) EDDY HERMANTO Strategi Penyelesaian Masalah Beberapa Strategi Penyelesaian Masalah : 1. Membuat daftar Yang Teratur 2. Memisalkan Dengan Suatu

Lebih terperinci

BAHAN AJAR MATEMATIKA KELAS 5 SEMESTER I

BAHAN AJAR MATEMATIKA KELAS 5 SEMESTER I BAHAN AJAR MATEMATIKA KELAS 5 SEMESTER I Oleh: Sri Subiyanti NIP 19910330 201402 2 001 DINAS PENDIDIKAN KABUPATEN PATI KECAMATAN JAKEN SEKOLAH DASAR NEGERI MOJOLUHUR 2015 I. Tinjauan Umum A. Standar Kompetensi

Lebih terperinci

Kongruen Lanjar dan Berbagai Aplikasi dari Kongruen Lanjar

Kongruen Lanjar dan Berbagai Aplikasi dari Kongruen Lanjar Kongruen Lanjar dan Berbagai Aplikasi dari Kongruen Lanjar Mario Tressa Juzar (13512016) 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha

Lebih terperinci

KELAS 8 NASKAH SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA ANAK BANGSA HOTEL MERDEKA, 16 JANUARI 2011

KELAS 8 NASKAH SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA ANAK BANGSA HOTEL MERDEKA, 16 JANUARI 2011 NSKH SOL OLIMPIDE MTEMTIK NK NGS HOTEL MERDEK, 6 JNURI 0 KELS 8 Pusat elajar nak angsa Kantor Pusat : Perumahan Taman sri III/74 Madiun Telepon : 035 454 Website : http://www.anak-bangsa.com E-mail : bangbangsasa@yahoo.com

Lebih terperinci

1.Tentukan solusi dari : Rubrik Penskoran :

1.Tentukan solusi dari : Rubrik Penskoran : 1.Tentukan solusi dari : 1 7 1 Rubrik Penskoran : Skor Kriteria Langkah langkah untuk membentuk persamaan kuadrat telah benar. 4 Langkah pemfaktoran telah benar. (jika digunakan) Terdapat dua solusi yang

Lebih terperinci

PETUNJUK UMUM OLMIPA UB 2013 BIDANG MATEMATIKA

PETUNJUK UMUM OLMIPA UB 2013 BIDANG MATEMATIKA PETUNJUK UMUM OLMIPA UB 2013 BIDANG MATEMATIKA 1. Sebelum mengerjakan soal, telitilah dahulu jumlah dan nomor halaman yang terdapat pada naskah soal. Pada naskah soal ini terdiri dari 30 soal pilihan ganda

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2007 TINGKAT PROVINSI TAHUN Prestasi itu diraih bukan didapat!!!

SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2007 TINGKAT PROVINSI TAHUN Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 007 TINGKAT PROVINSI TAHUN 006 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Bagian Pertama Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi

Lebih terperinci

PERKALIAN BINER BILANGAN N DIGIT DENGAN 3, 4, 5 DAN 6

PERKALIAN BINER BILANGAN N DIGIT DENGAN 3, 4, 5 DAN 6 PERKALIAN BINER BILANGAN N DIGIT DENGAN 3, 4, 5 DAN 6 Putut Sriwasito Staf Pengajar Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Semarang, 50275 Abstract. In this paper we

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Romli Shodikin, M.Pd. Prepared By : LANJUT

BARISAN DAN DERET. Romli Shodikin, M.Pd.  Prepared By : LANJUT BARISAN DAN DERET Prepared By : Romli Shodikin, M.Pd www.fskromli.blogspot.com fskromli@yahoo.com LANJUT Standar Kompetensi : Menggunakan konsep notasi sigma, barisan dan deret dalam pemecahan masalah

Lebih terperinci

Pembangkitan Nomor Kartu Kredit dan Pengecekannya Dengan Menggunakan Algoritma Luhn

Pembangkitan Nomor Kartu Kredit dan Pengecekannya Dengan Menggunakan Algoritma Luhn Pembangkitan Nomor Kartu Kredit dan Pengecekannya Dengan Menggunakan Algoritma Luhn Shanny Avelina Halim (13504027) Program Studi Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung email: if14027@students.if.itb.ac.id

Lebih terperinci

Review Kuliah Sebelumnya

Review Kuliah Sebelumnya TEKNIK DIGITAL Review Kuliah Sebelumnya Konversikan Bilangan di Bawah ini 1. 89 10 = 16 2. 367 8 = 2 3. 11010 2 = 10 4. 7FD 16 = 8 5. 29A 16 = 10 6. 110111 2 = 8 7. 359 10 = 2 8. 472 8 = 16 Tujuan Perkuliahan

Lebih terperinci