KATA PENGANTAR. Yogyakarta, 08 September 2005 Penulis, ( Sumarna ).

Transkripsi

1

2

3

4 KATA PENGANTAR Puji dan syukur dipanjatkan kepada Tuhan seru sekalian alam. Buku Elektronika Digital (Konsep Dasar dan Aplikasi) ini dapat diselesaikan meskipun masih sangat singkat apabila dihadapkan kepada persoalan elektronika yang semakin berkembang. Perkembangan teknologi dan industri elektronika seperti yang sekarang terjadi menimbulkan kesulitan tersendiri untuk menulis satu buku ataupun menyelenggarakan suatu kuliah/kursus yang dapat memuat semua informasi tentang elektronika. Tetapi sehebat apapun perkembangan teknologi dan industri elektronika tidak terlepas dari konsep-konsep dasar tentang elektronika yang telah disemai oleh para pendahulu. Dalam upaya turut memahami, kalau perlu menguasai, teknologi elektronika dengan lebih kokoh kiranya perlu menguasai konsep-konsep dasarnya. Dalam rangka itulah, tidak berlebihan bila buku Elektronika Digital (Konsep Dasar dan Aplikasi) ini disusun dengan maksud turut berpartisipasi menyediakan sumber belajar yang memuat konsepkonsep dasar tentang elektronika digital. Kiranya buku ini dapat menjadi pengantar untuk kajian lebih lanjut dan dapat memenuhi keperluan bagi yang ingin mendapat pedoman secara mendasar. Dengan buku ini memungkinkan untuk memahami, merancang, dan menyusun rangkaian digital. Akhirnya, terima kasih yang setulus-tulusnya disampaikan kepada semua pihak yang telah membantu penulisan buku ini. Bila dijumpai kesalahan dimohon dengan sangat agar berkenan memberikan teguran. Komentar, koreksi, kritik dan saran dari para pengguna dan pemerhati diterima dengan penuh penghargaan dan selanjutnya akan sangat berguna bagi perbaikan buku ini. Terima kasih. Yogyakarta, 08 September 2005 Penulis, ( Sumarna ). (sumarna@uny.ac.id)

5 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL KATA PENGANTAR DAFTAR ISI Halaman i ii iii BAB I PENDAHULUAN. Pengantar 2. Sistem Analog dan Digital 2 3. Soal-soal 4 BAB II SISTEM BILANGAN 6. Basis-0 (desimal) 7 2. Basis-2 (biner) 7 3. Basis-8 (oktal) 8 4. Basis-6 (heksa-desimal) 8 5. Konversi (Pengubahan) Bilangan 9 6. Operasi Bilangan 6 7. Soal-soal 25 BAB III SISTEM SANDI (KODE) 28. Sandi BCD (biner Coded Decimal) Sandi Excess-3 (XS-3) 3 3. Sandi Gray 3 4. Sandi ASCII Bit Paritas Aplikasi Sistem Bilangan dan Sandi Soal-soal 39 BAB IV GERBANG LOGIKA 4

6 . Gerbang OR Gerbang AND Gerbang NOT (INVERTER) Gerbang NOR dan NAND Gerbang EX-OR dan EX-NOR Soal-soal 5 BAB V ALJABAR BOOLE 54. Pengertian Aljabar Boole Teorema dalam Aljabar Boole Minimalisasi Rangkaian Logika Secara Analitis Soal-soal 60 BAB VI PETA KARNAUGH 64. Bentuk Standar Fungsi Boole Peta Karnaugh (Peta K) 7 3. Minimalisasi Rangkaian Logika (Cara Grafis) Aplikasi Desain Rangkaian 8 5. Soal-soal 84 BAB VII RANGKAIAN PEMBANDING DAN PENJUMLAH 87. Rangkaian Pembanding (Komparator) Rangkaian Penjumlah (Adder) Rangkaian Pengurang 4 4. Soal-soal 8 BAB VIII FLIP-FLOP (BISTABIL) 2. Flip-flop Set-Reset (FF-SR) Flip-flop J-K (FF-JK) Flip-flop J-K Master-Slave (FF-JKMS) 3 4. Flip-flop D (FF-D) dan Flip-flop T (FF-T) Flip-flop yang Dilengkapi dengan Preset dan Clear 33

7 6. Tabel Eksitasi Aplikasi Flip-flop Soal-soal 37 BAB IX MULTIVIBRATOR 4. Multivibrator Monostabil Multivibrator Astabil Picu Schmitt (Schmitt Trigger) Rangkaian Terpadu Monostabil, Astabil dan Picu 5 Schmitt 5. IC Pewaktu (Timer) Aplikasi Soal-soal 60 BAB X PENCACAH 62. Pencacah Biner Tak Sinkron (Serial atau Riak) Pencacah Biner Sinkron (Paralel) Soal-soal 85 BAB XI REGISTER 87. Register Jenis Register Aplikasi Soal-soal 96 BAB XII DEKODER (DEMULTIPLEKSER) DAN MULTIPLEKSER 99. Sistem BCD (Biner Coded Decimal) Dekoder Biner Ke BCD Dekoder BCD Ke Desimal Dekoder BCD Ke Peraga 7 Segmen Demultiplekser Multiplekser 27

8 7. Rangkaian Terpadu (IC) Dekoder/demultiplekser dan 223 multiplekser 8. Soal-soal 227 DAFTAR PUSTAKA 229

9 BAB I PENDAHULUAN. Pengantar Elektronika, khususnya elektronika digital, akan terus mengalami perkembangan. Perkembangan apapun, meskipun menuju ke arah perbaikan, selalu disertai kekurangan-kekurangan maupun hal-hal yang tidak menyenangkan. Para insinyur yang telah berpengalaman sekalipun kadang merasa tertekan untuk dapat mengikuti kepesatan perkembangan elektronika. Lebih-lebih bagi para pemula tentu saja menghadapi masalah yang jauh lebih berat. Teknologi mutakhir yang paling mengagumkan dan yang memiliki fleksibilitas tinggi adalah komputer dan mikroprosesor. Komputer dan mikroprosesor dibangun dari rangkaian digital. Rangkaian digital terdiri dari sekelompok gerbang logika (logic gate) yang dapat menampilkan tugas-tugas yang sangat berguna. Rangkaian digital menjadi otak dunia teknologi. Rangkaian digital banyak digunakan untuk pengendalian proses (otomatisasi), mulai dari proses industri dengan tingkat kompleksitas yang tinggi, robot, peralatan laboratorium, alat rumah tangga, hiburan, hingga permainan anak. Elektronika sering tampak seperti hutan belantara yang membingungkan oleh karena seakan-akan berisi hal-hal yang tidak jelas kaitannya. Di dalam suatu rangkaian terdiri dari komponen-komponen dengan nama-nama aneh, parameter-parameter yang tidak sederhana, dan teori yang rumit. Pernyataan ini tidak bertujuan untuk membuat kita menjadi pesimis, tetapi sebaliknya agar bersiap-siap untuk bekerja keras jika ingin berkecimpung dalam bidang elektronika. Thomas A. Edison pernah berpesan bahwa : Ada cara untuk menyempurnakan. Singkaplah!. Penelitian yang tidak kenal lelah meneruskan berbagai penemuan untuk menyempurnakan yang sudah ada dan untuk mendapatkan hal-hal yang baru. Melalui evaluasi gagasan, penelitian, kreativitas, inspirasi dan kerja keras telah

10 ditemukan hal-hal baru yang lebih inovatif dan semakin sempurna. Kita dapat mempelajari elektronika sampai sejauh yang kita perlukan. Oleh karenanya kita tidak perlu pesimis asal siap bekerja keras sampai dengan taraf tertentu kita dapat menguasainya. 2. Sistem Analog dan Digital Dalam sain, teknologi, dan berbagai bidang kehidupan yang lain selalu berhadapan dengan besaran. Besaran tersebut diukur, dimonitor, dicatat, dimanipulasi secara matematis, dan lain-lain. Untuk dapat melakukan pekerjaan tersebut selalu digunakan peralatan. Hal yang sangat penting berkaitan dengan perubahan besaran tersebut adalah dapat menyajikan nilainya dengan tepat dan efisien. Secara mendasar ada dua cara penyajian nilai numerik suatu besaran, yakni secara analog atau digital. Dengan demikian istilah analog dan digital terkait dengan cara besaran tersebut ditampilkan. Satu contoh penampilan besaran analog adalah pada speedometer kendaraan, tampak bahwa simpangan jarum speedometer sebanding dengan laju kendaraan tersebut. Posisi sudut jarum menunjukkan besarnya laju kendaraan dan posisi jarum mengikuti perubahan yang terjadi pada laju kendaraan. Contoh lain adalah pada termometer air raksa, posisi permukaan air raksa di dalam tabung berubah sebanding dengan perubahan suhu. Masih contoh besaran analog dapat dijumpai pada sistem audio. Tegangan keluaran yang dihasilkan pada alat tersebut sebanding dengan sinpangan gelombang suara yang mengenai mikropon. Perubahan tegangan keluaran mengikuti perubahan suara pada masukan. Jika diperhatikan dengan seksama, ciri khas dari tampilan analog adalah dapat berada pada sembarang nilai (berapapun) dalam batas-batas (jangkauan) tertentu, tidak ada nilai terlarang, kecuali di luar batas-batas tersebut (yang diijinkan). Satu contoh besaran yang ditampilkan secara digital dapat kita jumpai pada jam digital yang hanya menyediakan penunjukan jam dan menit (kadangkadang juga detik). Sebagaimana diketahui bahwa waktu berubah secara kontinyu tetapi jam tersebut tidak dapat menampilkan waktunya secara kontinyu. Tampilan jam itu hanya dapat berubah pada tingkat paling kecil dalam

11 menit (kadang-kadang dalam detik). Dengan kata lain, penyajian waktu tersebut berubah secara diskrit. Contoh lain tampilan digital adalah pada pencacahan partikel yang dipancarkan oleh suatu sumber radioaktif. Jelas bahwa cacah patikel hanya dapat berada pada bilangan bulat seperti tidak ada, satu, dua, tiga,, seribu satu, dan seterusnya. Tidak pernah terjadi cacah partikel pada bilangan yang tidak bulat seperti setengah, seribu seperempat, dan sebagainya. Ciri khas dari besaran maupun tampilan digital adalah hanya dapat berada pada nilai-nilai tertentu yang diskrit. Jika diperhatikan dengan seksama, kecenderungan piranti-piranti elektronika sekarang ini menuju pada otomatisasi (komputerisasi), minimalisasi (kecil, kompak), dan digitalisasi. Dengan otomatisasi segala pekerjaan dapat diselesaikan dengan mudah, dan akurat, seolah-olah pekerjaan dapat selesai dengan sendirinya. Dengan minimalisasi, bentuk fisik berbagai piranti elektronik menjadi semakin kecil dan kompak, tidak banyak menempati ruang tetapi kinerjanya sangat handal. Sedangkan dengan digitalisasi memungkinkan pengolahan data (sinyal, informasi) menjadi semakin menguntungkan. Kecenderungan pengolahan data dalam bentuk digital (digitalisasi) memiliki beberapa kelebihan, di antaranya adalah :. Lebih tegas (tidak mendua), karena sinyal hanya ditampilkan dalam salah satu bentuk di antara YA atau TIDAK, HIDUP atau MATI, TINGGI atau RENDAH, atau 0, 0 VOLT atau 5 VOLT dan sebagainya. 2. Informasi digital lebih mudah dikelola (mudah disimpan dalam memori, mudah ditransmisikan, mudah dimunculkan kembali, dan mudah diolah tanpa penurunan kualitas). 3. Lebih tahan terhadap gangguan (noise) dalam arti lebih sedikit kena gangguan. Jika kena gangguan lebih mudah dikembalikan ke bentuk digitnya (dengan rangkaian Schmitt Trigger misalnya). 4. Konsumsi daya relatif rendah. Tetapi karena sifatnya yang diskrit, data (sinyal, informasi) digital tidak dapat berada pada nilai sembarang (kontinyu). Ada sinyal-sinyal yang secara alamiah

12 berbetuk diskrit, seperti pulsa-pulsa dari detektor partikel, bit-bit data dari saklar, keyboard, komputer, dan lain-lain akan lebih tepat jika digunakan elektronika digital. Dengan kenyataan seperti tersebut, antara elektronika analog (kontinyu) dan elektronika digital (diskrit) saling melengkapi karena masing-masing memiliki keunggulan dan sekaligus kelemahan tergantung dari lingkup kerjanya. Untuk keperluan sensor, elektronika analog lebih baik karena dalam batas-batas tertentu dapat memberikan nilai sembarang. Selain itu, elektronika analog juga sesuai untuk sinyal-sinyal kontinyu seperti pada sistem audio. Meskipun demikian tidak berarti antara elektronika analog dan digital tidak bisa dipadukan. Tidak jarang dikehendaki pengubahan data analog menjadi bentuk digital (dengan ADC : Analog to Digital Converter) atau sebaliknya (dengan DAC : Digital to Analog Converter) agar pengolahan data dapat dilakukan dengan sebaik-baiknya. Kenyataan ini menunjukkan bahwa piranti dengan sistem digital telah demikian canggihnya sehingga pekerjaan yang seharusnya diselesaikan dengan elektronika analog dapat dikerjakan dengan elektronika digital dengan hasil yang lebih menakjubkan. 3. Soal-soal. Apakah perbedaan antara sistem analog dan sistem digital? 2. Apakah cara penyajian besaran-besaran berikut termasuk dalam kategori analog atau digital? Jelaskan! a. Tekanan udara di dalam ban kendaraan. b. Ketinggian layang-layang dari permukaan tanah. c. Kuat arus listrik yang mengalir dalam resistor. d. Jumlah tablet yang dimasukkan ke dalam suatu wadah. e. Muatan listrik yang dimiliki oleh suatu benda. 3. Selain yang telah disebutkan pada soal nomor di atas, sebutkan masing-masing 5 (lima) contoh besaran yang bersifat : a. Analog. b. Digital.

13 4. Sebutkan masing-masing mengenai kelebihan dan keterbatasn rangkaian digital jika dibandingkan dengan rangkaian analog? 5. Mengapa komputer lebih cocok menggunakan sistem digital dari pada menggunakan sistem analog? Jelaskan! 6. Jelaskan, bagaimana keluaran dari suatu rangkaian dapat ditetapkan sebagai keluaran digital?

14 BAB II SISTEM BILANGAN Banyak sistem bilangan yang digunakan pada piranti digital, dan yang biasa digunakan adalah sistem-sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksa-desimal. Sedangkan, dalam kehidupan sehari-hari kita sangat akrap dengan sistem bilangan desimal, (dasaan, basis-0, atau radiks-0). Meskipun sistem desimal sangat akrab dengan kita, tetapi sistem tersebut tidak mudah diterapkan dalam mesin digital. Sistem bilangan yang paling mudah diterapkan di dalam mesin digital adalah sistem bilangan biner (basis-2) karena sistem tersebut hanya mengenal 2 keadaan dan kemudian disimbolkan dengan 2 angka yakni 0 dan. Hal ini sesuai dengan 2 keadaan sistem pensaklaran di dalam mesin. Untuk memudahkan pembahasan, kita membagi sitem bilangan menjadi basis-0 dan basis-n, di mana n 2 dan n 0. Sehingga dikenal banyak sistem bilangan seperti basis-2, basis-3,, basis-8,, basis-0,, basis-6, dan seterusnya. Semua sistem bilangan tersebut temasuk ke dalam sistem bilangan berbobot, artinya nilai suatu angka tergantung dari posisi relatifnya terhadap koma atau angka satuan. Misalnya bilangan 5725,5 dalam desimal. Ketiga angka 5 memiliki nilai yang berbeda, angka 5 paling kanan bernilai lima persepuluhan, angka 5 yang tengah bernilai lima satuan sedangkan angka 5 yang lainnya bernailai lima ribuan. Untuk membedakan suatu bilangan dalam sistem bilangan tertentu digunakan konvensi notasi. Untuk basis-n kita menggunakan indeks n atau tanda lain yang disepakati. Sebagai contoh bilangan basis-2 akan ditulis dalam bentuk 2 untuk mencegah terjadinya salah pengertian dengan bilangan 8, 0, atau 6 dan seterusnya. Kadang-kadang indeks tersebut tidak dicantumkan jika basis bilangan tersebut sudah jelas. Misalkan secara khusus sedang membahas bilangan basis-8, maka bilanga-bilangan dalam pembahasan tersebut tidak disertai indeks. Sering pula dalam konvensi tersebut dijumpai bahwa suatu bilangan yang tidak disertai indeks berarti bilangan

15 tersebut dinyatakan dalam desimal atau basis-0. Selanjutnya dikenal beberapa cara menyatakan suatu bilangan dalam basis-6 atau heksa-desimal. Cara menyatakan basisnya adalah dengan menyertakan indeks 6, atau di belakang bilangan diikuti dengan huruf h, atau sebelum atau sesudah bilangan itu dicantumkan huruf H atau tanda # atau tanda $. Contoh 96 6 = 96h = H96 = #96 = $96 = 96H.. Basis-0 (desinal) Dalam sistem desimal (basis-0) memupnyai simbol angka (numerik) sebanyak 0 buah simbol, yaitu 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Nilai suatu bilangan dalam basis-0 dapat dinyatakan sebagai (N x 0 a ) dengan N = 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan a =, -3, -2, -, 0,, 2, 3, (bilangan bulat yang menyatakan posisi relatif N terhadap koma atau satuan). Contoh : = 3 x x x 0 0 0,6 0 = 0 x x x 0-2 = 6 x x ,08 0 = 9 x x x x x Basis-2 (biner) Dalam sistem biner (basis-2) memupnyai simbol angka (numerik) sebanyak 2 buah simbol, yaitu 0, dan. Nilai suatu bilangan basis-2 dalam basis-0 dapat dinyatakan sebagai (N x 2 a ) dengan N = 0 atau ; dan a =, -3, -2, -, 0,, 2, 3, (bilangan bulat dalam desimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap koma atau satuan). Contoh : 0 2 = x x x 2 0 = = ,0 = 0 x x x x 2-3 = 0 + 0, ,25 = 0,625 0

16 ,0 = x 2 + x x 2-2 = ,25 = 3, Basis-8 (oktal) Dalam sistem oktal (basis-8) memupnyai simbol angka (numerik) sebanyak 8 buah simbol, yaitu 0,, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Nilai suatu bilangan basis-8 dalam basis-0 dapat dinyatakan sebagai (N x 8 a ) dengan N = 0,, 2, 3, 4, 5, 6, atau 7; dan a =, -3, -2, -, 0,, 2, 3, (bilangan bulat dalam desimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap koma atau satuan). Contoh : 647,35 8 = 6 x x x x x 8-2 = , ,07825 = 423, Basis-6 (heksa-desimal) Dalam sistem heksa-desimal (basis-6) memupnyai simbol angka (numerik) sebanyak 6 buah simbol. Karena angka yang telah dikenal ada 0 maka perlu diciptakan 6 simbol angka lagi yaitu A, B, C, D, E, dan F dengan nilai A 6 = 0 0 ; B 6 = 0, C 6 = 2 0, D 6 = 3 0, E 6 = 4 0, dan F 6 = 5 0. Dengan demikian simbol angka-angka untuk sistem heksa-desimal adalah 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F. Nilai suatu bilangan basis-6 dalam basis-0 dapat dinyatakan sebagai (N x 6 a ) dengan N = 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2, 3, 4, atau 5; dan a =, -3, -2, -, 0,, 2, 3, (bilangan bulat dalam desimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap koma atau satuan). Contoh : 584AED 6 = 5 x x x x x 6 0 = =

17 E,A 6 = 4 x x x 6-2 = 4 + 0, , = 4, Konversi (Pengubahan) Bilangan Ada kalanya kita perlu menyatakan suatu bilangan dalam basis yang berbeda atau mengubah (mengkonversi) suatu bilangan dari satu basis ke basis yang lain. Misalkan, konversi bilangan dari basis-n ke basis-0, konversi bilangan dari basis-0 ke basis-n, atau konversi bilangan dari basis-n ke basism. Untuk konversi bilangan dari basis-n ke basis-0 telah dikemukakan ketika menyatakan nilai suatu bilangan dari basis-n ke dalam basis-0. Konversi bilangan dari basis-0 ke basis-n Setidaknya ada dua cara untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan dalam basis selain 0. Cara pertama, biasanya untuk bilangan yang kecil, adalah kebalikan dari proses konversi bilangan dari basis-n (selain 0) ke basis-0 (desimal). Bilangan desimal itu dinyatakan sebagai jumlah dari sukusuku yang setiap suku merupakan hasil kali suatu angka (N) dan bilangan n pangkat bulat, kemudian angka-angka tersebut dituliskan dalam posisi yang sesuai. Secara umum dapat dituliskan sebagai (Bilangan) 0 = (N x n a ). dengan N menyatakan simbol angka yang diijinkan dalam basis-n, n menyatakan basis bilangan yang dituju, a merupakan bilangan bulat dalam basis-0 yang menyatakan posisi relatif N terhadap koma atau satuan, dan semua posisi yang tercakup harus diperhitungkan. Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa ilustrasi berikut : (). Ubahlah bilangan 98 0 ke dalam basis-2 yang setara!

18 98 0 = (N x n a ) = (N x 2 a ) = N x 64 + N x 32 + N x 2 = x x x 2 (semua posisi belum diperhitungkan) = x x x x x x x 2 0 = = Perhatikan bahwa 0 ditempatkan dalam posisi 2 4, 2 3, 2 2, dan 2 0 semua posisi harus diperhitungkan. karena (2). Ubahlah bilangan ke dalam basis-8 yang setara! = (N x n a ) = (N x 8 a ) = N x 52 + N x 64 + N x 8 = 2 x x x 8 (semua posisi belum diperhitungkan) = 2 x x x x 8 0 = = Perhatikan bahwa 0 ditempatkan pada posisi 8 0 harus diperhitungkan. karena semua posisi (3). Ubahlah bilangan ke dalam heksa-desimal yang setara! = (N x n a ) = (N x 6 a ) = N x N x N x 6 + N x 6 0 = 4 x A x x x 6 0 (semua posisi telah diperhitungkan) = 4 A 3 E = 4A3E 6.

19 Cara ke dua dikenal sebagai pembagian berulang. Cara ini sangat baik untuk bilangan desimal yang kecil maupun yang besar. Cara konversinya adalah membagi bilangan desimal dan hasil baginya secara berulang dengan basis tujuan kemudian menuliskan sisanya hingga diperoleh hasil bagi 0. Hasil konversinya adalah menuliskan sisa pertama pada posisi yang paling kecil dan sisa terakhir pada posisi yang paling besar. Untuk lebih jelasnya berhatikan beberapa ilustrasi berikut : (). Ubahlah bilangan 98 0 ke dalam basis-2 yang setara! 98 = 49, sisa = 24, sisa 2 24 = 2, sisa = 6, sisa = 3, sisa 0 =, sisa = 0, sisa Sisa dituliskan dari bawah : Jadi 98 0 =

20 (2). Ubahlah bilangan ke dalam basis-8 yang setara! 368 = 7, sisa = 2, sisa = 2, sisa = 0, sisa 2 Sisa dituliskan dari bawah : Jadi = (3). Ubahlah bilangan ke dalam heksa-desimal yang setara! 9006 = 87, sisa 4 (= E) 6 87 = 74, sisa = 4, sisa 0 (= A) = 0, sisa 4 Sisa dituliskan dari bawah : 4 A 3 E Jadi = 4A3E 6. Untuk mengubah bilangan desimal tidak bulat (pecahan) dilakukan dengan dua tahap. Tahap pertama mengubah bagian bulat (di sebelah kiri tanda koma)

21 dengan cara seperti yang telah dijelaskan di atas. Tahap ke dua mengubah bagian pecahannya (di sebelah kanan tanda koma) dengan cara bahwa bilangan pecahan dikalikan berulang-ulang dengan basis tujuan sampai hasil perkalian terakhir sama dengan 0 setelah angka di sebelah kiri tanda koma dari hasil kali setiap perkalian diambil. Selanjutnya angka-angka di sebelah kiri koma yang diambil tadi dituliskan secara berderet dari kiri ke kanan. Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi pada konversi bilangan 98,375 0 menjadi basis-2 yang setara! Tahap pertama mengubah bilangan bulat 98 0 ke dalam basis-2 yang hasilnya adalah Tahap ke dua mengubah bilangan pecahan 0,375 0 ke dalam basis-2 sebagai berikut : 0,375 x 2 = 0,75 dan angka di sebelah kiri koma adalah 0 0,75 x 2 =,5 dan angka di sebelah kiri koma adalah 0,5 x 2 =,0 dan angka di sebelah kiri koma adalah. Hasil pengambilan angka di sebelah kiri koma adalah : 0,0. Selanjutnya hasil konversi kedua tahap tersebut digabungan sesuai dengan posisinya. Hasil gabungannya adalah 0000,0. Dengan demikian 98,375 0 = 0000,0 2. Contoh berikutnya adalah mengubah bilangan 368,25 0 ke dalam basis-8 yang setara. Tahap pertama adalah mengubah bagian bulatnya (di sebelah kiri koma) yaitu ke dalam basis-8 yang hasilnya telah diperoleh sebesar Tahap ke dua adalah mengubah bagian pecahannya (di sebelah kanan koma) yaitu 0,25 0 ke dalam basis-8 dengan cara sebagai berikut : 0,25 x 8 = 2,0 dan bilangan di sebelah kiri koma adalah 2. Setelah 2 diambil maka sisanya adalah 0 dan proses perkalian berakhir. Hasil pengambilan angka di sebelah kiri koma adalah : 0,2. Selanjutnya hasil konversi kedua tahap tersebut digabungan sesuai dengan posisinya. Hasil gabungannya adalah 2530,2. Dengan demikian 368,25 0 = 2530,2 8. Perlu

22 dicatat bahwa tidak semua pecahan mudah dikonversi. Ada kalanya hasil konversi bilangan pecahan tersebut sangat panjang atau bahkan tidak pernah dihasilkan bilangan yang tepat. Sebagaimana pecahan 2/3 yang dikonversikan ke dalam bentuk desimal menghasilkan 0, di mana angka 6 tidak akan pernah berakhir. Misalnya bilangan 34,275 0 diubah ke dalam bilangan basis-8 yang setara. Bagian bulatnya menghasilkan 4 x x 8 0 atau Sedangkan bagian pecahannya dikonversi dengan cara berikut : 0,275 x 8 = 2,2 dan angka di sebelah kiri koma adalah 2 0,2 x 8 =,6 dan angka di sebelah kiri koma adalah 0,6 x 8 = 4,8 dan angka di sebelah kiri koma adalah 4 0,8 x 8 = 6,4 dan angka di sebelah kiri koma adalah 6 0,4 x 8 = 3,2 dan angka di sebelah kiri koma adalah 3 0,2 x 8 =,6 dan angka di sebelah kiri koma adalah dan seterusnya. Jadi 34,275 0 = 42, di mana angka 463 tidak akan pernah berakhir. Konversi bilangan dari basis-n ke basis-m (keduanya bukan basis-0) Untuk mengkonversi suatu bilangan basis-n (bukan basis-0) menjadi bilangan basis-m (bukan basis-0) dengan n m diperlukan konversi ke basis- 0 sebagai perantara. Karena kita telah akrap dengan bilangan basis-0. Dengan demikian perlu dua tahap konversi. Tahap pertama mengkonversi bilangan dari basis-n ke basis-0, dan tahap ke dua mengkonversi bilangan hasil tahap pertama (dalam basis-0) menjadi basis-m. Sebagai contoh ubahlah bilangan menjadi bilangan yang setara dalam basis-5! Tahap : = 2 x x x 8 0 = = Tahap 2 : 59 0 = x x x x 5 0 = 4 5. Jadi = 4 5.

23 Contoh lain adalah mengubah bilangan 52DA 6 ke dalam basis-2 yang setara. Tahap : 52DA 6 = 5 x x x x 6 0 = Tahap 2 : = x x x x x 2 0 = Jadi 52DA 6 = Ada kalanya pengubahan suatu bilangan dari basis-n ke basis-m tidak perlu melalui kedua tahap sebagaimana telah dijelaskan di atas. Jika ingin mengubah suatu bilangan dalam basis-2 (biner) menjadi bilangan setara dalam basis-8 (oktal) atau basis-6 (heksadesimal) dan sebaliknya, maka digunakan metode pengelompokan bit. Setiap digit bilangan oktal terdiri dari 3 bit biner, dan setiap digit bilangan heksadesimal terdiri dari 4 bit biner. Pengelompokan dimulai dari bagian LSB (Least Significant Bit) menjadi kelompok-kelompok digit bilangan oktal (3 bit) atau heksadesimal (4 bit), kemudian setiap kelompok dikonversi menjadi digit bilangan yang bersangkutan. Jika sisa bit hasil pengelompokan pada MSB (Most Significant Bit) tidak terdiri dari 3 bit atau 4 bit, maka dapat ditambahkan angka 0 (nol) secukupnya. Contoh : Ubahlah bilangan biner menjadi heksadesimal! Karena basis tujuannya adalah heksadesimal, maka pengelompokannya dalam 4 bit seperti berikut : (tambah 0 pada MSB) (digit heksadesimal) C B 0 9 Jadi : = CB09 6

24 6. Operasi Bilangan Dalam sistem desimal telah dikenal dengan baik mengenai operasi-dasar bilangan, yakni penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Operasioperasi bilangan tersebut juga dapat dikenakan pada sistem bilangan yang lain seperti dalam sistem-sistem bilangan biner, basis-5, oktal, heksa-desimal, dan seterusnya. Tetapi pembahasan operasi bilangan kali ini lebih banyak pada sistem biner, sedangkan untuk sistem bilangan yang lain akan dikemukakan contoh hanya apabila dipandang perlu. Prinsip-prinsip penggunaan operasi bilangan itu sama dengan yang diterapkan pada sistem desimal. Oleh karena belum akrab dengan sistem bilangan selain desimal, maka untuk memudahkan pelaksanaan operasi hitung perlu pertolongan tabel operasi. Untuk sistem biner perhatikan tabel operasi berikut Tabel : Penjumlah Biner Tabel : Perkalian Biner x Sebagaimana pada sistem desimal, bilangan biner dapat dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dan dibagi. Dimulai dari operasi penjumlahan pada bilangan biner. Penjumlahan antara dua bilangan biner dikerjakan dengan cara yang sama seperti pada penjumlahan bilangan desimal, bahkan penjumlahan pada bilangan biner lebih sederhana, persoalannya adalah orang tidak terbiasa dengan sistem biner. Berdasarkan pada tabel penjumlahan untuk bilangan biner hanya ada 4 (empat) hal yang dapat terjadi, yakni : ) = 0 2) 0 + = + 0 = 3) + = 0 = 0 + simpanan (carry) untuk posisi berikutnya, dan 4) + + = = + simpanan (carry) untuk posisi berikutnya.

25 Hal yang ke empat terjadi dua bit pada posisi tertentu adalah dan ada simpanan dari posisi sebelumnya. Berikut beberapa contoh penjumlahan dua bilangan biner : 0 0 0, 0 0 0, , 0 0 Di dalam mesin digital penjumlahan antara lebih dari dua bilangan biner pada saat yang sama tidak terjadi, karena rangkaian digital yang melaksanakan penjumlahan hanya dapat menangani dua bilangan pada saat yang bersamaan. Jika lebih dari dua bilangan yang ditambahkan, maka bilangan pertama dan ke dua dijumlahkan lebih dahulu dan hasil penjumlahan itu baru ditambahkan pada bilangan ke tiga, dan seterusnya. Penjumlahan biner merupakan operasi aritmatik yang paling penting di dalam sistem digital, karena operasi-operasi pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat dikerjakan hanya dengan prinsip penjumlahan. Misalnya pengurangan dapat dibentuk dari penjumlahan dengan bilangan negatif. Perkalian tidak lain merupakan penjumlahan yang berulang. Sedangkan pembagian adalah pengurangan yang berulang. Selanjutnya dikemukakan dahulu contoh operasi lain bilangan biner dengan cara aljabar biasa. Pengurangan : 0 pinjaman (borrow) 0 bilangan yang dikurangi 0 0 bilangan pengurang hasil operasi pengurangan.

26 Perkalian : 0 bilangan yang dikalikan 0 bilangan pengali x hasil operasi perkalian. Pembagian : 0 (hasil bagi) (pembagi) 0 0 (bilangan yang dibagi) 0 _ 0 _ 0 0 _ 0 Untuk pembanding, berikutnya dikemukakan operasi bilangan basis-5 dengan pertolongan tabel operasi berikut : Tabel Penjumlahan Basis

27 Tabel Perkalian Basis-5 x Penjumlahan : simpanan (carry) bilangan pertama bilangan ke dua hasil penjumlahan. Pengurangan 0 0 pinjaman (borrow) bilangan yang dikurangi bilangan pengurang hasil pengurangan. Perkalian : bilangan yang dikalikan bilangan pengali x hasil perkalian.

28 Pembagian : (hasil bagi) (pembagi) (yang dibagi) 4 _ _ _ 0 Operasi bilangan pada basis yang lain prinsipnya sama. Untuk basis lebih dari 0 kemungkinan terasa sulit oleh karena belum terbiasa saja. Sebagaimana telah diketahu bahwa mesin digital, seperti komputer dan kalkulator, hanya dapat mengolah data yang sifatnya biner. Lagi pula, mesin digital tersebut hanya mengenal operasi penjumlahan dan tidak mengenal operasi pengurangan. Sedangkan mesin digital mengolah bilangan negatif sama baiknya dengan mengolah bilangan positif. Oleh karena itu, operasi pengurangan harus bisa disajikan dalam bentuk operasi penjumlahan. Selain itu, untuk keperluan penyimpanan dan pembacaan bilangan diperlukan kejelasan tentang tanda dari suatu bilangan merupakan bilangan positif atau negatif. Seperti yang telah dikenal, bilangan positif diberi tanda + atau tanpa tanda di depan bilangan yang bersangkutan, sedangkan bilangan negatif dengan tanda -. Untuk ini diperlukan tanda bilangan. Hal ini biasanya dikerjakan dengan menambahkan bit lain kedalam suatu bilangan. Bit tambahan itu disebut sebagai bit-tanda (sign bit). Dalam sistem biner tanda + dan - digantikan dengan 0 dan. Pada umumnya bit tanda itu berupa 0 untuk menyatakan suatu bilangan positif, dan untuk bilangan negatif. Sebagai contoh :

29 + 0 atau 0 dituliskan sebagai dituliskan sebagai 0. Untuk menyatakan bilangan negatif dalam mesin digital dapat digunakan beberapa metode. Dua metode yang paling dikenal adalah metode komplemen dan metode komplemen 2. Bentuk komplemen dari suatu bilangan biner diperoleh secara sederhana dengan mengubah setiap 0 dalam bilangan itu menjadi dan setiap di dalam bilangan itu menjadi 0. Dengan kata lain mengubah setiap bit menjadi komplemennya. Sebagai contoh komplemen dari biner 00 adalah 0000, dan komplemen dari bilangan 000 adalah 000. Ketika bilangan negatif disajikan dalam bentuk komplemen, maka bit tandanya adalah dan besar bilangannya dikonversi menjadi bentuk komplemen. Misalnya bilangan dapat disajikan menjadi biner negatif sebagai : = 00 (besar bilangan dalam biner) = 0000 (bentuk komplemen ). Perhatikan bahwa bit tanda tidak ikut dikomplemenkan tetapi dipertahankan sebagai untuk menunjukkan bahwa bilangan itu negatif. Contoh lain bilangan negatif yang disajikan dalam bentuk komplemen adalah : -4 0 = = = 000. Agar lebih memahami metode komplemen ini akan dilakukan operasi pengurangan pada bilangan biner 0 0. Pada operasi tersebut dapat ditambahkan asalkan diingat bahwa hasilnya nanti kelebihan. Kelebihan itu harus dihilangkan agar diperoleh hasil yang sebenarnya. Selanjutnya perhatikan :

30 0 + ( 0) = = 000. Bilangan 000 pada operasi itu merupakan komplemen dari bilangan -0. Kelebihan dihilangkan dengan cara menambahkan EAC (End Around Carry = simpanan memutar) kepada LSD (Least Significant Digit = digit bobot terkecil). Dengan demikian hasil yang sebenarnya adalah : (EAC) = 000. Bila operasi dilakukan dengan bit tanda, maka yang diubah ke dalam bentuk komplemen adalah bagian besar bilangan saja (tidak termasuk bit tanda). Untuk contoh di atas adalah 0 0 (bilangan positif yang dikurangi) 000 (komplemen dari 0 yang negatif) (EAC) (hasil operasi adalah karena bit tanda 0). Contoh tersebut merupakan salah satu kemungkinan dari pengurangan A B = C dengan A, B > 0 dan A > B, sehingga C > 0 (positif). Kemungkinan lain adalah A, B > 0 dan A < B, sehingga C < 0 (negatif). Perhatikan contoh berikut 00 0 = (yang dikurangi) 000 (komplemen dari pengurang) (EAC) + 00 (bukan hasil, karena masih negatif, bit tanda ).

31 Bila hasilnya negatif, maka hasil tersebut belum hasil yang sebenarnya. Hasil yang sesungguhnya adalah komplemen dari besar bilangan hasil tersebut. Jadi, hasil yang sesungguhnya adalah 00 = Kemungkinan berikutnya adalah A < 0 dan B > 0, sehingga C < 0. Dalam hal ini harus diperhatikan bahwa banyaknya digit hasil operasi tidak boleh melebihi digit soal. Sehingga demi amannya harus ditambahkan satu digit yakni 0 sebagai MSD (Most Significant Digit = digit paling berbobot). Tambahan digit ini tidak akan mengubah besar bilangan yang bersangkutan. Sebagai contoh akan dicoba operasi pada -0-0 sebagai berikut : Demi amannya soal diubah menjadi Dengan bit tanda soal menjadi (komplemen dari yang dikurangi) 000 (komplemen dari pengurang) (EAC) + 00 (hasilnya negatif, belum hasil yang sebenarnya) Hasil yang sebenarnya adalah komplemen dari bilangan 00 yaitu 000 (ingat bit tanda tidak turut dikomplemenkan) atau Selanjutnya metode komplemen 2. Bentuk komplemen 2 dari suatu bilangan biner ditentukan dengan cara mengambil komplemen dari bilangan itu kemudian menambahkan pada posisi LSB (Least Significant Bit = bit paling tidak berbobot). Sebagai ilustrasi akan diubah bilangan biner 00 (=57 0 ) ke dalam bentuk komplemen 2 nya.

32 0 0 (bilangan awal) (bentuk komplemen ) (menambahkan pada LSB) Jadi, yang disajikan dalam bentuk komplemen 2 dituliskan sebagai 000. Ingat bahwa bit paling kiri merupakan bit tanda dan 6 bit yang lain merupakan bentuk komplemen 2 dari besar bilangan awalnya. Operasi pengurangan dengan metode komplemen 2 juga memiliki tiga kemungkinan yaitu A B = C dengan C > 0, A B = C dengan A < B, dan A B = C dengan A < 0, B > 0. Untuk setiap kemungkinan tersebut, perhatikan contoh-contoh berikut! ) 0 00 = (bilangan positif yang dikurangi) 0 (komplemen 2 dari pengurangnya) (EAC, bit tanda 0, dan hasil sesungguhnya). Hasil yang sebenarnya diperoleh dengan menghilangkan EACnya. Jadi hasil yang sebenarnya adalah 0 00 atau +00 atau 00. 2) = (bilangan positif yang dikurangi) 00 (komplemen 2 dari pengurangnya) (EAC, bit tanda, dan hasil belum sesungguhnya).

33 Karena hasil masih negatif, maka hasil yang sebenarnya adalah komplemen 2 dari 00 yaitu 000. Jadi hasil pengurangannya adalah 000 atau ) = (komplemen 2 dari yang dikurangi) 000 (komplemen 2 dari pengurangnya) (EAC, bit tanda, dan hasil belum sesungguhnya). Karena hasilnya negatif (dengan bit tanda ), maka setelah menghilangkan EAC, kemudian mengambil komplemen 2 dari dan akan diperoleh 000. Jadi hasil sebenarnya dari pengurangan tersebut adalah 000 atau Di antara kedua metode yang dikemukakan di atas, maka metode komplemen 2 paling banyak digunakan. Karena dengan metode komplemen 2 memungkinkan untuk membentuk operasi pengurangan hanya penggunakan operasi penjumlahan yang sesungguhnya. Ini berarti bahwa mesin digital dapat menggunakan rangkaian yang sama untuk melaksanakan kedua operasi tersebut. Dengan demikian mendapat penghematan dalam perangkat kerasnya. Pengubahan dari bentuk komplemen ke nilai biner yang sesungguhnya sangat sederhana. Dari bentuk komplemen ke nilai biner yang sesungguhnya ditempuh dengan cara meng-komplemen-kan setiap bit lagi. Sedangkan dari bentuk komplemen 2 ke nilai biner yang sesungguhnya dilakukan dengan mengkomplemen-kan setiap bit dan kemudian menambahkan pada LSB. Dalam dua hal itu, pengubahan kembali ke bentuk biner yang sesungguhnya ditempuh melalui proses yang sama yang telah ditempuh untuk menghasilkan bentuk komplemennya.

34 7. Soal-soal. Berapakah banyaknya bit (dalam sistem biner) yang diperlukan untuk memilahkan di antara 99 keadaan yang berbeda? 2. Ubahlah bilangan biner berikut ke dalam desimal : a. 0 b c. 0,0 d. 0,00000 e. 000,00 3. Ubahlah bilangan desimal berikut ke dalam biner : a. 25 b c. 0,635 d. 48,65 e. 237, Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam desimal : a. 0 2 b c d e. 4D2E 6 5. Ubahlah bilangan biner berikut masing-masing ke dalam bilangan oktal dan heksadesimal : a. 0 b. 0 c

35 d e Kerjakanlah pengurangan bilangan biner berikut masing-masing dengan metode komplemen dan komplemen 2 : a b c d e. 0 ( 000 ) 7. Kerjakanlah penjumlahan bilangan berikut sesuai dengan basisnya : a. 0, ,0 2 b. 23, ,003 4 c d. A87B B4 2 e. 58DF7 6 + AE5C Kerjakanlah pengurangan bilangan berikut sesuai dengan basisnya : a. 0,0 2-0,0 2 b. 323,2 4-32,003 4 c d. A87B 2-79B4 2 e. 58DF7 6-2E5C Kerjakanlah perkalian bilangan berikut sesuai dengan basisnya : a. 0 x 0 b x 32 4 c x d. A87B 2 x A4 2 e. 58DF7 6 x C07 6

36 0. Kerjakanlah pembagian bilangan berikut sesuai dengan basisnya : a : 0 2 b : 32 4 c : 54 8 d. A7B8 2 : 4 2 e. 98DF 6 : 5 6

37 BAB III SISTEM SANDI (KODE) Pada mesin digital, baik instruksi (perintah) maupun informasi (data) diolah dalam bentuk biner. Karena mesin digital hanya dapat memahami data dalam bentuk biner. Kita sering menggunakan mesin-mesin digital seperti jam digital, multimeter digital, termometer digital, kalkulator, komputer, dan sebagainya. Tampilan yang langsung dapat dilihat berupa angka desimal atau kumpulan huruf latin yang dikenal dalam keseharian, padahal proses yang terjadi di dalam mesin-mesin tersebut berbentuk biner. Sedangkan instruksi maupun informasi dalam bentuk biner tidak disukai karena di luar kebiasaan sehingga terasa rumit dan kurang praktis. Kita telah terbiasa dengan huruf latin dari A sampai Z dan angka-angka dari 0,, 2,, sampai 9. Sehingga apabila disajikan bilangan atau kata dalam bentuk biner tidak segera dapat diketahui maknanya. Misalnya pada sederet bit biner 0000, kita tidak segera tahu bahwa deretan bit itu menyatakan bilangan atau huruf. Jika bilangan, deretan bit tersebut dapat menunjukkan bilangan 7 6 atau bahkan Agar deretan bit 0000 dapat tampil sebagai bilangan 7 6 atau 23 0 diperlukan teknik atau rangkaian tertentu. Sebaliknya, agar 7 6 atau 23 0 dapat dikenali oleh suatu mesin digital sebagai 0000 juga diperlukan tehkik atau rangkaian tertentu. Dalam pemakaian kalkulator, bilangan yang dimasukkan melalui tombol kunci (tuts) perlu diubah dari bentuk desimal menjadi biner. Sebaliknya bilangan yang muncul pada tampilan kalkulator mengalami proses pengubahan dari bentuk biner ke dalam format 7-segmen yang umumnya berbentuk desimal. Perhatikan ilustrasi pengubahan tampilan kalkulator pada Gambar 3.. Kita akan memasukkan bilangan desimal 5 dengan cara menekan tombol kunci 5. Rangkaian enkoder (penyandi) mengubah desimal 5 menjadi biner 00. Unit pengolah pada kalkulator (CPU : Central Processing Unit) menerima bilangan itu dalam bentuk biner 00 karena CPU hanya dapat mengolah data dalam bentuk biner. Selanjutnya rangkaian dekoder (pembaca sandi) mengubah bilangan biner 00 kembali menjadi bentuk desimal 5. Akhirnya yang muncul

38 dalam tampilan adalah desimal 5 seperti semula. Dari ilustrasi tersebut memperlihatkan terjadinya proses pengubahan dari satu jenis sandi (kode) dari satu sistem bilangan menjadi jenis sandi dari sistem bilangan yang lain. Awalnya dari sandi desimal menjadi biner, dan akhirnya dari sandi biner menjadi sandi desimal. Suatu rangkaian pengubah pesan bermakna (misal desimal) menjadi sandi tertentu (misal biner) disebut enkoder (penyandi). Sedangkan, sebaliknya, rangkaian pengubah sandi tertentu kembali menjadi pesan yang bermakna disebut dekoder (pembaca sandi) Enkoder CPU Dekoder 0 + = Gambar 3. : Aliran pengubahan tampilan kalkulator.. Sandi BCD (Biner Coded Decimal) Kita telah terbiasa dan akrap dengan sistem bilangan desimal dan karenanya sistem ini dianggap sebagai sandi yang paling bermakna. Dalam mesin digital biasa menampilkan bilangan dalam bentuk desimal. Sedangkan proses komputasi dalam mesin digital dalam bentuk biner. Jika hasil komputasi tetap ditampilkan dalam bentuk biner, kita mengalami hambatan atau bahkan sulit memahaminya, karena kita tidak biasa dengan bilangan yang tampil dalam bentuk biner. Jadi tampilan desimal lebih mudah difahami dari pada tampilan biner. Oleh karena itu diperlukan suatu cara penyandian dari biner ke desimal dan sebaliknya. Sebagai contoh bilangan desimal 25 dan 43 masing-masing disandikan dalam biner sebagai berikut : 25 0 = = Kita lihat bahwa sembarang bilangan desimal dapat disajikan dalam bentuk biner yang setara. Sekelompok 0 dan dalam bentuk biner dapat dipikirkan

39 sebagai penggambaran sandi suatu bilangan desimal. Dua contoh di atas memperlihatkan bahwa setiap angka biner mempunyai nilai sesuai dengan posisinya (satuan, duaan, empatan, dan seterusnya). Dalam contoh di atas semua digit bilangan desimal disandikan langsung, atau sebaliknya semua pernyataan biner menyandikan suatu bilangan desimal, jadi bukan digit per digit yang disandikan. Dalam sandi jenis lain bilangan-bilangan 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 disandikan sendiri-sendiri. Dengan demikian untuk menyatakan bilangan desimal lebih dari satu digit, maka setiap digitnya disandikan sendiri. Salah satu sistem sandi yang cukup terkenal adalah BCD atau desimal yang disandikan biner. Karena digit desimal yang terbesar 9, maka diperlukan 4 bit biner untuk menyandi setiap digit. Susunan 4 bit biner tersebut menghasilkan 6 kombinasi yang berbeda, tetapi hanya diperlukan 0 kombinasi di antaranya. Untuk menyatakan bilangan desimal N digit diperlukan N x 4 bit biner. Untuk bilangan bulat, kelompok 4 bit yang pertama (paling kanan) menyatakan satuan, kelompok 4 bit ke dua adalah puluhan, kelompok 4 bit ke tiga merupakan ratusan, dan seterusnya. Sebagai contoh bilangan desimal 468 (terdiri dari 3 digit) memerlukan 3 kelompok masing-masing 4 bit seperti tampak pada Tabel 3. berikut. Tabel 3. : Desimal 468 disajikan dengan BCD Desimal BCD Bobot Ratusan Puluhan Satuan Setiap digit desimal diubah secara langsung menjadi biner yang setara. Perlu dicatat bahwa 4 bit biner selalu digunakan untuk setiap digit. Dengan demikian sandi 4 bit biner yang digunakan adalah dari 0000, 000, 000, 00,, hingga 00. Dalam BCD tidak digunakan sandi-sandi 00, 0, 00, 0, 0, dan. Jika sembarang bilangan 4 bit yang terlarang itu terjadi pada mesin

40 yang menggunakan sandi BCD, maka biasanya akan terjadi indikasi terjadinya kesalahan. Tampaknya penulisan dengan cara BCD ini merupakan pemborosan bit, karena 4 bit biner dapat untuk melambangkan 6 bilangan (pada BCD hanya 0). Tetapi keuntungannya kita tidak perlu menuliskan bilangan yang lebih besar dari 9 (dalam desimal tidak dikenal A, B,, F), sehingga BCD sangat cocok untuk memperagakan bilangan desimal, cukup dengan mengubah setiap karakter BCD menjadi bilangan desimal yang diinginkan. 2. Sandi Excess-3 (XS-3) Dikenal pula sandi jenis lain yang menarik dan kadang-kadang sangat bermanfaat. Misalnya sandi Excess-3 (XS-3). Jenis sandi XS-3 ini seperti BCD, terdiri dari kelompok 4 bit untuk melambangkan sebuah digit desimal. Sandi XS- 3 untuk bilangan desimal dibentuk dengan cara yang sama seperti BCD kecuali bahwa 3 ditambahkan pada setiap digit desimal sebelum penyandian ke binernya. Misalkan untuk menyandi bilangan desimal 5 dalam XS-3, pertama kali menambahkan 3 kepada 5 yang menghasilkan 8, kemudian 8 disandikan dalam biner 4 bit yang setara, yaitu = Sansi XS-3 hanya menggunakan 0 dari 6 kelompok sandi 4 bit yang mungkin. Kelompok biner 4 bit yang tidak valid (terlarang) pada sandi XS-3 adalah 0000, 000, 000, 0, 0, dan. 3. Sandi Gray Sandi Gray merupakan sistem sandi tak berbobot karena posisis bit dalam kelompok sandi tidak memiliki nilai bobot tertentu. Dengan demikian sandi Gray tidak cocok dalam operasi aritmatik, dan aplikasinya banyak dijumpai dalam piranti input/output dan ADC. Dalam sandi Gray, antar sandi yang berdekatan mengalami perubahan bit minimum, karena sifatnya yang hanya berubah satu bit dalam kelompok apabila berubah dari satu digit bilangan

41 ke digit bilangan berikutnya. Hal ini dapat mencegah terjadinya kesalahan dalam transisi perubahan apabila lebih dari satu bit mengalami perubahan yang kemungkinan besar perubahan itu terjadi tidak bersamaan (satu bit lebih dulu berubah dari yang lain). Misalnya perubahan dari desimal 7 (binernya 0) menjadi desimal 8 (binernya 000) yang seluruh bitnya mengalami perubahan yang kemungkinan dapat bertransisi dahulu ke biner (desimal 5). Kejadian tersebut sebenarnya hanya sementara tetapi dapat menimbulkan operasi yang dapat mengacau unsur-unsur yang dikendalikan bit tersebut. Aturan untuk mengubah biner ke sandi Gray adalah sebagai berikut : a. Bit pertama (paling kiri) sandi Gray sama dengan bit pertama dari bilangan biner. b. Bit ke dua sandi Gray sama dengan EX-OR dari bit pertama dan bit ke dua bilangan biner. (EX-OR : sama dengan bila kedua bit biner itu berbeda, dan 0 bila sama). c. Bit sandi Gray ke tiga sama dengan EX-OR bit ke dua dan bit ke tiga bilangan biner. d. Dan seterusnya, perhatikan Gambar 3.2 yang merupakan gerbang EX-OR untuk mengubah bit-bit bilangan biner ke dalam sandi Gray, kecuali bit pertama. Bilangan Biner Bit ke (n-) Bit ke n Sandi Gray, Kecuali bit pertama Bit ke n Gambar 3.2 : Pengubah bit-bit sandi biner ke dalam sandi Gray. Sebagai contoh mengubah bilangan biner 00 ke dalam sandi Gray (hasilnya 0) adalah sebagai berikut :

42 0 0 (sandi biner) 0 (sandi Gray) Bit pertama Selanjutnya untuk mengubah sandi Gray menjadi biner digunakan langkahlangkah (yang berlawanan dengan cara mengubah biner ke sandi Gray) sebagai berikut : a. Bit pertama biner sama dengan bit pertama sandi Gray. b. Bila bit sandi Gray ke dua 0 maka bit biner ke dua sama dengan yang pertama, dan bila bit sandi Gray ke dua maka bit biner ke dua adalah kebalikan dari bit biner pertama. c. Bila bit sandi Gray ke tiga 0 maka bit biner ke tiga sama dengan yang ke dua, dan bila bit sandi Gray ke tiga maka bit biner ke tiga adalah kebalikan dari bit biner ke dua. d. Demikian seterusnya. Sebagai contoh mengubah sandi Gray 0 ke dalam biner yang hasilnya adalah 00, seperti tampak pada ilustrasi berikut : beda 0 sama beda 0 (sandi Gray) 0 0 (sandi biner) Ternyata setiap bit biner (kecuali yang pertama) diperoleh dengan mencari EX- OR dari bit sandi Gray yang sesuai dan bit biner sebelumnya. Perhatikan Gambar 3.3 berikut!

43 Sandi Gray Bit ke n Sandi Gray Bit ke (n-) Sandi biner Sandi Biner, Kecuali bit pertama Bit ke n Gambar 3.3 : Pengubah bit-bit sandi Gray ke dalam sandi Biner. Contoh berikutnya mengubah sandi Gray 0 ke dalam biner yang hasilnya adalah (sandi Gray) 0 0 (sand I biner) 4. Sandi ASCII Jika diperhatikan tombol kunci (keyboard) pada komputer, sedikitnya terdapat 87 tombol kunci baik yang berupa huruf besar dan kecil, angka, tanda khusus, maupun tombol dengan fungsi khusus. Komputer harus mampu menangani informasi numerik maupun non numerik, sehingga komputer harus mampu menganalisis berbagai sandi yang mencakup angka, huruf, tanda, dan fungsi tertentu. Sandi-sandi ini dikelompokkan sebagai sandi alpanumerik (alphabed and numeric). Sejumlah tombol yang lengkap dan memadai yang diperlukan itu meliputi 26 tombol untuk huruf kecil, 26 tombol untuk huruf besar, 0 tombol untuk digit angka, dan sedikitnya 25 tombol untuk tanda maupun fungsi khusus seperti +, /, %, #, Esc, Insert, Page Up, dan seterusnya. Untuk menampilkan 87 karakter yang berbeda tersebut dengan sandi biner setidaknya diperlukan 7 bit. Dengan 7 bit tersebut akan diperoleh 2 7 = 28 sandi biner yang berbeda.

44 Sandi alpanumerik yang paling terkenal adalah sandi ASCII (American Standard Code for Information Interchange) yang digunakan oleh hampir seluruh komputer. Pada Tabel 3.2 berikut ini dikemukakan sandi ASCII. Tabel 3.2 : Sandi ASCII (7 bit) LSB MSB NUL DLE SP P p 000 SOH DC! A A q 000 STX DC 2 2 B R B r 00 ETX DC 3 # 3 C S C s 000 EOT DC 4 $ 4 D T D t 00 EN NAK % 5 E U E u 00 ACK SYN & 6 F V F v 0 BEL ETB 7 G W G w 000 BS CAN ( 8 H X H x 00 HT EM ) 9 I Y I y 00 LF SUB * : J Z J z 0 VT ESC + ; K [ K { 00 FF FS, < L \ L 0 CR GS - = M ] M } 0 SO RS. > N N SI US /? O O DEL Sandi ASCII selengkapnya dapat dilihat pada daftar di luar buku ini. Sebagai contoh, seorang operator komputer memasukkan suatu pernyataan dari papan kunci berupa tulisan STOP yang maksudnya memerintah komputer untuk menghentikan suatu program, maka sandi biner yang dikenali komputer adalah sebagai berikut :

45 S T O P 5. Bit Paritas Pemindahan data dari satu tempat ke tempat lain pada umumnya dalam bentuk biner. Misalnya pemindahan data dari komputer ke disket, pemindahan informasi melalui jalur telepon, pengambilan data dari memori komputer untuk ditempatkan pada unit aritmatik, dan sebagainya. Proses pemindahan data tersebut dapat mengalami kesalahan sekalipun pirantinya telah dirancang sedemikian canggih. Meskipun terjadinya kesalahan itu relatif kecil, tetapi dapat menghasilkan sesuatu yang tidak berguna dan bahkan sangat fatal. Sehingga diperlukan mekanisme pemeriksaan data untuk memperkecil kemungkinan terjadinya kesalahan data. Salah satu cara yang sangat terkenal untuk mendeteksi kesalahan adalah adalah metode paritas. Di dalam sekelompok data ditambahkan bit yang disebut bit paritas. Jadi bit paritas merupakan bit tambahan yang disertakan ke dalam sekelompok sandi yang sedang dipindahkan dari satu tempat ke tempat lain. Bit paritas dapat berupa 0 atau tergantung pada benyaknya angka yang dimuat di dalam kelompok sandi itu, sehingga dikenal paritas genap dan paritas ganjil. Pada metode paritas genap, nilai bit paritas dipilih sedemikian hingga banyaknya angka dalam suatu kelompok sandi (termasuk bit paritas) berjumlah genap. Sebagai contoh suatu kelompok sandi yang merupakan huruf C pada sandi ASCII. Kelompok sandi itu memiliki sebanyak 3 buah (ganjil, tidak termasuk bit paritas). Selanjutnya akan ditambahkan bit paritas untuk membuat banyaknya angka berjumlah genap (4 termasuk bit pritasnya). Kelompok sandi yang baru, termasuk bit paritas, kemudian menjadi Bit paritas yang ditambahkan Jika suatu kelompok sandi berisi dalam jumlah genap, maka bit paritas yang ditambahkan bernilai 0. Sebagai contoh, suatu kelompok sadi (sandi