BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Pendulum merupak an sistem fisis yan didalamnya terk andun ejala fisik a yan sanat menarik untuk dik aji. Fenomena erak osilasi dapat ditemuk an di banyak bidan fisik a, dintaranya erak elektron di dalam atom, perilaku arus dan teanan di dalam rank aian listrik dan orbit planet. Dari beberapa contoh erak osilasi tersebut, erak pendulum merupak an contoh palin sederhana. Pendulum merupak an sistem mek anik yan tersusun atas sebuah massa yan terik at oleh sebuah tali yan dapat berayun bebas sebaai respon terhadap aya rafitasi. Dalam k asus sederhana, erak an pendulum menabaik an kehadiran aya esek an dan diasumsik an bahwa sudut simpanan sanat kecil. Gerak an yan dihasilk an dari pendulum denan kondisi semacam ini berupa erak harmonik sederhana. Fitur utama dari erak ini dimiliki pula oleh banyak sistem yan bersolasi. Ak an tetapi, perlakuan level dasar biasanya tidak mempertimbank an perilaku pendulum sebenarnya (real pendulum). Sedank an pendulum yan sebenarnya, dia memiliki esek an denan medium saat berayun, penendalian sistem melalui drivin force dan dimunkink an untuk berayun denan sudut simpanan berapapun. Fitur inilah yan kemudian menantark an kepada perilaku chaotic. Denan mempertimbank an pentinnya penk ajian terhadap perilaku chaotic pendulum tersebut, mak a penelitian ini ak an diarahk an pada penk ajian terhadap erak pendulum yan meliputi efek esek an dan kendali (drivin) pada erak an. Sebaai ambaran adanya 1

2 perbedaan yan sinifik an antara keadaan ideal dan keadaan riil pada erak pendulum, mak a peneliti jua ak an menyajik an erak pendulum denan tanpa penaruh dari luar. Melalui penelitian ini fenomena fisis yan terjadi pada sistem pendulum ak an dapat dijelask an denan amblan. Sebaai ambaran sink at, ditinjau sebuah pendulum yan diik at oleh sebuah tali yan telah diik at pada sebuah lanit-lanit. Lihat ambar 1. θ Gambar 1. Pendulum terikat di ujun kayu tak bermassa Jik a pendulum diayun denan sudut simpanan kecil kira-kira < 1 radian, mak a erak an yan dihasilk an mendek ati erak harmonik sederhana. Secara matematis, erak pendulum dapat dinyatak an oleh unk apan F θ m sin ( θ ) denan m adalah massa pendulum, adalah percepatan oleh adanya rafitasi dan θ adalah simpanan pendulum (Fowles, 1986). Hukum Newton kedua menyatak an bahwa aya merupak an (1)

3 perk alian antara massa benda denan percepatan partikel yan bererak sepanjan lintasan berbentuk circular. Jik a dinyatak an secara matematis aya tersebut berbentuk F θ d s m Perpindahan pendulum sepanjan lintasan adalah s lθ (), dimana l adalah panjan tali. Apabila sudut simpanan θ dianap kecil, mak a ( θ ) θ sehina diperoleh unk apan baru berwujud sin (3) d θ θ l (4) Persamaan ini mudah diselesaik an secara analitik berbentuk ( Ω φ ) θ θ 0 sin t + (5) denan Ω / l, θ dan φ konstanta yan haranya berantun pada simpanan dan kecepatan awal pendulum. Kita dapat lihat bahwa erak pendulum ini benar-benar sederhana. Gerak osilasi yan terjadi berupa sinusoidal terhadap waktu dan terus menerus sepanjan masa tanpa ada pelemahan. Hal ini tentunya menyalahi keadaan riil yan ada, dimana ada esek an antara pendulum denan medium hina osilasi ak an berhenti pada suatu saat tertentu. Disampin itu, denan asumsi keadaan ideal osilasi memiliki kecepatan anuler ω yan merupak an funsi panjan tali, tetapi tak ayut tak ayut terhadap massa pendulum. Artinya, erak osilasi ini menabaik an besar kecilnya massa pendulum. Tentu saja, hal ini menjadi tanda tanya besar kepada peneliti. Dari uraian di atas peneliti merencanak an riset menenai keadaan chaos yan terjadi pada erak pendulum denan mempertimbank an esek an yan terjadi baik yan tidak dikendalik an (undriven) maupun yan dikendalik an (driven). Apabila dalam keadaan 3

4 ideal sudut simpanan harus diambil sanat kecil kira-kira < 1 radian, mak a denan pendek atan riil sudut berapapun dapat diambil. Oleh sebab itu, penelitian ini sanat pentin untuk dilakuk an una menetahui perilaku erak pendulum yan sebenarnya. B. PERUMUSAN MASALAH Bersark an pada uraian pendahuluan di atas, mak a dapat dirumusk an beberapa permasalan, antara lain 1. Sampai saat ini, penk ajian teoritis terhadap erak pendulum masih pada tataran ideal sehina belum menyentuh pada keadaan riil erak pendulum tersebut.. Baaimana memecahk an permasalahan erak pendulum nonlinier teredam dan dikendalik an (fenomena chaos) melalui pendek atan komputasi numerik. C. TUJUAN PENELITIAN Berdasark an pada rumusan permasalahan di atas serta tinjauan pustak a yan dilakuk an oleh peneliti, mak a tujuan dari penelitian ini adalah Menyelesaik an permasalahan erak pendulum nonlinier teredam dan dikendalik an (fenomena chaos) yan mana secara analitik tidak dapat diselesaik an, sehina kehadiran komputasi numerik menjadi sanat pentin. 4

5 BAB TINJAUAN PUSTAKA 1. Pendulum Linier Teredam Di baian pendahuluan di atas, kita sudah sedikit menyinun tentan erak pendulum linier tak teredam. Pendek atan telah kita ambil untuk simpanan yan kecil, sehina unk apan sin ( θ ) θ. Dari unk apan persamaan diferensial yan ada diperoleh penyelesaian berbentuk rafik sinusoidal. Grafik sinusoidal yan diperoleh tidak pernah menalami peredaman atau denan k ata lain pendulum ak an berayun sepanjan masa. Hal ini tentunya menyalahi kenyataan yan ada. Lihat ambar. Penaruh kedua untuk menentuk an erak pendulum linier adalah efek redaman. Salah satu cara yan dapat diunak an untuk menambark an efek esek an ini adalah denan memandan sebuah tork a yan berbandin lurus denan kecepatan anuler pendulum. τ cω (6) f denan c adalah konstanta positip. Denan demikian total tork a yan bekerja pada pendulum adalah d θ τ τ f + τ I (7) Denan memberik an hara kepada simpanan awal θ 0, kecepatan anuler awal ω 0 dan c tertentu, mak a ak an dapat diperoleh rafik simpanan versus t dan kecepatan anuler versus t. Lihat ambar 3. 5

6 Gambar. Plot rafik untuk erak pendulum denan θ < < 1 radian Gambar 3. Plot rafik untuk erak pendulum denan < < 1 dan mempertimbankan aya esekan θ radian. Gerak Pendulum Terpaksa Teredam Apabila kita memandan sebuah jam dindin di rumah kita, dimana terdapat sebuah bandul yan menantun di baian bawah jam dan bererak terus menerus tanpa henti. Sementara itu, waktu yan dibutuhk an untuk berayun dari detik satu ke detik berikutnya adalah sama. Sebenarnya, sistem yan ada di dalam jam tersebut merupak an 6

7 contoh dari erak pendulum terpaksa teredam. Prinsip yan diterapk an dalam sistem ini berupa penenaan tork a yan bersifat periodik. Hal yan dapat dilakuk an adalah denan memberik an muatan kepada bandul tersebut dan menenak an medan listrik yan berosilasi. Ditinjau sebuah bandul yan membawa muatan listrik dikenai medan listrik horizontal denan amplitudo berosilasi denan frekuensi υ E. Akibatnya, ak an terjadi fluktuasi aya pada bandul. Jik a nilai aya maksimum ini adalah F E, mak a tork a yan dikerahk an pada bandul setiap saat adalah ( π υ ) l cos( θ ) τ F cos t E E E (8) Denan demikian, tork a total yan diakibatk an oleh erak pendulum terpaksa teredam adalah d θ τ τ f + τ + τ E I (9) Sebaai ambaran erak pendulum ini dapat dilihat pada ambar 4. Gambar 4. Plot rafik untuk erak pendulum terpaksa teredam denan θ < < 1 radian 7

8 3. Gerak Pendulum Non-Linier 3.1 Gerak Non-Linier Tak Dikendalikan Gerak pendulum yan sudah dibicarak an di atas masih denan asumsi bahwa ( θ ) θ sin yan memberik an hasil yan secara kualitatif benar. Tetapi, sek aran baaimana jik a sudut simpanan pada pendulum sembaran atau tidak dibatasi denan asumsi di atas. Oleh k arena sudut simpanan sembaran, mak a erak pendulum tidak linier lai. Denan k ata lain, erak yan ak an dihasilk an menjadi tidak harmonik lai. Beberapa k asus dalam daerah ini munkin masih dapat diperlakuk an secara analitik, tetapi sebaian besar tidak dapat diselesaik an secara matematis. Oleh sebab itu, kehadiran komputasi numerik sanat diperluk an untuk memahami perilaku sistem yan sebenarnya. 3. Gerak Non-Linier Dikendalikan Setelah erak non linier tak dikendalik an, masalah yan muncul kemudian adalah baaimana jik a erak pendulum non linier tersebut dikendalik an melalui penaruh luar. Denan kehadiran penaruh luar yan diberik an kepada sistem ak an membuat sistem menjadi unpredictable. Hal ini ak an menjadi lebih menarik untuk dibahas dan diselesaik an. 8

9 BAB III METODOLOGI PENELITIAN Ditinjau kembali persamaan erak linier pendulum seperti terlihat pada persamaan (7) dimana τ τ + τ τ cω dan τ mlθ atau f f d θ I d θ I mlθ dθ c Persamaan (10) menunak an pendek atan bahwa sin ( θ ) θ (10), sehina masih mudah untuk diselesaik an secara analitik. Pendek atan ini betul untuk simpanan θ yan kecil. Jik a tidak dilakuk an pendek atan untuk sin ( θ ), mak a persamaan (10) menjadi d θ dθ I + c + ml sin( θ ) 0 (11) Denan mensubstitusik an I ml pada persamaan (11), mak a unk apan ini selanjutnya menjadi d θ dθ + q + sin( θ ) 0 l (1) denan q merupak an unk apan baru untuk konstanta c (Oldfield, 006). Untuk erak pendulum nonlinier dikendalik an teredam, persamaan (1) masih diberik an penaruh luar yan mendrive erak an. Dimisalk an aya yan mendrive erak pendulum adalah mak a persamaan (1) menjadi ( ω t ) F F sin (13) D D 9

10 d θ dθ + q + m sin D Dt ( θ ) F sin( Ω ) 0 (14) Metode Rune Kutta Orde 4 (RK4) Metode RK4 merupak an metode yan sanat handal untuk menyelesaian persamaan diferensial (Koonin, 1990). Jik a kita lihat pada persamaan (14), persamaan ini termasuk persamaan diferensial orde. oleh sebab itu perlu dibuat menjadi persamaan diferensial orde satu. Denan demikian dimisalk an Sehina persamaan (13) menjadi dθ ω (15) dω + cω + m sin D Dt ( θ ) F sin( Ω ) 0 Denan memberik an syarat awal pada persamaan (15) θ 0 (16) dan persamaan (16) ω 0, mak a ak an diperoleh kecepatan anuler dan simpanan pada setiap saat. Dibawah ini bentuk metode RK4 yan ak an diterapk an dalam penelitian ini k l l l l 1 k k 3 k θ ω n+ 1 n+ 1 f ( t, θ, ω ) ( t, θ, ω ) f ( t + 1/ h, θ + 1/ k1, ω + 1/ l1 ) ( t + 1/ h, θ + 1/ k1, ω + 1/ l1 ) f ( t + 1/ h, θ + 1/ k, ω + 1/ l ) ( t + 1/ h, θ + 1/ k, ω + 1/ l ) f ( t + h, θ + k3, ω + l3 ) ( t + h, θ + k, ω + l ) 1 θ n + h 6 1 ω n + h 6 ( k + k + k + k ) 1 ( l + l + l + l ) (17) 10

11 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil pendek atan numerik terhadap ejala chaos yan terjadi pada pendulum nonlinier denan penaruh redaman dan aya penendali diperoleh beberapa rafik. Pada penelitian ini diambil beberapa asumsi untuk parameter l (panjan tali), (percepatan rafitasi), ω D (kecepatan anuler aya penendali), F D (aya aya penendali), q (konstanta redaman). Secara lenk ap rafik hasil komputasi numerik adalah sebaai berikut Gambar 5. Perilaku θ terhadap waktu (t) dan kecepatan anuler ω vs t untuk pendulum nonlinier teredam dan dikendalikan denan F D 0, q 0.5,l 10, 9.8, D /3, 0. semua dalam SI. Syarat awal diberikan untuk 0 0.1, 0 0 Gambar 5 ditunju k an rafik perilaku simpanan θ pada setiap 11

12 saat (t) untuk aya penendali F D 0. Denan kondisi ini artinya bahwa aya penendali tidak berpenaruh sama sek ali terhadap erak pendulum. Oleh sebab itu, erak pendulum ak an teredam denan frekeunsi osilasi dek at denan frekuensi alamiah osilasi tak teredam. Kecepatan anuler ω untuk kondisi ini tidak jauh berbeda denan kondisi padaθ, yakni bahwa ω semakin menhilan seirin denan bertambahnya waktu. Gambar 6. Grafik θ vs (t) dan ω vs t untuk pendulum nonlinier teredam dan dikendalikan denan F D 0.5, q 0.5, l 10, 9.8, Ω D /3, 0. semua dalam SI. Syarat awal diberikan untuk θ(0) 0.1, ω(0) 0. Untuk pemilihan aya penendali kecil, rafiknya ditunju k an pada ambar 6. Besarnya aya penendali untuk penelitian ini adalah 0.5. Seperti terlihat pada ambar, denan penenaan aya penendali yan kecil, mak a terdapat dua daerah oslilasi. Osilasi pertama, penaruh redaman masih sanat terasa sehina osilasi menarah ke keadaan transien. Dalam keadaan ini frekuensi osilasi mendek ati frekuensi alamiah Ω (Giordano, 1997). Selanjutnya, penaruh redaman ini semakin dapat diantisipasi oleh aya penendali sehina pendulum semakin settle untuk berosilasi harmonik denan frekuensi penendali Ω. D 1

13 Gambar 7. Grafik θ vs (t) dan ω vs t untuk pendulum nonlinier teredam dan dikendalikan denan F D, q 0.5, l 10, 9.8, Ω D /3, 0. semua dalam SI. Syarat awal diberikan untuk θ(0) 0.1, ω(0) 0. Perubahan yan sanat radik al terjadi saat aya penendali yan dikenak an cukup besar. Dalam penelitian ini aya penendali yan dikenak an adalah F D. Seperti terlihat pada ambar bahwa erak pendulum tidak lai sederhana. Gerak an pendulum tidak pernah settle pada erak harmonik hina akhir waktu yan diberik an. Gerak an pendulum benar-benar tidak teratur, sehina perilaku ini dik atak an sebaai perilaku chaos pada pendulum nonlinier. Gambar 7 baian kiri atas merupak an penambaran kembali perilaku θ terhadap t dalam ranah π θ + π pada ambar 7 rafik k anan atas. Grafik tersebut ditampilk an setelah diberik an syarat, yaitu apabila hara θ kuran dari π mak a θ θ + π dan apabila θ melebihi π mak a rafik. θ θ π. Oleh sebab itu, terlihat adanya lompatan-lompatan 13

14 Gambar 7. Grafik θ vs (t) dan ω vs t untuk pendulum nonlinier teredam dan dikendalikan denan F D, q 0.5, l, 9.8, Ω D /3, 0. semua dalam SI. Syarat awal diberikan untuk θ(0) 0.1, ω(0) 0. Grafik pada ambar 8 diperoleh denan meneset panjan tali l dan parameter lainnya seperti pada ambar 7. Dalam kondisi ini terdapat dua daerah seperti pada ambar 6. Dua daerah tersebut adalah daerah chaos dan daerah harmonik. Pada awal erak an ayunan, ruparupanya pendulum menalami kepanik an sehina ejala chaos terjadi. Ak an tetapi, secara beransur-ansur erak pendulum semakin settle ke erak an yan harmonik. 14

15 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN A. KESIMPULAN Dari hasil pembahasan dapat dimpulkan beberapa hal tentan ejala chaos pada pendulum nonlinier antara lain: 1. Gejala chaos pada pendulum nonlier dapat terjadi disebabkan oleh dua hal panjan kayu penayun dan besarnya drivin force yan bekerja pada pendulum.. Gejala chaos terjadi denan menatur beberapa parameter antara lain panjan kayu 10 meter, besar drivin force Newton, koefisien esekan q1, percepatan rafitasi 9.8 m/ s simpanan awal mulai 0 0.1radian, kecepatan sudut awal dan frekuensi drvin force fd.60 B. SARAN Untuk memperoleh ambaran yan jelas dari ejala chaos pada pendulum nonllinier, maka perlu adanya upaya eksperimen. Penelitian yan bersifat simulasi hanya menambarkan ejala yan kira-kira terjadi. Sedankan kebenaran eksperimen adalah kebenaran ilmiah yan tidak terbantahkan. Namun, setidaknya melalui penelitian simulasi ini dapat memandu bai para peneliti lain untuk menuji kebenarannya. 15

16 DAFTAR PUSTAKA Fowles, Analytical Mechanics 4 th edition, New York: CBS Collee Publishin. Giordano, Nicholas J., Computational Physics, New Jersey : Prentice Hall Koonin & Meredith, Computational Physics, Canada : Addison- Wesley Publishin Company Inc. Oldfield, Michael, 006. Oscillations and Chaos, www. Phisics.or, diakses 10 Februari

17 LISTING PROGRAM UNTUK MENDAPATKAN GEJALA CHAOS PADA PENDULUM NONLINIER clc; clear; close all; %minput('masukkan massa pendulum :'); %Linput('Masukkan panjan tali :'); %woinput('masukkan kecepatan awal simpanan ;'); %theta0input('masukkan sudut simpanan awal :'); %Ninput('Masukkan jumlah lankah :'); %hinput('masukkan ukuran lankah :'); for i1:10 FDinput('Masukkan aya drive :'); l10.;wo0;theta01.0;n00;h0.; 9.8; q0.5; fd.5; f1inline('w','t','w','theta'); finline('-/l*sin(theta)-q*w+fd*sin(fd*t)','t','w','theta','','l','q','fd','fd'); thetatheta0; wwo; theta10; fidfopen('pendulum1.txt','w'); for i1:n ti*h; k1h*f1(t,w,theta); l1h*f(t,w,theta,,l,q,fd,fd); kh*f1(t+0.5*h,w+0.5*l1,theta+0.5*k1); lh*f(t+0.5*h,w+0.5*l1,theta+0.5*k1,,l,q,fd,fd); 17

18 k3h*f1(t+0.5*h,w+0.5*l,theta+0.5*k); l3h*f(t+0.5*h,w+0.5*l,theta+0.5*k,,l,q,fd,fd); k4h*f1(t+h,w+l3,theta+k3); l4h*f(t+h,w+l3,theta+k3,,l,q,fd,fd); ww+(l1+*l+*l3+l4)/6; thetatheta+(k1+*k+*k3+k4)/6; theta1theta; if (theta1 > pi) theta1theta1-*pi; end; if (theta1 <-pi) theta1theta1+*pi; end; %sudut1theta/pi*180; %suduttheta1/pi*180; fprintf('%i %f %f %f %f\n',i,t,w,theta,theta1); fprintf(fid,'%i %f %f %f %f\n',i,t,w,theta,theta1); end fclose(fid); load pendulum1.txt; tpendulum1(:,); wpendulum1(:,3); thetapendulum1(:,4); theta1pendulum1(:,5); ffd*sin(fd*t); subplot(,,1), plot(t,theta,'r-',t,f,'b-','linewih',); xlabel('waktu (s)');ylabel('\theta (radian)'); title('\theta vs waktu'); subplot(,,), plot(t,w,'b-','linewih',) xlabel('waktu (s)');ylabel('\omea (radian/s)'); 18

19 title('\omea vs waktu'); end 19