Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com 1. Besaran dan analisis dimensi

Transkripsi

1 . Besaran dan analisis dimensi. Pendahuluan mekanika Newton Mekanika Newton adalah studi konsep erak benda dan aya. Mekanika merupakan salah satu ilmu tertua dan sanat menarik untuk dipelajari. Mekanika diunakan di semua ukuran benda, mikroskopik dan makroskopik, seperti erak elektron dalam atom dan erak planet dalam ruan ankasa. Mekanika dapat dibai menjadi tia baian: kinematika, dinamika dan statika. Kinematika mempelajari erak benda tanpa meninjau aya sebaai penyebab erak benda. Kinematika membahas hubunan posisi, kecepatan, percepatan dan waktu. Dinamika mempelajari erak benda denan meninjau aya sebaai penyebab erak. Statika mempelajari benda diam dalam penaruh aya. Mekanika telah dimulai sejak zaman purbakala. Mekanika newton didasarkan oleh kebutuhan untuk menjelaskan erak benda-benda di bumi berhubunan denan eksperimen erak benda jatuh bebas oleh Galileo Galilei (64-564), dan erak benda-benda lanit berhubunan denan hasil observasi erak planet-planet oleh Nicolas Copernicus (54-47), Tyco Brache (546-60) dan Johannes Kepler (57-60). Mekanika Newton dirumuskan oleh Sir Isaac Newton (64-77) pada tahun 687 dalam buku Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Newton merumuskan hukum erak Newton untuk menjelaskan erak benda-benda di bumi dan hukum ravitasi Newton untuk menjelaskan erak planet-planet. Newton sebaai salah satu ilmuwan besar yan memiliki peranan pentin dalam perkembanan sains dan teknoloi saat ini.. Besaran Besaran adalah seala sesuatu yan dapat diukur, memiliki nilai dan satuan standar. Berdasarkan satuan, besaran dibedakan menjadi dua baian, yaitu besaran pokok dan besaran turunan. Besaran pokok adalah besaran yan satuannya telah didefenisikan terlebih dahulu. Pada tahun 97 dalam pertemuan Bereau of weiht and measure di Prancis disepakati tujuh besaran pokok seperti pada Tabel. dan dua besaran tambahan, yaitu sudut datar satuannya radian (rad) dan sudut ruan satuannya steradian (sr). Radian diunakan sebaai satuan sudut. Steradian diunakan untuk menyatakan intensitas cahaya dalam ruan. Dua besaran tambahan ini tidak memiliki dimensi. Besaran turunan adalah besaran yan satuannya disusun oleh satuan besaran pokok. Contoh besaran turunan adalah kecepatan, percepatan, luas, volume, aya, momen aya, momentum, impuls, tekanan, daya, kerja, dan frekuensi.. Satuan Tabel. : Daftar besaran pok ok Besaran pokok Satuan Simbol Satuan Dimensi Panjan meter m [L] Massa kiloram k [M] Waktu sekon (detik) s (det) [T] Kuat arus listrik ampere A [I] Suhu kelvin K [θ] Intensitas cahaya candela Cd [J] Jumlah zat mol N [N] Satuan adalah ukuran yan menjadi acuan standar dari nilai sebuah besaran. Besaran tanpa satuan tidak memiliki arti. Karena itu, kita harus menuliskan satuan pada setiap besaran fisika. Ada beberapa besaran fisika yan tidak memiliki satuan seperti koefisien esek, koefisien restitusi dan indeks bias... Sistem satuan Sistem satuan yan umum diunakan dalam mekanika :. Sistem mks atau sistem metrik

2 Sistem ini menunakan satuan panjan adalah meter, satuan massa adalah kiloram, dan satuan waktu adalah sekon.. Sistem cs atau sistem aussian Sistem ini menunakan satuan panjan adalah centimeter, satuan massa adalah ram, dan satuan waktu adalah sekon.. Sistem British Sistem satuan ini diunakan di Inris, Amerika Serikat dan beberapa neara di Eropa. Satuan panjan adalah kaki (foot), satuan massa adalah slu, satuan waktu adalah sekon. Contoh konversi satuan British adalah foot ( kaki) = 0,048 m dan slu = 4,59 k. 4. Sistem Satuan Internasional Sistem Satuan Internasional (SI) diunakan setelah pertemuan Bereau of weiht and measure di Prancis. Sistem ini adalah bentuk penembanan dari sistem metrik. Sistem SI menunakan satuan besaran pokok dalam Tabel.. Defenisi satuan besaran pokok untuk besaran panjan, massa dan waktu. a. Satu sekon adalah interval waktu dari kali waktu etar atom Cesium-. b. Satu meter adalah jarak yan ditempuh oleh cahaya di ruan hampa dalam waktu / sekon. c. Satu kiloram adalah massa sebuah silinder platinum-iridium yan disimpan di Serves Prancis. Tabel. menunjukkan awalan dari satuan SI. Kita akan menunakan awalan satuan untuk menyatakan hasil penukuran yan memiliki orde sanat besar dan sanat kecil. Tabel. : Awalan satuan S I Faktor Awalan Simbol 0 4 yotta- Y 0 zetta- Z 0 8 exa E 0 5 peta- P 0 tera- T 0 9 ia- G 0 6 mea- M 0 kilo- k 0 hekto- h 0 deka- da 0 - desi- d 0 - centi- c 0 - milli- m 0-6 mikro- μ 0-9 nano- n 0 - piko- p 0-5 femto- f 0-8 atto- a 0 - zepto- z 0-4 okto- y.. Konversi satuan Kita serin melakukan konversi satuan besaran fisika dalam penjumlahan, penuranan, perkalian, dan pembaian besaran dalam perhitunan fisika. Contohnya: jam = 60 menit = 600 detik, kita dapat menuliskan

3 jam 600detik dan 600detik jam Faktor jam/600 detik dan 600 detik/ jam disebut faktor konversi. Untuk menubah suatu satuan ke bentuk satuan yan lain, kita harus menalikannya denan faktor konversinya. 600detik 0,5 jam =(0,5 jam) 800detik jam km km 000m jam m 6 =(6 ) 0 jam jam km 600s s Sebaiknya anda memilih salah satu sistem satuan sebelum memulai melakukan perhitunan. Perbandinan satuan yan sama akan salin menhilankan satu sama lain. Sebaai contoh, sebuah benda bererak denan kecepatan konstan 54 km/jam selama 0 menit. Pertama, kita menubah satuan waktu dalam jam. jam 0menit =(0 menit ) jam 60 menit Jarak yan ditempuh oleh benda adalah km s vt 54 jam=8km jam Kita jua dapat menubah satuan SI ke dalam satuan British menunakan faktor konversinya. Contoh. : Ubahlah sistem satuan di bawah ini ke dalam sistem SI! a. dyne = r. cm/s b. slu / kaki r cm r cm k m 5 k m 5 a. 0 0 N 000r 00cm s s s b. slu = 4,59 k, kaki = 0, 048 m atau kaki = 0,08 m slu slu 4,59 k kaki 5 k m k 0 55, kaki kaki slu 0,08 m s m Contoh. : Sebuah bak mandi berbentuk kubus panjan rusuk 0 kaki. Air menalir ke dalam bak mandi melalui kran denan kelajuan 0, liter/detik. Jika mula-mula bak mandi koson, hitunlah waktu yan dibutuhkan untuk menisi bak mandi sampai penuh! Panjan rusuk bak mandi adalah s 0,048m Volume bak mandi adalah V s 0 kaki 0kaki, 048m kaki., 048m 8,68m 86,8dm 86,8L. Inat bahwa dm = L. Waktu yan dibutuhkan untuk menisi bak mandi sampai penuh: s t 86,8 L 0, 8 s = 47,menit L.4 Analisis dimensi Dimensi sebuah besaran menunjukkan cara suatu besaran itu tersusun dari besaran-besaran pokok. Lihat kembali Tabel., lamban [] menunjukkan simbol dimensi besaran. Besaran panjan memiliki dimensi L, massa memiliki dimensi M, dan waktu memiliki dimensi T. Kita dapat menentukan dimensi besaran-besaran turunan dari satuan besaran-besaran pokok penyusunnya. Satuan

4 kecepatan adalah m/s, maka dimensi kecepatan adalah L/T =LT -. Dimensi besaran diperoleh denan menuraikan satuannya ke dalam satuan SI. Satuan aya adalah Newton atau setara denan k.m/s, maka dimensi aya adalah MLT. Contoh. : Tentukanlah dimensi besaran fisika di bawah ini, a. percepatan b. momentum c. tekanan d. konstanta ravitasi. a. Satuan percepatan (a) adalah m/s. Jadi, [a] = LT -. b. Momentum adalah perkalian massa dan kecepatan, p mv. Satuan momentum adalah k.m/s. Jadi, [p] = MLT -. c. Tekanan adalah aya persatuan luas, P=F/A. Satuan tekanan adalah N/m = k.m -.s -. Jadi, [P] = ML - T -. d. Rumus aya ravitasi adalah F = Gm m /r. Konstantan ravitasi dinyatakan oleh G = F r /m m. Satuan konstanta ravitasi G adalah Nm /k = m /s k. Jadi, [G] = M - L T -. Tabel. : Daftar dimensi besaran-besaran mekanika Besaran Rumus Satuan MKS Dimensi Luas A p l m L Volume V p l t m L Massa jenis mv - k m ML Kecepatan v dx dt m/s LT Percepatan a d x dt m/s LT Gaya F ma - k m s N MLT Momentum linear p mv - k m s MLT Impuls I Ft p - k m s =N s MLT Eneri kinetik Ek mv - k m s J ML T Eneri potensial ravitasi Ep mh - k m s J ML T Eneri potensial peas Ep kx - k m s J ML T Usaha W F x EK - k m s J ML T Daya P W t - k m s J s ML T Tekanan p F A - - N m = k m s ML T Frekuensi f T s - = hertz= Hz T Kecepatan anular f - rad s T Percepatan anular 0 t - rad s T Momen inersia partikel I mr k m ML Momen aya (Torsi) I rf sin k m s N m ML T Momentum sudut L I mvr k m s ML T Tia manfaat analisis dimensi : 4

5 a. Menetahui kesetaraan dua buah besaran Dua buah besaran setara jika dua besaran tersebut memiliki dimensi yan sama. Contoh dua buah besaran yan setara adalah usaha dan eneri kinetik. Analisis dimensi sebaai alat untuk menentukan kebenaran hasil perhitunan. Jawaban harus memiliki dimensi yan setara atau sama denan besaran yan ditanyakan dalam soal. Sanat pentin untuk memeriksa dimensi jawaban akhir setelah selesai menerjakan soal. Jika dimensi jawaban berbeda, maka sebaiknya anda menulan menerjakan soal tersebut denan lebih teliti.. Contoh.5 : Seoran siswa menyelesaikan soal-soal fisika mendapatkan jawaban akhir : m sin y i. t m m m p ii. F t y t dimana waktu (t), aya (F), massa (m), jarak (y), percepatan ravitasi (), momentum (p). Tentukan jawaban yan benar secara dimensi! Jawaban baian (i) benar karena dimensi waktu (t) sama denan dimensi jawaban akhir. Jawaban baian (ii) salah karena dimensi aya (F) sama denan dimensi jawaban akhir. b. Memeriksa kebenaran persamaan erak Kita hanya dapat melakukan penjumlahan atau penuranan dua besaran yan memiliki dimensi yan sama. Setiap persamaan erak harus memenuhi syarat kesamaan dimensi, artinya dimensi setiap suku dalam persamaan erak harus sama. Jadi, setiap persamaan erak harus konsisten dalam satuannya. Jika dimensi setiap suku persamaan ada yan berbeda maka persamaan tersebut salah. Sebuah persamaan posisi benda dinyatakan oleh x = v 0 t+ ½ at, dimensi x sama denan v 0 t dan ½ at,yaitu [L]. Karena dimensi setiap suku persamaan ini sama maka persamaan posisi benda x = v 0 t+ ½ at benar secara dimensi. Contoh.4 : Perhatikan tia persamaan berikut ini : i. x vt at ii. ma x mv Fx iii. E p m kx di mana posisi x, kecepatan v, percepatan a, waktu t, massa m, momentum p, konstanta peas k dan eneri mekanik E. Tentukanlah persamaan-persamaan yan benar secara dimensi. Tinjau persamaan (i) : x vt at Dimensi ruas kiri adalah L Dimensi ruas kanan adalah LT T LT T LT LT. Dimensi setiap suku ada yan berbeda, maka persamaan (i) salah. Tinjau persamaan (ii) : ma x mv Fx Dimensi ruas kiri adalah M LT L M LT ML T ML T Dimensi ruas kanan adalah MLT L ML T. 5

6 Dimensi setiap suku sama, maka persamaan (ii) benar. Tinjau persamaan (iii) : E p m kx Dimensi ruas kiri adalah ML T Dimensi ruas kanan adalah MLT M MT L ML T ML T. Dimensi setiap suku persamaan adalah sama, maka persamaan (iii) benar. c. Membentuk sebuah persamaan fisika. Kita dapat menetahui keterantunan sebuah besaran fisis terhadap besaran lainnya menunakan alat bantu analisis dimensi. Selanjutnya, kita akan menetahui perbandinan antara besaran-besaran tersebut. Sebuah persamaan /rumus benar hanya jika dimensi ruas kanan sama denan dimensi ruas kiri. Contoh.6 : Sebuah benda bermassa m bererak melinkar beraturan denan kecepatan linear v dan jari-jari lintasan r. Tentukan aya sentripetal F s yan dialami oleh benda berantun pada besaran m,v dan r! Kita dapat menuliskan : x y z Fs k m v r dimana k adalah konstanta tidak berdimensi. Nilai x, y dan z diperoleh menunakan analisis dimensi. Satuan aya adalah k.m/s :Fs MLT. M. Satuan massa adalah k : m Satuan kecepatan adalah m/s : v LT. Satuan jari-jari lintasan adalah m : r L. Gunakan syarat bahwa dimensi ruas kiri sama denan dimensi ruas kanan. Kita peroleh hubunan: x y MLT M LT L x yz y z MLT M L T Kita peroleh tia buah persamaan : x, y z dan y. Jadi, x, y dan z. Gaya sentripetal yan dialami oleh benda adalah F v s k m r Secara teoritik dapat dibuktikan bahwa nilai k =. Besar aya sentripetal yan dialami oleh benda bererak melinkar adalah F v s m. Gaya sentripetal berbandin lurus denan massa, berbandin r lurus denan kuadrat kecepatan dan berbandin terbalik denan jari-jari lintasan..5 Pe ndekatan limit khusus Pendekatan limit khusus akan membantu anda untuk penyelesaian kasus fisika yan lebih rumit. Metode ini sanat pentin untuk dilakukan di akhir perhitunan untuk memeriksa apakah jawaban akhir yan anda peroleh benar untuk kondisi limit khusus. Lankah ini anda lakukan setelah memeriksa dimensi. Jawaban akhir yan anda peroleh benar jika pada limit kasus khusus jua benar. Pendekatan kasus khusus dilakukan denan cara memilih kondisi massa benda sanat besar atau sanat kecil, tali sanat panjan, permukaan bidan licin atau sanat kasar, dan simpanan benda kecil. Metode ini akan membantu kita untuk melihat sifat sistem untuk kasus ekstrim. Pendekatan 6

7 kasus khusus jua akan memudahkan kita dalam meninterpretasikan makna fisis jawaban akhir. Pendekatan limit khusus serin dilakukan denan pendekatan deret, misalnya deret binomial Newton, deret Taylor, dan deret Maclaurin. a. Deret binomial Newton Untuk setiap bilanan riil n dan x < berlaku ( ) ( ) n nn n n n ( )!! x nx x x (.) Contoh.7 : ( ) 4 ( )( ) ( ) ( ) 4!! ( )( ) ( )( )( ) ( x) x x x x x x!! 8 6 x x x x x x x Hasil pendekatan khusus ketika x << : n ( x) nx ( x) x ( x) x b. Deret Taylor Deret Taylor merupakan representasi funsi matematika sebaai jumlahan tak hina dari sukusuku yan nilainya dihitun dari turunan funsi tersebut di suatu titik. Bentuk umum deret Taylor : f ( a) f ( a) f ( x) f ( a) f ( a)( x a) ( x a) ( x a) (.)!! Bila deret tersebut terpusat di titik nol a = 0, deret tersebut dinamakan sebaai deret Maclaurin : f (0) f (0) f ( x) f (0) f (0) x x x (.)!! Contoh.9 : Carilah deret Maclaurin untuk funsi-funsi di bawah ini. a. f(x) = x b. f(x) = sin x f (0) f (0) a. f ( x) x f (0) f (0) x x x!! f ( x) x f (0) f ( x) x f (0) 4 4 f ( x) x f (0) f ( x) x f (0) Jadi, f ( x) x x x x 8 6 7

8 f (0) f (0) f ( x) sin x f (0) f (0) x x x!! f ( x) sin x f (0) 0 f ( x) cos x f (0) f ( x) sin x f (0) 0 f ( x) cos x f (0) b. (4) (4) f ( x) sin x f (0) 0 Jadi, 5 7 x x x f ( x) sin x x! 5! 7! Beberapa Deret Maclaurin yan pentin : 5 7 x x x. sin x x! 5! 7! 4 6 x x x. cos x! 4! 6! 5 x x. tan x x x x x x x x 4 x x x 5. ln( x) x!! 4! 4 6. e x x x x x!! 4! Jika x <<, sin x x cos x x tan x x ( x) x ln( x) x x e x Contoh.0: Sebuah benda dilemparkan vertikal ke atas denan kecepatan awal v 0. Benda menalami aya esek sebandin denan kecepatan benda, f = - kmv. Kecepatan benda setiap waktu dinyatakan oleh persamaan kv0 kt v() t e k k a. Tunjukkan bahwa waktu yan dibutuhkan benda untuk mencapai titik tertini adalah kv ln 0 tm k b. Tunjukkan bahwa jika tidak ada aya esek k 0, waktu yan diperlukan benda untuk mencapai titik tertini adalah tm v0. a. Kecepatan benda sama denan nol pada tutuk tertini, vt ( m) 0. kv0 kt e m 0 k k 8

9 e ktm kv 0 kv ln 0 tm k b. Kita unakan ekspansi untuk z kecil (z<<) berlaku bahwa ln z z z z kv0 Misalkan bahwa z, maka kv0 kv0 kv0 tm k v0 kv0 kv0 tm Untuk k 0, kita peroleh v0 tm.6 Soal dan pembahasan. Lintasan sebuah partikel dinyatakan oleh persamaan: x A Bt Ct, dimana x menyatakan posisi partikel (dalam m), t dalam sekon, serta A, B, C adalah konstanta. Tentukanlah satuan A, B dan C.. Percepatan sebuah partikel dinyatakan oleh persamaan : m v a exp Tentukanlah dimensi dasar (M,L,T ) untuk konstanta α dan β dan nyatakan jua dalam satuan SI!. Periksalah kebenaran persamaan-persamaan fisika di bawah ini! Simbol yan diunakan dalam setiap persamaan menikuti aturan berikut : F (aya), x (perpindahan), v (kecepatan), a (percepatan), t (waktu), tekanan (P), massa (m), percepatan ravitasi (), massa (m)! a. P v h konstan b. p m x F m c. v Fx m d. 0 t v v ax 4. Sebuah pendulum sederhana memiliki massa m dan panjan tali l. Percepatan ravitasi bumi adalah. Tentukanlah rumus periode pendulum dalam besaran l, m dan. 5. Frekuensi osilasi senar berantun pada panjan senar L, teanan senar T dan kerapatan massa linear μ (massa persatuan panjan). Tentukan rumus frekuensi dalam besaran L, T dan μ! 6. Sebuah bola jatuh bebas dari suatu ketinian tertentu. Gaya esek udara ( F D ) yan dialami bola berantun pada kecepatan bola (v), massa jenis udara ( u ), luas penampan bola jika dilihat dari atas tanah ( A R, R adalah jari-jari bola) dan koefisien esek C D yan berantun pada bentuk dan tekstur benda. Konstanta C D tidak berdimensi memiliki nilai antara 0 dan. Rumus aya esek yan bekerja pada bola memenuhi hubunan 9

10 x x z FD k CDv u A a. Tentukan nilai x,y dan z! b. Tentukanlah kecepatan terminal bola v T. Asumsikan massa jenis bola b dan percepatan ravitasi. c. Hitunlah kecepatan terminal bola dalam v T jika jari-jari bola dijadikan dua kali semula. 7. Gradien tekanan dalam pipa silinder (p= P/ l) dapat dinyatakan dalam besaran viskositas cairan η, radius penampan silinder r, dan volume cairan tiap detik (Q= V/t) yan menalir melalui pipa silinder. Tunjukkan bahwa Q p k r 4 dimana k adalah konstanta tanpa dimensi. Satuan viskositas adalah k/(det.m). r P 7. Sebuah benda bermassa m jatuh bebas dari ketinian h di atas permukaan tanah. Percepatan ravitasi bumi dialami oleh benda konstan. Waktu yan dibutuhkan bola untuk mencapai tanah sejak dilepaskan diberikan oleh t Ch m dimana C adala konstanta. Tentukan nilai α,β, dan γ! 8. Sebuah planet bererak menintari matahari dalam suatu orbit linkaran. Periode revolusi planet T, berantun pada jari-jari orbit R, massa matahari M dan tetapan ravitasi umum G. a. Tentukanlah keterantunan T dalam besaran R, M dan G! b. Jika jari-jari orbit planet membesar menjadi dua kali semula dan massa Matahari berkuran menjadi setenah kali semula. Hitun periode planet sekaran dinyatakan dalam periode awal T! l 0