BAB 2 PEMODELAN SISTEM

Transkripsi

1 BAB 2 PEMODELAN SISTEM Bab 2 berisi pemodelan sistem sebagai dasar dalam analisis dan sintesis sistem kendali. Uraiannya meliputi pengertian sistem, model sistem, perbedaaan model dan simulasi, pengertian model matematis, dan model matematis untuk rangkaian listrik, sistem mekanis, sistem luida, dan sistem termal. Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa memiliki kompetensi untuk : memahami pengertian sistem dan keuntungan melakukan pemodelan sistem. mendeinisikan model dan menguraikan beberapa tipe model. mendeinisikan model matematis dan menguraikan beberapa tipe model matematis. Menerapkan konsep pemodelan matematis dalam rangkaian listrik, elektromekanis, sistem termal, sistem luida. 1. Sistem dan Eksperimen Konsep sistem dapat dideinisikan dengan berbagai cara. Salahsatunya adalah sistem merupakan sekumpulan objek yang siat-siatnya ingin dipelajari. Dengan deinisi tersebut, banyak hal di sekitar kita yang dapat dikategorikan sebagai sistem, misalnya sistem matahari, hutan tropis, kapasitor dengan resistor, jaringan komputer, dan lain-lain. Adalah siat manusia yang selalu ingin tahu untuk mengetahui siat-siat sistem tersebut, misalnya bagaimana tumbuh-tumbuhan bisa tumbuh sepanjang tahun di hutan tropis, atau apa yang terjadi apabila kapasitor dan resistor disambung kemudian dihubungkan dengan sebuah sumber tegangan, atau bagaimana menggabungkan dua komputer atau lebih supaya terbentuk jaringan komputer, dan sebagainya. Beberapa pertanyaan dapat dijawab melalui eksperimentasi (percobaan), misalnya hubungkan dua komputer kemudian instalasi kebutuhan perangkat lunaknya dan amati komunikasi yang terjadi. Pekerjaan utama dalam ilmu pengetahuan selama beberapa abad adalah membuat pertanyaan tentang siat sistem dan menjawabnya melalui serangkaian percobaan. Metode eksperimen berdasarkan prinsip ilmiah, tetapi memiliki keterbatasan. Kadang-kadang tidak mungkin dilakukan eksperimen dengan beberapa alasan berikut : Asep Najmurrokhman Catatan Kuliah Sistem Kendali 1

2 a) terlalu mahal Contoh : mempelajari mantap atau tidaknya cara berjalan robot humanoid. Untuk membeli atau membuat robot dibutuhkan biaya yang mahal. b) berbahaya Contoh : mahasiswa yang ingin mengetahui eek radiasi dalam reaktor nuklir. Terlalu riskan apabila dia mencoba langsung dengan reaktor nuklir sebenarnya. c) sistemnya belum ada Contoh : Untuk pesawat udara baru, seseorang ingin menguji eek sayap dengan bentuk yang berbeda-beda terhadap siat aerodinamis pesawat. Dengan demikian dalam situasi tersebut dibutuhkan cara untuk memecahkan persoalan tanpa melakukan eksperimentasi, yaitu dengan membuat model suatu sistem. 2. Apa yang disebut dengan Model? Secara sederhana, model suatu sistem adalah sarana atau alat (tools) yang digunakan untuk menjawab pertanyaan tentang sistem tanpa melakukan eksperimen. Ada beberapa tipe model, yaitu : a) model mental Pemodelannya dilakukan dengan proses membayangkan sistem dalam pikiran. Sebagai contoh seorang instruktur menjelaskan tentang mengemudikan mobil, maka dia akan meminta peserta untuk membayangkan sistem kemudi, posisi pedal gas, rem, setir, dan sebagainya. b) model verbal Perilaku atau siat sistemnya diuraikan dalam bentuk kata-kata, misalnya jika sistem manajemen sumber daya dan pengelolaan aset di perusahaan tidak benar maka angka PHK semakin tinggi. c) model isis Model ini mencoba meniru sistem sebenarnya dalam bentuk miniatur atau prototipe. d) model matematis Pada model ini, hubungan antar besaran dalam sistem dinyatakan dalam bentuk hubungan (persamaan) matematis. Kebanyakan hukum alam adalah model matematis. Hukum alam berkaitan dengan sistem sederhana dan seringkali ideal. Untuk sistem nyata, hubungan antar variabelnya mungkin lebih rumit. Asep Najmurrokhman Catatan Kuliah Sistem Kendali 2

3 3. Model dan Simulasi Anggap bahwa eksperimen tidak bisa dilakukan, tetapi model sistemnya tersedia. Model tersebut dapat digunakan untuk menghitung atau menyimpulkan bagaimana sistem bekerja. Hal ini dapat dilakukan secara analitis, yaitu dengan memecahkan persamaan matematika yang muncul dan mempelajari solusinya, misalnya pada saat mempelajari dan ingin mengetahui arus dan tegangan pada suatu cabang dalam rangkaian listrik menggunakan hukum Ohm atau Kirchho. Dengan perkembangan komputer, baik perangkat lunak maupun perangkat kerasnya, eksperimen numerik dapat dilakukan dengan mudah, cepat, dan eekti terhadap suatu model. Langkah tersebut dikenal dengan istilah simulasi. Simulasi dengan demikian adalah suatu cara yang tidak mahal dan aman dalam bereksperimen dengan sistem. Kualitas hasil simulasi bergantung kepada kualitas model sistemnya. 4. Model Matematis Sistem Model matematis suatu sistem diartikan sebagai kumpulan persamaan matematika atau pernyataan matematis yang menggambarkan siat atau perilaku sistem dengan cukup baik. Ada beberapa tipe model matematis yang digunakan yang bergantung kepada siat sistem dan tools yang digunakan, yaitu : a) Deterministik atau Stokastik Model disebut deterministik apabila model tersebut menggambarkan hubungan yang pasti (eksak) antara variabel pengukuran dan variabel turunan serta dalam persamaannya tidak muncul ketidakpastian. Sementara itu, model stokastik mencakup ketidakpastian atau mengandung konsep probabilitas. b) Dinamis atau statis Sistem biasanya dicirikan oleh sejumlah variabel yang berubah terhadap waktu. Jika hubungan antara variabelnya bersiat langsung maka sistemnya disebut statis. Resistor adalah contoh sistem statis, karena arus yang melaluinya dan tegangan antar kaki-kakinya memiliki hubungan langsung melalui Hukum Ohm. Arus yang mengalir hanya bergantung kepada tegangan saat itu dan tidak bergantung kepada nilainilai lainnya atau sebelumnya. Sementara itu, sistem dinamis adalah sistem yang nilai variabelnya bergantung kepada sinyal atau kondisi sebelumnya. Sebagai contoh, sistem ekonomi suatu negara adalah sistem dinamis, karena situasi ekonomi sekarang bergantung kepada kondisi sosioekonomi sebelumnya. Secara lebih sederhana, sistem dinamis dideinisikan sebagai sistem yang dinyatakan dengan persamaan dierensial atau persamaan dierence. c) Kontinyu atau diskrit Sebuah model matematis yang menggambarkan hubungan antara sinyal kontinyu disebut model kontinyu, sedangkan model diskrit Asep Najmurrokhman Catatan Kuliah Sistem Kendali 3

4 menyatakan hubungan antara sinyal diskrit. Model kontiyu biasanya dinyatakan dengan persamaan dierensial, sedangkan model diskrit dituliskan dalam bentuk persamaan dierence. d) Tergumpal (Lumped) atau terdistribusi (distributed) Banyak gejala isis yang dilukiskan secara matematis dengan persamaan dierensial parsial. Proses atau kejadian dalam sistem tersebut berlangsung dalam suatu ruang tertentu, misalnya suhu kawat yang dipanaskan akan berada di seluruh titik pada kawat tersebut. Model seperti itu disebut model berparameter terdistribusi. Jika kejadian diwakili oleh sejumlah variabel atau satu titik maka modelnya disebut model berparameter tergumpal, yang dinyatakan dengan persamaan dierensial biasa. e) Linear atau non linear Suatu sistem dikatakan linear apabila memenuhi prinsip superposisi. Prinsip tersebut menyatakan bahwa respon sistem terhadap dua input berbeda yang diberikan secara bersamaan adalah jumlah respon dari masing-masing input tersebut. Dengan demikian, untuk sistem linier, responnya terhadap beberapa input dapat dihitung dengan cara menentukan respon masing-masing input kemudian menjumlahkannya. Dari sudut pandang eksperimental, apabila sebab dan akibat dalam sistem berlaku secara proporsional, maka sistem dapat dimodelkan secara linear. Sedangkan sistem nonlinear tidak memenuhi prinsip superposisi, sehingga dalam analisis biasanya dilakukan linierisasi untuk daerah operasi tertentu. ) Time-invariant atau time-varying Sistem time-invariant memiliki parameter yang konstan (tidak bergantung waktu). Responnya tidak bergantung kepada kapan input diberikan. Sementara itu, sistem time-varying mengandung parameter yang bergantung waktu, contoh sistem kendali pesawat terbang. Salah satu parameter dalam pesawat yang time-varying adalah bobot (massa) pesawat berkurang akibat konsumsi bahan bakar. g) Fungsi transer atau state space (ruang keadaan) Pemodelan melalui ungsi transer dapat dilakukan untuk bentuk SISO (single input single output) dengan siat sistem deterministik, kontinyu, tergumpal, linier, dan time-invariant. Sementara pemodelan state space dilakukan apabila bentuknya MIMO (multi input multi output). 5. Model matematis dalam Rangkaian Listrik Model matematis dalam rangkaian listrik diturunkan dengan memanaatkan hukum-hukum yang berlaku yaitu Hukum Ohm dan Hukum Kirchho. Perhatikan dua rangkaian berikut : Asep Najmurrokhman Catatan Kuliah Sistem Kendali 4

5 Dengan menggunakan hukum Kirchho tentang tegangan pada rangkaian tersebut didapat persamaan : dan di 1 L + Ri + i = c 1 c i = e 0 e i Pada rangkaian di atas berlaku hubungan besaran sebagai berikut : di1 ( ) ( t) Ri1 t + L + e0 ( t) = ei ( t) di2( t) L2 = e0 ( t) ic ( t) = i1 ( t) i2( t) de0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( t) de0 t i1 t i2 t = C ic t = C Dengan teknik Transormasi Laplace, kita dapat menyatakan hubungan antara input dan output rangkaian di atas secara langsung dengan mudah. 6. Model matematis Sistem Mekanis Untuk sistem mekanis, model matematisnya diturunkan melalui hukum Newton F = ma untuk gerak translasi dan τ = Iα untuk gerak rotasi. Perhatikan gambar berikut : Sistem tersebut dapat menyatakan sistem suspensi kendaran bermotor (shock absorber) atau gedung selama dilanda gempa, dll. Variabel-variabelnya adalah sebagai berikut : Asep Najmurrokhman Catatan Kuliah Sistem Kendali 5

6 u(t) adalah perpindahan dari dasar, y(t) adalah perpindahan massa gaya pegas bernilai k(u-y), gaya peredam berharga b(u-y) my = b u y + k u y Persamaan Newton yang berlaku berbentuk ( ) ( ) Persamaan dierensial untuk sistem tersebut berbentuk m y + by + ky = bu + ku Untuk gerak rotasi, perhatikan gambar berikut Variabel-variabel dan parameternya adalah sebagai berikut : T menyatakan torsi motor J adalah momen inersia w adalah kecepatan putar dalam satuan rad/s b menyatakan koeisien gesekan θ adalah sudut putaran dalam radian Persamaan dierensial untuk model gerak rotasi tersebut adalah 2 dw d θ dθ J + bw = T atau J + b = T 2 7. Model matematis untuk Sistem elektromekanis Pada sistem ini terjadi kombinasi rangkaian listrik dan mekanis. Perhatikan contoh berikut : Gambar diatas adalah model skematik generator arus searah (DC). Sebuah generator berungsi menghasilkan besaran listrik dari gerak mekanik di sisi inputnya. Besaran listrik yang dihasilkan adalah tegangan generator ea dan arus ia akibat mekanisme putaran motor listrik dengan kecepatan n. Misalnya tegangan akibat putaran motor e g berbanding lurus dengan kecepatan n maka = k n dengan k1 adalah konstanta, sedangkan putaran e g 1 Asep Najmurrokhman Catatan Kuliah Sistem Kendali 6

7 motor diatur oleh arus dari bagian medan i dan nilainya berbanding lurus dengan arus ini, yaitu = k i, sehingga didapat g n 2 e k k i = k = 1 2 g i dengan k g = k 1k 2 disebut konstanta generator. Dengan menerapkan Hukum Kirchho pada sisi input (bagian medan) dihasilkan di e = R i + L Substitusi tegangan generator menghasilkan bentuk eg L deg e = R + k k g g Sementara itu, Hukum Kirchho di bagian output berbentuk dia ea = eg + Rgia + Lg ea = ia Z L atau e L a g dea eg = ea + Rg + ZL Z L Analisis terhadap model tersebut dapat dilakukan dengan mencari hubungan antara tegangan masukan (input) dengan tegangan yang dihasilkan. 8. Model matematis untuk sistem aliran luida (cairan) Perhatikan gambar skematik berikut u h q Tangki memiliki luas penampang A dan saluran keluaran (outlow) a. Tinggi permukaan cairan dalam tangki adalah h, debit aliran masuk (inlow) u, dan debit keluaran q. Menurut hukum Bernoulli, laju aliran pada saluran keluaran dinyatakan oleh persamaan ( t) = gh v 2 dengan g menyatakan percepatan gravitasi. Hubungan antara debit keluaran dan laju aliran pada saluran keluaran dideinisikan oleh q ( t) = av( t) Volume cairan dalam tangki adalah A h, yang berubah nilainya sesuai dengan selisih antara debit masuk dan keluaran, sehingga dapat dinyatakan Asep Najmurrokhman Catatan Kuliah Sistem Kendali 7

8 d A h ( t) = u( t) q( t) Persamaan-persamaan di atas membentuk model sistem tangki luida. Dari ketiga persamaan tersebut didapat model matematis sistem aliran luida dalam bentuk persamaan dierensial non linier berikut d a 2g h( t) = h( t) + 1 u( t) A A Dari bentuk terakhir, kita dapat menentukan tinggi permukaan cairan jika debit aliran masuknya diketahui. Setelah data tinggi permukaannya dihitung, debit keluarannya dapat dihitung dengan cara berikut ( t) = a g h( t) q 2 9. Model matematis sistem termal Perhatikan skema berikut cairan dingin pemanas cairan panas Misalkan tangki diisolasi sehingga tidak ada kalor yang hilang ke udara luar. Asumsi lainnya adalah tidak ada panas yang tersimpan di dalam tangki serta pemanasan dilakukan secara sempurna, sehingga suhu cairan merata. Deinisikan, Si = suhu mantap cairan dingin, So = suhu mantap cairan panas, G = laju aliran cairan, M = massa cairan dalam tangki, c = kalor jenis cairan, R = resistansi termal, C = kapasitansi termal, dan H = laju kalor input. Anggap bahwa suhu cairan dingin yang masuk dijaga konstan dan laju kalor input tiba-tiba berubah (akibat pemanasan) dari H ke H + hi sehingga laju kalor cairan panas berubah dari H ke H + ho. Suhu cairan panas berubah dari So ke S o + s. Untuk kasus ini, berlaku hubungan h o = Gcs, C = Mc, dan s 1 R = =. Persamaan dierensial untuk sistem ini adalah : ho Gc ds C = h i h o yang dapat dituliskan menjadi ds RC + s = Rh i Selanjutnya, jika suhu cairan dingin berubah tiba-tiba dari Si ke Si + si dan laju panas cairan dan laju aliran cairan dijaga konstan maka didapat persamaan dierensial ds RC + s = Asep Najmurrokhman Catatan Kuliah Sistem Kendali 8 s i

9 Jika sistem termal dihadapkan pada perubahan suhu cairan dingin dan laju kalor input, sementara laju aliran cairan dijaga konstan maka perubahan suhu cairan mengikuti persamaan dierensial ds RC + s = s i + Rh i Soal latihan : 1. Buat model matematisnya dari rangkaian listrik berikut 2. Dengan memanaatkan hukum Newton, turunkan model matematis sistem mekanik berikut. Berikan penjelasan secukupnya tentang enomena yang terjadi. Asep Najmurrokhman Catatan Kuliah Sistem Kendali 9