BAB 2 MA2151 SIMULASI & KOMPUTASI MATEMATIKA

Transkripsi

1 BAB 2 MA2151 SIMULASI & KOMPUTASI MATEMATIKA

2 Sistem Dinamik Sistem dinamik, yang berubah seiring waktu, biasanya sangat kompleks, memiliki banyak komponen, dan melibatkan relasi antar komponen. Dengan menggunakan alat sistem dinamik, kita dapat melakukan pemodelan untuk sistem kompleks. Langkah 2 (formulasi model) dapat dilakukan dengan membuat diagram yang akan membantu untuk menyederhanakan asumsi, variabel dan satuan; membuat relasi antar variable dan submodel, serta mencatat persamaan dan fungsi. Langkah 3 (menentukan solusi) dapat dilakukan dengan membangun tabel dan grafik. Langkah 4 (verifikasi dan interpretasi solusi) dilakukan dengan menganalisa tabel dan grafik. Kadangkala langkah ini mengarah pada perubahan / revisi model, baik penyederhanaan ataupun perbaikan.

3 Laju Perubahan Misalkan s(t) adalah posisi suatu obyek pada saat t, dengan a t b. Maka perubahan waktu, Δt, adalah Δt = b a; dan perubahan posisi, Δs, adalah Δs = s(b) s(a). Kecepatan rata-rata, atau rata-rata perubahan dari s terhadap t, dari saat a = b Δt ke saat b adalah

4 Kecepatan Sesaat Kecepatan sesaat, atau laju perubahan sesaat dari s terhadap t, pada s b s(b t) saat t = b adalah, pada saat Δt mendekati 0. t Ini merupakan turunan dari y = s(t) terhadap t pada t = b, dinotasikan sebagai sʹ(b) atau ቚ dy dt t=b.

5 Persamaan Diferensial: Populasi Model Malthus untuk pertumbuhan populasi yang tak terbatas: rate of change sebanding dengan banyaknya individu di dalam populasi. dp dt ~P, dengan P banyaknya individu dalam populasi dan t waktu. Ini dapat dituliskan menjadi dengan r laju pertumbuhan. dp dt = rp,

6 Persamaan Beda Misalkan population(t) adalah populasi pada waktu t. Maka population(t) = population(t Δt) + (growth) * Δt

7 Persamaan Beda Hingga Persamaan beda hingga memiliki bentuk: (new value) = (old value) + (change invalue) Persamaan ini merupakan aproksimasi diskrit dari persamaan diferensial.

8 Simulasi untuk Model Malthus

9 Simulasi untuk Model Malthus (2)

10 Pertumbuhan Terbatas Populasi, secara teori, memiliki potensi untuk mengalami pertumbuhan secara eskponensial. Populasi biasanya bertambah secara cepat pada awalnya, namun pada saatnya akan mengalami reaksi dari lingkungan: persaingan, pemangsa, sumber makanan yang terbatas, dan penyakit. Lingkungan cenderung untuk membatasi pertumbuhan populasi, sehingga populasi hanya dapat bertumbuh sampai ambang batas tertentu dan kemudian tidak akan bertambah atau berkurang secara drastis tanpa ada perubahan dalam lingkungan.

11 Kapasitas Lingkungan Ukuran populasi maksimum yang dapat didukung oleh lingkungan disebut kapasitas lingkungan (carrying capacity). Dalam pertumbuhan tak terbatas, diperoleh model: dp dt = rp Dengan solusi analitik P = P 0 e rt, di mana P 0 adalah populasi awal.

12 Quick Review Question 1 Cycling back to Step 2 of the modeling process, this question begins refinement of the population model. a. Determine any additional variable and its units. b. Consider the relationship between the number of individuals (P) and carrying capacity (M) as time (t) increases. List all the statements below that apply to the situation where the population is much smaller than the carrying capacity. A. P appears to grow almost proportionally to t. B. P appears to grow almost without bound. C. P appears to grow faster and faster. D. P appears to grow more and more slowly. E. P appears to decline faster and faster.

13 Quick Review Question 1 (2) F. P appears to decline more and more slowly. G. P appears to grow almost linearly with slope M. H. P is appears to be approaching M asymptotically. I. P appears to grow exponentially. J. dp/dt appears to be almost proportional to P. K. dp/dt appears to be almost zero. L. The birth rate is about the same as the death rate. M. The birth rate is much greater than the death rate. N. The birth rate is much less than the death rate.

14 Quick Review Question 1 (3) c. List all the choices from Part b that apply to the situation where the population is close to but less than the carrying capacity. d. List all the choices from Part b that apply to the situation where the population is close to but greater than the carrying capacity.

15 Model Baru Dalam model baru, untuk populasi awal yang jauh lebih kecil dari kapasitas lingkungan, populasi akan bertambah serupa dengan model tak terbatas. Namun, seiring dengan mendekatnya ukuran populasi dengan kapasitas lingkungan, pertumbuhan akan semakin berkurang. Dekat dengan kapasitas lingkungan, banyaknya kematian harus serupa dengan banyaknya kelahiran, agar populasi cenderung konstan. Untuk memperoleh pertumbuhan yang diperlambat, kita dapat mengukur banyaknya kematian sebagai hasil kali dengan banyaknya kelahiran yang dimodelkan sebagai rp. Ketika populasi sangat kecil, hasil kali tersebut tersebut harusnya mendekati nol, karena hanya sedikit individu yang mati. Ketika populasi dekat dengan kapasitas lingkungan, hasil kali tersebut haruslah mendekati satu. Jika D menyatakan banyaknya kematian dan M menyatakan kapasitas lingkungan, maka kita dapat memodelkan laju perubahan kematian sebagai: dd dt = rp M P

16 Model Baru (2) Akibatnya, atau Dalam simulasi diskrit, jika P(t) adalah estimasi populasi pada saat t, maka banyaknya kematian dari saat t 1 ke saat t adalah Secara umum, banyaknya kematian dari saat t t ke saat t adalah

17 Model Baru (3) Dengan demikian, perubahan populasi dari saat t t ke saat t adalah atau Model persamaan diferensial dan persamaan beda yang diperoleh disebut persamaan logistik.

18 Contoh Persamaan Logistik

19 Ekuilibrium dan Stabilitas Solusi ekuilibrium untuk persamaan diferensial adalah solusi yang turunannya selalu 0. Solusi ekuilibrium untuk persamaan beda adalah solusi yang bedanya selalu 0. Misalkan q adalah solusi ekuilibrium untuk persamaan diferensial dp/dt atau persamaan beda ΔP. Solusi q dikatakan stabil jika terdapat selang (a, b) yang memuat q, sehingga jika populasi awal P(0) termuat dalam selang tersebut, maka 1. P(t) hingga untuk semua t > 0; 2. Seiiring pertambahan t, P(t) menghampiri q. Solusi q dikatakan tidak stabil jika tidak ada selang yang demikian.

20 Contoh 1. Exercise 2 Consider dy/dt = cos(t). a. Give all the equilibrium solutions. b. Using calculus, find a function y(t) that is a solution. c. Give the most general function y that is a solution. 2. Exercise 3 It has been reported that a mallard must eat 3.2 ounces (oz) of rice each day to remain healthy. On the average, an acre of rice in a certain area yields 110 bushels (bu) per year; and a bushel of rice weighs 45 lb. Assuming that in the area 100 acres (ac) of rice are available for mallard consumption and mallards eat only rice, determine the carrying capacity for mallards in the area (Reinecke).

21 Contoh (2) Exercise 5 a. Graph y = e t. b. Match each of the following scenarios to a differential equation that might model it. A. dp dt B. dp dt = 0.05 P a. = 0.05 P + e t b. At first, a bacteria colony appears to grow without bound; but because of limited nutrients and space, the population eventually approaches a limit. Because of degradation of nutrients, the growth of a bacterial colony becomes dampened. C. dp dt = 0.05 (1 e t )P D. dp dt = 0.05 e t P E. dp dt = 0.05 P P2 e. F. dp dt = 0.05 P P2 400 c. A bacterial colony has unlimited nutrients and space and grows without bound. d. Because of adjustment to its new setting, a bacterial colony grows slowly at first before appearing to grow without bound. Each day, a scientist removes a constant amount from the colony.

22 Dosis Obat Kesalahan dalam pemberian obat seringkali terjadi. Sebagian besar tidak berakibat fatal, namun beberapa berakibat sangat fatal. Beberapa contoh kasus: Apotik di Florida memberikan 10 kali lipat dosis seharusnya dari pengencer darah pada seorang ibu, yang mengakibatkan pendarahan otak (Patel dan Ross 2010). Seorang bayi berusia 10 bulan meninggal akibat menerima 10 kali lipat overdosis dari Cisplatin (agen kemoterapi) (Fitzgerald and Wilson 1998) Heath Ledger meninggal karena mengalami overdosis peresapan kombinasi Xycodone, Hydrocodone, Diazepam, Temazepam, Alprazolam, dan Doxylamine. (CNN 2008) Dua pasien di Rumah Sakit Siloam Karawaci, Tangerang meninggal karena tertukarnya isi obat anestesi Buvanest Spinal dengan asam Traneksamat. (Kompas 2015)

23 Klasifikasi Kesalahan Pengobatan Kesalahan pengobatan dapat diklasifikasikan ke dalam kesalahan dalam hal: ordering kesalahan penentuan obat atau dosis; transcribing kesalahan dalam frekuensi atau terlewatnya pemberian obat; dispensing kesalahan pemberian obat, dosis, or waktu; administering kesalahan teknik pemberian obat; monitoring tidak mengobservasi akibat pemakaian obat. Hal ini dapat terjadi karena komunikasi yang buruk, pelabelan yang buruk, dll (Institute of Medicine 2007)

24 Dosis Efektif Terdapat dosis yang diresepkan untuk berbagai obat, namun bagaimana kita dapat menentukan manakah dosis yang benar/efektif? Ada beberapa hal yang perlu dipertimbangkan, termasuk penyerapan, distribusi, metabolisme, dan eliminasi obat. Hal tersebut merupakan komponen dari sains kuantitatif dalam farmakokinetik.

25 Model 1-Kotak Model 1-kotak adalah representasi sederhana dari bagaimana tubuh manusia memproses obat. Dalam model ini, tubuh dianggap sebagai suatu kotak yang homogen, di mana: distribusi obat berlangsung seketika, konsentrasi obat (banyak obat/volume darah) dalam tubuh sebanding dengan dosis obat, dan laju eliminasi sebanding dengan banyaknya obat dalam tubuh.

26 Model 1-Kotak (2) Definisi dan notasi: konsentrasi efektif minimum (MEC): konsentrasi obat terkecil yang masih dapat menolong konsentrasi terapis maksimum / konsentrasi racun minimum (MTC): konsentrasi obat terbesar yang masih dapat menolong tanpa mengalami efek samping yang berbahaya selang terapi dari suatu obat: selang konsentrasi di antara MEC dan MTC waktu paruh (t 1/2 ) dari suatu obat: waktu yang dibutuhkan agar setengah obat tereliminasi dari tubuh. Asumsi: Banyaknya darah dalam tubuh orang dewasa sekitar 5 liter, sementara banyaknya plasma (cairan yang memuat sel darah) sekitar 3 liter. Serum darah adalah cairan bening yang terpisah dari darah pada saat darah menggumpal dan orang dewasa memiliki sekitar 3 liter serum.

27 Contoh Kasus: Aspirin (Acetylsalicylic Acid) Untuk orang dewasa dan anak di atas 12 tahun, dosis untuk mengobati sakit kepala adalah 1 atau 2 tablet dengan berat 325mg setiap 4 jam, maksimum 12 tablet per hari. Penghilang rasa sakit akan efektif pada level 150 sampai 300 mikrograms/milliliter (μg/ml), sementara keracunan dapat terjadi pada konsentrasi plasma 350 μg/ml. Waktu paruh dari dosis 300 sampai 650 mg adalah 3.1 sampai 3.2 jam, dengan dosis yang lebih banyak memiliki waktu paruh yang lebih lama.

28 Variabel dalam Model aspirin_in_plasma: massa aspirin dalam kotak, dengan nilai awal massa dari 2 aspirin = (2)(325 mg)(1000 μg/mg). plasma_concentration: konsentrasi aspirin dalam plasma, dihitung dengan menggunakan volume plasma dalam tubuh (plasma_volume) ml. Laju eliminasi dari aspirin_in_plasma sebanding dengan aspirin_in_plasma. Jika aspirin_in_plasma dinotasikan dengan Q, maka dq dt = KQ. Solusi persamaan diferensial ini adalah Q = Q 0 e Kt, dengan K = ln 2 t 1/2.

29 Persamaan Beda half_life = 3.2 h plasma_volume = 3000 ml aspirin_in_plasma(0) = μg elimination_constant = ln(0.5)/half_life elimination = elimination_constant aspirin_in_plasma aspirin_in_plasma = aspirin_in_plasma elimination Δt plasma_concentration = aspirin_in_plasma/plasma_volume

30 Hasil Simulasi

31 Model 1-Kotak dengan Dosis Berulang: Dilantin Dilantin merupakan obat untuk epilepsi yang dipakai oleh pasien secara regular. Dosis orang dewasa adalah 3 x 1 kapsul 100-mg. Level efektif dalam serum darah adalah 10 sampai 20 μg/ml, yang membutuhkan 7 sampai 10 hari. Walaupun setiap orang memiliki reaksi berbeda, namun efek samping serius dapat terjadi pada saat level serum adalah 20 μg/ml. Half-life dari Dilantin berkisar dari 7 sampai 42 jam, tetapi secara ratarata 22 jam.

32 Variabel Sebagai penyederhanaan, diasumsikan model 1-kotak dengan penyerapan instan. drug_in_system: massa Dilantin dalam kotak. Laju eliminasi drug_in_system sebanding dengan drug_in_system. ingestion: tambahan massa Dilantin pada drug_in_system. dosage: dosis start: waktu pemberian dosis awal interval: selang waktu antar dosis. absorption_fraction: konstanta yang menyatakan bagian dari Dilantin yang diserap tubuh. concentration: konsentrasi obat dalam tubuh. volume: volume serum darah, biasanya bernilai 3000 ml.

33 Persamaan Beda half_life = 22 jam start = 0 jam interval = 8 jam volume = 3000 ml MEC = 10 μg/ml; MTC = 20 μg/ml dosage = μg absorption_fraction = 0.12 elimination_constant = ln(2)/half_life drug_in_system(0) = 0 = drug_in_system + ingestion - elimination concentration = drug_in_system/volume

34 Hasil Simulasi

35 Model 2-Kotak Model 1-kotak lebih cocok untuk penyuntikan obat dibandingkan penggunaan tablet yang membutuhkan waktu untuk melarut, diserap dan didistribusikan di dalam tubuh. Dalam kasus ini, model 2-kotak dapat memberikan hasil yang lebih baik. Kotak pertama dapat merepresentasikan sistem pencernaan, sementara kotak kedua mengindikasikan darah, plasma, serum, atau organ tubuh tertentu yang merupakan target dari obat. Dalam model ini, obat akan dialirkan dari kotak satu ke yang lain. Laju perubahan absorpsi dari usus ke serum darah sebanding dengan banyaknya obat dalam usus. Atau, secara lebih akurat, Laju perubahan absorpsi dari usus ke serum darah sebanding dengan volume usus dan selisih konsentrasi obat di usus dan serum. Walaupun model 1 atau 2-kotak sudah memadai untuk beberapa kasus, kadangkala model multi-kotak juga diperlukan.

36 Quick Review Question 7 This question applies to the rate of change of absorption of a drug from the intestines to blood serum in a two-compartment model. Suppose k is a constant of proportionality, i and b are the masses of the drug in the intestines and blood serum, respectively, v i and v b are the volumes of the intestines and blood serum, respectively, c i and c b are the drug concentrations in the intestines and blood serum, respectively, t is time in hours. a. Give the differential equation for this rate if the rate of absorption is proportional to the mass of drug in the intestines. b. In this case, give the units of k. c. Give the differential equation for this rate if the rate of absorption is proportional to the volume of the intestines and to the difference of the drug concentrations in the intestines and blood serum. d. In this case, give the units of k.