BAB 3 SISTEM DINAMIK ORDE SATU

Transkripsi

1 BAB 3 SISTEM DINAMIK ORDE SATU Isi: Pengantar pengembangan model sederhana Arti fisik parameter-parameter proses 3. PENGANTAR PENGEMBANGAN MODEL Pemodelan dibutuhkan dalam menganalisis sisten kontrol (lihat Gambar 3.) Sistem Eksperimen dengan Sistem Nyata Eksperimen dengan Model Sistem Mahal Mengganggu sistem Sistemnya mungkin belum ada Model Fisik Model Matematika Solusi Analitik Solusi Numerik (SIMULASI) Gambar 3. Studi Sistem Untuk melakukan studi sebuah sistem bisa dilakukan dengan dua cara, yaitu cara eksperimen dengan sistem nyata dan eksperimen dengan model sistem. Cara pertama Sistem Dinamik Orde-Satu 35

2 memang hasilnya bisa langsung terlihat, namun memiliki kendala yang signifikan, di antaranya ialah biaya eksperimen yang mahal padahal belum tentu berhasil, mengganggu sistem yang sedang berjalan dan mungkin saja sistem yang akan dipelajari belum eksis. Cara kedua adalah alternatif yang terbaik, meski tidak bersih dari kesulitan dan kekurangan. Model sistem yang akan dibuat bisa dalam bentuk model fisik ataupun model matematika tergantung dari sistem yang akan dipelajari. Pada sistem kontrol biasanya menggunakan model matematika, yaitu persamaan differensial fungsi waktu (dinamik). Solusi yang diterapkan bisa dengan secara analitik ataupun numerik (simulasi). Cara lainnya yang relatif mudah adalah dengan metode Transformasi Laplace sebagaimana telah diuraikan di modul sebelumnya. 3. ARTI FISIK PARAMETER-PARAMETER PROSES Obyektif dari pengembangan model (pemodelan) adalah untuk analisis sistem kontrol. Obyektif kedua adalah untuk mempelajari arti fisik dari parameter-parameter proses yang menggambarkan jati diri) proses. Pemodelan: Laju massa/energi ke proses - Laju massa/energi = keluar dari proses Laju akumulasi massa/ energi dalam proses Contoh: PROSES TERMAL (Gambar 3.) q, m 3 /s T i, o C q, m 3 /s Gambar 3. Proses Termal T i, o C Sistem Dinamik Orde-Satu 36

3 Proses adiabatik Variabel : T i (t) dan T(t) Konstanta : V, q, ρ, c p, c v qρ i h i (t) - qρh(t) = atau qρ i c pi T i (t) - qρc p T(t) = qρ i c pi T i (t) - qρc p T(t) = Differential Equation (ODE) Linear orde-satu T(t) tidak diketahui d ( Vρu( t)) dt d ( Vρc v T ( t)) dt V c d( T( t)) ρ Ordinary T i (t) variabel input yang bisa berupa fungsi uji Jadi: hanya yang tidak diketahui, dan ditulis: qρ i c pi T i (t) - qρc p T(t) = d( T( t)) Vρc eq. unk. Steady state: qρc p T i - qρc p T = 0 qρcp[ti(t) - T i ] - qρc p [T(t) - T] = V c d[ T( t) ρ T] Variabel deviasi: T i (t)= T i (t) - T i T(t)= T(t) - T qρc p T i (t) - qρc p T(t) = Vρc d( T( t)) Solusi: Buat grafik T(t) vs t untuk forcing function T i (t) tertentu. Sistem Dinamik Orde-Satu 37

4 Definisi dan penggunaan variabel deviasi dalam analisis dan disain sistem kontrol proses sangat penting, sehingga harus dipahami sebaik-baiknya. Keuntungan penggunaan variabel deviasi:. Harga variabel ini mengindikasikan tingkat deviasi dari harga operasi steady state (ss). Harga ss = harga variabel yang diinginkan (setpoint).. Harga awal adalah nol (dimulai dari ss) akan menyederhanakan solusi PD. Diatur lagi: Vρc v dt( t) T( t) = T ( t), qρc p dt i dt(t) τ T( t) = T ( t) dt i dengan τ Vρc = v qρc p maka : harga konstanta waktu (τ) berhubungan dengan kecepatan respon proses: τ besar lambat τ kecil cepat Laplace Transform: τst(s) T(s) = T i (s) T( s) T i ( s) = τs T(s) = τs T i (s) fungsi alih (transfer function) kenyataannya: solusi persamaan tersebut mengalihkan input ke output. Proses yang diwakili oleh fungsi alih di atas disebut: proses orde-satu atau sistem orde-satu atau lag orde-satu. Sistem Dinamik Orde-Satu 38

5 Jika T i (t) dinaikkan A o C, maka step change-nya sebesar A o C. T i (t) = T i t<0 T i (t) = T i A t 0 maka: T i (t) = Au(t) T i (s) = A/s T(s) = A s( τ s) T(t) = A( - e-t/τ ) T(t) = T A( - e -t/τ ) pada t = τ T(t) = A( - e -τ/τ ) = A( - e - ) = 0,63A TA A T(t) 0.63A T 0 τ t τ = f(v, c p, c v, dan q) jika kondisi proses berubah, maka personality proses juga berubah dan direfleksikan dalam τ. τ konstan pada jangka operasi T(t) sifat sistem linear. Proses tidak adiabatis: qρc p T i (t) - Q(t) - qρc p T(t) = d( T( t)) Vρc qρc p T i (t) - UA[T(t) - T s (t)] - qρc p T(t) = Vρc d( T( t)) UA dianggap tetap, T s adalah suhu lingkungan ss: qρc p T i - UA[T - T s ] - qρc p T = 0 qρcp(ti(t)- T i ) - UA[(T(t)-T) - (T s (t)-t s )] - qρc p (T(t)-T) = Vρc d[ T( t) T] Sistem Dinamik Orde-Satu 39

6 T s (t) = T s (t) - T s, maka: qρcpt i (t) - UA(T(t) - T s (t)) - qρc p T(t) = Vρc d( T( t)) forcing function juga, mempengaruhi heat losses dan suhu cairan proses. Vρc v dt( t) qρc p UA qρc p UA T( t) = dt qρc p UA T ( t) qρc p UA T t i s ( ) τ dt( t) T( t) = K T ( t) K T t dt i s ( ) Vρc qρc v p τ = q c p UA ik K q c p UA dank UA ρ (det ), = ρ, = qρc p UA τst( s) T( s) = K T ( s) K T s i s ( ) K K T( s) = T ( s) T s τs i s s ( ) τ Jika T s (t) = T s maka T i (t) = T i maka T s (s) T (s) = K i τs T(s) T s (s) = K τs Kedua fungsi alih di atas disebut fungsi alih individual. K disebut process gain atau steady-state gain. Jika T i (t) dinaikkan A o C: T(s) = K A s( τs ) maka: T(t) = K A( - e -t/τ ) GAIN: T(t) = T K A( - e -t/τ ) berapa besar perubahan variabel keluaran tiap perubahan variabel masukan O K = = I output variable input variable sensivitas proses atau personalitas proses (watak proses) Sistem Dinamik Orde-Satu 40

7 TKA KA T(t) 0.63A T 0 τ t 3. 3 RESPON PROSES ORDE-SATU Y( s) K G(s) = = X ( s) τs untuk step function: x(t) = Au(t) X(s) = A/s KA Y( s) = ( τs ) s y(t) = KA( - e -t/τ ) A u(t) 0 KA y(t) 0 Respons khas orde-sat, slope tercuram terjadi pada permulaan respon t Sistem Dinamik Orde-Satu 4

8 3. 4 FUNGSI ALIH DAN DIAGRAM BLOK FUNGSI ALIH (transfer function): rasio antara TL variabel keluaran dan TL variabel masukan ( m m m m... ) ( bns n n bn s... bs ) Y( s) K a s a s a s G( s) = = X ( s) Sifat-sifat fungsi alih:. n m. menghubungkan transformasi deviasi variabel masukan dan keluaran dari initial ss. Sebaliknya, kondisi awal bukan nol punya kontribusi tambahan pada transformasi variabel keluaran. 3. Sistem stabil: hubungan ss antara perubahan variabel keluaran dan perubahan variabel masukan diperoleh dengan lim G( s) s 0 Fungsi alih mendefinisikan dengan sempurna karakteristik ss dan dinamik, respon total, sistem pada PD. DIAGRAM BLOK representasi secara grafik pengontrolan suatu proses Komponennya (lihat Gambar 3.6):. Anak panah: aliran informasi (variabel proses/sinyal kontrol). Titik penjumlahan: penjumlahan aljabar anak-anak panah masukan 3. Titik percabangan: posisi pada anak panah bercabang keluar dan menuju titik penjumlahan lain atau blok 4. Blok: operasi matematika dalam bentuk fungsi alih seperti G(s). M(s) = G c (s)e(s) = G c (s)[r(s) - C(s)] Sistem Dinamik Orde-Satu 4

9 Titik penjumlahan Titik percabangan R(s) penju - E(s) penju G(s) penju M(s) penju Gambar 3.6 Diagram Blok Contoh: Ti(s) τs T(s) sistem termal tanpa pengaruh suhu lingkungan Ti(s) Ti(s) T s (s) K τ s K τ s T(s) Respon total sisten diperoleh dgn menambahkan secara aljabar respon yang disebabkan perubahan suhu atau Ti(s) T s (s) K K τs T(s) masukan ke respon yang disebabkan oleh perubahan suhu lingkungan Penambahan secara aljabar respon-respon yang disebabkan beberapa input disebut prinsip superposisi sifat khas sistem linear. Untuk menyederhanakan diagram blok bisa dilihat pada Tabel 3.. Sistem Dinamik Orde-Satu 43

10 Tabel 3. Aturan untuk Aljabar Diagram Blok Sistem Dinamik Orde-Satu 44

11 Contoh menyederhanakan diagram blok dan mencari fungsi alihnya:. X (s) G Y Y 3 G G 3 Y(s) X (s) G 4 Y Y = (G - G )X (s) Y = (G 4 - )X (s) G 3 Y(s) Y 3 = G 3 (G - G )X (s) Y = (G 4 - )X (s) Y(s) Y(s) = G 3 (G - G )X (s) (G 4 - )X (s) Fungsi alih individualnya: Y( s) X ( s). Rumus umum fungsi alih: Y( s) = G3 G G = X ( s) ( ) dan ( G ) L J G j Y( s) l = j = G( s) = = l X ( s) K I Gi k = i= k 4 L = jumlah aliran maju antara X(s) dan Y(s) J = jumlah fungsi alih pada tiap aliran maju X(s) ke Y(s) Sistem Dinamik Orde-Satu 45

12 G j = fungsi alih tiap aliran maju K = jumlah lup berjaring dalam diagram blok I = jumlah fungsi alih tiap lup G i = fungsi alih tiap lup Contoh: L(s) G 3 R(s) R (s) G c G c G G C (s) G 4 C(s) G 5 G 6 C( s) G = R ( s) G c c G G G G G 5 C( s) G3 = L( s) G G G c G 5 L(s) G G G G G c 3 5 R(s) G c G c G G G G c G G 5 G 4 C(s) G 6 G3G4 C( s) Gc G G G G G L( s) = = GcGcGG G4G6 Gc G G G Gc Gc G G G G GcGG G Sistem Dinamik Orde-Satu 46