TIM PROSIDING. Penanggung Jawab Prosiding: Dr. Komang Dharmawan. Editor:

Transkripsi

1

2 Seminar Nasional Matematika 04, Universitas Udayana ISSN: TIM PROSIDING Penanggung Jawab Prosiding: Dr. Komang Dharmawan Editor: Tim Teknis: Layout & Cover: Ir. I Putu E.N. Kencana, MT., Drs. GK. Gandhiadi, MT., Ir. Komang Gde Sukarsa, M.Si. Drs. Ketut Jayanegara, M.Si., Drs. I Nyoman Widana, M.Si. I Gusti Ayu Made Srinadi, S.Si., M.Si., Dra. Luh Putu Suciptawati, M.Si., Desak Putu Eka Nilakusmawati, S.Si., M.Si., Made Susilawati, S.Si., M.Si., Ni Ketut Tari Tastrawati, S.Si., M.Si., Kartika Sari, S.Si., M.Sc., Luh Putu Ida Harini, S.Si., M.Sc., Ni Made Asih, S.Pd. M.Si, I Wayan Sumarjaya, S.Si., M.Stats. Desak Putu Eka Nilakusmawati, S.Si., M.Si Denpasar - Bali, 6 November 04 i

3 Seminar Nasional Matematika 04, Universitas Udayana ISSN: TIM REVIEWER No. Nama Instansi Prof. Dr. Leo H. Wiryanto ITB Prof. Dr. Nyoman Budiantara ITS 3 Prof. Dr. Sariasa UNDIKSHA 4 Prof. Dr. Marjono, M.Phil. UNBRAW 4 Dr. Komang Dharmawan UNUD 5 Dr. Tjokorda Bagus Oka UNUD 6 Ir. I Putu Eka N. Kencana, MT. UNUD ii Denpasar - Bali, 6 November 04

4 Seminar Nasional Matematika 04, Universitas Udayana ISSN: STEERING COMMITTEE Prof. Dr. Leo H. Wiryanto Prof. Dr. Nyoman Budiantara Prof. Dr. Sariasa Prof. Dr. Marjono, M.Phil. Denpasar - Bali, 6 November 04 iii

5 Seminar Nasional Matematika 04, Universitas Udayana ISSN: APLIKASI MODEL RANTAI MARKOV UNTUK MERAMALKAN PDRB PROVINSI BALI I Putu Eka N. Kencana, I Made Arya Antara Jurusan Matematika Universitas Udayana, i.putu.enk@unud.ac.id Jurusan Matematika Universitas Udayana, genezisdragonoid@gmail.com Corresponding Author Abstract This essay aimed to study the application of Markov chain model for prediction of Gross of 99 to fourth quarter of 03 were used to model and predict the next two quartely Bali Province. Combining fuzzy time series methodology and Markov chain model, the Average Forecasting Error Rate (AFER) for in-sample forecasting as much as.78 percent. For out-of-sample, we got AFER as much as 0,83 percent. This value is suitable and has enough accuracy in GDRP modeling and forecasting. Keywords : AFER, Bali, fuzzy set, GDRP, Markov chain model. Pendahuluan Produk Domestik Regional Bruto (PDRB) merupakan salah satu indikator makroekonomi dari perkembangan perekonomian di suatu wilayah. Badan Pusat Statistik (BPS) mendefinisikan PDRB sebagai jumlah nilai tambah barang dan jasa yang dihasilkan oleh seluruh unit usaha di suatu daerah dan digunakan sebagai salah satu indikator penting dalam mengetahui kondisi ekonomi daerah tersebut []. Sebagai salah satu indikator makroekonomi, perkembangan PDRB dalam sebuah kurun waktu menjadi acuan dalam menentukan kebijakan publik yang dirancang pemerintah daerah. Komparasi PDRB dengan nilai yang diproyeksikan merupakan salah satu indikator keberhasilan pemerintah daerah dalam melaksanakan program-program pembangunan di wilayahnya. Jadi, ketepatan dalam melakukan proyeksi PDRB bersifat mutlak agar program-program yang akan dilaksanakan bersifat realistis. Sebagai sebuah data runtun waktu, peramalan PDRB dapat dilakukan dengan menggunakan berbagai metode ekonometrika yang tersedia. Meski demikian, metode pendugaan alternatif pun telah cukup banyak dicoba. Wanayasa et al. [] yang meramalkan PDRB Provinsi Bali dengan menggunakan Fuzzy Time Series (FTS) memperoleh nilai galat peramalan yang cukup kecil yaitu,64 persen. Penelitian ini ditujukan untuk meramalkan secara out-of-sample PDRB Provinsi Bali pada triwulan I dan II tahun 04 dengan menggunakan data triwulan PDRB Bali atas dasar harga konstan (adhk) tahun 000 pada tahun Metode peramalan yang diaplikasikan adalah kombinasi FTS dengan model rantai Markov. FTS diaplikasikan saat akan dibentuk data runtun waktu fuzzy dari data real yang dimiliki. Fuzzifikasi data dilakukan dengan mengadopsi metode yang diintroduksi oleh Stevenson & Porter [3]. Selanjutnya, model peluang transisi Markov diaplikasikan saat dilakukan tahapan peramalan, baik peramalan bersifat in-sample maupun out-of-sample. Akurasi Denpasar - Bali, 6 November 04 4

6 I Putu Eka N. Kencana, I M. Arya Antara peramalan dikalkulasi melalui penghitungan Average Forecasting Error Rate (AFER) pada kedua jenis peramalan.. Metode Penelitian Peramalan out-of-sample dua triwulan pertama PDRB Provinsi Bali dilakukan melalui pengombinasian FTS dengan model rantai Markov menggunakan data triwulan PDRB pada periode yang diperoleh dari [], mengikuti tahapan-tahapan berikut: a. Menghitung laju perubahan PDRB pada dua triwulan yang berturutan. Laju perubahan dari PDRB digunakan sebagai data dasar pada proses pembentukan himpunan fuzzy mengingat indikator-indikator makroekonomi lebih mudah diinterpretasikan bila dinyatakan pada ukuran laju (rate) perubahannya. Selain itu, akurasi peramalan yang diperoleh cenderung lebih tinggi dibandingkan menggunakan data asli [3]. Laju PDRB dihitung menggunakan persamaan berikut: () b. Mendefinisikan himpunan semesta yang beranggotakan seluruh ; c. Mempartisi menjadi n buah sub-interval, dengan n ditentukan menggunakan persamaan Sturges [4] sebagai berikut: () Pada pers. () N menyatakan banyaknya yang dihitung dari pers. (); d. Menentukan distribusi frekuensi dari n sub-interval yang terbentuk. Sub-interval yang kepadatannya nol, digabungkan dengan sub-interval sebelumnya yang memiliki anggota. Tiga sub-interval yang kepadatannya tertinggi selanjutnya dipartisi masing-masing menjadi 4, 3, dan sub-interval dengan lebar interval sama. Pemartisian interval mengikuti aturan ini ditujukan agar distribusi frekuensi mendekati sebaran normal; e. Setelah f interval akhir terbentuk, maka tersusun himpunan semesta fuzzy = {F, f } dengan masing-masing interval memiliki nilai fuzzy f,, f f yang dihitung sama dengan nilai tengah dari masing-masing F i yang bersesuaian; f. Melakukan fuzzifikasi setiap ; g. Membangun Fuzzy Logical Relationship Group (FLRG), suatu himpunan yang memetakan interval fuzzy sebagai suatu variabel linguistik ke variabel linguistik lainnya. Variabel linguistik asal disebut left-hand side (LHS), dan variabel linguistik tujuan disebut right-hand side (RHS); h. Membangun matriks peluang transisi (transition probability matrix/tpm) berukuran f x f dengan unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j dihitung melalui persamaan berikut [5]: i. Menghitung nilai dugaan dari menggunakan persamaan (4): (4) j. Menghitung nilai dugaan PDRB menggunakan pers. () dan AFER dengan pers. (5): (3) (5) 4 Denpasar - Bali, 6 November 04

7 Seminar Nasional Matematika 04, Universitas Udayana ISSN: Hasil dan Pembahasan Terdapat 88 amatan pada data triwulan PDRB Bali periode Januari 99 Desember 03. Menggunakan seluruh data, diperoleh 87 nilai dengan nilai-nilai minimum dan maksimum masing-masing sebesar -9,48 persen dan 34,59 persen. Agar terdapat ruang bagi nilai-nilai ramalan, maka nilai minimum ditetapkan sebesar -0,00 persen dan nilai maksimum 35,00 persen. Selanjutnya himpunan semesta dipartisi menjadi 8 sub-interval. Jumlah sub-interval diperoleh dengan mengaplikasikan pers. (). Agar distribusi mendekati sebaran normal, maka mengikuti langkah (d) pada bagian metodelogi, seluruh sub-interval direpartisi sehingga diperoleh 3 sub-interval akhir sebagai representasi 3 variabel linguistik fuzzy. Tabel dan Tabel masing-masing menunjukkan sub-interval yang terbentuk di awal dan setelah direpartisi sebagai variabel-variabel linguistik: Tabel. Sub-Interval Awal dan Kepadatannya Sub-Interval Batas Kiri Batas Kanan Frekuensi Data U -0,00% -4,38% U -4,38%,5% 0 U 3,5% 6,88% 57 U 4 6,88%,50% 6 U 5,50% 8,3% U 6 8,3% 3,75% 0 U 7 3,75% 9,38% U 8 9,38% 35,00% Sumber: Analisis Data (04) Tabel. Variabel Linguistik Fuzzy Variabel Linguistik Minimum Nilai Tengah Maksimum F -0.00% -7.9% -4.38% f F -4.38% -3.44% -.50% f F % -.56% -0.63% f 3 F % 0.3%.5% f 4 F 5.5%.95%.66% f 5 F 6.66% 3.36% 4.06% f 6 F % 4.77% 5.47% f 7 F % 6.7% 6.88% f 8 F % 8.8% 9.69% f 9 F %.09%.50% f 0 F.50% 8.3% 3.75% f F 3.75% 6.56% 9.38% f F % 3.9% 35.00% f 3 Sumber: Analisis Data (04) Tahapan peramalan menggunakan rantai Markov membutuhkan adanya state awal dan state akhir dari sebuah kejadian. Pada kasus yang diteliti, state awal dan state akhir masing-masing merupakan LHS dan RHS dari FLRG yang terbentuk. Merujuk kepada FLRG (lampiran ), maka diagram transisi Markov (lampiran ) serta matriks peluang Denpasar - Bali, 6 November 04 43

8 I Putu Eka N. Kencana, I M. Arya Antara transisi (TPM) bisa ditentukan seperti berikut: TPM = F F F3 F4 F5 F6 F8 F9 F0 F F F3 F F F3 F4 F5 F6 F F9 F0 F F F Proses peramalan laju PDRB dilakukan dengan mencermati nilai LHS pada masing-masing laju yang diramalkan. Sebagai contoh, laju PDRB pada triwulan I tahun 005 sebesar 3,09 persen ada pada variabel linguistik F 6 yang menjadi LHS pada FLRG. Pemeriksaan pada TPM menunjukkan terdapat 4 state akhir (RHS) dari F 6, yaitu F 4, F 5, F 6, dan F ; masing-masing dengan peluang transisi sebesar ;. Keempat nilai ini membentuk sebuah vektor baris yang akan digandakan dengan vektor kolom yang tersusun dari setiap nilai tengah variabel linguistik yang merupakan RHS dari F 6. Hasil perkalian kedua vektor ini merupakan nilai dugaan laju PDRB pada triwulan I tahun 005, yaitu ;. Laju dugaan yang diperoleh selanjutnya digunakan untuk menghitung nilai PDRB dugaan dengan menggunakan pers. (). Pada contoh ini diperoleh nilai dugaan PDRB pada triwulan I tahun 005 sebesar juta rupiah. Bila nilai dugaan ini dibandingkan dengan nilai sesungguhnya maka diperoleh persentase galat ramalan sebesar 3,0 persen. Amatan-amatan lainnya diramalkan dengan cara sama. Seluruh nilai ramalan in-sample ini memiliki nilai AFER sebesar,74 persen; sebuah proses peramalan dengan tingkat akurasi sebesar 97,6 persen. Memperhatikan keakuratan ramalan dengan mengkombinasikan FTS dan model rantai Markov baik, maka peramalan out-sample dari data dua triwulan pertama tahun 04 dilakukan sebagai berikut: A. Meramalkan PDRB Triwulan I Tahun 04 a. LHS dari amatan pada triwulan I tahun 04 adalah laju perubahan PDRB riil triwulan IV tahun 03 sebesar,3 persen. Memperhatikan klasifikasi fuzzy pada Tabel, laju perubahan ini tergolong ke dalam variabel linguistik F 4 ; b. Peramalan laju perubahan PDRB triwulan I tahun 04 selanjutnya dilakukan dengan memperhatikan peluang transisi Markov pada baris dengan LHS = F 4. Terdapat empat kemungkinan transisi state dari F 4 sebagai LHS, yaitu: FLRG: c. Masing-masing elemen FLRG yang diperoleh memiliki nilai peluang transisi sebesar 4 4,,, dan. Melalui operasi perkalian vektor ini dengan vektor kolom dari nilai-nilai linguistiknya diperoleh dugaan laju perubahan PDRB pada triwulan I 04 sebesar: 44 Denpasar - Bali, 6 November 04

9 Seminar Nasional Matematika 04, Universitas Udayana ISSN: d. Menggunakan nilai dugaan yang diperoleh, selanjutnya nilai PDRB Bali pada triwulan I 04 diduga menggunakan pers. () dan diperoleh nilai sebesar juta rupiah. Mencermati nilai PDRB riil pada periode yang sama sebesar juta rupiah maka persentase galat peramalan pada periode ini sebesar,46 persen. B. Meramalkan PDRB Triwulan II Tahun 04 a. LHS dari amatan pada triwulan II tahun 04 adalah dugaan laju perubahan PDRB dari triwulan I tahun 04 sebesar, persen. Memperhatikan klasifikasi fuzzy pada Tabel, laju perubahan ini juga tergolong ke dalam variabel linguistik F 4 ; b. Mengikuti tiga tahap terakhir pada langkah meramalkan PDRB triwulan I 04, maka diperoleh nilai ramalan PDRB Bali pada periode ini sebesar 9 36 juta rupiah, dan nilai PDRB riil sebesar juta rupiah dengan persentase galat sebesar 0,0 persen. 4. Simpulan dan Rekomendasi A. Simpulan Mencermati hasil dari kedua peramalan out-of-sample PDRB Provinsi Bali pada triwulan I dan II tahun 04, masing-masing dengan persentase galat peramalan sebesar,46 persen dan 0,0 persen maka dapat dihitung nilai AFER sebesar 0,83 persen. Bila AFER out-of-sample dibandingkan dengan AFER in-sample maka terlihat peramalan yang dilakukan secara out-of sample memberikan hasil yang lebih baik. Tingkat keakurasian peramalan out-of-sample yang diperoleh melalui kombinasi metode FTS dengan model rantai Markov lebih baik bila dibandingkan dengan keakurasian peramalan yang dilakukan hanya dengan menggunakan FTS pada kasus peramalan PDRB Provinsi Bali. B. Rekomendasi Penelitian ini terbatas hanya mengaplikasikan metode FTS dan model rantai Markov pada kasus data PDRB Provinsi Bali. Disarankan untuk menguji coba teknikteknik peramalan lain yang tergolong ke dalam kelompok soft modeling, misalnya, Algoritma Genetika atau Jaringan Syaraf Tiruan, pada kasus data yang sama dan data yang berbeda. Rekomendasi kedua ditujukan untuk menyempurnakan kinerja metode-metode peramalan yang digunakan sehingga ramalan secara out-of-sample bisa dilakukan pada jumlah ramalan yang lebih banyak. Hal ini beranjak dari galat ramalan yang bersifat ekstrapolasi cendrung meningkat saat periode yang diramalkan semakin menjauh dari matriks data yang digunakan untuk membangun model. Denpasar - Bali, 6 November 04 45

10 I Putu Eka N. Kencana, I M. Arya Antara Daftar Pustaka [] BPS Provinsi Bali, 03. Produk Domestik Regional Bruto (PDRB) Provinsi Bali Denpasar: Badan Pusat Statistik Provinsi Bali. [] Wanayasa, IGN. Arya., Kencana, I Putu EN. & Nilakusmawati, D.P.E., Peramalan Produk Domestik Regional Bruto (PDRB) Provinsi Bali dengan Menggunakan Metode E-Jurnal UNUD, (), pp.-9, 0 [3] Meredith Stevenson and John E. Porter, "Fuzzy Time Series Forecasting Using Percentage Change as the Universe of Discourse," World Academy of Science, Engineering and Technology, vol. 55, pp , 009. [4] Sturges H.A., The Choice of a Class Interval Journal of the American Statistical Association, vol., pp , 96 [5] R. C. Tsaur, A Fuzzy Time Series-Markov Chain Model With An Application To Forecast the Exchange Rate B International Journal of Innovative Computing, Information and Control, Volume 8, pp , Denpasar - Bali, 6 November 04

11 Seminar Nasional Matematika 04, Universitas Udayana ISSN: Lampiran. Data PDRB Bali adhk Tahun 000 (Juta Rp) dan Parameterparameter pada Model Rantai Markov Model Markov Periode PDRB r t FLRG % Galat Q Q % Q % F5 F6 4.0% % Q % F6 F5.87% % Q % F5 F3 4.0% % Q % F3 F5.95% % Q % F5 F6 4.0% % Q % F6 F5.87% % Q % F5 F9 4.0% % Q % F9 F5.95% % Q % F5 F6 4.0% % Q % F6 F5.87% % Q % F5 F9 4.0% % Q % F9 F5.95% % Q % F5 F6 4.0% % Q % F6 F5.87% % Q % F5 F9 4.0% % Q % F9 F5.95% % Q % F5 F6 4.0% 469.% Q % F6 F5.87% % Q % F5 F9 4.0% % Q % F9 F5.95% % Q % F5 F6 4.0% % Q % F6 F5.87% % Q % F5 F 4.0% % Q % F F5.95% % Q % F5 F6 4.0% % Q % F6 F5.87% % Q % F5 F4 4.0% % Q % F4 F5.% % Q % F5 F6 4.0% % Q % F6 F5.87% % Q % F5 F0 4.0% % Q % F0 F5.95% % Q % F5 F6 4.0% % Q % F6 F5.87% % Q % F5 F 4.0% % Q % F F5.7% % Q % F5 F6 4.0% % Q % F6 F5.87% % Q % F5 F 4.0% % Q % F F5.7% % Q % F5 F6 4.0% % Q % F6 F5.87% % Q % F5 F 4.0% % Q % F F5.7% % Q % F5 F6 4.0% % Q % F6 F5.87% % Q % F5 F3 4.0% % Q % F3 F5.3% % Q % F5 F6 4.0% % Q % F6 F5.87% % Q % F5 F6 4.0% % Q % F6 F4.87% % Q % F4 F4.% % Q % F4 F.% % Denpasar - Bali, 6 November 04 47

12 I Putu Eka N. Kencana, I M. Arya Antara Model Markov Periode PDRB r t FLRG % Galat Q % F F.7% % Q % F F8.7% % Q % F8 F0.95% % Q % F0 F8.95% % Q % F8 F.95% % Q % F F3.7% % Q % F3 F4.3% % Q % F4 F4.% % Q % F4 F6.% % Q % F6 F6.87% % Q % F6 F6.87% % Q % F6 F5.87% % Q % F5 F4 4.0% % Q % F4 F4.% % Q % F4 F5.% % Q % F5 F4 4.0% % Q % F4 F4.% % Q % F4 F5.% % Q % F5 F6 4.0% % Q % F6 F.87% % Q % F F.95% % Q % F F5.95% % Q % F5 F5 4.0% % Q % F5 F5 4.0% % Q % F5 F4 4.0% % Q % F4 F6.% % Q % F6 F5.87% % Q % F5 F5 4.0% % Q % F5 F4 4.0% % Q % F4 F5.% % Q % F5 F5 4.0% % Q % F5 F4 4.0% % AFER.74% Lampiran. Diagram Transisi Markov 48 Denpasar - Bali, 6 November 04