BAB 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Kawasan Metropolitan Mebidang

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Kawasan Metropolitan Mebidang Kawasan Mebidang (Medan, Binjai dan Deli Serdang) saat ini menjadi pusat pertumbuhan ekonomi di wilayah Propinsi Sumatera Utara dan juga sebagai pintu gerbang keluar masuknya barang sebagai pusat pertumbuhan ekonomi, penyediaan fasilitas pendidikan tentunya lebih baik dibanding di daerah luar kawasan metropolitan. Secara resmi kawasan Mebidang telah ditetapkan oleh Gubenur Propinsi Sumatera Utara sebagai Mebidang Metropolitan Area (MMA) pada tahun Wilayah Mebidang terdiri dari 40 kecamatan yang meliputi 21 kecamatan di Kota Medan, 5 kecamatan di Kota Binjai dan 14 kecamatan (dari 33 kecamatan) di Kabupaten Deli Serdang. Tabel 2.1 Wilayah Administrasi Mebidang Kabupaten/Kota Medan Binjai Deli Serdang Kecamatan Medan Tuntungan, Medan Selayang, Medan Johor, Medan Amplas, Medan Denai, Medan Tembung, Medan Kota, Medan Area, Medan Baru, Medan Polonia, Medan Maimun, Medan Sunggal, Medan Helvetia, Medan Petisah, Medan Barat, Medan Timur, Medan Perjuangan, Medan Deli, Medan Labuhan, Medan Marelan, dan Medan Belawan. Binjai Selatan,Binjai Kota, Binjai Timur, Binjai Utara, dan Binjai Barat Hamparan Perak, Labuhan Deli, Sunggal, Percut Sei Tuan, Batang Kuis, Tanjung Morawa, Lubuk Pakam, Pagar Merbau, Beringin, Pantai Labu, Patumbak, Deli Tua, Namo Rambe, dan Pancur Batu Sumber: Kawasan Metropolitan Indonesia

2 Menggunakan definisi Mebidang, daerah asal bersekolah dikelompoan menjadi dua yaitu dalam daerah dan luar daerah. Dalam daerah merupakan asal daerah mahasiswa bersekolah SMA atau sederajat yang berada pada kawasan Mebidang. Luar Daerah merupakan asal daerah mahasiswa bersekolah SMA atau sederajat yang berada pada kawasan di luar Mebidang. Konsep Mebidang penulis gunakan sebagai perbandingan potensi mahasiswa yang bersekolah SMA atau sederajat. Mebidang dipilih sebagai dasar pengelompoan karena kawasan metropolitan memberikan gambaran kemajuan kota di dalam kawasan tersebut di berbagai bidang. 2.2 Skala Pengukuran Kesesuaian antara macam data dengan metode analisis statistiknya didasarkan pada skala pengukuran datanya. Ada empat macam skala pengukuran yaitu: 1. Skala nominal Angka yang berfungsi hanya untuk membedakan, merupakan identitas/lambang/simbol, urutan tidak berlaku, operasi matematika juga tidak berlaku, misalnya jenis kelamin. 2. Skala ordinal Angka yang berfungsi sebagai nominal dan juga menunjuan urutan, misalnya tingkat kualitas. 3. Skala interval Angka yang selain berfungsi sebagai nominal dan ordinal juga menunjuan jarak yang sama, titik nol letaknya sembarang dan dipergunakan untuk rating misalnya kenaikan suhu. 4. Skala rasio Angka yang berfungsi sebagai nominal, ordinal dan interval. Skala rasio memiliki titik nol yang tidak sembarang misalnya tinggi badan. Skala pengukuran variabel, menggambarkan pemahaman terhadap data yang dimiliki. Skala pengukuran variabel dibagi menjadi katagorik (nominal,ordinal) dan numerik (rasio,interval)

3 2.3 Klasifikasi Data Data merupakan kumpulan angka atau huruf hasil dari penelitian terhadap sifat/karakteristik yang diteliti. Menurut Sudjana (2005) data menurut sumbernya terbagi dua jenis yaitu: a. Data intern adalah data yang diambil/diperoleh dari dalam suatu badan usaha atau dirinya sendiri, misalnya data hasil penjualan pegawai perusahaan A. b. Data ekstern adalah data yang diperoleh di luar suatu badan atau dirinya sendiri, misalnya data hasil penjualan perusahaan A digunakan perusahaan B maka perusahaan B menggunakan data ekstern. Data ekstern dibagi menjadi dua yaitu ekstern primer (data primer) dan data ekstern sekunder (data sekunder). Jika data itu diperoleh/dikumpulkan dan diolah oleh badan yang sama atau dirinya sendiri maka disebut data primer misalnya data hasil wawancara. Jika data yang diperoleh dari badan atau instansi lain disebut data sekunder misalnya data BPS. Menurut Sudjana (2005) berdasarkan bentuk/jenis data dibagi menjadi dua jenis yaitu: a. Data yang berbentuk bilangan disebut data kuantitatif atau numerik. Menurut nilainya, dikenal dua golongan data kuantitatif ialah: 1. Data dengan variabel diskrit (data diskrit) merupakan data hasil menghitung dan mebilang misalnya Kabupaten B sudah membangun 85 gedung sekolah. 2. Data dengan variabel kontinu (data kontinu) merupakan data hasil pengukuran misalnya tinggi badan seseorang 155 cm. b. Data yang berbentuk bukan bilangan disebut data kualitatif atau data katagorik, misalnya katagori mahasiswa berprestasi dan tidak berprestasi. Data katagorik merupakan data dimana variabel-variabelnya dapat dikelompoan menjadi beberapa kelompok atau katagori seperti jenis kelamin, agama yang dianut atau ras kulit dari responden. Menurut Bayo lawal (2003) data

4 katagorik muncul setiap kali variabel diukur pada skala yang hanya mengklasifikasikan responden ke dalam sejumlah kelompok. Dengan demikian, data katagorik dari hasil suatu pengamatan mengandung variabel-variabel yang berkatagorik. Dalam analisis statistik seringkali data numerik dirubah ke dalam data katagorik dengan cara dilakukan pengelompokan/pengklasifikasian. 2.4 Variabel (Peubah) Isi data pada umumnya bervariasi sehingga muncul istilah variabel. Oleh karena itu, variabel merupakan karakteristik yang nilai datanya bervariasi dari satu pengukuran ke pengukuran berikutnya. Menurut Saefuddin, d (2009) variabel (peubah) menurut sifatnya dibedakan menjadi dua jenis yaitu: 1. Variabel (peubah) kuantitatif adalah peubah yang sifatnya kontinu dan hasil pengukuran merupakan nilai pendekatan yang tergantung kepada ketelitian alat ukur yang digunakan. Nilai sebenarnya dari peubah tersebut sulit dinyatakan oleh nilai tunggal tertentu tetapi dalam bentuk selang nilai. Misalnya tinggi badan seseorang 160 cm. 2. Variabel (peubah) kualitatif adalah peubah yang nilai-nilainya ditetapkan menurut katagori tertentu dinamakan variabel (peubah) katagorik. Variabel (peubah) katagorik sifatnya terputus atau diskrit. Atribut pengamatan dalam hal ini dikelaskan kedalam katagori-katagori tertentu yang tidak saling tumpang tindih. Misalnya jenis kelamin yaitu perempuan dan laki-laki. Variabel kuantitatif dikenal sebagai variabel numerik sedangkan variabel kualitatif dikenal sebagai variabel katagorik. Variabel katagorik pada umumnya berisi variabel yang berskala nominal dan ordinal. Menurut Bayo lawal (2003) ada dua jenis variabel katagorik yaitu variabel nominal dan ordinal. Variabel nominal adalah sekumpulan katagori yang saling lepas dan tidak memiliki urutan. Variabel ordinal adalah sekumpulan kategori yang memiliki urutan. Variabel numerik berisi variabel yang berskala interval dan rasio.

5 2.5 Distribusi Poisson Menurut Saefuddin, d (2009) apabilla rataan banyaknya sukses dalam selang pengamatan tersebut diketahui sebesar μμ, maka distribusi poisson yang menyatakan peluang diperolehnya sukses sebanyak xx pada selang tertentu adalah: pp(xx; μμ) = ee μμ μμ xx, xx = 0,1,2,, ; ee = 2,71828 (2.1) xx! Keterangan: μμ = rataan banyaknya sukses xx = banyaknya kejadian sukses ee = eksponensial Menurut Sudjana (2005) distribusi Poisson sering digunakan untuk menetukan peluang sebuah peristiwa yang dalam area kesempatan tertentu diharapkan terjadinya sangat jarang. Distribusi Poisson dapat dianggap sebagai pendekatan terhadap distribusi Binomial. Jika dalam hal distribusi binom, jumlah observasi nn cukup besar sedangkan peluang terjadinya peristiwa AA adalah pp sangat dekat kepada nol sedemikian sehingga λλ = nn. pp tetap, maka distribusi Binomial sangat baik didekati oleh distribusi Poisson. Pendekatan ini sering dilakukan jika nn 50 sedangkan nn. pp < 5 atau pp < 0,1 2.6 Model Pengambilan Sampel Menurut Stephen E. Fienberg (2007) dalam membentuk suatu tabel kontingensi harus berdasarkan cara pengambilan sampel untuk tiap sel yang terkandung. Sebagai asumsi distribusi frekuensi pengamatan dalam tiap sel tabel kontingensi maka digunakan suatu model pengambilan sampel. Ada tiga jenis model pengambilan sampel yang sering digunakan pada data klasifikasi silang yaitu:

6 1. Poisson: Kumpulan observasi mengikuti proses poisson, tiap sel pada klasifikasi silang diamati pada suatu interval waktu tertentu. Pengamatan sampel yang dilakukan untuk setiap sel dalam tabel ini tanpa diketahui lebih dulu banyaknya jumlah observasi yang akan diambil. 2. Multinomial: Jumlah sampel sebanyak nn telah ditentukan, kemudian setiap individu sampelnya diklasifikasikan ke dalam sel tabel kontingensi yang bersesuaian. 3. Product Multinomial: Setiap katagori pada variabel baris mengikuti pengambilan sampel multinomial dengan ukuran sampel xx ii+ dan klasifikasi setiap anggota pada sampel menurut katagori variabel kolom (peran baris dan kolom bertukar tempat). Pada penulisan skripsi ini data yang ada diperoleh melalui pengambilan sampel dengan model multinomial. 2.7 Tabel Kontingensi Menurut Razia Azen dan Cindy M. Walker (2011) ketika subyek atau objek diklasifikasikan secara simultan oleh dua atau lebih atribut, hasil pada klasifikasi silang dapat disusun dengan baik sebagai tabel hitung yang disebut tabel kontingensi. Tabel kontingensi digunakan untuk melihat hubungan antara dua atau lebih variabel katagorik. Penggunaan tabel kontingensi yang akan dibahas pada penelitian ini penulis kelompoan menjadi dua yaitu tabel kontingensi dua dimensi dan tabel kontingensi tiga dimensi. 1. Tabel Kontingensi Dua Dimensi Menurut G. Tutz (2012), nilai sel nn iiii adalah nilai observasi dengan sel(ii, ) dengan nn AA = ii, nn BB =. Tabel kontingensi dua dimensi merupakan klasifikasi antar variabel 1 misal variabel observasi A yaitu nn AA sebagai baris dengan tingkat ii = 1,2,, II dan variabel 2 misal variabel observasi B yaitu

7 nn BB sebagai kolom dengan tingkat = 1,2,, JJ. Penyajian dalam daftar baris dan kolom tersebut biasa dikenal dengan tabel kontingensi dua dimensi. Jika data disajikan dalam bentuk tabel frekuensi menurut variabel katagorik AA dan BB yang mempunyai dua baris dan dua kolom disebut tabel kontingensi 2 2. Data yang disusun dalam tabel katagorik II JJ sebagai berikut: Tabel 2.2 Tabel Kontingensi II JJ 1 2 JJ 1 nn 11 nn 12 nn 1JJ nn 1+ nn AA 2 nn 21 II nn II1 nn IIII nn II+ nn +1 nn +JJ Sumber: G. Tutz (2012) nn BB Keterangan: JJ nn +ii = =1 nn iiii, nn + = II ii=1 nn iiii nn +ii = jumlah marginal pada variabel baris nn + = jumlah marginal pada variabel kolom Subskrip + menyatakan penjumlahan pada indeks tersebut. 2. Tabel Kontingensi Tiga Dimensi Menurut G Tutz (2012), nilai sel nn iiiiii adalah nilai observasi dengan sel (ii,, ) dengan nn AA = ii, nn BB =, nn CC =. Tabel kontingensi tiga dimensi merupakan klasifikasi antar variabel 1 misal variabel observasi A yaitu nn AA sebagai baris dengan tingkat ii = 1,2,, II dan variabel 2 misal variabel observasi B yaitu nn BB sebagai kolom dengan tingkat = 1,2,, JJ dan variabel 3 misal variabel observasi C yaitu nn CC sebagai layer dengan tingkat = 1,2,, KK maka data tersebut dapat disusun dalam tabel kontingensi I J K sebagai berikut:

8 Tabel 2.3 Tabel Kontingensi II JJ KK nn CC nn AA nn BB 1 2 KK Jumlah 1 1 nn 111 nn 112 nn 11KK nn nn 121 nn 122 J nn 1JJ1 nn 1JJJJ nn 1JJ nn 211 nn 212 nn 21KK nn nn 221 nn 222 JJ nn 2JJ1 nn 2JJJJ nn 2JJJJ nn 2JJ + II 1 nn II11 nn II12 nn II1KK nn II1+ 2 nn II21 nn II22 JJ nn IIII1 nn IIIIII nn IIII + Sumber: G Tutz (2012) di mana JJ KK nn ii++ = nn iiiiii =1 =1 II KK nn + + = nn iiiiii ii=1 =1 II JJ nn ++ = nn iiiiii ii=1 =1 Keterangan: nn ii++ = jumlah marginal pada variabel baris nn + + = jumlah marginal pada variabel kolom nn ++ = jumlah marginal pada variabel layer Subskrip + menyatakan penjumlahan pada indeks tersebut.

9 2.8 Model Loglinier Menurut Razia Azen dan Cindy M. Walker (2011) model loglinier digunakan untuk memodelkan jumlah sel pada tabel kontingensi. Tujuan yang ingin dicapai pada model loglinier adalah mengestimasi parameter yang menjelaskan hubungan antar variabel kategori. Tidak adanya perbedaan antara variabel penjelas dengan variabel respon, sehingga model loglinier hanya dapat menggambarkan struktur interaksi antar variabelnya. Analisis log linier merupakan perluasan dari tabel kontingensi dua dimensi di mana hubungan bersyarat di antara dua atau lebih variabel kategori diskrit dianalisis dengan mengambil logaritma natural dari frekuensi sel pada tabel kontingensi. Model loglinier yang akan dibahas adalah model loglinier dua dimensi dan model loglinier tiga dimensi. 1. Model Loglinier Pada Tabel Kontingensi Dua Dimensi a. Model Loglinier Independen Andaikan probabilitas sel pada tabel kontingensi dua dimensi adalah ππ iiii dengan jumlah observasi nn dan nilai harapan mm iiii = nn. ππ iiii. Berdasarkan sifat independen maka mm iiii = nn. ππ ii+. ππ + dimana ππ ii+ adalah probabilitas dari variabel baris AA dan ππ + adalah probabilitas dari variabel kolom BB. Ketika praktek, ππ iiii tidak diketahui yang diamati adalah nn iiii, sehingga probabilitas harus ditaksir untuk mencari frekuensi harapan. Besarnya probabilitas dapat dihitung dengan ππ ii+ = nn ii+ nn estimasi nilai harapannya sebagai berikut: mm iiii = nn. ππ ii+. ππ + = (nn ii+)(nn + ) nn Keterangan : mm iiiiii = nilai harapan, ππ + = nn + nn, sehingga (2.2) JJ nn ii+ = =1 nn iiii = jumlah marginal pada variabel baris ke ii nn + = II ii=1 nn iiii nn = nn ++ = nn iiii = jumlah marginal pada variabel kolom ke II ii=1 JJ =1 = jumlah seluruh nilai observasi ke iiii

10 Setelah terbentuk tabel kontingensi dua dimensi, model loglinier akan menggambarkan pola hubungan antar variabel katagorik. Model independen logliniernya berdasarkan peluang yaitu: ll iiii = μμ + λλ AA BB ii + λλ (2.3) Keterangan: ii = 1,2,, II dan = 1,2,, JJ ll iiii = ln mm iiii = logaritma natural dari frekuensi harapan sel ke iiii μμ = parameter rataan umum λλ AA ii = parameter pengaruh utama variabel pertama (AA) pada katagori ke ii λλ BB = parameter pengaruh utama variabel kedua (BB) pada katagori ke b. Model Loglinier Lengkap Frekuensi harapan pada model loglinier lengkap sama dengan nilai observasinya mm iiii = nn iiii. Model umum disebut juga model saturated. Model lengkap pada dua dimensi sebagai berikut: ll iiii = μμ + λλ AA ii + λλ BB AAAA + λλ iiii (2.4) Keterangan: ii = 1,2,, II dan = 1,2,, JJ ll iiii = ln mm iiii = logaritma natural dari frekuensi harapan sel ke iiii μμ = parameter rataan umum AA λλ ii = parameter pengaruh utama variabel pertama (AA) pada katagori ke ii BB λλ = parameter pengaruh utama variabel kedua (BB) pada katagori ke λλ AAAA iiii = parameter pengaruh interaksi variabel pertama (AA) katagori ke ii dengan variabel kedua (BB) katagori ke 2. Model Loglinier Pada Tabel Kontingensi Tiga Dimensi Model loglinier tiga dimensi merupakan pengembangan model loglinier dua dimensi. Semakin banyak dimensi pada tabel kontingensi maka semakin

11 banyak model loglinier yang dianalisis. Pada tabel tiga dimensi, model-model loglinier tersebut sebagai berikut: Tabel 2.4 Model-model Loglinier Tiga Dimensi Model a ll iiiiii = μμ + λλ ii AA + λλ BB + λλ CC Interpretasi Variabel saling independen Simbol Model (AA, BB, CC) Tipe Mutually Independent ll iiiiii = μμ + λλ AA ii + λλ BB +λλ CC + AAAA λλ iiii ll iiiiii = μμ + λλ AA ii + λλ BB + λλ CC + λλ AAAA AAAA iiii + λλ iiii ll iiiiii = μμ + λλ AA ii + λλ BB + λλ CC + λλ AAAA AAAA iiii + λλ iiii +λλ BBBB ll iiiiii = μμ + λλ ii AA + λλ BB +λλ CC + λλ iiii AAAA + λλ iiii AAAA AAAAAA CC independen terhadap AA dan BB BB dan CC independen dengan syarat AA Setiap dua variabel berhubungan dengan variabel ketiga Ketiga variabel berhubungan (AAAA, CC) (AAAA, AAAA) (AAAA, AAAA, BBBB) (AAAAAA) Jointly Independent Conditionally independent Homogeneous Association General Model +λλ BBBB + λλ iiiiii a Formula untuk model yang tidak tertulis memiliki kemiripan, misalnya untuk (XZ, Y), ll iiiiii = μμ + λλ ii AA + λλ BB +λλ CC + λλ iiii AAAA. Sumber: Agresti (2002) Pada tabel 2.4 model umum loglinier tiga dimensi yaitu: ll iiiiii = μμ + λλ AA BB ii + λλ +λλ CC + λλ AAAA iiii + λλ AAAA iiii + λλ BBBB AAAAAA + λλ iiiiii (2.5) Keterangan: ii = 1,2,, II ; = 1,2,, JJ dan = 1,2,, KK ll iiiiii = ln mm iiiiii = logaritma natural dari frekuensi harapan sel ke iiiiii μμ λλ ii AA λλ BB = parameter rataan umum = parameter pengaruh utama variabel pertama (AA) pada katagori ke ii = parameter pengaruh utama variabel kedua (BB) pada katagori ke λλ CC = parameter pengaruh utama variabel ketiga (CC) pada katagori ke

12 λλ iiii AAAA = parameter pengaruh interaksi variabel pertama (AA) katagori ke ii dengan variabel kedua (BB) katagori ke λλ iiii AAAA = parameter pengaruh interaksi variabel pertama (AA) katagori ke ii dengan variabel ketiga (CC) katagori ke λλ BBBB = parameter pengaruh interaksi variabel kedua (BB) katagori ke dengan variabel ketiga (CC) katagori ke λλ AAAAAA iiiiii = parameter pengaruh interaksi variabel pertama (AA) katagori ke- ii variabel kedua (BB) katagori ke- dengan variabel ketiga (CC) katagori ke 2.9 Kendala Parameter Menurut Agresti (2002) perbedaan software menggunakan perbedaaan kendala. Menurut Bayo lawal (2003) penggunaan software menggunakan PROC GENMOD pada SPSS sehingga identifikasi kendala yaitu untuk hanya parameter pada katagori terakhir dari setiap variabel dan hubungan interaksinya yang diatur bernilai nol. Ini disebut means model atau μμ-model. Identifikasi kendala penting dilakukan agar tidak overparameterized. Menurut A. W. Vogelesang (1996) Metode yang lain untuk membatasi jumlah parameter pada model adalah ANOVA-model, yang mana jumlah parameter pada setiap pengaruh adalah nol. Pada ANOVA-model, rata-rata umum merupakan intercept sedangkan pada μμ-model rata-rata umum ditambah parameter pada setiap tingkat terakhir variabel merupakan intercept, ini artinya bahwa pengurangan tingkat terakhir pada setiap tingkat variabel. Pada penelitian ini menggunakan kendala μμ-model. Misalkan untuk model dua dimensi pada persamaan (2.4) maka estimasi adalah μμ = ln nn IIII = ll IIII λλ iiaa = ll iiii ll IIII λλ BB = ll IIII ll IIII λλ iiii AAAA = ll iiii ll iiii ll IIII + ll IIII Dengan kendala

13 λλ IIAA = λλ JJBB = 0,0 dan λλ iiii AAAA = λλ IIII AAAA = λλ IIII AAAA = 0,0 Dimana ll iiii = ln nn IIII ; ll iiii = ln nn iiii Menggunakan cara yang sama untuk ll IIII, ll IIII, ll iiii. Jika diketahui nilai harapan, model dapat ditaksir estimasinya dengan yaitu dengan substitusi ll iiii = ln mm iiii dimana ii = 1,2,, II ; = 1,2,, JJ. Model tiga dimensi pada persamaan (2.5) maka estimasi adalah μμ λλ iiaa λλ BB = ln nn IIIIII = ll IIIIII = ll iiiiii ll IIIIII = ll IIIIII ll IIIIII λλ iiii AAAA = ll iiii + ll iiii + ll IIII + + ll IIII + λλ iiii AAAA = ll ii+ ll ii+kk ll II+ + ll II+JJ λλ iiiiii AAAAAA = ll iiiiii ll iiiiii ll IIIIII + ll IIIIII Estimasi yang serupa untuk parameter λλ CC dan λλ BBBB. Dengan kendala λλ IIAA = λλ JJBB = λλ KKCC = 0,0 λλ iiii AAAA = λλ IIII AAAA = λλ BBBB = λλ JJJJ BBBB = λλ iiii AAAA = λλ IIII AAAA = 0,0 λλ iiiiii AAAAAA = λλ iiiiii AAAAAA = λλ IIIIII AAAAAA = 0,0 dimana ll iiiiii = ln nn iiiiii ; ll iiiiii = ln nn iiiiii KK ll iiii + = KK =1 ln nn iiiiii ; ll IIII + = =1 ln nn IIIIII ; ll IIII + = =1 ln nn IIIIII Menggunakan cara yang sama untuk ll iiiiii, ll IIIIII, ll IIII +, ll iiii +, ll ii+, ll ii+kk dimana ii = 1,2,, II ; = 1,2,, JJ. KK 2.10 Prinsip Hirarki Menurut Bayo lawal (2003) model loglinier menggunakan prinsip hierarki yaitu jika order pengaruh yang lebih tinggi ada dalam model maka order terendah juga ada dalam model. Menurut Razia Azen dan Cindy M.Walker (2011) pada tiga

14 variabel, jika ada interaksi dua arah yang masuk ke dalam model maka pengaruh utama pada variabel juga masuk ke dalam model. Misal mengikuti model loglinier secara hirarki jika ada mengandung dua interaksi yaitu satu untuk AA dan BB dan satu untuk AA dan CC, maka juga mengandung pengaruh utama semua tiga variabel: ll iiiiii = μμ + λλ AA ii + λλ BB + λλ CC + λλ AAAA AAAA iiii + λλ iiii (2.6) Jika ada salah satu dari pengaruh utama yang tidak masuk ke dalam model maka model tidak hirarki Statistik Cukup Minimal dan Fungsi Likelihood Setelah diperoleh model loglinier yang terbaik, maka selanjutnya melakukan estimasi parameter dari model loglinier tersebut. Estimasi suatu parameter dalam model loglinier berarti menaksir nilai harapan tiap sel pada tabel kontingensi. Misalkan terpilih model (AAAA, BBBB), maka untuk mendapatkan estimasi parameter μμ, λλ AA ii, λλ BB, λλ CC, λλ AAAA AAAA iiii, λλ iiii adalah dengan estimasi nilai mm iiiiii. Metode penaksiran yang digunakan adalah metode maksimum likelihood adalah prosedur untuk menemukan nilai estimasi dari satu atau lebih parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood. Sebelum mendapatkan estimasi nilai harapan dari model loglinier dengan metode maksimum likelihood, terlebih dahulu dicari statistik cukup dari model loglinier. Menurut Agresti (2002), sebelum menentukan kecocokan model loglinier, hal pertama yang harus diperoleh adalah statistik cukup minimal. Statistik cukup adalah tabel marginal yang melambangkan model. Menurut Bayo lawal (2003), statistik cukup minimal adalah susunan penjumlahan yang berhubungan dengan pengaruh pada model loglinier. Peluang gabungan poisson pada {nn iiiiii } adalah ee mm nn iiiiii mm iiiiii iiiiii nn iiiiii! ii (2.7) dimana hasil kali menunjuan seluruh sel pada tabel. log likelihood dari mm yaitu:

15 LL(mm) = nn iiiiii ln(mm iiiiii ) mm iiiiii ii ii (2.8) Model umum loglinier tiga dimensi (AAAAAA) pada tabel 2.3, yaitu: ll iiiiii = μμ + λλ AA ii + λλ BB + λλ CC + λλ AAAA iiii + λλ AAAA iiii + λλ BBBB AAAAAA + λλ iiiiii (2.9) Diketahui ll iiiiii = ln mm iiiiii pada persamaan (2.9), jika persamaan tersebut dirubah menjadi bentuk logaritma maka diperoleh mm iiiiii = exp μμ + λλ AA ii + λλ BB + λλ CC + λλ AAAA iiii + λλ AAAA iiii + λλ BBBB + λλ AAAAAA iiiiii (2.10) Persamaan (2.10) disubstitusi ke persamaan log likelihood, yaitu: LL(mm) = nn iiiiii ii μμ + λλ AA ii + λλ BB + λλ CC + λλ AAAA iiii + λλ AAAA iiii + λλ BBBB + λλ AAAAAA iiiiii exp μμ + + λλ AAAAAA iiiiii ii AA LL(mm) = nnμμ + nn ii++ λλ ii + nn + + λλ BB CC AAAA + nn ++ λλ + nn iiii + λλ iiii ii ii + nn ii+ λλ iiii AAAA + ii nn + λλ BBBB + nn iiiiii λλ AAAAAA iiiiii ii exp μμ + + λλ AAAAAA iiiiii. (2.11) ii Notasi λλ merupakan parameter-parameter dalam model yang menjelaskan respon dari masing-masing variabel. Pada persamaan (2.11), {nn ii++ }, {nn + + } dan {nn ++ } merupakan koefisien dari masing-masing parameter dan jika {nn ii++ }, {nn + + } dan {nn ++ } berdiri sendiri tanpa diikuti oleh parameter-parameter maka {nn ii++ }, {nn + + } dan {nn ++ } adalah statistik cukup. Beberapa statistik cukup sesuai model sebagai berikut: Tabel 2.5 Statistik Cukup Minimal pada Model Loglinier

16 Model Statistik Cukup Minimal (AA, BB, CC) {nn ii++ }, {nn + + }, {nn ++ } (AAAA, CC) {nn iiii + }, {nn ++ } (AAAA, BBBB) {nn iiii + }. {nn + } (AAAA, AAAA, BBBB) {nn iiii + }, {nn ii+ }, {nn + } Sumber: Agresti (2002) Menurut Agresti (2002), nilai harapan pada suatu model merupakan penyelesaian menggunakan persamaan likelihood. Derivatif persamaan likelihood terhadap parameter-parameternya masing-masing disama dengankan nol sehingga diperoleh statistik cukup sama dengan nilai harapan. Misalkan untuk model (AAAA, BBBB). Log likehood persamaan (2.10) dengan λλ AAAA iiii = λλ AAAAAA iiiiii = 0. Derivatif persamaan log likelihood 1. Derifatif L(m) terhadap μμ L(m) μμ = nn eeeeee μμ + λλ ii AA + λλ BB + λλ CC + λλ iiii AAAA + λλ BBBB ii Karena ln mm iiiiii = μμ + λλ ii AA + λλ BB + λλ CC + λλ iiii AAAA + λλ BBBB exp μμ + λλ ii AA + λλ BB + λλ CC + λλ iiii AAAA + λλ BBBB = mm iiiiii diperoleh L(m) μμ = nn mm iiiiii ii 0 = nn mm iiiiii nn = mm iiiiii ii ii nn = mm +++ (2.12) 2. Derifatif L(m)terhadap λλ ii AA L(m) = nn ii++ eeeeee μμ + λλ AA ii + λλ BB + λλ CC + λλ AAAA iiii + λλ BBBB λλ ii AA Karena ln mm iiiiii = μμ + λλ AA ii + λλ BB + λλ CC + λλ AAAA BBBB iiii + λλ exp μμ + λλ XX ii + λλ YY + λλ ZZ + λλ XXXX iiii + λλ YYYY = mm iiiiii

17 diperoleh L(m) = nn ii++ mm iiiiii λλ ii AA 0 = nn ii++ mm iiiiii nn ii++ = mm iiiiii nn ii++ = mm ii++ semua ii (2.13) Menggunakan cara yang sama untuk λλ BB. 3. Derifatif L(m)terhadap λλ iiii AAAA L(m) = nn ii+ eeeeee μμ + λλ AA ii + λλ BB + λλ CC + λλ AAAA iiii + λλ BBBB λλ iiii AAAA Karena ln mm iiiiii = μμ + λλ ii AA + λλ BB + λλ CC + λλ iiii AAAA + λλ BBBB exp μμ + λλ AA ii + λλ BB + λλ CC + λλ AAAA iiii + λλ BBBB = mm iiiiii diperoleh L(m) = nn ii+ mm iiiiii λλ iiii AAAA 0 = nn ii+ mm iiiiii nn ii+ = mm iiiiii nn ii+ = mm ii+ semua ii dan (2.14) Menggunakan cara yang sama untuk λλ BBBB. Berdasarkan model (AAAA, BBBB) tersebut, terlihat nilai harapan mempunyai kesamaan dengan total marginal observasi data AAAA dan BBBB Estimasi Frekuensi Harapan Model Loglinier Tiga Dimensi

18 Menyelesaikan persamaan likelihood pada model (AAAA, BBBB) berdasarkan bentuk peluangnya yaitu: ππ iiiiii = ππ ii+ππ + ππ ++ untuk semua ii, dan (2.15) Bukti: Diketahui ππ(aaaa) = ππ(bb)ππ(aa BB) Jika AA dan BB bebas bersyarat CC berlaku, ππ(aaaaaa) = ππ(cc)ππ(aaaa CC) = ππ(cc)ππ(aa CC)ππ(BB CC) = ππ(cc) ππ(aaaa) ππ(bbbb) ππ(cc) ππ(cc) = ππ(aaaa)ππ(bbbb) ππ(cc) Dengan mengaitkan pada tabel kontingensi II JJ KK diperoleh: ππ iiiiii = ππ ii+ππ + ππ ++ untuk semua ii, dan mm iiiiii nn Nilai harapan multinomial pada nn observasi yaitu mm iiiiii = nn. ππ iiiiii atau ππ iiiiii = dimana mm iiiiii = mm ii+mm +. Persamaan likelihood pada (2.12), (2.13), dan mm ++ (2.14) menspesifikasi bahwa estimasi maksimum likelihood yaitu mm ii+ = nn ii+, mm + = nn + dan mm ++ = nn ++. Oleh karena estimasi maksimum likelihood pada persamaan parameter adalah persamaan yang sama pada estimasi maksimum likelihood pada parameter tersebut, mm iiiiii = mm ii+mm + mm ++ Keterangan : mm iiiiii = frekuensi harapan JJ = nn ii+. nn + nn ++ (2.16) nn ii+ = =1 nn iiiiii = jumlah marginal pada variabel baris ke ii dan layer ke nn + = nn ++ = II ii=1 nn iiiiii KK =1 nn iiiiii nn = nn +++ = nn iiiiii = jumlah marginal pada variabel kolom ke dan layer ke = jumlah marginal pada variabel layer ke II ii=1 JJ =1 KK =1 = jumlah seluruh nilai observasi ke iiiiii

19 Nilai estimasi harapan disesuaikan dengan model masing-masing Uji Kebaikan Khi Kuadrat (Chi Squared Goodness of Fit Tests) Menurut Saefuddin, d (2013) distribusi khi kuadrat digunakan sebagai uji kebaikan pengepasan (goodness of fit test). Statistik uji ini bertujuan menghitung jumlah kuadrat selisih antara nilai harapan dengan nilai observasi. Menurut S. Michael agar pengujian hipotesis dengan chi-kuadrat dapat digunakan dengan baik, maka hendaknya memenuhi asumsi sebagai berikut: 1. Random sampling tidak diperlukan, asalkan sampel tidak bias. Namun, yang terbaik cara untuk memastikan sampel tidak bias adalah pilihan acak. 2. Pengamatan bersifat independen. Asumsi penting untuk chi square adalah pengamatan yang independen. 3. Mutually exclusive baris dan kolom pada variabel katagorik yang termasuk dalam pengamatan. 4. Uji chi square tidak dapat dilakukan ketika katagori tumpang tindih atau tidak termasuk pada pengamatan. 5. Nilai harapan yang besar. Uji chi square untuk perkiraan yang terbaik ketika nilai harapan cukup besar dengan syarat tidak ada nilai harapan yang kurang dari 1 dan tidak lebih dari 20% dari nilai yang diharapkan kurang dari 5. Jika ditemukan data demikian maka dilakukan penggabungan katagori. Pada pengujian chi square dengan banyak katagori, bila terdapat lebih dari satu nilai harapan kurang dari 5 maka nilai-nilai harapan tersebut dapat digabungkan dengan konsekuensi jumlah kategori akan berkurang dan informasi yang diperoleh juga berkurang. Jika nilai observasi nn iiiiii dan nilai harapan mm iiiiii, statistik uji pearson chi square χχ 2 untuk tabel kontingensi tiga dimensi yaitu: II JJ KK χχ 2 = (nn iiiiii mm iiiiii ) 2 ii=1 =1 =1 mm iiiiii (2.17)

20 Statistika alternatif untuk menguji kebaikan pengepasan adalah uji likelihood ratio square GG 2 yaitu: II JJ KK GG 2 = 2 nn iiiiii llll nn iiiiii mm iiiiii ii=1 =1 =1 (2.18) Jika χχ hiiiiiiiiii > χχ αα;dddd atau GG hiiiiiiiiii > χχ αα;dddd maka tolak HH 0. HH 0 adalah hipotesis nol model yang ingin diuji. Taraf signifikansi (αα ) yang digunakan αα = 0,05. Nilai harapan dan derajat bebas disesuaikan dengan model yang diuji. Derajat bebas adalah banyaknya sel dalam tabel kontingensi dikurangi banyaknya parameter yang ditaksir dalam model. Tabel 2.6 Derajat Kebebasan Model Derajat Kebebasan (AA, BB, CC) IIIIII II JJ KK + 2 (AAAA, CC) (KK 1)(IIII 1) (AAAA, BB) (JJ 1)(IIII 1) (BBBB, AA) (II 1)(JJJJ 1) (AAAA, BBBB) JJ(II 1)(KK 1) (AAAA, BBBB) KK(II 1)(JJ 1) (AAAA, AAAA) II(JJ 1)(KK 1) (AAAA, AAAA, BBBB) (II 1)(JJ 1)(KK 1) (AAAAAA) 0 Sumber: Agresti (2002) Menurut Agresti (2002), nilai χχ 2 atau GG 2 yang besar menunjuan kesesuian yang rendah antara frekuensi pengamatan dengan frekuensi harapan atau model diuji kurang sesuai, dan sebaliknya. Menurut Saefuddin, d (2009) nilai χχ 2 atau GG 2 yang kecil menunjuan kesesuaian yang tinggi antara nilai observasi dengan nilai harapan, dan semakin besar nilai χχ 2 atau GG 2 menunjuan ketaksesuaian antara nilai observasi dengan nilai pengamatan yang berarti tertolaknya HH 0.

21 2.14 Uji Independensi Uji independensi adalah uji untuk melihat ada tidaknya hubungan antar dua atau lebih variabel katagorik suatu hasil observasi. Pada tabel tiga dimensi dengan peluang gabungan ππ iiiiii pada tiga variabel respon, hipotesis nol statistik independen adalah HH 0 : ππ iiiiii = ππ ii++ ππ + + ππ ++ untuk semua ii, dan ( tidak ada hubungan antara ketiga variabel) Statistik uji independensi yang digunakan adalah uji pearson chi square χχ 2 dan statistik alternatif yaitu uji likelihood ratio square GG 2. Menurut Kazmier (2005) independensi mengimplikasikan bahwa pengetahuan terhadap katagori yang menjadi dasar penggolongan observasi dalam hal satu variabel tidak ada dampaknya pada probabilitas masuknya variabel yang lain ke dalam salah satu dari beberapa katagori. Ketika tiga variabel terlibat, frekuensi yang diamati dimasuan ke dalam tabel klasifikasi tiga arah yaitu tabel kontingensi tiga dimensi II JJ KK, di mana II mengindikasi jumlah baris, JJ mengindikasi jumlah kolom, dan KK mengindikasi jumlah layer. Jika hipotesis nol tentang independensi ditolak untuk data-data tersebut, hal ini mengindikasikan bahwa dua variabel tersebut saling terikat atau dependen dan hal ini berarti terdapat hubungan antar keduanya. Berdasarkan hipotesis tentang independensi dari ketiga variabel, nilai yang diharapkan yang terkait dengan setiap sel dalam tabel kontingensi harus proporsional dengan nilai total yang diamati termasuk dalam kolom, baris dan layer yang memuat sel tersebut, yang terkait dengan ukuran sampel total. Andaikan nn ii++ adalah nilai total marginal baris, nn + + adalah nilai total marginal kolom, nn ++ adalah nilai total marginal layer, rumus nilai yang diharapkan adalah: mm iiiiii = (nn ii++) nn + + (nn ++ ) nn 2 (2.19)

22 Uji independensi memiliki nilai yang sama dengan estimasi nilai harapan pada model loglinier mutually independent. Derajat kebebasan uji independen juga sama dengan model loglinier mutually independent IIIIII II JJ KK Uji Asosiasi Parsial Uji asosiasi parsial bertujuan untuk menguji hubungan ketergantungan antara dua variabel dalam setiap level variabel (conditional association). Hubungan ketergantungan beberapa variabel yang merupakan parsial dari suatu model lengkap. Misalkan ingin menguji parameter λλ iiii AAAA = 0 yang artinya menguji model hipotesisnya adalah sebagai berikut: H 0 : variabel satu dan variabel dua independen dalam setiap level variabel tiga (λλ iiii AAAA = 0) H 1 : HH 0 (λλ AAAA iiii 0) Parameter parameter dalam model loglinier akan diuji signifikansinya dengan selisih statistik uji likelihood ratio square (deviance). Pengujian ini memerlukan selisih statistik uji likelihood ratio square (deviance) sebagai berikut: a. Statisik likelihood ratio square berdasarkan model sederhana dinyatakan dengan simbol GG 2 (mm 1 ), dengan derajat bebas dddd 1. b. Statistik likelihood ratio berdasarkan model lengkap dinyatakan dengan simbol GG 2 (mm 0 ), dengan derajat bebas dddd 0. c. Selisih statistik likelihood ratio (deviance): GG 2 [(mm 1 ) (mm 0 )] = GG 2 (mm 1 ) GG 2 (mm 0 ), dengan derajat bebas dddd = dddd 1 dddd 0. d. Jika GG 2 2 (mm 1 mm 0 ) χχ (dddd,αα) maka model mm 1 ditolak. Kemudian analisis untuk model model sederhana yang lain terhadap model lengkapnya. Model yang diterima adalah model terbaik Interpretasi Parameter Model

23 Menurut Agresti (2002) interpretasi parameter model loglinier menggunakan efek order tertinggi. Interpretasi model yang menggunakan efek dua faktor di gambarkan dengan conditional odds ratio. Odds ratio pada tabel parsial sebagai conditional odds ratio. Misalkan untuk setiap tingkat pada variabel ZZ, conditional association antara XX dan YY menggunakan (II 1)(JJ 1) odds ratio, seperti θθ iiii () = ππ iiiiii ππ ii+1, +1, ππ ii, +1, ππ ii+1,,, 1 ii II 1, 1 JJ 1. (2.20) dengan cara yang sama, (II 1)(KK 1) odds ratio {θθ ii( ) } yang menggambarkan conditional association XXXX dan (JJ 1)(KK 1) odds ratio {θθ (ii) } yang menggambarkan conditional association YYYY. Model loglinier biasa menggunakan kendala pada conditional odds ratio, misalkan conditional association antara XX dan YY maka {θθ iiii () = 1, ii = 1,, II 1, = 1,, JJ 1, = 1,, KK}. Parameter dua faktor secara langsung berhubungan terhadap conditional odds ratio, yaitu ln θθ iiii () = llll mm iiiiii mm ii+1, +1, = λλ XXXX XXXX XXXX XXXX mm ii+1, mm iiii + λλ ii+1, +1 λλ ii, +1 λλ ii+1, 1, +1, θθ iiii () = exp λλ XXXX XXXX XXXX iiii + λλ ii+1, +1 λλ ii, +1 λλ XXXX ii+1, (2.21) Karena disisi kanan sama untuk semua adalah sama, dengan tidak adanya faktor ketiga sehingga ekivalen θθ iiii (1) = θθ iiii (2) = = θθ iiii (KK) untuk semua ii dan. Model loglinier menggunakan kendala sehingga jika tabel kontingensi 2 2 maka conditional odds ratio XXXX adalah exp (λλ XXXX 11 ) karena λλ XXXX 22 = λλ XXXX 12 = λλ XXXX 21 = 0. Jika XX dan YY independen pada setiap tabel parsial, maka XX dan YY dikatakan conditionally independent, dengan syarat ZZ. Semua conditional odds ratio antara XX dan YY bernilai 1. Conditionally independent XX dan YY, syarat ZZ, tidak berarti marginal independence XX dan YY. Hal tersebut berarti ketika odds ratio antara XX dan YY bernilai 1 untuk setiap tingkatan dari ZZ, marginal odds ratio mungkin berbeda dari 1.

24 ln θθ iiii () = ln mm iiiiii mm ii+1, +1, mm ii+1, mm 1, +1, ln θθ iiii () = ln mm iiiiii + ln mm ii+1, +1, ln mm ii+1, ln mm 1, +1, = 0 θθ iiii () = exp(0) = 1 (2.22) Bernilai satu juga untuk hubungan conditionally independent lainnya. Menurut Razia Azen dan Cindy M. Walker (2011) misal XX dan YY dikatakan conditionally independent, dengan syarat ZZ, marginal dan partial odds ratio pada XX dan ZZ akan sama dengan marginal dan partial odds ratio pada ZZ dan YY.