HIERARCHICAL CLUSTERING VIA MINIMAX LINKAGE PADA PENGELOMPOKKAN KECAMATAN DI PULAU MADURA BERDASARKAN INDIKATOR PEMERATAAN PENDIDIKAN

Transkripsi

1 HIERARCHICAL CLUSTERING VIA MINIMAX LINKAGE PADA PENGELOMPOKKAN KECAMATAN DI PULAU MADURA BERDASARKAN INDIKATOR PEMERATAAN PENDIDIKAN Padmi Ganifandari, Dwiatmono Agus W. Mahasiswa Jurusan Statistika FMIPA-ITS, Dosen Jurusan Statistika FMIPA-ITS, Abstrak Pulau Madura secara geografis sangat strategis berada di antara Laut Jawa dan Selat Madura yang menyimpan banyak potensi. Madura terdiri dari empat kabupaten, yaitu Bangkalan, Sampang, Pamekasan dan Sumenep. Pendidikan sangat berpengaruh terhadap kemajuan suatu daerah dan pemerataan pendidikan sangat diperlukan karena dapat meningkatkan kesejahteraan masyarakat secara merata. Hal ini mendorong penelitianpenelitian mengenai pemerataan pendidikan semakin dikembangkan, salah satunya dalam hal pengelompokkan kecamatan berdasarkan indikator pemerataan pendidikan. Pengelompokkan kecamatan penting dilakukan dalam rangka membantu pihak terkait membuat perencanaan dan kebijakan yang sesuai, Pada penelitian ini digunakan metode single, complete, average, dan minimax linkage, kemudian dilakukan perbandingan antara keempat metode tersebut. Hasil analisis data indikator pemerataan pendidikan di kecamatan-kecamatan pulau Madura menunjukkan bahwa metode minimax linkage merupakan metode pengelompokkan terbaik dengan jumlah kelompok optimum sebanyak 3. Kata kunci : minimax linkage, pemerataan pendidikan, Madura. Pendahuluan Jembatan Suramadu adalah jembatan yang melintasi Selat Madura, menghubungkan Pulau Jawa (di Surabaya) dan Pulau Madura (di Bangkalan, tepatnya timur Kamal). Menurut Keputusan Presiden Nomor 79 Tahun 003 tentang tujuan dibangunnya jembatan Suramadu adalah untuk lebih meningkatkan pembangunan di Pulau Madura, sebagai upaya dalam memacu perluasan kawasan industri, perumahan, dan sektor lainnya, serta mendorong pertumbuhan ekonomi masyarakat dengan menghubungkan Pulau Jawa dan Madura. Tujuan tersebut dapat tercapai jika terdapat sumber daya manusia (SDM) yang kreatif dan memiliki tingkat pendidikan yang optimal. Tingkat pendidikan warga Madura selama kurun waktu sampai sekarang ini, merupakan salah satu indikator penting akan ketersediaan sumber daya manusia (SDM) lokal yang handal. Oleh karena itu, pemerataan pendidikan sangat diperlukan karena dapat meningkatkan kesejahteraan masyarakat secara merata. Hal ini mendorong penelitian-penelitian mengenai pemerataan pendidikan semakin dikembangkan, salah satunya dalam hal pengelompokkan kecamatan berdasarkan indikator pemerataan pendidikan. Pengelompokkan kecamatan penting dilakukan dalam rangka membantu pihak terkait membuat perencanaan dan kebijakan yang sesuai, khususnya untuk kecamatan di pulau Madura. Upaya pengelompokkan ini diharapkan mampu menggabungkan kecamatan yang memiliki kesamaan pada beberapa indikator pemerataan pendidikan. Metode pengelompokkan yang biasa digunakan pada hierarchical clustering yaitu single linkage, complete linkage, average linkage, dan sebagainya. Namun pada tahun 0, Jacob Bien dan Robert Tibshirani memperkenalkan metode hierarchical clustering via minimax linkage. Minimax linkage memiliki beberapa kelebihan, salah satunya yaitu robust terhadap gangguan berupa outlier. Untuk mendapatkan hasil pengelompokkan yang baik, penelitian ini melakukannya pada beberapa metode hierarchical clustering, kemudian dipilih hasil yang terbaik. Dengan adanya penelitian ini diharapkan mampu menunjukkan kelompok-kelompok kecamatan dan permasalahanpermasalahannya yang perlu mendapatkan perhatian dalam upaya pemerataan pendidikan dan diharapkan dapat membantu pemerintah dalam mengambil suatu kebijakan tentang pendidikan. Tujuan pada penelitian ini antara lain, mendapatkan karakteristik kecamatan dengan analisis statistika deskriptif, membandingkan hasil pengelompokkan kecamatan dengan metode hierarchical clustering dengan single linkage, complete linkage, average linkage, dan minimax linkage dan mendapatkan

2 kecamatan yang berkelompok dan menganalisis kaerakteristik kecamatan berdasarkan hasil pengelompokkan terbaik, dan mengelompokkan kecamatan di tiap kabupaten dengan metode minimax linkage.. Tinjauan Pustaka Untuk menyelesaikan permasalahan dalam penelitian ini, perlu adanya pendalaman teori yang akan diuraikan sebagai berikut.. Analisis Faktor Uji asumsi yang digunakan sebelum melakukan analisis faktor yaitu pengujian kecukupan data dan uji korelasi antar variabel. Secara statistik pengujian kecukupan data atau sampel dapat diidentifikasi melalui nilai Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) dan Measure of Sampling Adequency (MSA). Hipotesis dari KMO adalah sebagai berikut : H 0 : Jumlah data cukup untuk difaktorkan H : Jumlah data tidak cukup untuk difaktorkan Statistik uji : KMO = p p rij i j p p p p rij i j i j a ij MSA = p rij j p p rij j j Dimana : i =,, 3,..., p dan j =,,..., p serta i j r ij = Koefisien korelasi antara variabel i dan j a ij = Koefisien korelasi parsial antara variabel i dan j Jika nilai KMO dan MSA > 0,5 maka data cukup untuk difaktorkan. Secara umum data yang dapat digunakan untuk analisis faktor yaitu sampel data pengamatan yang digunakan harus melebihi jumlah variabel (Hair, Black, Babin, dan Anderson, 00). Pengujian korelasi antar variabel dilakukan dengan uji Bartlet, hipotesis yang digunakan sebagai berikut (Morrison, 005). H 0 : Matriks korelasi merupakan matriks identitas H : Matriks korelasi bukan matriks identitas p 5 Statistik uji : hitung ( n ) ln R () 6 Daerah Penolakan :, p( p) Keputusan : Tolak hipotesis H 0 jika hitung, p( p) Dimana, n = Jumlah observasi p = Jumlah variabel = Determinan dari matriks korelasi Analisis faktor pada prinsipnya digunakan untuk mereduksi data, yaitu proses untuk meringkas sejumlah variabel menjadi sedikit dan menamakannya sebagai faktor. Apabila terdapat vektor acak x = (x, x,..., x p ) mempunyai matrik korelasi R dan memiliki nilai mean μ maka model analisis faktor adalah : X F F F m m X p p pf pf Dimana : F j = Common factor ke-j L ij = Loading factor ke-j dari variabel ke-i ε j = specific factor ke-i pm F m p a ij () (3)

3 i =,,..., p dan j =,,..., m Nilai eigenvalue yang dijadikan acuan untuk menentukan banyaknya faktor yang terbentuk adalah nilai eigenvalue yang lebih besar dari satu. Rotasi faktor memiliki tujuan untuk menyederhanakan struktur dengan mentransformasi faktor untuk mendapatkan faktor baru yang lebih mudah untuk diinterpretasikan. Metode rotasi ada dua macam yaitu rotasi orthogonal, dan rotasi oblique. Rotasi orthogonal ada 3 macam yaitu varimax, quartimax dan equamax. (Dillon dan Goldstein, 98 diacu dalam Purwaningsih, 00). Prosedur dari metode varimax dengan meminimalkan jumlah variabel yang mempunyai loading tinggi pada suatu faktor (Norusis, 986 diacu dalam Purwaningsih, 00).. Analisis Cluster Analisis cluster atau biasa disebut analisis kelompok digunakan untuk mengelompokkan objek pengamatan berdasarkan karakteristik-karakteristik yang dimiliki. Pengelompokkan dilakukan dengan memaksimalkan kehomogenan objek pengamatan dalam satu cluster sekaligus memaksimalkan keheterogenan antar cluster. Analisis kelompok terdiri atas prosedur hirarki dan non-hirarki. Prosedur cluster hirarki terdiri atas dua metode yaitu agglomerative dan divisive. Adapun beberapa algoritma metode agglomerative yang digunakan untuk membentuk kelompok (cluster) adalah single linkage, complete linkage, dan average linkage (Johnson dan Winchern, 007). Untuk menghitung jarak antar kelompok digunakan suatu fungsi yang disebut jarak (distance). Salah satu distance adalah dengan menggunakan fiungsi jarak Euclidean dimana formulanya sebagai berikut (Johnson dan Winchern, 007) : d ij p x ik x jk k a. Single Linkage Metode pautan tunggal (single linkage) prosedurnya berdasarkan jarak minimum, dengan rumus sebagai berikut (Johnson dan Winchern, 007) : d min( d, d ) (5) ( i, j) k ik jk dimana : - d ik = jarak antara kelompok i dan k - d jk = jarak antara kelompok j dan k b. Complete Linkage Complete linkage adalah proses clustering yang didasarkan pada jarak terjauh antar obyeknya ( maksimum distance). d max( d, d ) (6) ( i, j) k ik jk c. Average Linkage Average linkage adalah proses clustering yang didasarkan pada jarak rata-rata antar obyeknya (average distance). d average( d, d ) (7) ( i, j) k ik jk d. Minimax Linkage Bien dan Thibshirani (0), minimax linkage merupakan metode hierarchical clustering yang dikembangkan dari metode single, complete, dan average linkage serta centroid linkage. Minimax linkage adalah pengelompokkan berdasarkan nilai minimum dari jarak yang maksimum. Definisi minimax linkage antar dua cluster G dan H yaitu : d ( G, H ) min max d ( x, x') (8) xg H x' G H Sifat-sifat minimax linkage yaitu :. Dendrogram dari minimax linkage tidak memiliki inversions.. Minimax linkage menghasilkan k-group yang terstruktur dengan baik. Sebuah linkage dapat menghasilkan k-group yang terstruktur dengan baik jika pada cluster C,,C k jarak antar semua anggota cluster lebih kecil daripada jarak antar cluster (homogenitas dalam cluster lebih besar daripada heterogenitas antar cluster). Hierarchical clustering akan terbentuk setelah proses penggabungan sebanyak n k. 3. Adanya jarak antar anggota cluster yang sama tidak mempengaruhi bentuk cluster dan memiliki sifat transformasi monoton. Transformasi monoton akan memelihara jarak antar anggota cluster, 3 ()

4 paling tidak mendekati jarak awalnya. Single dan complete linkage juga memiliki kedua sifat tersebut, sedangkan average linkage tidak memilikinya. Kedua sifat ini menunjukkan bahwa minimax linkage robust terhadap gangguan, misalnya gangguan berupa outlier. Fisher dan Van Ness (97) menyatakan bahwa aspek pengukuran jarak pada cluster lebih penting daripada kepadatan (jumlah) point dalam cluster.. Minimax linkage memenuhi sifat reducibility. Gordon (987), clustering yang menggunakan linkage juga membutuhkan sifat reducibility, dimana untuk setiap cluster G, G, H, d(g G, H) min{ d(g, H), d(g, H)} (9) Reducibility menunjukkan bahwa cluster baru yang terbentuk yaitu G G memiliki jarak sejauh mungkin dengan H, daripada jarak antara G atau G terhadap H. Misalkan, jika J dan H memilki jarak yang dekat sebelum penggabungan G dan G maka J dan H akan tetap tetap dekat setelah G dan G digabung (Murtagh, 983). Algoritma : Mulai dengan C 0 = {{x },,{x n }} dan d({x i },{x j }) = d(x i,x j ) untuk semua i j Untuk l =,,n :.Temukan sebuah pasangan (G, G ) yang memiliki jarak terdekat (RNN / reciprocal nearest neighbor).hitung d(g G, H) untuk semua HC l 3. Ulangi langkah (), dengan G dan G awal telah berkelompok Dimana l adalah jumlah pengamatan. Pemilihan metode cluster yang terbaik dapat dilakukan dengan analisa cluster. Analisa cluster bisa diperoleh dari kepadatan cluster yang terbentuk (cluster density). Kepadatan suatu cluster bisa ditentukan dengan variance within cluster (Vw ) dan variance between cluster (Vb ) (Man, Lim, Jian, Yue, 009 diacu dalam Martiana, Rosyid, Agusetia, 00). Varian tiap tahap pembentukan cluster bisa dihitung dengan rumus : n Vc yi yc nc i (0) Dimana : V c = varian pada cluster c c = k, dimana k = jumlah cluster n c = jumlah data pada cluster c y i = data ke-i pada suatu cluster y c = rata-rata dari data pada suatu cluster Selanjutnya dari nilai varian diatas, kita bisa menghitung nilai variance within cluster (Vw ) dan nilai variance between cluster (Vb ) dengan rumus : c Vw n i V i Vb N c i c c i n i i y y Dimana : N = jumlah semua data n i = jumlah data cluster i V i = varian pada cluster i y = rata-rata dari yi Salah satu metode yang digunakan untuk menentukan cluster yang ideal adalah batasan variance, yaitu dengan menghitung kepadatan cluster berupa variance within cluster (Vw ) dan variance between cluster (Vb ). Cluster yang ideal mempunyai Vw minimum yang mempresentasikan internal homogeneity dan maksimum Vb yang menyatakan external homogeneity. Vw V Vb () ()

5 Penentuan jumlah cluster optimum dapat ditentukan dengan pola pergerakan varian. Identikasi pola pergerakan varian merupakan metode untuk memperoleh cluster yang mencapai global optimum (Arai, Barakbah, 007). Posisi yang mungkin untuk menemukan global optimum pada pergerakan varian, dikelompokkan menjadi yaitu hill-climbing dan valley-tracing (Noor dan Hariadi, 009). Pada valley-tracing didefinisikan bahwa kemungkinan mencapai global optimum terletak pada tahap ke-i, jika memenuhi persamaan berikut : v v v v i i i i (3) Dimana V i = varian pada cluster ke-i hasil perbandingan Vw dengan Vb, i =..k, dan k tahap terakhir pembentukan cluster. Selanjutnya, baik dengan pendekatan metode valley-tracing maupun hill-climbing dilakukan identifikasi perbedaan nilai tinggi ( ) pada tiap tahap, yang didefinisikan dengan : v v xv i i i () Nilai digunakan untuk menghindari local optima, dimana persamaan ini diperoleh dari maksimum yang dipenuhi pada persamaan. Untuk mengetahui keakuratan dari suatu metode pembentukan cluster pada hierarchical method, baik menggunakan valley-tracing maupun hillclimbing, digunakan persamaan berikut. max nilai _ terdekat _ ke _ max Dimana : Nilai terdekat ke max ( ) adalah nilai kandidat max ( ) sebelumnya. Nilai φ yang lebih besar dari, menunjukkan cluster yang terbentuk merupakan cluster yang wellseparated / terpisah dengan baik. Jika nilai φ bertanda negatif berarti global optimum yang ditentukan telah benar dan cluster yang terbentuk terpisah dengan baik (Arai, Barakbah, 007)..3 Definisi Operasional Indikator Pemerataan Pendidikan Puspowati (009), menurut UU no 0 tahun 003, pendidikan adalah suatu usaha sadar untuk menyiapkan peserta didik melalui kegiatan bimbingan, pengajaran dan atau latihan bagi peranannya di masa yang akan datang. Definisi operasional enam variable tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut :. APK (Angka Partisipasi Kasar) Hasil perhitungan APK digunakan untuk mengetahui banyaknya anak yang bersekolah di suatu jenjang pendidikan tertentu pada wilayah tertentu. APK = jumlah murid jenjang tertentu jumlah penduduk usia sekolah. APM (Angka Partisipasi Murni) Indikator APM digunakan untuk mengetahui banyaknya anak usia sekolah yang bersekolah pada suatu jenjang pendidikan yang sesuai. Kelompok umur untuk usia SD 7- tahun, SMP 3-5 tahun, SMA 6-8 tahun. Besarnya APM di suatu daerah dapat dihitung dengan rumus berikut : APM = jumlah murid usia jenjang tertentu jumlah penduduk usia sekolah 3. Rasio Murid-Guru Indikator rasio murid dengan guru digunakan untuk menggambarkan beban kerja guru dalam mengajar. Indikator ini juga dapat digunakan untuk melihat mutu pengajaran di kelas karena semakin tinggi nilai rasio ini berarti semakin berkurang tingkat pengawasan atau perhatian guru terhadap murid sehingga mutu pengajaran cenderung semakin rendah. Rasio Murid_Guru = jumlah murid jumlah guru. Rasio Murid-Kelas Indikator rasio murid dengan kelas digunakan untuk menggambarkan kepadatan kelas pada suatu jenjang pendidikan. Rasio Murid_Kelas = jumlah murid jumlah ruang kelas (6) (7) (8) (9) (5) 5

6 5. Rasio Murid-Sekolah Indikator rasio murid dengan sekolah digunakan untuk menggam-barkan rata-rata daya tampung per sekolah. Rasio Murid_Sekolah = jumlah murid jumlah sekolah 6. Angka Shift Angka yang diperoleh memberikan gambaran tentang waktu penyelenggaraan proses belajar mengajar. jumlah rombongan belajar Angka Shift = () jumlah ruang kelas Apabila angka shift >, maka waktu penyeleng-garaan proses belajar mengajar tidak dilakukan pada waktu yang bersamaan (lebih dari satu kali).. Penelitian Sebelumnya Terdapat beberapa penelitian yang telah dilakukan yang berkaitan dengan pengelompokkan kecamatan berdasarkan indikator pemerataan pendidikan, di antaranya adalah penelitian Puspowati (009) yang meneliti pengelompokkan kecamatan di kabupaten Malang berdasarkan indikator pemerataan pendidikan. Dalam peneitiannya, Puspowati menggunakan data kecamatan di kabupaten Malang dan menggunakan metode self organizing maps (SOM). Pada penelitian saat ini akan digunakan data kecamatan di pulau Madura dan menggunakan metode hierarchical clustering via minimax linkage. Penelitian tentang metode hierarchical clustering via minimax linkage telah dilakukan oleh Jacob dan Tibshirani (0). Minimax linkage memiliki beberapa kelebihan, antara lain dendrogram dari minimax linkage tidak mempunyai susunan yang terbalik dan robust terhadap beberapa gangguan pada dataset. Dengan demikian, pengelompokkan kecamatan di pulau Madura dengan metode hierarchical clustering via minimax linkage dapat menghasilkan kelompok-kelompok kecamatan yang memiliki homogenitas tinggi. 3. Metodologi Penelitian Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder mnegenai indikator pemerataan pendidikan 00/0 yang didapat dari Dinas Pendidikan Jawa Timur. Variabel penelitian yang digunakan yaitu APK (Angka Partisipasi Kasar), APM (Angka Partisipasi Murni), rasio murid dengan guru, rasio murid dengan kelas, rasio murid dengan sekolah, dan angka shift untuk jenjang SD, SMP, dan SMA. Variabel-variabel tersebut dihitung untuk masing-masing kecamatan di pulau Madura. Kabupaten Bangkalan memiliki 8 kecamatan, Sampang memilki kecamatan, Pamekasan memiliki 3 kecamatan, dan Sumenep memiliki 7 kecamatan. Jadi, terdapat 7 kecamatan di pulau Madura. Setelah data terkumpul dan variabel penelitian ditentukan maka langkah-langkah dalam menganalisis data adalah sebagai berikut.. Melakukan analisis statistika deskriptif yaitu rata-rata, varians, nilai minimum, nilai maksimum, dan boxplot dari masing-masing variabel.. Membandingkan hasil pengelompokkan kecamatan di pulau Madura berdasarkan indikator pemerataan pendidikan dengan metode hierarchical clustering dengan single linkage, complete linkage, average linkage, dan minimax linkage dan mendapatkan kecamatan di pulau Madura yang berkelompok berdasarkan hasil pengelompokkan terbaik dengan langkah- langkah sebagai berikut. a. Mereduksi dimensi data dengan menggunakan analisis faktor. Analisis faktor juga berguna untuk menghilangkan korelasi jika antar variabel pada data terdapat korelasi. Sebelum melakukan analisis faktor, terlebih dahulu melakukan uji KMO dan MSA serta uji Bartlett pada data. b. Melakukan pengelompokkan kecamatan-kecamatan di pulau Madura berdasarkan indikator pemerataan pendidikan dengan menggunakan metode hierarchical clustering dengan single linkage, complete linkage, average linkage, dan minimax linkage. c. Membandingkan hasil pengelompokkan dengan semua metode menggunakan nilai variance within cluster dan variance between cluster. d. Menentukan jumlah cluter optimum pada metode terbaik dengan valley-tracing. (0) 6

7 3. Melakukan analisis terhadap karakteristik kecamatan hasil pengelompokkan terbaik dalam upaya pemerataan pendidikan di Pulau Madura.. Melakukan pengelompokkan kecamatan-kecamatan di tiap kabupaten pulau Madura dengan metode minimax linkage.. Analisis dan Pembahasan Hasil analisis statistika deskriptif kecamatan-kecamatan di pulau Madura pada Tabel menunjukkan bahwa nilai rata-rata tertinggi merupakan rata-rata dari variabel rasio murid dan sekolah tingkat SMA dengan nilai varians yang sangat tinggi pula yaitu 533,60, nilai minimumnya adalah 0 dan nilai maksimumnya adalah 63. Nilai minimum menunjukkan bahwa terdapat kecamatan di pulau Madura yang belum memiliki sekolah tingkat SMA dan nilai maksimum menunjukkan bahwa terdapat kecamatan yang memiliki jumlah murid sebanyak 63 pada satu sekolah tingkat SMA. Nilai minimum yang bernilai nol menunjukkan terdapat kecamatan di pulau Madura yang belum memiliki sekolah tingkat SMA dan semua kecamatan-kecamatan di pulau Madura telah memiliki sekolah tingkat SD dan SMP karena nilai minimum tidak menunjukkan angka nol. Tabel Nilai Rata-Rata, Varians, Minimum (Min), dan Maksimum (Maks) Variabel-Variabel Indikator Pemerataan Pendidikan Variabel Rata- Rata- Varians Min Maks Variabel Rata Rata Varians Min Maks APK SD 76,6 505,99 33,3 3,59 Murid/Kelas SMP 30,6 56,7 6,6 75,5 APM SD 66,9 393,69 7,78 09,39 Murid/Sekolah SMP 7, Murid/Guru SD 7,99 7,37 5,8 88,7 Angka shift SMP,5 0, 0,6 3,5 Murid/Kelas SD,9 65,69,09 5,07 APK SMA, 97, ,39 Murid/Sekolah SD 6, 9, 67, 9,3 APM SMA,3 67,9 0 5,69 Angka shift SD,5 0, 0,8 3,6 Murid/Guru SMA 7,93,9 0,9 APK SMP 37,67 665,3 6,7 56,68 Murid/Kelas SMA 35,7 6, APM SMP 5,59 9,08,76,63 Murid/Sekolah SMA 08,8 533, Murid/Guru SMP 8,33,6 3,07 6,09 Angka shift SMA 0,93,77 0 Keragaman data terutama adanya outlier pada setiap variabel indikator pemerataan pendidikan dapat diketahui melalui boxplot. Agar keragaman dapat dilihat secara serentak, maka keragaman masing-masing variabel perlu disajikan secara bersama dalam satu diagram yaitu pada Gambar.. 8 Data APK SD APM SD Murid/Guru SD Murid/Kelas SD 7 Murid/Sekolah SD Angka shift SD APK SMP APM SMP Murid/Guru SMP Murid/Kelas SMP Murid/Sekolah SMP Angka shift SMP APK SMA APM SMA Murid/Guru SMA Murid/Kelas SMA Murid/Sekolah SMA Angka shift SMA Gambar Boxplot Variabel-Variabel Indikator Pemerataan Pendidikan di Kecamatan-Kecamatan Pulau Madura Outlier yang paling banyak terdapat pada variabel APM dan angka shift tingkat SMP. Pada variabel APK tingkat SMP, APK, dan APM tingkat SMA serta beberapa variabel lainnya juga terdapat

8 pengamatan yang outlier, akan tetapi jumlahnya tidak sebanyak pada variabel APM dan angka shift tingkat SMP.. Analisis Faktor pada Variabel-Variabel Indikator Pemerataan Pendidikan Uji kecukupan data secara keseluruhan yang digunakan adalah Kaiser-Meyer-Olkin (KMO). Hipotesis dari KMO adalah sebagai berikut : H 0 : Jumlah data indikator pemerataan pendidikan cukup untuk difaktorkan H : Jumlah data indikator pemerataan pendidikan tidak cukup untuk difaktorkan Pengujian kecukupan data keseluruhan dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan sehingga diperoleh nilai KMO sebesar 0,670, jadi dapat disimpulkan bahwa asumsi kecukupan data indikator pemerataan pendidikan keseluruhan telah terpenuhi dan data indikator pemerataan pendidikan pada kecamatan-kecamatan di pulau Madura cukup untuk difaktorkan. Pengujian kecukupan data pada masing-masing variabel indikator pemerataan pendidikan dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan. Hasil perhitungan nilai MSA (Tabel ) yang telah dilakukan menghasilkan nilai MSA yang lebih besar dari 0,5 untuk semua variabel indikator pemerataan pendidikan, maka hasil uji MSA terpenuhi oleh masing-masing variabel. Tabel Uji Kecukupan Data pada Masing-Masing Variabel Indikator Pemerataan Pendidikan No Variabel MSA No Variabel MSA APK SD 0,656 0 Murid/Kelas SMP 0,68 APM SD 0,67 Murid/Sekolah SMP 0,756 3 Murid/Guru SD 0,78 Angka shift SMP 0,69 Murid/Kelas SD 0,75 3 APK SMA 0,586 5 Murid/Sekolah SD 0,73 APM SMA 0,589 6 Angka shift SD 0,653 5 Murid/Guru SMA 0,75 7 APK SMP 0,6 6 Murid/Kelas SMA 0,598 8 APM SMP 0,609 7 Murid/Sekolah SMA 0,69 9 Murid/Guru SMP 0,839 8 Angka shift SMA 0,5 Uji korelasi yang digunakan adalah uji Bartlett dengan hipotesis : H 0 : Matriks korelasi data indikator pemerataan pendidikan merupakan matriks identitas H : Matriks korelasi data indikator pemerataan pendidikan bukan matriks identitas Uji korelasi data indikator pemerataan pendidikan yang telah dilakukan menghasilkan nilai P- value sebesar 0,000. Maka dapat dikatakan bahwa antar variabel pada data indikator pemerataan pendidikan di kecamatan-kecamatan pulau Madura saling berkorelasi. Cara untuk menentukan jumlah faktor yang tepat untuk mewakili variabilitas data indikator pemerataan pendidikan yaitu dengan mengidentifikasi nilai eigenvalue pada gambar scree plot. Gambar scree plot yang dihasilkan dapat dilihat pada Gambar Eigenvalue Factor Number Gambar Scree Plot Variabel-Variabel Indikator Pemerataan Pendidikan di Kecamatan-Kecamatan Pulau Madura 8

9 Pada Gambar dapat diketahui bahwa jumlah faktor yang tepat untuk mewakili variabel indikator pemerataan pendidikan di kecamatan-kecamatan pulau Madura yaitu sebanyak lima faktor. Penggunaan lima faktor akan mewakili 79,9 % variabilitas data. Pembagian variabel-variabel ke dalam kelompok faktor tertentu dilakukan dengan memilih nilai loading faktor terbesar antara loading faktor,, 3,, dan 5. Loading faktor yang digunakan adalah loading faktor yang telah dirotasi varimax. Nilai loading faktor yang telah dirotasi varimax dan yang telah diurutkan berdasarkan nilai loading faktor terbesar dapat dilihat pada Tabel 3. Tabel 3 Nilai Loading Faktor dengan Rotasi Varimax Variabel Faktor Faktor Faktor 3 Faktor Faktor 5 APK SD 0,98-0,077-0,078-0,03-0,077 APM SD 0,96 0,00-0,0-0,0-0,05 Murid/Guru SD 0,88 0,069 0,7 0,05 0,67 Murid/Kelas SD 0,88 0,08 0,6 0,03 0,6 Murid/Sekolah SD 0,8-0,8-0,9 0,095-0,03 Angka shift SD 0,005 0,96 0,9 0,03 0,00 APK SMP -0,05 0,96 0, 0,0 0,00 APM SMP -0,08 0,69 0,6-0,3-0,038 Murid/Guru SMP -0,077 0,573 0,3-0,57-0, Murid/Kelas SMP 0,08 0,7 0,79-0,056-0,8 Murid/Sekolah SMP -0,003 0,5 0,79-0,066-0,086 Angka shift SMP -0,7 0,35 0,737-0,9-0,73 APK SMA -0,059 0,6 0,7-0,07 0,038 APM SMA -0,8 0,73-0,9 0,08-0,057 Murid/Guru SMA 0,00 0,08 0,8-0,96-0,67 Murid/Kelas SMA 0,0 0,06 0,08-0,9-0,09 Murid/Sekolah SMA 0,0-0,09-0,067-0,3-0,898 Angka shift SMA -0,9 0,38 0,399-0, -0,773 Keterangan : angka yang dicetak tebal merupakan nilai tertinggi dari masing-masing loading faktor Penentuan variabel akan dikelompokkan pada faktor,, 3, atau 5 berdasarkan nilai mutlak loading faktor terbesar dari masing-masing variabel. Faktor dapat disebut sebagai faktor murid SD, sedangkan faktor dapat diberi nama faktor murid SMP. Faktor 3 disebut faktor fasilitas SMP dan faktor disebut faktor murid SMA, serta faktor 5 disebut faktor fasilitas SMA.. Analisis Cluster pada Kecamatan-Kecamatan di Pulau Madura Hasil dendrogram pada pengelompokkan kecamatan-kecamatan di pulau Madura menjadi satu kelompok dengan metode single linkage, complete linkage, average linkage, dan minimax linkage yaitu sebagai berikut. (a) (b) 9

10 (c) Gambar 3 Dendrogram Single Linkage (a), Complete Linkage (b), Average Linkage (c), Minimax Linkage (d) Kecamatan-Kecamatan Pulau Madura Pada Gambar 3 dapat dilihat bahwa kecamatan yang bergabung terakhir adalah kecamatan Camplong () kabupaten Sampang. Minimax linkage adalah pengelompokkan berdasarkan nilai minimum dari jarak yang maksimum. Dendrogram dari metode minimax linkage memiliki susunan yang lebih teratur jika dibandingkan dengan dendrogram dari metode single, complete, dan average linkage. Cluster yang ideal mempunyai Vw minimum yang mempresentasikan internal homogeneity dan maksimum Vb yang menyatakan external homogeneity. Perbandingan nilai Vw yang minimum dan nilai Vb yang maksimum menghasilkan suatu nilai variance yang minimum. Pemilihan metode cluster terbaik dilakukan dengan menentukan peringkat pada setiap jumlah cluster yang terbentuk pada keempat metode berdasarkan nilai variance yang terkecil. Jumlah peringkat pada metode single, complete, average, dan minimax linkage dapat dilihat pada Tabel. Tabel Jumlah Peringkat Atas dan Bawah pada Metode Single, Complete, Average, dan Minimax Linkage Peringkat (d) Metode Pengelompokkan Single Complete Average Minimax Atas 36,6% 60,56% 7,65% 77,6% a Bawah 63,38% 39,% 5,35%,5% Keterangan : a merupakan jumlah peringkat atas terbanyak Metode minimax linkage merupakan metode terbaik daripada metode single, complete, dan average linkage karena memiliki jumlah peringkat atas terbanyak yaitu sebanyak 77,6% dan jumlah peringkat bawah sebanyak,5%. Setelah itu, dilakukan penentuan jumlah cluster optimum dengan pergerakan variance pola valley-tracing. Nilai variance yang digunakan merupakan hasil perbandingan variance within cluster (Vw ) dan variance between cluster (Vb ). Perbedaan nilai tinggi ( ) pada tiap jumlah cluster dengan metode minimax linkage ditampilkan pada Gambar. 0

11 beda tinggi jumlah cluster Gambar Perbedaan Nilai Tinggi pada Tiap Jumlah Cluster dengan Metode Minimax Linkage Perbedaan nilai tinggi yang maksimum yaitu ketika jumlah cluster sebanyak 3 dengan perbedaan nilai tinggi sebesar 0,037. Hal ini berarti bahwa jumlah cluster yang optimum pada pengelompokkan kecamatan-kecamatan berdasarkan indikator pemerataan pendidikan dengan metode minimax linkage yaitu sebanyak 3 cluster. Keakuratan dari suatu metode pembentukan cluster pada hierarchical method menggunakan valley-tracing dapat diketahui dengan menggunakan persamaan 5, didapatkan nilai φ yaitu -0,378. Nilai φ yang bertanda negatif berarti global optimum yang ditentukan telah benar dan clusteryang terbentuk terpisah dengan baik..3 Analisis Karakteristik Tiap Kelompok Kecamatan-Kecamatan di Pulau Madura Hasil pengelompokkan dengan metode minimax linkage menghasilkan jumlah kelompok yang optimum yaitu sebanyak 3 kelompok.tiap kelompok memiliki karakteristik yang berbeda-beda. Kelompok terdiri dari kecamatan Camplong kabupaten Sampang. Kecamatan Camplong memiliki nilai angka shift >. Hal ini berarti bahwa waktu penyelenggaraan proses belajar mengajar tidak dilakukan pada waktu yang bersamaan (lebih dari satu kali). Kebijakan yang sesuai untuk kecamatan Camplong yaitu penambahan ruang kelas untuk pendidikan tingkat SMA. Kelompok terdiri dari kecamatan Kota Sumenep kabupaten Sumenep. Kota Sumenep merupakan kecamatan yang memiliki nilai-nilai tinggi untuk tiap variabel indikator pemerataan pendidikan sehingga dapat dijadikan contoh. Kelompok 3 terdiri dari kecamatan-kecamatan di pulau Madura selain kecamatan Camplong dan Kota Sumenep. Secara umum, kelompok 3 memiliki karakteristik yaitu variabel-variabel indikator pemerataan pendidikan tingkat SMA memiliki nilai varians yang cukup tinggi sehingga fasilitas untuk jenjang pendidikan SMA perlu ditingkatkan dalam upaya pemerataan pendidikan tingkat kecamatan.. Pengelompokkan Kecamatan-Kecamatan Tiap Kabupaten di Pulau Madura Pengelompokkan kecamatan-kecamatan tiap kabupaten di pulau Madura menggunakan metode minimax linkage. Penentuan jumlah kelompok yang optimum pada masing-masing kebupaten menggunakan valley-tracing. Perbedaan nilai tinggi ( ) pada tiap jumlah cluster dengan metode minimax linkage ditampilkan pada Gambar beda tinggi beda tinggi jumlah cluster jumlah cluster 0 (a) (b)

12 beda tinggi jumlah cluster 0 beda tinggi jumlah cluster (c) (d) Gambar 5 Perbedaan Nilai Tinggi pada Tiap Jumlah Cluster pada Pengelompokkan di Bangkalan (a), Sampang (b), Pamekasan (c), dan Sumenep (d) Pada Gambar 5 dapat dilihat bahwa jumlah cluster yang optimum pada kabupaten Bangkalan yaitu sebanyak 3 kelompok dengan nilai keakuratan yaitu sebesar -0,8, pada kabupaten Sampang sebanyak kelompok dengan nilai keakuratan -,3, pada kabupaten Pamekasan sebanyak 3 kelompok dengan nilai keakuratan -0,56, dan pada kabupaten Sumenep sebanyak kelompok dengan nilai keakuratan 8,887. Hal ini berarti bahwa cluster yang terbentuk pada tiap kabupaten di pulau Madura telah terpisah dengan baik Kesimpulan Hasil analisis dan pembahasan yang telah dilakukan pada penelitian ini memperoleh kesimpulan yaitu varians tertinggi terdapat pada variabel rasio murid dengan sekolah tingkat SMA dan SMP yang berarti bahwa terdapat kesenjangan yang cukup tinggi antar kecamatan dan metode minimax linkage merupakan metode pengelompokkan terbaik dengan jumlah kelompok optimum sebanyak 3 dan hasil pengelompokkan kecamatan di pulau Madura sebagai berikut. Kelompok : kecamatan Camplong kabupaten Sampang. Kelompok : kecamatan Kota Sumenep kabupaten Sumenep. Kelompok 3 : kecamatan-kecamatan di pulau Madura selain kecamatan Camplong dan Kota Sumenep. Karakteristik kecamatan-kecamatan di pulau Madura berdasarkan kelompok yaitu : kelompok memiliki nilai angka shift untuk pendidikan jenjang SMA yang cukup tinggi sehingga perlu adanya penambahan ruang kelas untuk pendidikan tingkat SMA, kelompok memiliki nilai-nilai tinggi untuk tiap variabel indikator pemerataan pendidikan sehingga dapat dijadikan contoh oleh kecamatan lain, dan kelompok 3 memiliki nilai varians yang cukup tinggi untuk variabel-variabel indikator pemerataan pendidikan tingkat SMA sehingga fasilitas untuk jenjang pendidikan SMA perlu ditingkatkan. Hasil pengelompokkan kecamatan di kabupaten Bangkalan dengan metode minimax linkage dan valleytracing menghasilkan jumlah kelompok yang optimum sebanyak 3 kelompok, kabupaten Sampang sebanyak kelompok, kabupaten Pamekasan sebanyak 3 kelompok, dan kabupaten Sumenep sebanyak kelompok. 6. Saran Agar mendapatkan karakteristik pendidkan yang lebih lengkap, disarankan untuk melakukan survei langsung mengenai kualitas pendidikan untuk tiap kecamatan. Penggunaan berbagai cara untuk membandingkan metode pengelompokkan perlu dilakukan agar hasil yang didapat lebih optimal. 7. Daftar Pustaka Arai, K., Barakbah, A.R Cluster Construction Method Based on Global Optimum Cluster Determination with The Newly Defined Moving Variance. Reports of the Faculty of Science and Engineering, Saga University. 36() : 9-5 Bien, J. dan Tibshirani, R. 0. Hierarchical Clustering With Prototype via Minimax Linkage. Journal of the American Statistical Association

13 Dillon, W., Goldstein, M. 98. Multivariate Analysis Methods and Application. Canada : John Wiley and Sons, Inc Fisher, L., Van Ness, J. 97. Admissible Clustering Procedures. Biometrica 58() : 9-0 Gordon, A.D A Review of Hierarchical Classification. Journal of Royal Statistical Society, Ser. A 50() : 9-37 Hair, J. F., Black, W.C., Babin, B.J., Anderson, R.E. 00. Multivariate Data Analysis. New Jersey : Upper saddle river Johnson, R.A., Winchern, D.W Applied Multivariate Statistical Analysis. USA : Pearson Education International Man L, Chew Lim T, Jian S, Yue L Supervised and Traditional Term Weighting Methods for Automatic Text Categorization. Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on. 3() : Martiana, E., Rosyid, N., Agusetia, U. 00. Mesin Pencari Dokumen dengan Pengklasteran secara Otomatis. TELKOMNIKA 8() : -8 Morrison, D.F Multivariate Statistical Methods Fourth Edition. USA : Thomson Learning, Inc Murtagh, F A Survey of Recent advances in Hierarchical Clustering Algorithms. The Computer Journal 6 : Noor, M. H., Hariadi, M Image Cluster Berdasarkan Warna untuk Identifikasi Kematangan Buah Tomat dengan Metode Valley Tracing. Seminar Nasional Informatika 009 Norusis, M.J Advanced Statistics SPSS/PC+ for the IBM PC/XT/AT. Michigan Avenue Chicago Illinois Purwaningsih, A. 00. Penentuan Rotasi yang Sesuai dalam Analisis Faktor dengan Analisis Procrustes. Pusat Pengembangan Teknologi Informasi dan Komputasi, BATAN Puspowati, T Algoritma Self Organizing Maps (SOM) untuk Pengelompokkan Kecamatan di Kabupaten Malang berdasarkan Indikator Pemerataan Pendidikan [tesis]. Surabaya : Jurusan Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember 3