PERBANDINGAN BAYESIAN MODEL AVERAGING DAN REGRESI LINIER BERGANDA DALAM MEMPREDIKSI FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI JUMLAH KEMATIAN BAYI DI JAWA TIMUR

Transkripsi

1 PERBANDINGAN BAYESIAN MODEL AVERAGING DAN REGRESI LINIER BERGANDA DALAM MEMPREDIKSI FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI JUMLAH KEMATIAN BAYI DI JAWA TIMUR Veni Freista H. 1), Dr.rer.pol.Heri Kuswanto 2) 1) 2) ABSTRAK Angka kematian bayi (AKB) di Jawa Timur masih tergolong tinggi karena masih jauh dari target MDGs sebesar 23 per 1000 kelahiran hidup. Hal ini menunjukkan bahwa upaya penurunan AKB belum maksimal sehingga diperlukan intervensi untuk mencapai target MDGs.. Intervensi yang efektif dapat dilakukan jika faktor-faktor signifikan yang mempengaruhi kematian bayi dapat diketahui. Penelitian sebelumnya sudah banyak dilakukan menggunakan metode regresi, namun tidak melibatkan ketidakpastian model dalam pemilihan model terbaiknya. Kasus AKB diatas merupakan kasus yang melibatkan ketidakpastian model. Bayesian Model Averaging (BMA) merupakan salah satu metode statistik yang mempertimbangkan ketidakpastian model dalam pemilihan model terbaik. BMA merata-ratakan distribusi posterior dari model-model terbaiknya. Hasil BMA dan regresi sama-sama menunjukkan bahwa terdapat empat variabel prediktor yang mempengaruhi jumlah kematian bayi di Jawa Timur yaitu rasio puskesmas, rasio tenaga medis, prosentase ibu yang tidak melakukan kunjungan bayi, dan prosentase BBLR. Jika dilihat dari standart errornya, BMA memberikan hasil estimasi parameter yang lebih efisien karena standart error yang dihasilkan lebih kecil daripada regresi. Selain itu, jika dilihat dari kesalahan prediksinya, BMA memberikan kesalahan prediksi yang lebih kecil daripada regresi sehingga metode ini memiliki kemampuan prediksi pengamatan baru yang lebih baik daripada regresi. Kata kunci: Kematian bayi, BMA, Regresi I PENDAHULUAN Angka kematian bayi (AKB) di Jawa Timur dari tahun ke tahun menurun secara perlahan. Badan Pusat Statistik (BPS) Jawa Timur mencatat AKB menurun dari 39.6 per 1000 kelahiran hidup pada tahun 2004 menjadi per 1000 kelahiran hidup tahun Angka kematian ini turun kembali menjadi pada tahun Namun AKB ini masih tergolong tinggi karena masih jauh dari target Millennium Development Goals (MDGs) tahun 2015 sebesar 23 per MDGs merupakan komitmen bersama masyarakat internasional untuk mempercepat pembangunan manusia dan pengentasan kemiskinan yang salah satu tujuannya adalah menurunkan angka kematian bayi. AKB yang masih jauh dari target MDGs ini menunjukkan bahwa upaya penurunan kematian bayi belum maksimal diperlukan intervensi. Intervensi yang efektif dapat dilakukan jika faktor-faktor signifikan yang mempengaruhi kematian bayi dapat diketahui. Penelitian mengenai faktor-faktor yang mempengaruhi angka kematian bayi di Jawa Timur telah dilakukan oleh Ardiyanti (2010) menggunakan metode geographically weighted poisson regression (GWPR). Rani (2011) juga meneliti faktor-faktor yang mempengaruhi kematian bayi di Jawa Timur dengan pendekatan geographically weighted poisson regression semiparametric (GWPRS). Keduanya melibatkan efek spasial dalam penelitiannya. Sementara itu, Basilia (2003) juga pernah meneliti tentang AKB di Jawa Timur tahun 2000, namun tidak melibatkan efek spasial yaitu dengan regresi. Hasil model yang didapat pada penelitian diatas merupakan model tunggal yang tidak melibatkan ketidakpastian model. Hal ini memungkinkan terjadinya estimasi yang kurang tepat dalam pemilihan model tersebut. Kasus AKB diatas merupakan kasus yang melibatkan ketidakpastian model sehingga diperlukan suatu metode yang melibatkan ketidakpastian model dalam pemilihan model terbaik. Bayesian Model Averaging (BMA) merupakan metode statistik yang mempertimbangkan model yang tidak pasti dalam pemilihan variabel dengan mengkombinasikan model-model yang terbentuk dari variabel prediktor. Penelitian tentang aplikasi BMA telah dilakukan oleh Raftery, dkk (1998) mengenai kasus kriminal di US tahun Penelitian tersebut memberikan hasil bahwa BMA memberikan keakuratan hasil prediksi yang lebih tinggi daripada regresi linier. Penelitian lain tentang aplikasi BMA juga 1

2 dilakukan oleh Volinsky (1997), Hoeting, dkk (1999), Liang, dkk (2001), Madigan (1994), Mubwandarikwa, dkk (2005), Montgomery dan Nyhan (2010), Viallefont, dkk (2001). Prinsip dasar BMA adalah memprediksi model terbaik berdasarkan rata-rata terboboti dari seluruh model. Hasil dari estimasi mencakup semua model yang kemungkinan terbentuk sehingga bisa mendapatkan hasil estimasi yang lebih baik (Madigan dan Raftery 1994). Oleh karena itu, pada penelitian kali ini peneliti menggunakan metode Bayesian Model Averaging (BMA) untuk memprediksi faktorfaktor yang mempengaruhi angka kematian bayi di Jawa Timur yang hasilnya akan dibandingkan dengan model terbaik pada regresi liner. Penelitian tentang aplikasi BMA pada regresi linier belum pernah dilakukan untuk memodelkan kasus-kasus di Indonesia. 2. TINJAUAN PUSTAKA Tinjauan pustaka dalam penelitian ini membahas tentang Bayesian Model Averaging (BMA), regresi linier berganda dan angka kematian bayi (AKB). 2.1 Bayesian Model Averaging (BMA) Konsep BMA telah banyak dibahas dalam beberapa literatur, diantaranya adalah Raftery, dkk (1998), Volinsky (1997), Hoeting, dkk (1999), Liang, dkk (2001), Madigan (1994), Mubwandarikwa, dkk (2005), Montgomery dan Nyhan (2010), dan Viallefont, dkk (2001) Prediksi BMA Bayesian Model Averaging (BMA) merupakan salah satu metode pemilihan model terbaik yang melibatkan ketidakpastian model yaitu dengan merata-ratakan distribusi posterior dari semua model yang mungkin. Tujuan dari BMA adalah menggabungkan model-model yang tidak pasti sehingga didapat satu model yang terbaik. Model dibentuk melalui persamaan regresi sebagai berikut Y = Xβ + ε, (1) dimana ε~n(0, σ 2 I). Misalkan terdapat p variabel prediktor, maka jumlah model yang terbentuk sebanyak q = 2 p model (dengan asumsi bahwa tidak ada interaksi diantara variabel prediktor). Jika M = M 1, M 2,, M q adalah model yang mungkin terbentuk dan adalah nilai yang akan diprediksi maka distribusi probabilitas prior dari parameter model β dan σ 2 diasumsikan M k ~π(m k ) dan vektor parameter model dihasilkan dari distribusi bersyarat (σ 2 M k )~π(σ 2 M k ) dan (θ k σ 2, M k )~π(θ k M k, σ 2 ). Distribusi posterior dari jika diketahui data Y ditulis dalam persamaan sebagai berikut q Pr Y = Pr M k, Y Pr M k Y k=1 (2) dimana q menunjukkan jumlah dari semua model yang mungkin terbentuk. Distribusi posterior dari jika diketahui Y adalah rata-rata dari distribusi posterior jika diketahui model diboboti oleh probabilitas model posterior. Probabilitas posterior dari model M k adalah sebagai berikut dimana Pr M k Y = Pr Y M k Pr(M k ) q l=1 Pr Y M l Pr(M l ) Pr Y M k = Pr(Y θ k, M k )Pr θ k M k dθ k (4) adalah marginal likelihood dari model M k, Pr θ k M k adalah densitas prior dari θ k jika diketahui model M k, Pr(Y θ k, M k ) adalah likelihood, dan Pr M k adalah probabilitas prior jika model M k. Semua probabilitas secara implisit bergantung pada model M sehingga nilai ekspektasi dari koefisien didapat dengan merata-ratakan model M. E Y = q k=1 Pr M k Y E M k, Y (5) E Y menunjukkan nilai ekspektasi terboboti dari disetiap model kombinasi yang mungkin (bobot ditentukan oleh prior dan model). Kriteria untuk menentukan variabel prediktor termasuk variabel yang signifikan atau tidak dalam model adalah berdasarkan persentase probabilitas posterior yang dihasilkan pada setiap variabel prediktor. Jika Pr[β1 0 D] kurang dari 50% maka tidak ada bukti yang kuat untuk X 1 menjadi faktor penyebab. Jika diantara 50%-75% maka ada bukti yang lemah untuk menyatakan X 1 sebagai faktor penyebab, jika diantara 75%-95% maka ada bukti yang cukup kuat, antara 95%-99% menunjukkan bahwa terdapat bukti yang kuat, dan jika lebih dari 99% maka bukti yang ada sangat kuat, (Jeffreys, 1961). (3) 2

3 2.1.2 Pemilihan model BMA Dalam mendapatkan model terbaiknya, BMA akan memilih model mana yang masuk dalam persamaan (2) berdasarkan probabilitas posterior dari sejumlah q = 2 p model yang terbentuk. Metode occam s window adalah salah satu metode yang digunakan dalam menyeleksi model yang masuk berdasarkan probabilitas posteriornya. Model yang diterima dengan metode occam s window memenuhi persamaan berikut A = M k : max l{pr M l Y } c (7) Pr(M k Y) dengan nilai c adalah 20. Nilai c tersebut setara dengan alfa 0.05 untuk p value (Jeffreys, 1961). Model dikeluarkan dari persamaan 2 jika probabilitas model posterior lebih besar dari nilai c. Kemudian dari model-model yang masuk dalam persamaan (2) akan dipilih 5 (lima) model terbaik berdasarkan probabilitas model posterior (PMP) tertinggi. 2.2 Regresi Linier Berganda Regresi berganda digunakan untuk mengetahui hubungan variabel respon dengan variabel prediktornya, dimana variabel prediktornya lebih dari satu. Model regresi berganda dengan p variabel prediktor ditulis dalam persamaan sebagai berikut y i = b 0 + b 1 X 1i + b 2 X 2i + + b p X pi (8) dimana y i = nilai penduga bagi variabel y pada pengamatan ke-i b 0,..,b p = dugaan bagi parameter β 0, β 1, β 2,..., β p Pengujian Parameter Model Regresi Untuk mengetahui signifikansi dari variabel prediktor maka dilakukan pengujian parameter secara serentak maupun secara individu. 1. Uji Serentak Uji parameter model regresi secara serentak dilakukan dengan menggunakan ANOVA. Hipotesis dari pengujian ini adalah: H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = = β p = 0 H 1 : minimal ada satu β i 0, i=1,2, p Statistik uji F hitung = n i=1 n i=1 y i y i 2 /p y i y i 2 / n p 1 Apabila F Hitung > F α(v1,v2) maka H 0 ditolak artinya paling sedikit ada satu β i yang memiliki pengaruh signifikan terhadap variabel respon. 2. Uji Individu Uji parameter model regresi secara individu bertujuan untuk mengetahui seberapa jauh variabel prediktor secara individual dalam menerangkan variasi variabel respon. Hipotesis dari pengujian secara individu adalah H 0 : β i = 0, artinya variabel prediktor tidak berpengaruh terhadap variabel respon H 1 : β i 0, artinya variabel prdiktor berpengaruh terhadap variabel respon Taraf nyata yang digunakan sebesar α = 5% Statistik uji t hitung = b i (10) se (bi ) H 0 ditolak apabila t hitung > t tabel yaitu t (α/2,n-p-1), yang artinya ada pengaruh antara variabel prediktor terhadap variabel respon Uji Asumsi Dalam analisis regresi harus dilakukan pemeriksaan asumsi terhadap residual. Asumsi residual adalah sebagai berikut: 1. Residual identik 2. Residual independen 3. Residual berdistribusi normal (9) 3

4 Selain asumsi residual, perlu dilakukan asumsi pada variabel yaitu asumsi tidak adanya multikolinearitas antar variabel prediktor dan model linier. 1. Uji Normalitas Uji normalitas bertujuan untuk mengetahui apakah residual berdistribusi normal. Statistik uji yang digunakan adalah Kolmogorov Smirnov. Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut. H 0 : Residual berdistribusi normal H 1 : Residual tidak berdistribusi normal Statistik uji yang digunakan adalah D = sup x [ F n x F 0 x ] (11) Dimana F n x adalah probabilitas komulatif normal dan F 0 x adalah probabilitas komulatif empiris. H 0 diterima apabila nilai D lebih kecil dari D tabel yang artinya residual berdistribusi normal. 2. Pengujian Heteroskedastisitas Pengujian heteroskedastisitas dilakukan untuk mengetahui apakah varians dari error atau residual konstan. Gejala heterokedastisitas ini diketahui dengan menggunakan uji glejser yaitu dengan meregresikan residual mutlak dengan variabel prediktornya. Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut. H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 = = σ p 2 = σ 2 H 1 : minimal ada satu σ i 2 σ 2 untuk i=1,2,,p Statistik uji yang digunakan adalah H 0 diterima jika F Hitung < F α(v1,v2) homoskedastisitas. F hitung = n e i e i 2 i=1 /p n i=1 e i e i 2 / n p 1 (12) yang berarti bebas dari gejala heterokedastisitas atau terjadi 3. Pengujian Autokorelasi Uji autokorelasi digunakan untuk melihat apakah ada hubungan antara error. Uji autokorelasi bisa dilakukan dengan uji Durbin Watson. Hipotesisnya adalah sebagai berikut: H : 0 0 H1 : 0 Statistik uji d = n t=2 (e t e t 1 ) 2 n e 2 t=1 t Nilai Durbin Watson kemudian dibandingkan dengan nilai d tabel, yaitu d L yang merupakan batas bawah dan d U yang merupakan batas atas. Hasil perbandingan akan menghasilkan kesimpulan seperti kriteria sebagai berikut: 1. Jika d < d L, berarti terdapat autokorelasi positif 2. Jika d > (4 d L ), berarti terdapat autokorelasi negatif 3. Jika d U < d < (4 d L ), berarti tidak terdapat autokorelasi 4. Jika d L < d < d U atau (4 d U ), berarti tidak dapat disimpulkan 4. Model Linier Salah satu asumsi dalam regresi yang harus dipenuhi adalah model linier yang berarti adanya pola hubungan yang linier antara variabel prediktor dan respon. Untuk mengetahui pola hubungan tersebut dilakukan dengan menggunakan scatterplots. Apabila titik-titik pengamatan mengikuti garis lurus, maka terdapat hubungan yang linier. 5. Tidak ada Multikolinearitas Dalam regresi, asumsi yang harus dipenuhi adalah tidak adanya hubungan antar variabel prediktor. Untuk mengetahui ada tidaknya multikoliniaritas maka digunakan indikasi nilai VIF. nilai VIF = 1 1 R 2 (14) (13) 4

5 dimana R 2 menunjukkan koefisien determinasi. Apabila nilai VIF lebih besar dari 10 maka menunjukkan indikasi adanya multikolinearitas. 2.3 Kesalahan Prediksi Kesalahan prediksi digunakan untuk mengetahui tingkat keakuratan dari hasil yang diperoleh. Kesalahan prediksi bisa diketahui melalui selang kepercayaan untuk dugaan nilai y. Apabila setiap nilai y (pengamatan) masuk dalam selang, maka dugaan untuk nilai y benar. Selang kepercayaan 95% untuk memprediksi y (pengamatan) baru adalah sebagai berikut. y t α 1,n p 1SE < y < y + t 1 α,n p 1SE (15) Kematian Bayi Kematian bayi adalah kematian yang terjadi saat bayi lahir sampai sebelum mencapai usia satu tahun. Dari sisi penyebabnya, kematian bayi dibedakan faktor endogen dan eksogen. Kematian bayi endogen (kematian neonatal) adalah kejadian kematian yang terjadi pada bulan pertama setelah bayi dilahirkan, umumnya disebabkan oleh faktor bawaan. Sedangkan kematian eksogen (kematian post neonatal) adalah kematian bayi yang terjadi antara usia satu bulan sampai satu tahun, umumnya disebabkan oleh faktor yang berkaitan dengan pengaruh lingkungan. Angka kematian bayi (AKB) atau Infan Mortality Rate (IMR) adalah banyaknya bayi yang meninggal sebelum mencapai usia satu tahun per kelahiran hidup (KH). AKB dapat menggambarkan kondisi social ekonomi masyarakat setempat, karena bayi adalah kelompok usia yang paling rentan terkena dampak dari perubahan lingkungan maupun social ekonomi. Indikator AKB terkait langsung dengan target kelangsungan hidup anak dan merefleksikan kondisi sosial-ekonomi, lingkungan tempat tinggal dan kesehatannya. Menurut dinas kesehatan, beberapa faktor berpengaruh terhadap peningkatan angka kematian bayi yaitu status sosio ekonomi, lingkungan dan faktor biologis. Faktor sosio ekonomi meliputi tempat tinggal, pendidikan ibu dan indeks kesejahteraan ibu. Faktor biologis meliputi jenis kelamin anak, usia ibu, paritas dan interval kelahiran. Beberapa variabel lain seperti berat waktu lahir, pemeriksaan antenatal dan penolong persalinan juga dipertimbangkan berpengaruh terhadap angka kematian bayi yang tinggi tersebut, yang untuk tahap lanjutan perlu dilakukan studi lebih dalam. Penurunan AKB menunjukan adanya peningkatan dalam kualitas hidup dan pelayanan kesehatan masyarakat. Upaya percepatan penurunan AKB memperhatikan kondisi yang mempengaruhi AKB, antara lain lokasi geografis, taraf sosio-ekonomi masyarakat serta perilaku hidup sehat. 3. METODOLOGI PENELITIAN Pada metodologi penelitian akan dibahas mengenai sumber data, variabel penelitian dan langkah analisis. 3.1 Sumber Data dan Variabel Penelitian Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari dinas kesehatan propinsi Jawa Timur tahun 2009 yang terdiri dari 38 kabupaten/kota. Data memuat informasi dari tiap kabupaten/kota yang akan digunakan sebagai variabel penelitian sebagai berikut: 1. Jumlah kematian bayi (Y) 2. Rasio puskesmas (X 1 ) Rasio jumlah puskesmas diperoleh dengan membagi jumlah puskesmas dengan jumlah penduduknya dan dikali dengan karena satu puskesmas membawahi penduduk dalam suatu daerah. 3. Rasio tenaga medis (X 2 ). Rasio jumlah tenaga medis diperoleh dengan membagi jumlah tenaga medis dengan jumlah penduduknya dan dikali penduduk. 4. Rasio posyandu (X 3 ) Rasio jumlah posyandu diperoleh dengan membagi jumlah posyandu dengan jumlah penduduknya dan dikali 1000 penduduk. 5. Prosentase kelahiran ditolong non medis (X 4 ) 6. Prosentase bayi yang tidak diberi ASI eksklusif (X 5 ) 7. Prosentase ibu yang tidak melakukan kunjungan bayi (X 6 ) 8. Prosentase ibu hamil risti (X 7 ) 9. Prosentase berat badan lahir rendah (BBLR) (X 8 ) 5

6 10. Prosentase rumah tidak sehat (X 9 ) 11. Rasio penduduk miskin (X 10 ) Rasio jumlah penduduk miskin diperoleh dengan membagi jumlah penduduk miskin dengan jumlah penduduknya dan dikali 1000 penduduk. 3.2 Langkah Penelitian Langkah-langkah dalam penelitian ini adalah 1. Mendeskripsikan jumlah kematian bayi di Jawa Timur dengan histogram 2. Membagi data ke dalam dua bagian, yaitu data training dan data testing. Data training sebanyak 30 data digunakan dalam proses pemilihan model terbaik. Sedangkan data testing sebanyak 8 data digunakan untuk menguji hasil prediksi model terbaik. 3. Untuk mencapai tujuan pertama maka dilakukan pemilihan model menggunakan BMA dengan langkah-langkah sebagai berikut a Meregresikan variabel respon dengan variabel predickor data training b Menyeleksi model yang masuk dalam persamaan BMA dengan metode Occam s Window c Memilih model prediksi terbaik dengan BMA d Melakukan estimasi parameter e Menghitung kesalahan prediksi model yang terpilih dengan data testing 4. Untuk mencapai tujuan kedua, maka dilakukan pemilihan model menggunakan regresi linier dengan langkah-langkah sebagai berikut a Meregresikan variabel respon dengan variabel prediktor b Menguji asumsi residul (Identik, Independent, dan berdistribusi normal) dan asumsi pada variabel c Memilih model terbaik d Menghitung kesalahan prediksi dengan data testing 5. Membandingkan hasil estimasi parameter, koefisien parameter, standart error, kesalahan prediksi, dan MSE menggunakan BMA dan regresi linier. 6. Membuat kesimpulan. 4. ANALISIS DAN PEMBAHASAN Pada analisis dan pembahasan akan dibahas mengenai hasil analisa data yang merupakan jawaban dari permasalahan penelitian. 4.1 Deskripsi Jumlah Kematian Bayi di Jawa Timur Angka kematian bayi di Jawa Timur mengalami penurunan dari tahun 2004 hingga tahun Penurunan ini bisa dilihat pada Gambar 4.1 yaitu dari 39.6 per 1000 kelahiran hidup pada tahun 2004 menjadi per 1000 kelahiran hidup tahun target AKB JawaTimur per 1000 kelahiran hidup MDGs Gambar 1. Angka kematian bayi tahun Sumber: Badan Pusat Statistik Jawa Timur Namun angka tersebut masih tergolong tinggi karena masih jauh dari target MDGs yaitu sebesar 23 per 1000 kelahiran hidup. Penurunan angka kematian bayi harus terus diupayakan agar bisa mencapai target MDGs karena menurunnya AKB merupakan gambaran adanya peningkatan dalam kualitas hidup dan pelayanan kesehatan masyarakat. Akan tetapi, ada beberapa daerah masih perlu mendapatkan perhatian lebih serius karena AKBnya masih cukup tinggi yaitu lebih dari 200, di antaranya adalah kabupaten Jember, Blitar, Bondowoso, 6

7 Jombang, Malang (kota), Sumenep, dan Surabaya (kota). Tingginya jumlah kematian bayi tersebut bisa dilihat pada Gambar jumlah kematian bayi Pacitan Ponorogo Trenggalek Tulungagung Blitar Kediri Malang Lumajang Jember Banyuwangi Bondowoso Situbondo Probolinggo Pasuruan Sidoarjo Mojokerto Jombang Nganjuk Madiun Magetan Ngawi Bojonegoro Tuban Lamongan Gresik Bangkalan Sampang Pamekasan Sumenep Kediri (Kota) Blitar (Kota) Malang (Kota) Probolinggo (Kota) Pasuruan (Kota) Mojokerto (Kota) Madiun (Kota) Surabaya (Kota) Batu (Kota) Gambar 4.2 Jumlah Kematian Bayi di Kabupaten/Kota Jawa Timur Sumber: Dinas kesehatan provinsi Jawa Timur Sedangkan ada juga beberapa daerah yang memiliki jumlah kematian bayi rendah yaitu dibawah 50, antara lain Bangkalan, kota Kediri, kota Probolinggo, kota Pasuruan, kota Mojokerto, kota Madiun dan kota Batu. 4.2 Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Kematian Bayi Untuk memprediksi faktor-faktor yang mempengaruhi kematian bayi maka dilakukan dengan menggunakan metode Bayesian Model Averaging dan regresi linier berganda Bayesian Model Averaging (BMA) Probabilitas posterior masing-masing variabel prediktor disajikan dalam tabel 4.1. Tabel 4.1 Probabilitas Posterior Variabel Prediktor Variabel Prediktor Posterior probabilities (%) koefisien SE Konstan 100* Rasio puskesmas 100* Rasio tenaga medis 100* Rasio posyandu % kelahiran ditolong non medis % bayi yang tidak diberi ASI eksklusif % ibu yang tidak melakukan kunjungan bayi 98.8* % ibu hamil risti % berat badan lahir rendah 100* % rumah tidak sehat Rasio j penduduk miskin Catatan: * menunjukkan variabel yang berpengaruh Tabel 4.1 menunjukkan bahwa terdapat empat variabel prediktor yang memiliki prosentase probabilitas posterior sangat tinggi sebesar 100%, yaitu rasio puskesmas, rasio tenaga medis, prosentase ibu yang tidak melakukan kunjungan bayi, dan prosentase berat badan lahir rendah (BBLR). Enam variabel prediktor selainnya memiliki probabilitas posterior dibawah 50% yang menunjukkan variabelvariabel tersebut tidak berpengaruh dalam model. Oleh karena itu, variabel prediktor yang berpengaruh terhadap variabel jumlah kematian bayi rasio puskesmas, rasio tenaga medis, prosentase ibu yang tidak melakukan kunjungan bayi, dan prosentase berat badan lahir rendah (BBLR). Probabilitas posterior diatas diperoleh dengan menjumlahkan probabilitas model posterior seluruh model untuk masing-masing prediktor. Hasil BMA menunjukkan bahwa terdapat 19 model terpilih dan ada lima model terbaiknya dari 1024 model yang terbentuk. Hasil pemilihan model terbaik BMA disajikan dalam tabel

8 Tabel 4.2. Lima Model Terbaik BMA Variabel Model 1 Model 2 Model 3 Model 4 Model 5 Intercept X X X X X X X X X X R Post prob Catatan: - menunjukkan variabel tidak berpengaruh dalam model Model 1 memiliki PMP paling besar yaitu 0,13 yang berarti berpengaruh sebanyak 21,2% dari total probabilitas posterior. Begitu juga dengan model 2 yang memberi pengaruh sebesar 16,8% dari total probabilitas posterior. Probabiltas posterior kumulatif dari lima model terbaik diatas adalah sebesar yang artinya memberi pengaruh sebanyak 59,24% dari total probabilitas posterior. Jika dilihat dari pengaruh setiap variabel prediktor, variabel X 1 (rasio puskesmas) berkontribusi di semua lima model terbaik sehingga memiliki pengaruh yang besar terhadap variabel respon didalam model. Begitu juga dengan variabel X 2, X 6, X 8 (rasio tenaga medis, prosentase ibu yang tidak melakukan kunjungan bayi, dan prosentase BBLR) juga berkontribusi dalam semua model. Oleh karena itu, empat variabel prediktor tersebut memiliki probabilitas posterior yang besar. Berdasarkan probabilitas posterior diatas maka model Bayesian Model Averaging untuk memprediksi faktor-faktor yang mempengaruhi kematian bayi di Jawa Timur antara lain sebagai berikut E Y = 0.212M M M M PMPM 19 Kesalahan Prediksi BMA Untuk mengetahui keakuratan hasil BMA, maka dilakukan prediksi untuk pengamatan baru menggunakan selang kepercayaan. Tabel 4.3 menunjukkan kesalahan prediksi dari metode BMA dengan menggunakan data testing. Tabel 4.3 Kesalahan Prediksi BMA Pengamatan CI Y bawah Y atas Y Keterangan Y Masuk Y Tidak masuk Y Tidak masuk Y Tidak masuk Y Masuk Y Masuk Y Masuk Y Masuk Kesalahan prediksi 37,5% Terdapat lima dari delapan pengamatan (Y) yaitu Y 1, Y 5, Y 6, Y 7, Y 8 pada data testing masuk dalam selang kepercayaan, sedangkan tiga lainnya tidak masuk dalam selang kepercayaan. Hal ini menunjukkan bahwa kesalahan prediksi dengan metode BMA adalah sebesar 37,5%. 8

9 4.2.2 Regresi Linier Berganda Model regresi yang diperoleh adalah sebagai berikut y = X X 2 0.4X X X X X X X X 10 Untuk mengetahui signifikansi parameter dari variabel prediktor maka dilakukan pengujian secara serentak dan individu. 1. Uji Serentak Statistik uji yang digunakan adalah ANOVA seperti yang dijelaskan pada persamaan (9). Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut. H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = = β p = 0 H 1 : minimal ada satu β i 0, i=1,2, p Hasil pengujian serentak ditunjukkan pada tabel 4.4. Tabel 4.4 Hasil Pengujian Serentak Sumber SS F P Value Regresi Eror Total Hasil uji serentak menunjukkan bahwa minimal ada satu dari sepuluh variabel prediktor yang berpengaruh terhadap jumlah kematian bayi. Hal ini dapat dilihat dari p-value yang kurang dari Uji Individu Statistik uji yang digunakan seperti yang dijelaskan pada persamaan (10). Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut. H 0 : β i = 0, artinya variabel prediktor tidak berpengaruh terhadap variabel respon H 1 : β i 0, artinya variabel prediktor berpengaruh terhadap variabel respon Hasil pengujian secara individu disajikan pada Tabel 4.5. Tabel 4.5 Uji Individu Variabel Bebas Variabel Prediktor Koefisien SE Pvalue Konstan Rasio puskesmas * Rasio tenaga medis * Rasio posyandu % kelahiran ditolong non medis % bayi yang tidak diberi ASI eksklusif % ibu yang tidak melakukan kunjungan bayi * % ibu hamil risti % berat badan lahir rendah * % rumah tidak sehat Rasio j penduduk miskin R % Catatan: * menunjukkan variabel yang signifikan Hasil uji individu menunjukkan bahwa terdapat empat variabel prediktor yang signifikan dengan p value yang lebih kecil dari 0.05 yaitu rasio puskesmas, rasio tenaga medis, prosentase ibu yang tidak melakukan kunjungan bayi, dan prosentase BBLR. Nilai R 2 sebesar 80.2% yang menunjukkan bahwa model yang dihasilkan sudah baik karena variabel prediktor mampu menjelaskan variabel jumlah kematian bayi dengan baik. Asumsi yang harus dipenuhi Asumsi residual yang harus dipenuhi meliputi uji normalitas, heteroskedastisitas, dan autokorelasi. Sedangkan asumsi pada variabel adalah tidak adanya multikolinearitas dan model linier. 9

10 1. Uji Normalitas Hipotesis yang digunakan adalah H 0 : Residual berdistribusi normal H 1 : Residual tidak berdistribusi normal Statistik uji menunjukkan bahwa p value yang dihasilkan lebih besar dari 0.05 dan nilai Kolmogorov Smirnov sebesar yang lebih kecil daripada nilai D tabel sebesar Hal tersebut berarti residual data berdistribusi normal. 2. Uji Heteroskedastisitas Uji heterokedastisitas dilakukan menggunakan uji Gletser yaitu dengan meregresikan residual mutlak dengan variabel prediktornya. Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut. H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 = = σ 2 10 = σ 2 H 1 : minimal ada satu σ 2 i σ 2 untuk i=1,2,,10 Hasil uji Gletser disajikan dalam tabel 4.6. Tabel 4.6 Hasil Uji Gletser Sumber SS F P Value Regresi Error Total Tabel 4.6 menunjukkan bahwa p value untuk uji gletser secara keseluruhan adalah lebih dari 0.05 yang berarti bahwa tidak terjadi gejala heteroskedastisitas. 3. Uji Autokorelasi Uji autokorelasi digunakan untuk melihat apakah ada hubungan antara error dengan menggunakan uji Durbin Watson. Hipotesisnya adalah: H 0 : tidak terdapat hubungan antara error H 1 : ada hubungan antara error Statistik uji yang digunakan seperti pada persamaan (11). Hasil pengujian menunjukkan bahwa nilai Durbin-Watson sebesar dengan nilai D tabel yaitu D l sebesar dan D u sebesar Nilai D u < D < (4-D l ) yang berarti tidak terdapat autokorelasi. 4. Model linier Untuk mengetahui adanya pola hubungan yang linier antara variabel respond dan prediktor maka dilakukan dengan menggunakan scatterplot. Scatter plot antara variabel respond dan prediktor disajikan pada Gambar 1. X1 X2 X3 X X5 X6 X7 X8 200 Y X9 X Gambar 4.3. Scatterplot antara variabel predictor dan variabel respon Scatterplot menunjukkan bahwa terdapat dua variabel prediktor yang memiliki korelasi negatif yaitu pada variabel X 1 dan X 2. Korelasi negatif ini berarti apabila terjadi peningkatan pada variabel-variabel tersebut maka akan terjadi penurunan pada variabel kematian bayi. Sedangkan terdapat tujuh variabel 10

11 prediktor yaitu X 3, X 4, X 5, X 7, X 8, X 9, dan, X 10 yang memiliki pola menyebar sehingga korelasi yang terjadi sangat rendah. 5. Tidak adanya Multikolinearitas Untuk mengetahui ada tidaknya multikoliniaritas maka digunakan indikasi nilai VIF. Tabel 4.7 menunjukkan nilai VIF dari setiap variabel prediktor. Hasil uji menunjukkan bahwa nilai VIF untuk semua variabel prediktor kurang dari 10 sehingga bisa disimpulkan bahwa tidak ada multikolinearitas antara variabel prediktor. Tabel 4.7 Nilai VIF Variabel Prediktor Variabel Prediktor VIF Konstan Rasio puskesmas 3.3 Rasio tenaga medis 1.9 Rasio posyandu 2.7 % kelahiran ditolong non medis 2.3 % bayi yang tidak diberi ASI eksklusif 1.6 % ibu yang tidak melakukan kunjungan bayi 1.6 % ibu hamil risti 1.7 % berat badan lahir rendah 2.1 % rumah tidak sehat 2.3 Rasio j penduduk miskin 2.4 Kesalahan Prediksi Kesalahan prediksi digunakan untuk mengetahui tingkat keakuratan dari hasil yang diperoleh. Tabel 4.8 menunjukkan kesalahan prediksi dari metode regresi dengan menggunakan data testing. Tabel 4.8 Kesalahan Prediksi dengan Regresi Pengamatan CI Y bawah Y atas Y Keterangan Y Masuk Y Tidak masuk Y Tidak masuk Y Tidak masuk Y Masuk Y Tidak masuk Y Tidak masuk Y Masuk Kesalahan prediksi 62,5% Tabel 4.9 menunjukkan bahwa terdapat tiga pengamatan (Y) yaitu Y 1, Y 5, Y 8 pada data testing yang masuk dalam selang kepercayaan, sedangkan lima lainnya tidak masuk dalam selang kepercayaan. Hal ini menunjukkan bahwa kesalahan prediksi dengan metode regresi adalah sebesar 62,5%. 4.3 Perbandingan Bayesian Model Averaging dan Regresi Linier Perbandingan estimasi parameter dan standart error yang dihasilkan dalam memprediksi faktor-faktor yang mempengaruhi kematian bayi antara metode Bayesian Model Averaging dengan regresi disajikan dalam tabel 4.8. Hasil estimasi parameter variabel prediktor antara BMA dan regresi sama yaitu terdapat empat variabel prediktor yang berpengaruh didalam model, diantaranya rasio puskesmas, rasio tenaga medis, prosentase ibu yang tidak melakukan kunjungan bayi dan prosentase berat badan lahir rendah (BBLR). Namun jika dilihat dari standart error setiap parameter yang dihasilkan, BMA memiliki standart error yang lebih kecil daripada regresi pada semua variabel prediktornya. Hal ini menunjukkan bahwa BMA memberikan estimasi parameter yang lebih efisien dalam memprediksi faktor-faktor yang mempengaruhi kematian bayi. 11

12 Tabel 4.9 Estimasi Parameter dan Standar Error dengan BMA dan Regresi BMA Regresi Variabel Probabilitas posterior (%) SE Pvalue SE Rasio jumlah sarana kesehatan 100* * Rasio jumlah tenaga kesehatan 100* * Rasio jumlah posyandu % kelahiran ditolong non medis % bayi yang tidak diberi ASI eksklusif % ibu yang tidak melakukan kunjungan bayi 98.8* * % ibu hamil risti % BBLR 100* * % rumah tidak sehat Rasio jumlah penduduk miskin Catatan: * menunjukkan variabel yang berpengaruh Apabila dilihat dari koefisien parameternya, BMA dan regresi memiliki nilai koefisien yang tidak terlalu jauh selisihnya. Hal ini bisa dilihat dalam tabel Tabel 4.10 Koefisien parameter BMA dan Regresi Variabel Prediktor Koef.BMA Koef.Regresi Intercept X X X X X X X X X X Tabel 4.10 menunjukkan bahwa semua variabel prediktor memiliki tanda koefisien yang sama untuk koefisien parameter BMA dan regresi dan selisih koefisien antara kedua metode tidak terlalu besar. Hal ini menunjukkan bahwa tidak terdapat perbedaan yang besar antara koefisien hasil BMA dan regresi. Jika dilihat dari kesalahan prediksi, metode BMA memberikan kesalahan prediksi yang lebih kecil daripada regresi yaitu sebesar 37.5% dibanding regresi sebesar 62.5% yang menunjukkan bahwa BMA memberi prediksi yang lebih tepat. Namun, berbanding terbalik jika dilihat dari MSE data training maupun data testingnya, MSE regresi lebih kecil daripada BMA. Hal tersebut bisa dilihat pada Tabel Tabel 4.11 Kesalahan Prediksi dan Nilai MSE BMA dan Regresi. BMA Regresi Kesalahan prediksi 37.5% 62.5% MSE data training MSE data testing

13 Prinsip dasar BMA adalah mengatasi masalah ketidakpastian model dan memprediksi pengamatan baru melalui selang kepercayaan sehingga pemilihan metode terbaik didasarkan pada kesalahan prediksinya. Berdasarkan kesalahan prediksinya, BMA memberikan kesalahan prediksi yang lebih kecil daripada regresi sehingga metode ini memiliki kemampuan prediksi pengamatan baru yang lebih baik daripada regresi. 5. Kesimpulan Kesimpulan yang bisa diambil dari hasil pembahasan adalah faktor-faktor yang diprediksi berpengaruh terhadap jumlah kematian bayi di Jawa Timur dengan BMA dan regresi adalah sama, yaitu rasio puskesmas, rasio tenaga medis, prosentase ibu yang tidak melakukan kunjungan bayi, dan prosentase berat badan lahir rendah (BBLR). Standart error dari setiap parameter yang dihasilkan BMA lebih kecil daripada regresi pada semua variabel prediktornya yang menunjukkan bahwa BMA memberikan estimasi parameter β yang lebih efisien daripada regresi. Selain itu, jika dilihat dari kesalahan prediksinya, BMA memberikan kesalahan prediksi yang lebih kecil daripada regresi yang menunjukkan bahwa BMA lebih tepat dalam memprediksi. Daftar Pustaka Ardiyanti, S.T Pemodelan Angka Kematian Bayi dengan Pendekatan Geographically Weighted Poisson Regression di Provinsi Jawa Timur. Surabaya: Program Sarjana, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Badan Pusat Statistik.(2009). Survei Sosial Ekonomi Nasional Propinsi Jawa Timur. Surabaya. Brown,P.J., Vannucci, M., Fearn,T.(2002). Bayes model averaging with selection of regressors. J. R. Statist. Soc. B Part 3, pp Dinas Kesehatan.(2009). Profil Kesehatan Propinsi Jawa Timur. Surabaya. Draper N and Smith H, (1992). Analisis Regresi Terapan Edisi 2: Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. Hoeting, J., Madigan, D., Raftery, A.E., dan Volinsky, C.T. (1999). Bayesian Model Averaging: A Tutorial. Statistical Science 14: Liang, F. M., Troung, Y., and Wong, W. H. (2001). Automatic Bayesian model averaging for linear regression and applications in Bayesian curve fitting. Statistica Sinica, 11(4): Madigan, D., Raftery, A. E.(1994).Model Selection and Accounting for Model Uncertainty in Graphical Models Using Occam s Window. Journal of the American Statistical Association,Vol.89, No.428, Montgomery, J. dan Nyhan, B.(2010). Bayesian Model Averaging: Theoretical developments and practical applications. Society for Political Methodology working paper. Raftery, A. E., Madigan, D., dan Hoeting, J. (1997). Bayesian model averaging for linear regression models. Journal of the American Statistical Association. 92. Rani, D.S Pemodelan Angka Kematian Bayi dengan Pendekatan Geographically Weighted Poisson Regression Semiparametric di Provinsi Jawa Timur. Surabaya: Program Sarjana, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Volinsky, C. T. (1997). Bayesian model averaging for censored survival models. Ph.D. dissertation, Univ. Washington, Seattle. 13