UNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN GRACEFUL-BUSUR PADA GRAF CATERPILLAR REGULER SKRIPSI RENDY AHMAD TRIPUTRA

Transkripsi

1 UNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN GRACEFUL-BUSUR PADA GRAF CATERPILLAR REGULER SKRIPSI RENDY AHMAD TRIPUTRA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JUNI 0

2 UNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN GRACEFUL-BUSUR PADA GRAF CATERPILLAR REGULER SKRIPSI Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains RENDY AHMAD TRIPUTRA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JUNI 0 ii

3 HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS Skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, dan semua sumber baik yang dikutip maupun dirujuk telah saya nyatakan dengan benar. Nama : RENDY AHMAD TRIPUTRA NPM : Tanda Tangan : Tanggal : 6 JUNI 0 iii

4 HALAMAN PENGESAHAN Skripsi ini diajukan oleh : Nama : Rendy Ahmad Triputra NPM : Program Studi : Matematika Judul Skripsi : Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Caterpillar Reguler Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan diterima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam DEWAN PENGUJI Pembimbing : Dr. Kiki Ariyanti S., M.Si. ( ) Penguji : Prof. Dr. Djati Kerami ( ) Penguji : Dra. Nora Hariadi, M.Si. ( ) Penguji : Dr. Hengki Tasman, M.Si. ( ) Ditetapkan di : Depok Tanggal : 7 Mei 0 iv

5 KATA PENGANTAR Alhamdulillah wa syukurilah penulis panjatkan kepada Allah SWT, atas berkat, rahmat, dan izin-nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulisan skripsi ini dilakukan dalam rangka memenuhi salah satu syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains Departemen Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Penulis menyadari bahwa, tanpa bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak, dari masa perkuliahan sampai pada penyusunan skripsi ini, sangatlah sulit bagi penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengucapkan ribuan terima kasih kepada: ) Ibu Dr. Kiki Ariyanti Sugeng selaku pembimbing skripsi sekaligus pembimbing akademis penulis. Terima kasih sebesar-besarnya untuk semua senyum, omelan, kritik, bimbingan, dan dukungan yang sangat luar biasa yang diberikan kepada penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini. ) Bapak Dr. Yudi Satria, Ibu Rahmi Rusin, S.Si, M.ScTech dan Ibu Dr. Dian Lestari sebagai kepala departemen, sekertaris departemen, dan koordinator pendidikan atas bantuan dan dukungannya dalam mempermudah prosedur penyelesaian tugas akhir dan sampai wisuda. ) Seluruh staf pengajar di departemen Matematika UI, terima kasih atas segala ilmu yang telah diberikan. Semoga penulis dapat menggunakan ilmu tersebut dengan sebaik-baiknya. ) Mba Santi, Pak Saliman, Mba Rusmi, Mas Ansori, dan Seluruh karyawan di Departemen Matematika UI, terima kasih atas segala bantuan dan kemudahan yang telah diberikan untuk penulis. ) Mama dan Papa orang tua terbaik yang dengan tulus dan ikhlas melimpahkan kasih sayang yang tidak terbatas. 6) Mas Bayu, Mas Reza, Teh Denti, Qila, keluarga besar Usman dan keluarga besar Ukar sebagai keluarga penulis yang selalu memberikan doa, dukungan, dan nasehat. v

6 7) Rita, Syaf, Lee, Yuri, Aliman, Yuko, Ojak, Budi, Bara, Cimz, Mekel, Bekti terima kasih atas semua kegembiraan, keseruan, kejahatan, curhatan, cacian, makian, celaan, dan keindahan lain yang sangat luar biasa. Lima tahun yang sangat hebat kawan. 8) Penghuni Pondok Anugrah Om Moel, Tante Fitri, Djenar, Sinyo, Herman, Sidick, Yoyo, Sangap, Adi, Kardo, Anip, Esha, Akbar, Ucin, Andi, Rudi, Ando, Gembel, Fahri, Adit, Edwin, Andri, Andra, Satrio, Eko, dan semua orang yang pernah menghuni pondok anugrah. Terima kasih banyak atas semua pelatihan mental yang kalian berikan. 9) Teman-teman yang selalu menemani penulis berdiskusi di depan gedung Matematika UI. 0) Teman-teman 006: Anggha, Oppie, Mei, Inne, Rizkyatul, Rahanti, Stefani, Alfa, Mella, Milla, Tami, Annisa, Widya, Latief, Hot, Noor, Farah, Putri Helmet, Dian, Purwita, Nurgi, Lena, Nadia, Reza, Rifza, Yunita, Indra, Puspa, Febrian, Stefano, Poe, Tasya, Billy, Rahmanita, Kiki, Nobo, Tika, Rontu, Lani, Dita, Teguh, Tino, Muhardani, Rama, Dodi, Rafly, Ali, Sutisna, Pangky, Rita, untuk kebersamaan yang telah dijalani. ) Teman-teman Matematika UI angkatan 00, 00, 007, 008, 009, 00 ) Teman-teman di Scout Nasa SMP Tangerang. Salam Pramuka. ) Dan semua orang yang namanya tidak bisa penulis sebutkan satu persatu yang telah mendoakan, mendukung, mengingatkan, mengajarkan, menegur, menginspirasi penulis baik dalam penulisan skripsi ini maupun dalam kehidupan penulis sehari-hari. Akhir kata, penulis berharap Allah SWT berkenan membalas segala kebaikan semua pihak yang telah membantu. Semoga skripsi ini membawa manfaat bagi pengembangan ilmu. Penulis 0 vi

7 HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Sebagai sivitas akademik, saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama : Rendy Ahmad Triputra NPM : Program Studi : Matematika Departemen : Matematika Fakultas : FMIPA Jenis karya : Skripsi demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul : Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Caterpillar Reguler beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Noneksklusif ini berhak menyimpan, mengalihmedia/format-kan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di : Depok Pada tanggal : 6 Juni 0 Yang menyatakan (Rendy Ahmad Triputra) vii

8 ABSTRAK Nama : Rendy Ahmad Triputra Program Studi : Matematika Judul : Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Caterpillar Reguler Graf adalah suatu sistem yang terdiri dari himpunan tak kosong simpul dan himpunan busur. Pelabelan pada graf adalah penetapan nilai pada simpul, busur, atau simpul dan busur dengan aturan tertentu. Pelabelan graceful-busur pada graf adalah fungsi bijektif yang menginduksi pemetaan bijektif yang didefinisikan oleh dengan. Pada skripsi ini dibuktikan bahwa graf caterpillar reguler, dimana dan, dengan sejumlah ganjil simpul pusat ( ) dan sejumlah genap simpul daun pada tiap pusatnya ( ) memiliki pelabelan graceful-busur. Kata Kunci : pelabelan graceful-busur, graf caterpillar reguler. xii+0 halaman : 6 gambar, tabel Daftar Pustaka : 0 (988-00) viii

9 ABSTRACT Name : Rendy Ahmad Triputra Program Study : Mathematics Title : Edge-Graceful Labeling on Regular Caterpillar Graphs Graph is a system contains of a nonempty set of vertices and a set of edges. Labeling on a graph is an assignment of a nonnegative integer on each vertex, edge, or both under a certain condition. A edge-graceful labeling on graph is a bijection which induce a bijection defined by where. The proof that regular caterpillar graphs, where and with odd vertex center ( ) and even leaf ( ) has an edge-graceful is shown in this skripsi. Key Words : edge-graceful labeling, regular caterpillar xii+0 pages ; 6 pictures, table Bibliography : 0 (988-00) ix

10 DAFTAR ISI HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS... iii HALAMAN PENGESAHAN... iv KATA PENGANTAR... v HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... vii ABSTRAK... viii ABSTRACT... ix DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... xi DAFTAR TABEL... xii BAB PENDAHULUAN.... Latar Belakang.... Perumusan Masalah dan Ruang Lingkupnya.... Tujuan Penulisan.... Jenis Penelitian dan Metode yang Digunakan... BAB LANDASAN TEORI.... Teori Graf.... Jenis-jenis Graf.... Pelabelan Graf Hasil-Hasil yang Telah Diketahui... 0 BAB PELABELAN GRACEFUL-BUSUR PADA GRAF CATERPILLAR REGULER.... Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Lintasan.... Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Bintang Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Bintang Ganda.... Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Caterpillar Reguler.... Bentuk Lain Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Caterpillar Reguler..... Pelabelan Graceful-Busur Untuk dan..... Pelabelan Graceful-Busur Untuk dan... 6 BAB KESIMPULAN... 9 DAFTAR PUSTAKA... 0 x

11 DAFTAR GAMBAR Gambar. Graf lintasan P... Gambar. Graf lingkaran... Gambar. Graf pohon... 6 Gambar. Graf bintang... 6 Gambar. Graf caterpillar... 7 Gambar. 6 Graf caterpillar reguler Gambar. 7 (a) Graf bintang ganda dan (b) graf bintang ganda reguler. 8 Gambar. 8 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler... 9 Gambar. 9 Pelabelan graceful-busur pada graf grid... 0 Gambar. 0 Pelabelan graceful-busur pada graf lengkap.... Gambar. Pelabelan graceful-busur pada (a) graf lintasan, (b) graf lingkaran, dan (c) graf bintang.... Gambar. Pelabelan graceful-busur pada graf lintasan (a), (b), (c), dan (d)... 9 Gambar. Pelabelan graceful-busur graf bintang (a) dan (b)... Gambar. Pelabelan graceful-busur graf bintang (a) dan (b)... Gambar. Pelabelan graceful-busur graf bintang (a) dan (b)... Gambar. Pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda ( )... Gambar. 6 Pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda ( )... Gambar. 7 Pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda ( ). Gambar. 8 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler.... Gambar. 9 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler. Gambar. 0 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler.... Gambar. Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler... Gambar. Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler Gambar. Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler.. 6 Gambar. Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler... 8 Gambar. Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler... 8 xi

12 DAFTAR TABEL Tabel. Pelabelan graceful-busur yang dibahas pada skripsi ini... 9 xii

13 BAB PENDAHULUAN. Latar Belakang Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang masih sangat muda bila dibandingkan dengan cabang matematika lain. Meskipun demikian, teori graf telah banyak digunakan dalam sejumlah bidang terapan, seperti riset operasi, ilmu komputer, ilmu kimia, dan analisis jaringan sosial. Pada penerapannya, teori graf digunakan untuk menyederhanakan suatu masalah, sehingga lebih mudah untuk diselesaikan dan dipahami. Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 76, ketika mencoba membuktikan kemungkinan untuk melewati empat daerah yang terhubung dengan tujuh jembatan di atas sungai Pregel di Kőnigsberg, Rusia, dalam satu perjalanan yang melintasi setiap jembatan tepat satu kali dan kembali ke daerah awal. Masalah jembatan Kőnigsberg tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk graf dengan merepresentasikan keempat daerah itu sebagai simpul (vertex) dan ketujuh jembatan sebagai busur (edge) yang menghubungkan pasangan simpul yang sesuai. Pembuktian Euler ditulis dalam karya tulisnya yang berjudul Solutio Problematis ad geometriam situs pertinensi. Pada pembuktiannya tersebut, Euler menyatakan bahwa permasalahan tersebut tidak memiliki solusi (Rosen, 99). Suatu graf adalah pasangan himpunan dengan merupakan suatu himpunan tak kosong, dan merupakan himpunan (mungkin kosong) dari pasangan-pasangan tak terurut dari anggota-anggota himpunan. Anggota dari disebut simpul dari, dan anggota dari disebut busur dari Banyaknya anggota ditulis dan untuk banyaknya anggota. Banyaknya anggota di graf biasa disebut dengan order dari (Hartsfield & Ringel, 990). Beberapa jenis graf telah banyak dikenal seperti graf lingkaran, graf lengkap, graf lintasan, graf pohon, graf

14 bipartit, graf kubik, graf Petersen, graf roda, graf caterpillar, dan masih banyak jenis lainnya. Pada perkembangannya graf menjadi salah satu cabang matematika yang berkembang pesat dan menyebabkan banyaknya penemuan baru mengenai graf. Salah satu cabang yang berkembang adalah pelabelan graf. Pelabelan graf pertama kali diperkenalkan secara formal oleh Kotzig dan Rosa (967). Pelabelan pada graf adalah pemberian nilai (biasanya bilangan bulat) pada simpul, busur, atau keduanya pada graf (Gallian, 00). Sampai saat ini banyak jenis pelabelan yang telah dikenal, salah satunya adalah pelabelan graceful-busur. Sebuah graf disebut graf graceful-busur jika terdapat fungsi bijektif sedemikian sehingga menginduksi pemetaan bijektif yang didefinisikan oleh dengan. Nilai juga disebut sebagai bobot simpul. Syarat perlu sebuah graf dengan simpul dan busur dapat dilabelkan secara graceful-busur adalah (Lee, Seah, & Wang, 990). Kajian mengenai graf yang memiliki pelabelan graceful-busur, belum banyak dilakukan. Masih banyak graf yang belum diketahui apakah dapat dilabelkan secara graceful-busur atau tidak. Beberapa contoh graf yang telah diteliti adalah graf grid (Lee dkk, 00), graf lengkap (Lee, Lee, & Murthy, 988), graf lintasan, graf lingkaran, graf bintang, dan graf superstar (Alifah, 00). Salah satu contoh kelas graf yang belum diteliti adalah graf caterpillar. Oleh karena itu dalam skripsi ini akan dicari konstruksi pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar.. Perumusan Masalah dan Ruang Lingkupnya Bagaimanakah konstruksi pelabelan graceful-busur pada kelas graf caterpillar? Dalam skripsi ini pembahasan dibatasi hanya untuk pelabelan gracefulbusur pada graf caterpillar reguler dengan dan.

15 . Tujuan Penulisan Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk menganalisa dan mengkonstruksi pelabelan graceful-busur pada kelas graf caterpillar reguler.. Jenis Penelitian dan Metode yang Digunakan Penelitian dilakukan dengan studi pustaka yang dikembangkan untuk menganalisa dan mengkonstruksi pelabelan graceful-busur pada kelas graf caterpillar reguler.

16 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan konsep dasar dari teori graf, seperti jenisjenis graf, dan pelabelan graf beserta beberapa hasil yang telah diketahui dan akan digunakan pada bab-bab selanjutnya.. Teori Graf Suatu graf adalah pasangan himpunan dengan merupakan suatu himpunan tak kosong, dan merupakan himpunan (mungkin kosong) dari pasangan-pasangan tak terurut dari anggota-anggota himpunan. Anggota dari disebut simpul dari, dan anggota dari disebut busur dari Jika dan merupakan simpul dari graf, maka dikatakan bertetangga dengan jika terdapat busur yang menghubungkan dan, biasanya ditulis dengan busur atau. Banyaknya anggota ditulis dan untuk banyaknya anggota. Banyaknya anggota di graf biasa disebut dengan order dari. Busur dikatakan hadir pada simpul, jika merupakan titik ujung dari. Simpul dikatakan hadir pada busur jika merupakan titik ujung dari. Derajat dari sebuah simpul adalah banyaknya busur yang hadir pada. Simpul dengan derajat 0 disebut simpul terpencil dan simpul berderajat disebut simpul ujung atau daun. Graf dikatakan reguler dengan derajat, atau -reguler, jika setiap simpul di berderajat. (Hartsfield & Ringel, 990). Subgraf dari graf adalah suatu graf yang setiap simpul dari merupakan simpul dari dan setiap busur dari merupakan busur dari. Dengan kata lain, dan. Diberikan graf dan, gabungan dari graf dan ditulis dimana dan (Hartsfield & Ringel, 990).

17 . Jenis-jenis Graf Pada sub bab ini akan dibahas tentang beberapa jenis graf yang sudah dikenal secara umum dan akan banyak dipakai pada bab selanjutnya. Graf lintasan (path),, adalah graf dengan n simpul yaitu dengan busur. Simpul disebut sebagai simpul awal dan sebagai simpul akhir. Semua simpul berderajat dua kecuali untuk simpul awal dan simpul akhir. Suatu graf dikatakan terhubung jika untuk sembarang dua simpul dan pada terdapat lintasan dari ke (Hartsfield & Ringel, 990). Graf lintasan memiliki dan. Pada Gambar. diberikan contoh graf lintasan dengan banyak simpul dan banyak busur. Gambar. Graf lintasan Graf lingkaran (cycle) dengan panjang adalah graf dengan simpul dan busur-busur (Hartsfield & Ringel, 990). Graf lingkaran adalah graf reguler karena semua simpulnya berderajat. Graf unicyclic adalah graf yang memuat satu lingkaran (Gallian, 00). Jadi graf lingkaran merupakan graf unicyclic. Untuk semua graf unicyclic berlaku. Pada Gambar. diberikan contoh graf lingkaran yaitu graf lingkaran dengan jumlah simpul dan jumlah busur. Gambar. Graf lingkaran.

18 6 Graf pohon adalah graf terhubung yang tidak mengandung subgraf lingkaran. Pada graf pohon, simpul berderajat disebut simpul daun (Hartsfield & Ringel, 990). Gambar. memberikan contoh graf pohon dengan banyak simpul, dan banyak busur. Gambar. Graf pohon Graf bintang adalah graf yang dibangun dari satu simpul pusat kemudian menambahkan sejumlah simpul daun pada simpul pusat tersebut. Graf bintang memiliki simpul dan busur (Choudum & Kishore, 996). Pada graf bintang terdapat simpul ujung atau daun, dan simpul pusat, yaitu simpul yang terhubung ke setiap simpul ujung. Graf bintang merupakan subkelas dari pohon, karena graf bintang tidak mempunyai subgraf lingkaran. Gambar. memberikan contoh graf bintang yaitu graf bintang dengan 6 simpul, dan busur. Gambar. Graf bintang.

19 7 Graf caterpillar adalah graf yang dibangun dari suatu lintasan dengan menambahkan sejumlah daun pada setiap simpul pada lintasan - yang disebut tulang belakang atau backbone - yaitu daun pada simpul, dimana,.. (Sugeng, dkk, 00). Simpul disebut sebagai simpul pusat dan simpul ; disebut simpul daun untuk pusat. Pada Gambar. diberikan graf caterpillar yaitu graf caterpillar dengan 9 simpul ( simpul pusat, dan,,,, simpul-simpul daun yang terhubung pada tiap simpul pusat secara berurutan) dan 8 busur. x x x x x c c c c c x x x x x x x x x Gambar. Graf caterpillar. Sebuah graf caterpillar dikatakan reguler jika banyaknya simpul daun untuk setiap simpul pusatnya sama. Dengan kata lain dikatakan reguler

20 8 jika dan hanya jika dan. Pada Gambar.6 diberikan contoh graf caterpillar reguler. x x x x x x c c c c c x x x x Gambar. 6 Graf caterpillar reguler. Graf bintang ganda adalah graf caterpillar dengan. Sebuah graf bintang ganda dikatakan reguler jika kedua graf bintang yang membentuk graf bintang ganda memiliki simpul daun yang sama. Dengan kata lain, dikatakan reguler jika. Pada Gambar.7 diberikan contoh graf bintang ganda dan graf bintang ganda reguler (a) (b) Gambar. 7 (a) Graf bintang ganda dan (b) graf bintang ganda reguler.. Pelabelan Graf Pelabelan graf pertama kali dikenalkan secara formal oleh Kotzig dan Rosa (967). Pelabelan pada graf adalah pemberian nilai bilangan bulat pada

21 9 simpul, busur, atau keduanya pada graf. Sampai saat ini banyak jenis pelabelan yang telah dikenal, salah satunya adalah pelabelan graceful (Gallian, 00). Menurut Gallian (00), Rosa mendefinisikan graf graceful pada tahun 967. Sebuah graf disebut graceful jika terdapat fungsi injektif sedemikian sehingga menginduksi pemetaan bijektif yang didefinisikan oleh untuk setiap. Pada tahun 98, Lo memperkenalkan sebuah konsep graf graceful-busur. Sebuah graf dikatakan graceful-busur jika terdapat fungsi bijektif sedemikian sehingga menginduksi pemetaan bijektif yang didefinisikan oleh dengan. Nilai juga disebut sebagai bobot simpul. Syarat perlu sebuah graf dengan simpul dan busur dapat dilabelkan secara graceful-busur adalah. Konsep dari graf graceful-busur ini dapat dilihat sebagai konsep dual dari graf graceful (Lee, Seah, & Wang, 990). Dual yang dimaksud di sini adalah pada graf graceful melibatkan pelabelan simpul yang menginduksi label busur yang merupakan selisih antara dua buah simpul yang hadir pada busur tersebut, sedangkan pada graf graceful-busur melibatkan pelabelan busur yang menginduksi label simpul yang merupakan penjumlahan dari label busur yang hadir modulo banyaknya simpul. Pada Gambar.8 diberikan contoh pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler Gambar. 8 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler.

22 0 Busur-busur pada graf (Gambar.8) diberikan label dimana menyatakan banyak busur. Jika dihitung bobot simpulnya, maka dapat dilihat bahwa bobot simpul tersebut membentuk himpunan dimana menyatakan banyak simpul dikurangi.. Hasil-Hasil yang Telah Diketahui Berikut ini diberikan hasil-hasil yang telah diketahui dari pelabelan graceful-busur untuk beberapa kelas graf. Dalam sebuah makalah, Lee, dkk. (00) membuktikan bahwa untuk sebuah nilai terdapat sejumlah hingga sedemikian sehingga graf grid dapat dilabelkan secara graceful-busur. Pada Gambar.9 diberikan contoh pelabelan graceful-busur pada graf grid Gambar. 9 Pelabelan graceful-busur pada graf grid. Pada tahun 988, Lee, dkk melakukan penelitian mengenai pelabelan graceful-busur pada graf lengkap yang membuktikan bahwa graf lengkap dapat dilabelkan secara graceful-busur jika dan hanya jika Pada Gambar.0 diberikan contoh pelabelan graceful-busur pada graf lengkap.

23 Gambar. 0 Pelabelan graceful-busur pada graf lengkap. Pada tahun 00, Alifah membuktikan beberapa kelas graf memiliki pelabelan graceful-busur, antara lain : graf lintasan, graf lingkaran, dan graf bintang. Graf lintasan memiliki pelabelan graceful-busur jika adalah bilangan ganjil. Graf lingkaran memiliki pelabelan graceful-busur jika adalah bilangan ganjil. Graf bintang memiliki pelabelan graceful-busur jika adalah bilangan ganjil. Pada Gambar. diberikan contoh pelabelan pada graf lintasan, graf lingkaran dan graf bintang. 0 0 (a) (b) (c) Gambar. Pelabelan graceful-busur pada (a) graf lintasan lingkaran, dan (c) graf bintang., (b) graf

24 BAB PELABELAN GRACEFUL-BUSUR PADA GRAF CATERPILLAR REGULER Pada bab ini akan diberikan kontruksi pelabelan graceful-busur dari kelas graf lintasan, graf bintang, graf bintang ganda dan graf caterpillar reguler. Pada Bab telah dijelaskan bahwa sebuah fungsi bijektif dikatakan pelabelan graceful-busur, jika menginduksi sebuah pemetaan bijektif yang didefinisikan oleh dengan (Lee, Seah, & Wang, 990). Untuk mengkonstruksi pelabelan dan menunjukan bahwa konstruksi yang dibuat adalah graceful-busur, maka secara garis besar pembuktian dilakukan dengan alur sebagai berikut : definisikan fungsi pelabelan untuk busur, lalu ditunjukan bahwa semua bobot simpul yang diperoleh dari pelabelan tersebut merupakan penjumlahan bobot-bobot busur yang hadir dan membentuk barisan, pada akhirnya akan ditunjukan bahwa fungsi pelabelan tersebut adalah fungsi bijektif. Dalam beberapa makalah, Lee dkk (006) dan Venkatesan & Sattanathan (00) menyebutkan bahwa, Lo memberikan syarat perlu sebuah graf dapat dilabelkan secara graceful-busur. Syarat perlu tersebut dituangkan dalam sebuah teorema. Teorema ini biasa dikenal dengan kondisi Lo. Teorema. Kondisi Lo (Venkatesan & Sattanathan, 00) : Syarat perlu sebuah graf terhubung, dengan simpul dan busur, dapat dilabelkan secara gracefulbusur adalah : Kondisi ini, dalam penggunaannya biasa dinyatakan sebagai atau tergantung pada nilai bilangan genap atau ganjil.

25 Bukti : Misalkan merupakan graf terhubung, dengan dan. merupakan himpunan simpul di, dan merupakan himpunan busur di. Jika dapat dilabelkan secara graceful-busur, maka label himpunan busur di adalah dan label himpunan simpul di adalah. Karena setiap busur menghubungkan dua simpul, maka : Sedemikian sehingga, Jadi, Maka syarat perlu sebuah graf terhubung, dengan simpul dan busur, dapat dilabelkan secara graceful-busur adalah. Selanjutnya, Lee meneliti penggunaan kondisi Lo pada kelas graf pohon. Dari penelitian tersebut, Lee mendapatkan sebuah conjecture mengenai pelabelan graceful-busur pada kelas graf pohon. Conjecture. (Lee dkk, 006) Semua pohon dengan order ganjil dapat dilabelkan secara graceful-busur. Dalam usaha untuk menjawab bagian dari conjecture di atas, maka pada bab ini dibahas mengenai pelabelan graceful-busur untuk subkelas dari pohon yaitu graf lintasan, graf bintang, graf bintang ganda, dan graf caterpillar reguler yang semuanya berorder ganjil. Graf caterpillar dibangun dari graf bintang yang simpul pusatnya dihubungkan oleh sebuah lintasan. Pada Subbab. akan dibahas mengenai

26 konstruksi pelabelan graceful-busur pada kelas graf lintasan. Pada Subbab. akan dibahas mengenai konstruksi pelabelan graceful-busur pada kelas graf bintang. Selanjutnya dari pelabelan graceful-busur pada graf bintang tersebut, pada Subbab. dijelaskan mengenai konstruksi pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda. Akhirnya, pada Subbab. akan dijelaskan mengenai konstruksi pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler.. Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Lintasan Seperti yang telah dijelaskan pada Bab, sebuah graf lintasan memiliki sebanyak simpul dan busur. Untuk melihat apakah terdapat pelabelan graceful-busur pada kelas graf lintasan akan digunakan kondisi Lo. Dengan menggunakan kondisi Lo pada graf lintasan, akan didapatkan sebuah persamaan yang memberikan syarat banyaknya simpul pada graf lintasan agar dapat dilabelkan secara graceful-busur. Persamaan ini, didapatkan dengan mensubstitusikan banyaknya busur dan banyaknya simpul pada graf lintasan ke dalam kondisi Lo, sehingga didapatkan : Karena, jadi Observasi : Graf lintasan, dengan merupakan bilangan genap (order genap), tidak mempunyai pelabelan graceful-busur. Jika merupakan bilangan genap, maka sedangkan, dimana. Dengan demikian, graf lintasan dengan merupakan bilangan genap (order genap) tidak dapat memenuhi kondisi Lo, sehingga tidak dapat dilabelkan secara graceful-busur.

27 Observasi : Graf lintasan, dengan merupakan bilangan ganjil (order ganjil), memenuhi kondisi Lo. Jika merupakan bilangan ganjil, maka. Dengan demikian, graf lintasan, dengan merupakan bilangan ganjil (order ganjil), memenuhi kondisi Lo. Selanjutnya akan dibahas mengenai konstruksi pelabelan graceful-busur pada graf lintasan dengan order ganjil. Alifah pada tahun 00 telah membuktikan konstruksi pelabelan graceful-busur pada graf lintasan dengan order ganjil, namun pada teorema berikut diberikan pembuktian dengan memodifikasi rumus pelabelan graceful-busur pada graf lintasan, sehingga dapat digunakan untuk pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler. Teorema. Graf lintasan dapat dilabelkan secara graceful-busur jika dan hanya jika merupakan bilangan ganjil. Bukti : Dengan menggunakan Observasi diketahui jika graf lintasan mempunyai pelabelan graceful-busur, maka merupakan bilangan ganjil. Berikutnya akan dibuktikan untuk ganjil, maka graf lintasan dapat dilabelkan secara graceful-busur. Misalkan merupakan graf lintasan, dengan dan. merupakan himpunan simpul di, dan merupakan himpunan busur di. Pelabelan graceful-busur pada graf lintasan didapatkan dengan memberikan label ke busur secara berurutan. Lalu diberikan label ke busur secara berurutan. Sedemikian sehingga didapatkan sebuah fungsi yang melabelkan graf lintasan secara graceful-busur, yaitu sebagai berikut.

28 6 Fungsi sebagai berikut. tersebut menginduksi label simpul Selanjutnya akan dibuktikan bahwa fungsi dan bijektif. Pertama, akan dibuktikan Jelas terlihat untuk setiap busur : bijektif Jadi, bila diurutkan label untuk busur-busur di, maka diperoleh : Karena untuk setiap busur dilabelkan dengan bilangan yang berbeda dan, maka bijektif. Kedua, akan dibuktikan bijektif dengan Untuk setiap simpul di berlaku Untuk.

29 7... Untuk. Untuk...

30 8 Sehingga terbukti bahwa dan Akibatnya, dan Jadi, atau bisa dikatakan bahwa dengan. Karena untuk setiap simpul dilabelkan dengan bilangan yang berbeda dan, maka bijektif. Jadi, dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa dan merupakan fungsi bijektif.

31 9 dengan Pada Gambar. diberikan pelabelan graceful-busur pada graf lintasan, merupakan bilangan ganjil. 0 (a) 0 (b) (c) (d) Gambar. Pelabelan graceful-busur pada graf lintasan (a), (b), (c), dan (d). Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Bintang Selanjutnya, akan dibahas mengenai pelabelan graceful-busur pada kelas graf bintang. Seperti yang telah dijelaskan pada Bab, sebuah graf bintang memiliki sebanyak busur dan simpul. Untuk melihat apakah terdapat pelabelan graceful-busur pada kelas graf bintang akan digunakan kondisi Lo. Dengan cara yang serupa dengan yang dilakukan pada graf lintasan, didapatkan : Karena, jadi

32 0 Observasi : Graf bintang, dengan merupakan bilangan genap (order genap), tidak mempunyai pelabelan graceful-busur. Jika merupakan bilangan genap, maka sedangkan, dimana. Dengan demikian, graf bintang dengan merupakan bilangan genap (order genap) tidak dapat memenuhi kondisi Lo, sehingga tidak dapat dilabelkan secara graceful-busur. Observasi : Graf bintang, dengan merupakan bilangan ganjil (order ganjil), memenuhi kondisi Lo. Jika merupakan bilangan ganjil, maka. Dengan demikian, graf bintang, dengan merupakan bilangan ganjil (order ganjil), memenuhi kondisi Lo. Selanjutnya akan dibahas mengenai konstruksi pelabelan graceful-busur pada graf bintang dengan order ganjil. Alifah pada tahun 00 telah membuktikan konstruksi pelabelan graceful-busur pada graf bintang dengan order ganjil, namun pada teorema berikut diberikan pembuktian dengan penjelasan yang lebih lengkap. Teorema. Graf bintang, dengan busur dan simpul, dapat dilabelkan secara graceful-busur jika dan hanya jika merupakan bilangan ganjil (order ganjil). Bukti : Dengan menggunakan Observasi diketahui jika graf bintang mempunyai pelabelan graceful-busur, maka merupakan bilangan ganjil. Berikutnya akan dibuktikan untuk ganjil, maka graf bintang dapat dilabelkan secara graceful-busur.

33 Misalkan adalah simpul pusat pada graf dan merupakan himpunan simpul daunnya. Pelabelan graceful-busur pada graf bintang didapat dengan memberikan label,,,, ke busur secara berurutan. Sedemikian sehingga didapatkan sebuah fungsi yang melabelkan graf bintang secara graceful-busur, yaitu sebagai berikut. Fungsi tersebut menginduksi label simpul (..) Dari persamaan (..), didapatkan bahwa. Sekarang akan dibuktikan bahwa dimana. Karena semua busur, terhubung dengan simpul pusat dan diketahui bahwa, maka Akan dibuktikan : Karena ganjil, maka (sebanyak kali) Jadi, untuk bilangan ganjil. Akibatnya fungsi merupakan fungsi bijektif. Jadi,, dengan bilangan ganjil (order ganjil) mempunyai pelabelan gracefulbusur. Pada Gambar.,., dan. diberikan pelabelan graceful-busur pada graf bintang, dengan merupakan bilangan ganjil.

34 S S (mod ) (mod ) 0 0 (a) (b) Gambar. Pelabelan graceful-busur graf bintang (a) dan (b). S 6 S 8 (mod 9) (mod 7) (a) (b) Gambar. Pelabelan graceful-busur graf bintang (a) dan (b). S 0 (mod ) S n- (mod n) n- n- n - n - n - 0 n n- n- (a) (b) Gambar. Pelabelan graceful-busur graf bintang (a) dan (b).

35 . Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Bintang Ganda Pada Subbab. telah dibahas pelabelan graceful-busur pada graf bintang. Pada subbab ini akan dibahas mengenai pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda. Graf bintang ganda merupakan sebuah graf yang terdiri dari dua buah graf bintang dan yang simpul pusatnya bertetangga satu sama lain. Graf bintang ganda memiliki sebanyak simpul dan sebanyak busur. Untuk melihat apakah terdapat pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda, pertama akan diperiksa persyaratannya dengan mengunakan kondisi Lo. Dengan mensubstitusi banyaknya simpul dan banyaknya busur ke kondisi Lo, akan didapatkan persamaan sebagai berikut : Karena, jadi Observasi : Graf bintang ganda dengan merupakan bilangan genap (order genap) tidak mempunyai pelabelan graceful-busur. Jika merupakan bilangan genap, maka merupakan bilangan ganjil. Dari kondisi Lo diperoleh sedangkan dimana Sehingga untuk bilangan genap, tidak dapat memenuhi kondisi Lo. Diketahui. Maka bernilai genap, jika keduanya merupakan bilangan genap atau keduanya merupakan bilangan ganjil. Dari Observasi di atas dapat pula kita simpulkan bahwa, graf bintang ganda reguler tidak mempunyai pelabelan graceful-busur.

36 Observasi 6 : Graf bintang ganda dengan merupakan bilangan ganjil (order ganjil) dapat memenuhi kondisi Lo. Jika merupakan bilangan ganjil, maka merupakan bilangan genap. Dari kondisi Lo diperoleh. Sehingga untuk bilangan ganjil, dapat memenuhi kondisi Lo. Diketahui. Maka bernilai ganjil, jika bilangan genap dan bilangan ganjil atau bilangan ganjil dan bilangan genap. Dari Observasi dan Observasi 6, didapatkan sebuah conjecture mengenai pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda. Conjecture. Graf bintang ganda dapat dilabelkan secara graceful-busur jika dan hanya jika ganjil dan genap atau genap dan ganjil (order ganjil). Pada Gambar.,.6,.7 diberikan contoh pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda Gambar. Pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda ( ).

37 Gambar. 6 Pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda ( ) Gambar. 7 Pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda ( ). Karena penekanan pada skripsi ini adalah graf caterpillar reguler, maka pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda tidak dibahas lebih lanjut.. Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Caterpillar Reguler Pada tiga subbab sebelumnya telah dijelaskan tentang pelabelan gracefulbusur pada graf lintasan, graf bintang dan graf bintang ganda. Meskipun pelabelan graceful-busur tidak ada untuk graf bintang ganda reguler, tetapi pelabelan graceful-busur akan ada untuk graf caterpillar reguler, seperti yang akan dijelaskan pada subbab ini. Pelabelan graceful-busur pada graf ceterpillar reguler,

38 6 didapatkan dengan menggabungkan ide pelabelan graceful-busur pada graf bintang dan graf lintasan. Untuk melabelkan busur yang menghubungkan simpul pusat dengan simpul daun, digunakan ide dari pelabelan graceful-busur pada graf bintang pada Teorema, yaitu penjumlahan setiap busur ganjil dan busur genap akan sama dengan. Sedangkan untuk melabelkan busur yang menghubungkan dua simpul pusat digunakan rumus dari pelabelan graceful-busur pada graf lintasan pada Teorema. Graf caterpillar reguler merupakan graf caterpillar dengan dan. Misalkan banyaknya simpul pada graf caterpillar reguler adalah dan banyaknya busur pada graf caterpillar adalah. Untuk melihat apakah terdapat pelabelan gracefulbusur pada graf ceterpillar reguler, pertama akan diperiksa persyaratannya dengan menggunakan kondisi Lo. Dengan mensubstitusikan banyaknya simpul dan banyaknya busur ke kondisi Lo, akan didapatkan persamaan sebagai berikut : Karena, jadi Observasi 7 : Graf caterpillar reguler dengan banyaknya simpul merupakan bilangan genap (order genap) tidak mempunyai pelabelan graceful-busur. Jika merupakan bilangan genap, maka merupakan bilangan ganjil. Dari kondisi Lo diperoleh sedangkan dimana Sehingga untuk bilangan genap, tidak dapat memenuhi kondisi Lo. Diketahui Maka bernilai genap untuk setiap jika merupakan bilangan genap atau untuk setiap jika merupakan bilangan ganjil.

39 7 Observasi 8 : Graf caterpillar reguler dengan banyaknya simpul merupakan bilangan ganjil (order ganjil ) dapat memenuhi kondisi Lo. Jika merupakan bilangan ganjil, maka merupakan bilangan genap. Dari kondisi Lo diperoleh. Sehingga untuk bilangan ganjil, dapat memenuhi kondisi Lo. Diketahui. Maka bernilai ganjil untuk bilangan genap dan bilangan ganjil. Jadi, pelabelan graceful-busur untuk graf caterpillar reguler dengan banyaknya simpul ganjil memenuhi kondisi Lo. Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler dan, didapat dengan memberikan label dengan secara berurutan ke busur Lalu diberikan label secara berurutan ke busur Selanjutnya diberikan label secara berurutan ke busur Terakhir, diberikan label secara berurutan ke busur

40 8 Dengan menggunakan pelabelan tersebut, maka akan didapatkan pelabelan graceful-busur. Dari penjelasan di atas didapatkan sebuah teorema mengenai pelabelan graceful-busur pada kelas graf caterpillar reguler. Teorema. Graf caterpillar reguler, dengan simpul,, dan busur dapat dilabelkan secara graceful-busur jika dan hanya jika mempunyai sejumlah ganjil simpul pusat ( ) dan sejumlah genap simpul daun pada tiap pusatnya ( ) (order ganjil). Bukti : Dengan menggunakan Observasi 8, diketahui jika graf caterpillar reguler mempunyai pelabelan graceful-busur, maka merupakan bilangan genap dan merupakan bilangan ganjil. Berikutnya akan dibuktikan untuk genap dan ganjil, maka graf caterpillar reguler dapat dilabelkan secara gracefulbusur. Dengan mensubstitusi ke pelabelan gracefulbusur pada graf caterpillar yang telah dijelaskan di atas didapatkan fungsi yang melabelkan busur-busur pada graf caterpillar reguler, yaitu sebagai berikut : Fungsi tersebut menginduksi label simpul dan

41 9 Selanjutnya, akan ditunjukan bahwa dan merupakan fungsi bijektif. Pertama, akan dibuktikan : Jelas terlihat untuk setiap busur : bijektif Jadi, bila diurutkan label untuk busur-busur di, maka diperoleh Karena untuk setiap busur dilabelkan dengan bilangan yang berbeda dan, maka bijektif. Kedua, akan dibuktikan dengan Untuk simpul daun, jelas bahwa terdapat satu busur yang hadir pada simpul daun. Sehingga, bijektif,, karena hanya

42 0 Karena maka Dan karena maka Jadi, untuk simpul daun didapatkan Untuk semua simpul pusat berlaku

43 Jadi, Untuk.... Untuk.

44 Untuk.... Sehingga terbukti bahwa dan Akibatnya,

45 dan Jadi, atau bisa dikatakan bahwa dengan Karena untuk setiap simpul dilabelkan dengan bilangan yang berbeda dan, maka bijektif. Jadi, dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa dan merupakan fungsi bijektif. Pada Gambar.8,.9,.0 dan. diberikan contoh pelabelan gracefulbusur pada graf caterpillar reguler dengan menggunakan rumus yang telah didapatkan Gambar. 8 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler.

46 Gambar. 9 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler Gambar. 0 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler Gambar. Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler.

47 . Bentuk Lain Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Caterpillar Reguler Pelabelan yang telah dibahas pada Subbab., bukan merupakan pelabelan tunggal. Graf caterpillar reguler juga dapat dilabelkan secara gracefulbusur dengan beberapa cara lain. Pada subbab ini akan dibahas mengenai bentuk lain dari pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler. Pembahasan dibatasi hanya untuk graf caterpillar reguler dengan... Pelabelan Graceful-Busur Untuk dan Pelabelan graceful-busur dengan menggunakan rumus ini hanya dapat dilakukan pada beberapa kelas graf ceterpillar reguler, yaitu dan. Pelabelan graceful-busur dan didapat dengan memberikan label ke busur (dimana merupakan banyaknya simpul daun di tiap pusatnya, merupakan banyaknya simpul pusat). Lalu meberikan label ke busur. Jadi didapatkan sebuah fungsi yang melabelkan graf tersebut secara gracefulbusur, yaitu (...) dan (...) Persamaan (...) menginduksi label simpul daun Persamaan (...) dan (...) menginduksi label simpul pusat

48 6 Pada Gambar. dan. diberikan contoh pelabelan graceful-busur pada graf dan Gambar. Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler Gambar. Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler.. Pelabelan Graceful-Busur Untuk dan Sama halnya dengan sub-subbab sebelumnya, pelabelan graceful-busur pada sub-subbab ini hanya dapat dilakukan pada beberapa kelas graf ceterpillar reguler, yaitu dan.

49 7 Pelabelan graceful-busur dan didapat dengan melabelkan ke busur (dimana merupakan banyaknya simpul daun di tiap pusatnya, merupakan banyaknya simpul pusat). Lalu memberikan label ke busur. Jadi didapatkan sebuah fungsi yang melabelkan graf bintang secara gracefulbusur, yaitu (...) dan (...) Persamaan (...) menginduksi label simpul daun Persamaan (...) dan (...) menginduksi label simpul pusat Pada Gambar., dan. diberikan contoh pelabelan graceful-busur pada graf dan.

50 Gambar. Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler Gambar. Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler. Pada Bab ini telah diberikan konstruksi pelabelan graceful-busur dari graf lintasan, graf bintang, dan graf bintang ganda. Dari ketiga konstruksi pelabelan tersebut dikonstruksi pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler dengan sejumlah ganjil simpul pusat dan sejumlah genap simpul daun untuk setiap pusatnya. Konstruksi pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler tidak tunggal, terdapat beberapa cara lain untuk mengkons-truksi pelabelan gracefulbusur pada graf caterpillar reguler. Karena itu pada Bab ini ditunjukan konstruksi alternatif untuk graf dan.

51 BAB KESIMPULAN Pada skripsi ini telah dibahas konstruksi pelabelan graceful-busur yang dirangkum pada Tabel. berikut : Graf Syarat Graf lintasan (Alifah, 00) bilangan ganjil Graf bintang (Alifah, 00) bilangan ganjil Graf bintang ganda dan berbeda paritas (conjecture) Graf caterpillar reguler bilangan genap, dan bilangan ganjil Tabel. Pelabelan graceful-busur pada beberapa kelas graf Pelabelan graceful-busur untuk graf caterpillar reguler tidak tunggal. Graf caterpillar reguler juga dapat dilabelkan secara graceful-busur dengan beberapa cara lain. Pada skripsi ini juga dibahas mengenai bentuk lain dari pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler. Pembahasan dibatasi hanya untuk graf caterpillar reguler dengan. 9

52 0 DAFTAR PUSTAKA Alifah. (00). Pelabelan Edge-Graceful pada graf lintasan, graf sikel, graf bintang, dan graf superstar. Skripsi. Departemen Matematika Universitas Jember. Choudum, S. A., & Kishore, S. P. (996). All -star are Skolem graceful. Indian J. Pure and Appl. Math,7, 0-0. Gallian, J. A. (00). Dynamic survey of Graph Labeling. Electronic Journal of Combinatorics 7 #DS6. Hartsfield, N., & Ringel, G. (990). Pearls in graph theory: A Comprehensive Introduction. Academic Press. Lee, L., Lee, S., & Murthy, G. (988). On Edge-Graceful Labelings of Complete Graphs. Congressus Numeratium 6, -. Lee, S. M., et al. (006). On Edge-graceful and Edge-Magic Maximal Outerplanar Graphs. J. Combin. Math. Combin. Comput., 9, 9-9. Lee, S. M., et al. (00). On The Edge-Graceful Grids. Congressus Numerantium, Lee, S. M., Seah, E., & Wang, P. (990). On Edge-Gracefulness of The Kth Power Graph. Bulletin of The Institute of Mathematics Academia Sinica 8, -. Rosen, K. H. (99). Discrete Mathematics and Its Application th edition. Mc Graw Hill. Sugeng, K. A., et al. (00). (a,d)-edge-antimagic total labeling of caterpillars. Lecture Notes Comput. Sci., 0, Venkatesan, S., & Sattanathan, D. R. (00). Is All The Wheel Graphs Are Edge- Graceful? International Journal of Algorithms, Computing and Mathematics, 7-. 0