Gambar 7.1. Stabilitas benda di atas berbagai permukaan

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Gambar 7.1. Stabilitas benda di atas berbagai permukaan"

Ade Setiawan
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Bab 7 Kolom 7.1. Stabilitas Kolom Dalam bab sebelumnya telah dibicarakan bahwa agar struktur dan elemen-elemennya dapat berfungsi mendukung beban harus memenuhi persyaratan keku-atan, kekakuan dan stabilitas. Pembahasan mengenai analisis maupun perancang-an yang mempertimbangkan kekuatan dan kekakuan telah dibahas, di mana struktur dan elemen-ejemennya selalu dianggap dalam kondisi stabil. Pada bab ini akan dibahas mengenai stabiiltas struktur khususnya batang yang menerima beban aksial tekan atau kolom. Sebagai gambaran tentang stabilitas, lihatlah sebuah benda berbentuk bola seperti pada Gambar 7.1, yang terletak di atas bidang cekung, datar dan cembung. Dan gambar tersebut dapat dipastikan bahwa bola pada Gambar 7.1 (a) dalam keadaan stabil, pada Gambar 7.1 (b) stabil narnun dengan adanya dorongan atau tiupan angin yang kecil sudah menjadi tidak stabil, sedangkan pada Gambar 7.1 (c) kondisinya tidak stabil. Gambar 7.1. Stabilitas benda di atas berbagai permukaan Baiklah sekarang diberikan contoh problem stabilitas sebuah batang vertikal dengan ujung bawah diberi pegas dengan kekakuan puntir k seperti diperlihatkan pada Gambar 7.. Batang tersebut dibebani gaya tekan vertikal. Jika akibat ketidaksempurnaan batang, misalnya batang tidak lurus sempurna atau karena sesuatu, ujung atas atang terjacli penggeseran yang sangat kecil dengan sudut putar 6, maka akan terjadi beberapa kemungkinan mengenai stabilitas batang. Akibat perputaran ini akan terjadi momen yang membuat batang tidak stabil yang besarnya PLsinθ P18 (untuk sudut Okecil). Ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi: 1. Jika kθ > P θ, batang akan stabil

2 . Jika kθ > P θ, batang tidak stabil 3. Jika kθ = P θ, terjadi peralihan antara kondisi stabil dan labil Gambar 7.. Batang yang dibebani tekan Pada kemungkinan ke tiga merupakan kondisi yang diperoleh beban kritis P cr atau beban tekuk. Jika beban ini dinaikkan sedikit saja, maka batang menjadi tidak stabil. Sedangkan besamya P cr ini adalah: kθ = Pθ P cr = k (7.1) 7.1. Rumus Euler Tinjaulah sebuah kolom dengan kedua ujungnya dapat berputar bebas seperti diperlihatkan pada Gambar 7.3. Gambar 7.3. Kolom dengan ujung bebas berputar dibebani gaya tekan

3 Tinjaulah sebuah titik pada batang yang berjarak x dan ujung atas. Pada titik ini mengalami momen lentur sebesar M = Py(x). Pada setiap titik pada batang terjadi kelengkungan yang berbanding lurus dengan besarnya momen lentur pada titik tersebut. P Dengan mengambil nilai λ = akan didapatkan: El Persamaan (7.3) merupakan persamaan yang bentuknya sama dengan gerak selaras sederhana, yang penyelesaian secara umum adalah: y = Asin λx + B cosλx (7.4) dengan A dan B adalah konstanta yang dapat dicari dari syarat-syarat batas sebagai berikut: x = 0 y = 0 0 = B cos0 B = 0 x = 0 y = 0 = Asin λl Untuk penyelesaian Asin λ L = 0 diperoleh dua nilai, yaitu: (a) A = 0 penyelesaian trivial (kurang berarti) (b) λl = nπ dengan n : bilangan bulat P Dengan memasukkan λ = didapatkan beban kritis kolom sebesar : El P cr n π El = (7.5) Nilai terkecil dari P cr didapat jika n = 1, yang disebut sebagai rumus Euler untuk beban kritis: P cr π El = (7.6) dengan I adalah momen inersia terkecil dari penampang kolom. Untuk n = 1,, 3,..., maka didapatkan bentuk kelengkungan kolom y = Asin λx dan beban kritis masing-masing seperti tampak pada Gambar 7.4.

4 Gambar 7.4. Bentuk kelengkungan dan beban kritis kolom dengan kedua ujungnya bebas berputar 7.3. Modifikasi Rumus Euler untuk Kolom dengan Ujung yang Berlainan Dari bahasan di atas terlihat bahwa beban kritis kolom dipengaruhi oleh persamaan kelengkungan kolom. Kolom yang kedua ujungiya tidak berupa sendi tentunya akan mempunyai bentuk/persamaan kelengkungan yang berbeda. Berikut diberikan sebuah contoh untuk kolom dengan salah satu ujungnya berupa sendi ujung yag lain jepit seperti tenlihat pada Gambar 7.5. Akibat beban, akan terjadi kelengkungan yang mengakibatkan terjadinya momen lentur Mo pada perletakan yang terjepit yang besarnya tidak diketahui.

5 Gambar 7.5. Kolom dengan ujung-ujung jepit dan rol Persamaan kelengkungan batang: P Dengan mengambil λ = didapatkan: El Penyelesaian persamaan tersebut adalah: Syarat-syarat batas:

6 Persamaan (7.9) rnenjadi: Untuk x = y = 0 P Dengan mensubstitusikan λ = didapatkan: El Rumus umum untuk menghitung beban kritis dapat dituliskan sebagai berikut: dengan: k: koefisien/faktor panjang efektif Dengan demikian faktor panjang efektif kolom untuk ujung-ujungnya jepit-sendi dari Persamaan (7.10) didapatkan nilai k = 0,7. Koefisien tekuk k untuk berbagai macam ujung kolom dapat dilihat pada Gambar 7.6.

7 Gambar 7.6. Faktor tekuk kolom dengan berbagai macam pengekang ujung Jika I = r A, dimana r adalah jari-jari inersia dan A luas penampang kolom, maka Persamaan (7.11) dapat dituliskan: Dan tegangan rata-rata cr pada beban kritis sebesar : (7.1) Dengan : Angka kelangsingan (slenderness ratio) kolom r : jari-jari inersia terkecil 7.4. Pembatasan Rumus Euler Perlu dicatat bahwa rumus Euler yang dibahas di atas berlaku jika bahan masih dalam kondisi linier elastik. Oleh karena itu tegangan kritis rata-rata cr yang terjadi tidak boleh melebihi batas proporsional bahan. Sebagai contoh pada Gambar 7.7

8 diperlihatkan garis hiperbola dari rumus Euler dengan berbagai nilai k untuk kolom r kayu dengan modulus elastisitas E = 1500 MPa, dengan tegangan batas proporsional e = 15 MPa. Batas angka kelangsingan berlakunya rumus Euler adalah sebagai berikut: Gambar 7.7. Batas berlakunya rumus Euler untuk kolom kayu Kolom yang mempunyai angka kelangsingan Iebih besar dari λ e = 90,69 akan terjadi tekuk secara elastis. Garis yang terputus-putus pada kurva tidak berlaku rumus Euler karena pada bagian ini bahan sudah berperilaku tidak elastis lagi (untuk Tegangan kritis rata-rata untuk angka kelangsingan kurang dari didapatkan dari hasil-hasil eksperimen atau didekati dengan rumus: k < 90,69). r λ e biasanya dimana Et = modulus garis singgung pada kurva tegangan - regangan seperti diperlihatkan pada Gambar 7.8 (a). Tegangan ini yang sudah melampaui batas proporsional.

9 Gambar 7.8. Daerah berlakunya rumus Euler dan modifikasinya Hasil pengujian laboratorium biasanya cukup dekat dengan nilai yang di dapat dari k Persamaan (7.13). Sedangkan nilai tegangan kritis pada = 0 adalah sama dengan r tegangan maksimum (o) yang dapat dicapai oleh bahan Kolom dengan Beban Eksentris Dalam praktek tidak ada kolom yang benar-benar lurus sempurna demikian pula tidak dapat membuat gaya yang bekerja henar-benar sentnis. Bahkan dalam perancangan kolom, biasanya peraturan-peraturan mengharuskan untuk diperhitungkan adanya eksentnsitas minimum. Untuk mengetahui perilaku kolom yang dibebani eksentris, tinjaulah kolom dengan beban eksentris pada kedua ujungnya, seperti diperlihatkan pada Gambar 7.9.

10 Momen lentur sembarang titik pada kolom adalah M = P( e + y) (7.14) Seperti dalam Persarnaan (7.), di sini berlaku Jika diambil P El = λ, maka didapatkan : Penyelesaian secara umum: λ e + y = ecosλx + e tan sin λ λ y = e tan.sin λx + cosλx + cosλx 1 Lendutan maksimum y maks terjadi di tengah bentang dengan x =, diperoleh:

11 Dari Persamaan (7.18) dapat dibuat kurva hubungan antara y maks dan P, seperti diperlihatkan pada Gambar Gambar Hubungan antaraymaa dengan P Jika P <<P cr maka hubungan P - y maks mendekati garis lurus dan berlaku:

12 P 8El Dengan kemiringan kurva = δ e Besarnya M maks : λ M maks = P( e + δ ) = Pesec (7.19) Gambar Hubungan antara M maks dengan beban eksentris P er Tegangan normal yang terjadi pada batang merupakan gabungan akibat gaya aksial dan momen lentur, sedangkan tegangan terbesar δ maks adalah

13 Dengan I r = dan A λ = P El maka didapatkan: 7.6. Rangkuman Berdasarkan bahasan mengenai stabilitas batang tekan, ada beberapa catatan penting, yaitu: 1. Batang yang dibebani tekan ada suatu beban kritis jika beban ini dilampaui batang menjadi tidak stabil. Besarnya tegangan kritis menunit Euler adalah cr π = k E r Rumus Euler ini hanya berlaku sampai pada batas proporsional. 3. Nilal k dari rumus di atas dipengaruhi oleh jenis perletakan σ 4. Jika tegangan kritis sudah melampaui batas proporsional, nilai modulus elastisitas E dapat diganti dengan nilai modulus elastisitas yang didapat dari garis singgung E, dari kurva tegangan-regangan.

dokumen-dokumen yang mirip

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Kolom. Pertemuan 14, 15

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Kolom. Pertemuan 14, 15 Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TS 05 SKS : 3 SKS Kolom ertemuan 14, 15 TIU : Mahasiswa dapat melakukan analisis suatu elemen kolom dengan berbagai kondisi tumpuan ujung TIK : memahami konsep tekuk