AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1

Tentang AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Jadwal kuliah: Rabu, 7-; Kamis; 7- Ujian: 23/9/15; 29/10/15; 3/12/15 (@ 30%) Buku teks: Sheldon Ross, Introduction to Mathematical Finance Jadwal Perkuliahan: M1 (24/8): Pengantar: risiko dan nilai uang, Kuis M2 (31/8): Peubah acak, peluang dan ekspektasi bersyarat M3 (7/9): Distribusi normal M4 (14/9): Gerak Brown M5 (21/9): Ujian 1, Rabu 23/9 [Kamis 24/9 libur] M6 (28/9): Gerak Brown and GB Geometrik M7 (5/10): [Rabu, 7/10 seminar] PVA (?) M8 (12/10): [Rabu, 14/10 libur] PVA (?) M9 (19/10): Return dan Distribusi M10 (26/10): Ujian 2, Kamis 29/10 M11(2/11): Konsep dan Jenis Opsi M12 (9/11): Menghitung Opsi M13 (16/11): Formula Black-Scholes M14 (23/11): - M15 (30/11): Ujian 3, Kamis 3/12 2

Pengantar: Risiko dan Nilai Uang Risiko adalah sistem yang dapat dikendalikan. Salah satu kegiatan penting dalam (men)transfer risiko adalah berasuransi; pemegang polis (insured) menitipkan atau memindahkan risiko kepada pihak lain yaitu perusahaan asuransi (insurer) dan sebaliknya. Kedua subyek memiliki risiko, pemegang polis membayar premi sedangkan perusahaan asuransi membayar klaim. Kegiatan lain yang juga berisiko adalah investasi atau bermain uang. Jika kita ingin menggandakan uang untuk mendapatkan nilai yang lebih besar maka kita dapat melakukan kegiatan investasi baik kepada individu atau institusi. Adakah hubungan antara investasi dan asuransi dan investasi? Saat ini praktik asuransi mulai digabungkan dengan investasi. Hal ini dimaksudkan untuk menumbuhkan iklim (atau minat) asuransi dengan keuntungan dari investasi. Kuliah Matematika Keuangan Aktuaria mengajak kita untuk memahami konsep dan menghitung nilai uang, opsi dan, secara umum, bermain peluang (memahami kejadian dan peubah acak serta menghitung peluang atas keduanya) menjadi sangat krusial. 3

Bab 1 - Peubah Acak, Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Kegiatan asuransi berkaitan dengan keinginan untuk mengatur dan memindahkan risiko kepada pihak lain. Kegiatan berinvestasi adalah upaya meningkatkan nilai uang. Keduanya memiliki kesamaan yaitu (1) memiliki risiko (besar) dan (ii) bersifat tidak pasti. Untuk itu, belajar dan bermain tentang ketidakpastian merupakan suatu keharusan. Dengan kata lain, memahami konsep dan menghitung peluang (atas kejadian dan/atau nilai peubah acak) menjadi sangat krusial. 1.1 Ruang sampel dan kejadian Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Anggota dari S disebut kejadian elementer. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau koleksi dari kejadian-kejadian elementer. Peluang kejadian A sesungguhnya adalah P (A) = lim n n(a) n Misalkan S adalah ruang sampel, A adalah kejadian. Peluang kejadian A adalah P (A) = n(a) n(s) Secara formal, peluang atau ukuran peluang P pada lap-σ A adalah suatu pemetaan dari A terhadap selang [0, 1] yang memenuhi tiga aksioma berikut: (i) 0 P (A) 1, untuk setiap A A (ii) P (S) = 1 (iii) Untuk himpunan terhitung kejadian-kejadian saling asing A 1, A 2,..., ( P i=1 A i ) = P (A i ) i=1 4

Teorema: 1. P (A c ) = 1 P (A) 2. Jika A B maka P (A) P (B) 3. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 1.2 Peubah acak Peubah acak tidaklah acak dan bukanlah peubah. memetakan anggota S ke bilangan real R. Peubah acak adalah fungsi yang Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {a i, i = 1, 2,... } sedemikian hingga P ( {X = a i } ) = i i P (X = a i ) = 1. Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit. F X disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {a i, i = 1, 2,... } dari bilangan real dan barisan {f i, i = 1, 2,... } dari bilangan positif yang bersesuaian sehingga f i = 1 dan F X (x) = f i. i a i x Jika diberikan himpunan terhitung {a i, i = 1, 2,... } dan bilangan positif {f i, i = 1, 2,... } sehingga i f i = 1, fungsi peluang f X (x) adalah f X (x) = f i = P (X = a i ), dengan x = a i. Sementara itu, fungsi distribusi (kumulatif) nya F (x) = P (X x). Sifat-sifat fungsi distribusi sebagai berikut: (a) F fungsi tidak turun (b) lim F (x) = 1 x (c) lim F (x) = 0 x (d) F fungsi kontinu kanan 5

Jika X adalah peubah acak sehingga fungsi peluangnya ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu. Perhatikan: 1 = F X ( ) = f X (t) dt P (a X b) = F X (b) F X (a) = b f X (t) dt P (X = a) = a a f X (t) dt = 0 a 1.3 Ekspektasi Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit dan kontinu X, berturut-turut, adalah E(X) = x x f X (x) dan E(X) = x f X (x) dx, dengan f X adalah fungsi peluang dari X. Catatan: 1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin dari X 2. Ekspektasi = mean = momen pertama 3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value) dari percobaan bebas yang berulang 3. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!) Sifat-sifat ekspektasi: 1. E(g(X)) = g(x) f X (x) dx 2. E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y ) 3. E(XY ) = E(X) E(Y ), jika X dan Y saling bebas. 4. E(X) = P (X > x) dx, untuk X > 0 (*) 0 5. E(X r ) = x r f X (x) dx (momen ke-r) 6

6. E((X µ X ) r ) = (x µ X ) r f X (x) dx (momen pusat ke-r) 7. E((X µ X ) 2 ) = V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 Deviasi standar dari X adalah akar kuadrat Variansi dari X. 8. E(e tx ) = e tx f X (x) dx = M X (t) (fungsi pembangkit momen) 9. M X (0) = E(X), M X (0) = E(X2 ) Latihan: 1. SyuCare, perusahaan asuransi kesehatan terbesar di Australia, memiliki polis yang menanggung 100% biaya kesehatan hingga maksimum 1 juta dolar per tahun polis. Diketahui total tagihan kesehatan X (dalam juta dolar) per tahun memiliki fungsi peluang f X (x) = x(4 x), 0 < x < 3. 9 Jika Y adalah total pembayaran yang dilakukan SyuCare, hitung E(Y ). 1.4 Fungsi peluang bersama Misalkan kita punyai dua peubah acak, X dan Y. Kita dapat mengkaji peluang dan ekspektasi bersyarat suatu peubah acak, diberikan peubah acak yang lain. Fungsi peluang (distribusi) atas dua peubah acak dikatakan sebagai fungsi peluang (distribusi) bivariat. Secara umum, sering disebut sebagai fungsi peluang (distribusi) bersama. Misalkan X dan Y ada peubah acak-peubah acak diskrit yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah f X,Y (x, y) = P (X = x, Y = y). Kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti dua peubah acak tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama. Kejadian X bernilai x dan Y bernilai y, {X = x, Y = y}, adalah irisan kejadian {X = x} dan {Y = y}. Fungsi peluang bersama f X,Y memenuhi sifat-sifat berikut: (i) f X,Y (x, y) 0, (x, y), (ii) (x, y) R 2 : f X,Y (x, y) 0 terhitung, (iii) f X,Y (x, y) = 1. y x 7

Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak diskrit yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Maka, f X (x) = f X,Y (x, y), x R dan f Y (y) = f X,Y (x, y), y R adalah, y x berturut-turut, fungsi peluang marginal dari X dan fungsi peluang marginal dari Y. Untuk dua peubah acak kontinu, fungsi peluang dan fungsi distribusi bersama didefinisikan sebagai... ; fungsi peluang marginalnya adalah... Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak, dengan f X (x) > 0. bersyarat dari Y diberikan X = x adalah Fungsi peluang f Y X (y x) = f X,Y (x, y), y R f X (x) Jika f X (x) = 0, kita definiskan f Y X (y x) = 0 namun tidak dikatakan sebagai fungsi peluang bersyarat. Fungsi peluang bersyarat adalah fungsi peluang! Dua peubah acak dikatakan saling bebas jika... Latihan: 1. Perusahaan asuransi menjual dua jenis polis asuransi kendaraan bermotor: Basic dan Deluxe. Misalkan waktu hingga klaim Basic selanjutnya masuk adalah peubah acak eksponensial dengan mean dua. Misalkan waktu hingga klaim Deluxe selanjutnya masuk adalah peubah acak eksponensial dengan mean tiga. Kedua waktu saling bebas. Hitung peluang bahwa klaim yang masuk selanjutnya adalah klaim Deluxe. 2. Dua perusahaan asuransi memberikan penawaran pada perusahaan besar. Nilai tawaran adalah antara 2000 dan 2200. Perusahaan akan menerima tawaran terendah jika kedua tawaran berbeda 20 atau lebih. Jika tidak demikian, perusahaan akan mempertimbangkan dua tawaran berikutnya. Asumsikan bahwa kedua tawaran saling bebas dan berdistribusi Uniform pada selang [2000, 2200]. Hitung peluang bahwa perusahaan mempertimbangkan dua tawaran berikutnya. 1.5 Ekspektasi bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Jika f X (x) > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah ekspektasi 8

dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, E(Y X = x) = y f X,Y (x, y) f X (x) dy = y f Y X (y x) dy Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka E(Y ) = E(Y X = x) f X (x) dx atau E(Y ) = E(E(Y X = x)) Latihan: 1. Misalkan X menyatakan usia mobil yang mengalami kecelakaan. Misalkan Y menyatakan lama waktu pemilik mobil mengasuransikan mobilnya saat kecelakaan. Fungsi peluang bersama: f(x, y) = (10 xy 2 )/64, 2 x 10, 0 y 1. Tentukan usia mobil yang diharapkan terlibat dalam kecelakaan. 2. Seorang aktuaris menentukan banyaknya musibah dalam setahun di kota P(0,1,2) dan Q(0,1,2,3) dengan distribusi bersama sbb: 0.12, 0.06, 0.05, 0.02; 0.13, 0.15, 0.12, 0.03; 0.05, 0.15, 0.10, 0.02. Hitung mean/variansi bersyarat banyak musibah di kota Q, diberikan tidak ada musibah di kota P. 1.6 Kovariansi dan Korelasi Kita ketahui bahwa jika X dan Y saling bebas maka f X,Y (x, y) = f X (x) g Y (y). Akibatnya, E(XY ) = E(X) E(Y ). Konsekuensi ini juga berlaku untuk setiap fungsi g dan h, E ( g(x)h(y ) ) = E ( g(x) ) E ( h(y ) ). 9

Kovariansi antara peubah acak X dan Y, dinotasikan Cov(X, Y ), adalah ( (X ) ( ) ) Cov(X, Y ) = E E(X) Y E(Y ) Catatan: Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X, Y ) = 0 (implikasi). Sifat-sifat kovariansi 1. Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) 2. Cov(X, X) = V ar(x) 3. Cov(a X, Y ) = a Cov(X, Y ) ( ) n 4. Cov X i, m Y j = n m Cov(X i, Y j ) i=1 j=1 i=1 j=1 Perhatikan bahwa: ( n ) ( n ) n V ar X i = Cov X i, X j i=1 i=1 j=1 n n = Cov(X i, X j ) = i=1 j=1 n V ar(x i ) + Cov(X i, X j ). i j j i=1 Korelasi antara peubah acak X dan Y, dinotasikan ρ(x, Y ), didefinisikan sebagai ρ(x, Y ) = Cov(X, Y V ar(x) V ar(y ), asalkan V ar(x) dan V ar(y ) bernilai positif. Dapat ditunjukkan pula bahwa 1 ρ(x, Y ) 1. Koefisien korelasi adalah ukuran dari derajat kelinieran antara X dan Y. Nilai ρ(x, Y ) yang dekat dengan +1 atau 1 menunjukkan derajat kelinieran yang tinggi. Nilai positif korelasi mengindikasikan nilai Y yang cenderung membesar apabila X membesar. Jika ρ(x, Y ) = 0 maka dikatakan X dan Y tidak berkorelasi. 10

Latihan: 1. Misalkan (sisa) masa hidup pasangan suami isteri saling bebas dan berdistribusi Uniform pada selang [0, 40]. Perusahaan asuransi menawarkan dua produk: pertama, produk yang membayar nilai klaim saat suami meninggal; kedua, produk yanga membayar nilai klaim saat kedua suami isteri meninggal. Tentukan kovariansi kedua waktu pembayaran tersebut. 2. Misalkan X dan Y harga dua saham pada akhir periode lima tahun. X berdistribusi Uniform pada selang (0, 12). Diberikan X = x, Y berdistribusi Uniform pada selang (0, x). Hitung Cov(X, Y ). 11

Bab 2 - Peubah acak normal Peubah acak normal merupakan salah satu kajian menarik dalam berbagai bidang, termasuk keuangan, karena pola yang dikenal dan dianggap dapat dipahami dengan mudah. Suatu peubah acak X dikatakan normal apabila memiliki fungsi peluang f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2, < x <. 2πσ 2 2σ 2 Catatan: Untuk µ = 0 dan σ 2 = 1, peubah acak X dikatakan sebagai peubah acak normal standar/unit; fungsi peluangnya dinotasikan ϕ(x) sedangkan fungsi distribusinya Φ(x). Perhatikan pertaksamaan berikut yang merupakan salah satu hasil teoritis penting untuk peubah acak normal: ( 1 1 2π x 1 ) exp( x 2 /2) < 1 Φ(x) < 1 1 x 3 2π x exp( x2 /2), x > 0. Akibatnya, untuk x yang besar, 1 Φ(x) 1 x 2π exp( x2 /2). Diskusi: Bagaimana untuk x (relatif) kecil? Formula pendekatan apa yang dapat digunakan? (lihat butir (iii) dibawah) Apa yang dapat kita lakukan terhadap X atau f(x) tersebut? (i) membuat plot f untuk berbagai nilai µ dan σ 2 (ii) menentukan sifat-sifat statistik peubah acak normal (iii) menghitung peluang; termasuk dengan akurasi yang lebih tinggi (hal 25-26) (iv) mengkaji hubungan dengan peubah acak lognormal: Y = exp(x) Latihan: 1. Contoh 2.3d 2. Misalkan X peubah acak normal dengan parameter (µ, σ 2 ). Misalkan Y = exp(x). Tentukan mean dan variansi Y. 3. Lakukan simulasi data berdistribusi normal dan lognormal. Plot kedua data. Tepatkah perilaku harga aset dimodelkan dengan distribusi normal/lognormal? 12

Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak normal dengan parameter (µ, σ 2 ). Misalkan S n = n X i. i=1 Apakah yang kita dapat dapatkan (perilaku S n ) untuk n besar? Adakah ukuran/statistik lain selain S n? Dapatkah kita melakukan hal yang sama diatas untuk peubah acak lain yang berdistribusi Binomial? Poisson? tanpa asumsi distribusi? (Jelaskan!) Latihan: 1. Suatu model pergerakan harga aset harian memiliki perilaku sebagai berikut. Jika harga aset saat ini adalah s maka setelah satu periode waktu akan menjadi τs dengan peluang p atau λs dengan peluang 1 p. Misalkan pergerakan harga saling bebas. Diketahui τ = 1.012, λ = 0.990, p = 0.52. Tentukan peluang bahwa harga aset akan naik setidaknya 30% setelah 1000 hari. 2. Nilai penjualan mingguan di suatu perusahaan adalah peubah acak normal dengan mean 2200 dan deviasi standar 230. Hitung peluang bahwa total penjualan pada 2 minggu kedepan melampaui 5000. Hitung peluang bahwa penjualan mingguan melampaui 2000 pada setidaknya 2 dari 3 minggu kedepan. 3. Sebagai pedagang baru dibidang valas, Yeni dan Yena bersaing dalam mendapatkan poin penjualan. Poin Yeni adalah peubah acak normal dengan mean 170 dan variansi 400; Poin Yena adalah peubah acak normal dengan mean 160 dan deviasi standar 15. Jika pada hari ini keduanya sama-sama berjualan valas (asumsikan kedua poin saling bebas), hitung peluang (a) nilai Yena lebih tinggi (b) poin total keduanya lebih dari 350. 13

Bab 3 - Gerak Brown and GB Geometrik Sebelum kita membahas Gerak Brown (GB) lebih jauh, perhatikan kembali definisi koleksi peubah acak {X t } atau lebih dikenal dengan proses stokastik. Proses atau model stokastik melibatkan beberapa peubah acak dengan indeks waktu. Kalau kita mempunyai satu peubah acak, maka nilai yang mungkin dari peubah acak tersebut akan mengikuti distribusi peluang yang bersesuaian. Kini, kita akan melihat peubah acak setiap waktu. Akibatnya, tingkat kesulitan akan menjadi lebih tinggi (rumit namun menarik kok). Misalkan kita punyai proses stokastik {X t, t 0}. Proses stokastik atau deret waktu (sederhana) yang bergantung pada observasi sebelumnya adalah: X t = α X t 1 + ε t, dengan asumsi-asumsi yang ditentukan. Catatan: Proses ini dikenal dengan nama Autoregressive (AR) Pada Bab ini, proses stokastik diatas kita sederhanakan sebagai berikut: X t i.i.d. N(0, 1) Jelaskan! Kita dapat menuliskan proses ini sebagai X t = ε t, dengan {ε t } barisan peubah acak saling bebas dan berdistribusi identik (normal/gauss) dengan mean nol dan variansi satu; atau dikenal dengan proses Gaussian WN (white noise) X t N(0, σt 2 ). Apa perbedaan dengan model sebelumnya? Jika X 1, X 2,... dari proses ini saling (tidak) bebas, dapatkah kita menentukan fungsi peluang bersamanya? Mungkinkah X t dan X t+s X s yang bersifat saling bebas? Pandang koleksi peubah acak {X t, t 0} dengan sifat-sifat: (i) X 0 = 0 (atau konstanta tidak nol ) (ii) t > 0, X t berdistribusi normal dengan mean µt dan variansi σ 2 t 14

(iii) X tn X tn 1, X tn 1 X tn 2,..., X t2 X t1, X t1 saling bebas (memiliki kenaikan bebas atau independent increments) (iv) X t+s X t tidak bergantung pada t (memiliki kenaikan stasioner atau stationary increments). Proses stokastik tersebut dikatakan sebagai Gerak Brown atau GB dengan parameter drift µ dan parameter variansi σ 2. Misalkan dipunyai proses stokastik GB dengan µ = 0, σ 2 = 1 atau dikenal dengan GB standar. Perhatikan kasus t = 1, 2. Fungsi peluang X t adalah f Xt (x t ) = 1 ( exp 1 ) 2πt 2t x2 t, < x t <. Fungsi peluang bersama dari X 1 dan X 2 adalah... Fungsi peluang bersama dari X 1 X 0 dan X 2 X 1 adalah f X1 0,X 2 X 1 (x 1 0, x 2 x 1 ) = f(x 1 )f(x 2 x 1 ), (1) karena sifat kenaikan saling bebas. Persamaan (1) tersebut sama dengan ( 1 exp 1 ( x 2 1 (2π) 2/2 ((1 0)(2 1)) 1/2 2 1 0 + (x )) 2 x 1 ) 2, 2 1 dengan t 1 = 1, t 2 = 2 dan sifat kenaikan stasioner X 2 X 1 N(0, 2 1). Kita dapat menentukan fungsi peluang bersyarat dengan memanfaatkan fungsi peluang bersama diatas. Untuk t 1 = 1 < t 2 = 2 diatas, fungsi peluang bersyarat X t1, diberikan X t2 = x t2 adalah... f X1 X 2 (x 1 x 2 ) = f X 1,X 2 X 1 (x 1, x 2 x 1 ) f X2 (x 2 ) = f X 1 (x 1 ) f X2 X 1 (x 2 x 1 ) f X2 (x 2 ) = Dengan kata lain, distribusi dari X 1 X 2 = x 2 adalah normal dengan mean dan variansi E(X 1 X 2 = x 2 ) = ; V ar(x 1 X 2 = x 2 ) = 15

Latihan: 1. Dapatkah kita menentukan distribusi dari X 2 X 1 = x 1? Jelaskan! 2. Tentukan E(X t X u, 0 u s) 3. Pandang {X t, 0 t 1} sebagai proses stokastik yang mengikuti GB dengan parameter variansi σ 2. Misalkan X t menyatakan lama (detik) kompetitor 1 memimpin saat 100t persen dari suatu kompetisi telah diselesaikan. Jika kompetitor 1 memimpin σ detik di tengah kompetisi, berapa peluang dia adalah pemenang? Jika kompetitor 1 memenangkan kompetisi dengan margin σ detik, berapa peluang dia memimpin di tengah kompetisi? 16

Proses stokastik GB dapat bernilai negatif yang dianggap tidak tepat untuk memodelkan harga saham. Untuk itu, diusulkan model stokastik S t = S 0 e Xt, dengan nilai awal S 0 ; S t berdistribusi lognormal. Tentu saja ln S t ln S 0 = X t berdistribusi normal dengan mean µt dan variansi σ 2 t. Model ini dikenal sebagai GB geometrik. Sifat mean dan variansi dari S t dapat diturunkan dengan memanfaatkan sifat distribusi lognormal. Kita dapatkan E(S t ) = V ar(s t ) = Latihan: 1. Pandang GB dengan µ = 3, σ 2 = 9. Diketahui X 0 = 10. Hitung E(X 2 ), V ar(x 2 ), P (X 2 > 20), P (X 0.5 > 10) 2. Pandang GB geometrik {S t, t 0} dengan µ = 0.1, σ 2 = 0.4. Hitung P (S 1 > S 0 ), P (S 3 < S 1 > S 0 ) 3. Pandang GB geometrik {S t, t 0}; µ = 0.1, σ 2 = 0.16, S 0 = 2. Tentukan E(S 3 ) dan V ar(s 3 ) Solusi: Misalkan S t = e X t. Diketahui µ = 0.1, σ = 0.4. 17

Hitung P (S 1 > S 0 ), P (S 3 < S 1 > S 0 ). P (S 1 > S 0 ) = P ( ) S1 > 1 S 0 = P (ln S 1 ln S 0 > 0) = P (X 1 X 0 > 0) ( = P Z > 0 (0.1)(1) ) (0.4)(1) = P (Z > 0.25) = Φ(0.25) dengan X 1 X 0 N(0.1 1, 0.4 2 1). Catatan: P (S 1 > S 0 ) dapat dinarasikan sebagai peluang harga aset pada akhir waktu pertama lebih besar daripada harga awal (asumsikan bahwa S t menyatakan harga aset). Selanjutnya, untuk menentukan P (S 3 < S 1 > S 0 ), kita dapat lebih dahulu menjabarkan P (S 3 < S 1 > S 0 ) = P (S 3 < S 1, S 1 > S 0 ) = P (S 3 < S 1 )P (S 1 > S 0 ). Kemudian, kita gunakan cara yang sama dengan sebelumnya untuk menentukan kedua peluang tersebut. Solusi: Misalkan proses GB geometrik {S t, t 0}, µ = 0.1, σ 2 = 0.16, S 0 = 2. Tentukan E(S 3 ) dan V ar(s 3 ). E(S 3 ) = 2 e (0.1)(3)+0.5 (0.16)(3), dengan E(S t ) = S 0 e µt+0.5σ2t. Sementara itu, V ar(s 3 ) = 2 2 e (2)(0.1)(3)+0.5 (0.16)(3) (e (0.16)(3) 1). 18