ISSN 233-992 ISSN online 262-376 Krtik, D.E. 28. Krkteristik Mtriks sebgi Derh Asl Sutu Fungsi Logritm Jurnl Mtemtik dn Pembeljrn Mtemtik dn Pembeljrn, 6(), 6 of 64 Volume 6, No., Juni 28, h. 6-64 KARAKTERISTIK MATRIKS SEBAGAI DAERAH ASAL SUATU FUNGSI LOGARITMA Er Dewi Krtik IKIP Budi Utomo Mlng erfolger@gmil.com Abstrk Rumus umum fungsi logritm sli dengn derh sl sutu mtriks dlh ln = ln + (, ln ) +,, ln + dengn dlh mtriks non-singulr dimn =, dlh sebrng mtriks yng komuttif dengn, dlh mtriks Jordn dri mtriks, dlh nili krkteristik dri pembgi elementer, dlh mtriks identits dn dlh mtriks berukurn yng mempunyi sebgi nggot pd superdigonl pertm dn untuk linny. Krkteristik mtriks sebgi derh sl sutu fungsi logritm dlh mtriks persegi yng non-singulr dengn nili-nili krkteristik rel positif Kt Kunci: mtriks, derh sl, logritm sli Abstrct The generl formul of the nturl logrithm function with domin of mtrix is ln = ln + (, ln ) +,, ln + with is the non-singulr mtrix which =, is ny commuttive mtrix with, is the Jordn mtrix of the mtrix, is the chrcteristic vlue of the elementry divider, is the identity mtrix nd is squre mtrix which hs s member of the first superdigonl nd for other. The chrcteristic of mtrix s domin of nturl logrithm function is nonsingulr squre mtrix with rel positive chrcteristic vlues Keywords: mtrix, domin, nturl logrithm Sitsi: Krtik, D.E. 28. Krkteristik Mtriks sebgi Derh Asl Sutu Logritm. Mtemtik dn Pembeljrn, 6(), 6-64.
Krtik, D.E. 28. Krkteristik Mtriks sebgi Derh Asl Sutu Fungsi Logritm Mtemtik dn Pembeljrn, 6(), 6 of 64 PENDAHULUAN Fungsi logritm merupkn slh stu bentuk fungsi yng tidk sing lgi dn sering dijumpi dlm bhsn di klkulus. Slh stu fungsi logritm yng kn dibhs dlm rtikel ini dlh logritm yng berbsis bilngn yng disebut logritm sli, dn mempunyi lmbng ln. Penulisn ln dibc logritm sli dri. Konsep logritm sli ini diperlukn dlm pendefisin fungsi linny dlm klkulus yitu fungsi eksponen. Dikethui bhw fungsi logritm sli merupkn invers tu blikn dri fungsi eksponen. Selm ini fungsi logritm, fungsi logritm sli dn fungsi eksponen yng dipeljri di kulih dlh fungsi yng hny mempunyi derh sl tu domin bilngn rel. Fungsi logritm dlm domin bilngn rel positif didefinisikn dengn = log = dimn dindikn bilngn positif bukn. Untuk fungsi logritm sli mk = (Purcell, 29). Hl penting yng hrus diperhtikn sebelum menghitung fungsi logritm dengn derh sl himpunn mtriks dlh krkteristik sutu mtriks yng dpt digunkn dlm fungsi logritm khususny fungsi logritm sli. Mislkn dlh sutu lpngn., =,, ; =,,, mk bentuk 2 A m 2 22 m2 n 2n mn disebut sebgi mtriks ts. Mtriks dits jug dpt disimbolkn sebgi = ke-i dn kolom ke-j dri mtriks disimbolkn dengn tu. HASIL DAN PEMBAHASAN dengn ukurn. Entri pd bris Rumus fungsi logritm sli dri mtriks ln = = ln +, ln +,, ln + dlh mtriks non-singulr dimn = dlh sebrng mtriks yng komuttif dengn dlh mtriks Jordn dri mtriks = ( = ) + dlh mtriks berukurn yng mempunyi sebgi nggot pd
Krtik, D.E. 28. Krkteristik Mtriks sebgi Derh Asl Sutu Fungsi Logritm Mtemtik dn Pembeljrn, 6(), 62 of 64 superdigonl pertm dn untuk linny, yitu = untuk = ; = 2,3,, dn = untuk yng linny = = +, +,, + mtriks disebut bentuk norml Jordn tu bentuk Jordn sederhn (Gntmcher, 98) disebut dengn Jordn Block dengn dlh nili krkteristik dri pembgi elementer. Rumus fungsi logritm sli dengn derh sl mtriks besert penjelsn tip komponen dits jels membutuhkn mtriks yng non-singulr. Mtriks non-singulr sesui dengn definisi berikut ini berhubungn dengn determinn sutu mtriks. Definisi Sutu mtriks persegi disebut mtriks singulr jik =, seblikny, sutu mtriks persegi disebut mtriks non-singulr jik. Definisi 2 Anggp dlh sutu mtriks persegi dengn entri-entri bilngn rel. Fungsi determinn dinytkn dengn det, dn mendefinisikn det sebgi jumlh semu hsil kli dsr bertnd dri. det dengn = { }. Angk det disebut determinn (Anton, 2) Dri definisi 2 terliht bhw mtriks yng diperlukn dlh mtriks persegi. Definisi 3 Jik dlh sebuh mtriks persegi, dn jik sebuh mtriks yng berukurn sm bis didptkn sedemikin sehingg = = mk disebut mempunyi blikn dn disebut blikn (invers) dri (Anton, 2). Invers dri dinotsikn dengn Teorem Sutu mtriks persegi mempunyi invers jik dn hny jik dlh mtriks non-singulr (Ayres, 974) Definisi 4 Du mtriks persegi dn disebut similr jik terdpt sutu mtriks nonsingulr sedemikin sehingg = (Ayres, 974) Teorem 2 Mislkn sutu mtriks persegi, dlh sutu nili krkteristik dri jik dn hny jik sistem persmn = mempunyi penyelesin tk-trivil (Anton, 2) Teorem 3 Sutu mtriks persegi mempunyi invers jik dn hny jik = buknlh sutu nili krkteristik dri (Anton, 2). Definisi 5 Mislkn diberikn mtriks persegi. Mtriks krkteristik dri dlh. Determinn dri mtriks krkteristik dlh yng merupkn polinom dlm dn disebut polinom krkteristik dri (Gntmcher, 98) dn sklrsklr yng memenuhi = disebut sebgi nili krkteristik dri. Definisi 6 Ambil sembrng pembgi elementer dri mtriks persegi, dimn dlh slh stu nili krkteristik dri dn dlh slh stu nili dri,,, ( + + + = ), sehingg dpt dibentuk
Krtik, D.E. 28. Krkteristik Mtriks sebgi Derh Asl Sutu Fungsi Logritm Mtemtik dn Pembeljrn, 6(), 63 of 64 = ( = ) + dimn dlh mtriks identits dengn ukurn dn dlh mtriks berukurn yng mempunyi sebgi nggot pd superdigonl pertm dn untuk linny, yitu = untuk = ; = 2,3,, dn = untuk yng linny. Jdi disebut dengn Jordn Block dengn dlh nili krkteristik dri pembgi elementer. Definisi 7 Mislkn diberikn pembgi elementer dri mtriks yitu,,, Mk = = +, +,, + dn mtriks disebut bentuk norml Jordn tu bentuk Jordn sederhn (Gntmcher, 98). Teorem 4 Setip mtriks persegi dengn ukurn dlh similr dengn sutu mtriks Jordn, sehingg terdpt mtriks non-singulr sedemikin sehingg = (Gntmcher, 98). KESIMPULAN DAN SARAN Berdsrkn hsil dn pembhsn dpt ditrik kesimpuln bhw krkteristik sutu mtriks A dpt menjdi derh sl fungsi logritm sli dlh sebgi berikut:. Mtriks A berukurn tu merupkn mtriks persegi 2. Mtriks A dlh mtriks non-singulr 3. Mtriks A mempunyi nili-nili krkteristik rel positif Pembhsn tentng sift-sift logritm sli yng jug berlku dlm fungsi logritm sli dengn derh sl mtriks dpt diteliti lebih lnjut, mengingt dlm rtikel ini ini hny membhs krkteristik mtriks yng memenuhi dlm fungsi logritm sli. Rumus umum untuk fungsi logritm dengn derh sl mtriks jug belum diperoleh dn dikembngkn. Bgi pr pembc yng tertrik jug dpt mengembngkn bukti sift ln = ln dengn yng tentuny membutuhkn kjin tentng kr dri sutu mtriks.
Krtik, D.E. 28. Krkteristik Mtriks sebgi Derh Asl Sutu Fungsi Logritm Mtemtik dn Pembeljrn, 6(), 64 of 64 DAFTAR RUJUKAN Anton, H. (2). Dsr-dsr Aljbr Liner. Btm: Interksr. Ayres, F. J. (974). Teori dn Sol-sol Mtriks. Jkrt: Erlngg. Gntmcher, F. (98). The Theory of Mtrices. New York: Chelse Publishing Compny. Purcell, E. J. (29). Clculus. Illinois: Prenhll.