PROGRAM STUDI AGRIBISNIS HORTIKULTURA UKURAN PENYEBARAN DATA Mata kuliah : Statistika Terapan Pengajar : Dany Juhandi, S.P, M.Sc Semester : II Pertemuan : VII Pokok Bahasan : Ukuran Penyebaran Data
Sub Pembahasan 1. Skor Baku 2. Koefisien Variasi 3. Kemiringan 4. Kurtosis
SKOR BAKU Skor baku merupakan suatu ukuran relatif yang menyatakan penyimpangan data dari nilai rata-rata yang diukur berdasarkan nilai standar deviasi. Skor baku digunakan untuk menghitung luas kurva normal baku dan untuk membandingkan data pengamatan dari dua atau lebih populasi berbeda dalam rangka menentukan tingkat atau ranking relatifnya. x μ Formula untuk populasi: z = Formula untuk sampel: z = x Contoh 1: Diketahui μ = 0,6140 σ = 0,0025. Tentukanlah luas kurva normal yang dibatasi x = 0,610 dan x = 0,613 Penyelesaian: Untuk x = 0,610, didapat z = s σ xҧ 0,610 0,614 0,0025 = 1,6 Lihat tabel Z negatif (-0,4) = 0,3446 0,5 0,3446 = 0,1554 Lihat tabel Z negatif (-1,6) = 0,0548 0,5 0,0548 = 0,4452 Luas daerah antara x = 0,610 dan x = 0,613 adalah P (-1,6 z -0,4) P (-1,6 z -0,4) = P (-1,6 z 0) P (-0,4 z 0) = 0,4452 0,1554 = 0,2898 Jadi luas kurva normal yang dibatasi oleh x = 0,610 dan x =0613 adalah 0,2898 satuan luas (=28.98%) 0.2898 Untuk x = 0,613, didapat z = 0,613 0,614 0,0025 = 0,4-1.6-0,4
Contoh 2: Seorang wiraniaga mampu menjual produk sebanyak 86 unit ketika yang bersangkutan ditempatkan di wilayah Bogor. Adapun rata-rata dan standar deviasi penjualan wiraniaga di bogor adalah 78 unit dan 10 unit. Wiraniaga yang sama mampu menjual 92 unit produk dalam interval waktu yang sama, ketika yang bersangkutan ditugaskan ke Bandung. Rata-rata dan standar deviasi penjualan seluruh wiraniaga di Bandung adalah 84 unit dan 18 unit. Di kota manakah wiraniaga tersebut secara relatif lebih berhasil? Penyelesaian: Karena untuk kedua daerah penjualan tersebut nilai rata-rata dan standar deviasi produknya berbeda, maka untuk melihat relativitas kemampuan wiraniaga tersebut dapat dibandingkan skor bakunya. 86 78 z Bogor = = 0,8 z Bandung = 10 92 84 18 = 0,44 Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa ZBogor lebih besar dari ZBandung dengan demikian prestasi wiraniaga tersebut lebih baik ketika ditempakan di Bogor.
KOEFISIEN VARIASI Koefisien variasi merupakan ukuran variasi relatif yang bertujuan membandingkan variasi dari beberapa gugus data yang mempunyai satuan berbeda. Koefisien variasi (KV) untuk populasi diperoleh dengan formula: KV = σ μ 100% Koefisien variasi (KV) untuk populasi diperoleh dengan formula: KV = s 100% x ҧ Contoh: Sekumpulan data memiliki rata-rata 400 dan standar deviasi 80. Maka koefisien varians dari data tersebut adalah: KV = 80 100% = 20% 400
KEMIRINGAN Ukuran kemiringan adalah suatu ukuran yang dapat digunakan untuk menentukan miring tidaknya suatu kurva distribusi. Kecondongan suatu distribusi data, selain dapat dilihat tampilan secara visual, tingkat kecondongan distribusi dapat diketahui melalui besarnya koefisien kecondongan (S k ) dan memalui besarnya koefisien moment ketiga (α 3 ) Kecondongan menunjukkan penyimpangan dari bentuk distribusi simetris. Jika distribusi frekuensi mempunyai ekor ke kanan yang lebih panjang dibanding ekor kiri, maka dikatakan distribusi condong ke kanan atau mempunyai kecondongan positif. Jika sebaliknya dikatakan condong ke kiri atau memiliki kecondongan negatif. Untuk distribusi yang tidak simetris, rata-rata, median dan modusnya mempunyai nilai yang bebeda.
1. Koefisien Kecondongan (Metode Pearson): S k = 3. ( xҧ M e) σ atau S k = xҧ M O σ Jika distribusi simetris, maka Sk=0 karena σ = Me = Mo. Jika distribusinya tidak simetris, maka koefisien kecondongan akan berkisar antara -1 dan +1, kadang-kadang melebih 1. Makin dekat dengan 0 berarti makin simetris. Sk = 0 Distribusi data simetris Sk > 0 Distribusi data condong ke kanan Sk < 0 Distribusi data condong ke kiri
2. Koefisien kecondongan dengan Metode(α 3 ) Koefisien alpha ketiga merupakan ratarata penyimpangan data dari rata-ratanya dipangkatkan tiga, di bagi dengan simpangan baku pangkat tiga. Rumus untuk data yang belum dikelompokkan: n α 3 = 1 n i=1 Rumus untuk data yang dikelompokkan: α 3 = 1 n i=1 (xi x) ҧ 2 s 3 n f. (xi x) ҧ 3 s 3 Di mana: α 3 x ҧ x i n s Ketentuan: = Koefisien alpha ketiga = Rata-rata sampel = Nilai data ke-i = Jumlah data = simpangan baku α 3 = 0 distribusi data simetris α 3 > 0 distribusi data condong ke kanan (+) α 3 < 0 distribusi data condong ke kiri (-)
Contoh: Diketahui distribusi frekuensi sebagai berikut: Kelas Interval 31 40 1 41 50 2 51 60 5 61 70 15 71 80 20 81 90 25 91 100 12 Tentukanlah koefisien kecondongannya! f Ʃf=80
Penyelesaian dengan Metode Pearson Kelas Interval fi Xi fi.xi (X i ഥX) 2 fi. (X i ഥX) 2 31 40 1 35,5 35,5 1743,06 1743,06 41 50 2 45,5 91 1008,06 2016,13 51 60 5 55,5 277,5 473,06 2365,31 61 70 15 65,5 982,5 138,06 2070,94 71 80 20 75,5 1510 3,06 61,25 81 90 25 85,5 2137,5 68,06 1701,56 91 100 12 95,5 1146 333,06 3996,75 Berdasarkan data di atas diperoleh: x ҧ = σ f i x i = 6180 σ f i 80 = 77,25 Ʃf=80 Ʃ=6180 Ʃ=13955 s = σ f (x i x) ҧ 2 n 1 = 13955 79 = 176,6456 = 13,29081 M e = 70,5 + 10 40 23 20 = 79 S k = 3. ( xҧ M e) 3. (77,25 79) = σ 13,29 (condong ke kiri) = 0,395
Penyelesaian dengan Metode (α 3 ) Kelas Interval fi Xi (X i ഥX) 3 fi. (X i ഥX) 3 31 40 1 35,5-72772,9-72772,9 41 50 2 45,5-32006 -64012 51 60 5 55,5-10289,1-51445,5 61 70 15 65,5-1622,23-24333,5 71 80 20 75,5-5,35938-107,188 81 90 25 85,5 561,5156 14037,89 91 100 12 95,5 6078,391 72940,69 Ʃf=80 Berdasarkan data di atas diperoleh: x ҧ = σ f i x i = 6180 σ f i 80 = 77,25 s = σ f (x i x) ҧ 2 n 1 = 13955 79 = 176,6456 = 13,29081 M e = 70,5 + 10 40 23 20 = 79 S k = 3. ( xҧ M e) 3. (77,25 79) = σ 13,29 (condong ke kiri) = 0,395
KURTOSIS Kurtosis merupakan tingkat menggunungnya suatu distribusi, yang umumnya dibandingkan dengan distribusi normal. Bentukbentuk kurtosis, yaitu: 1. Leptokurtik yaitu distribusi yang berpuncak tinggi dan ekornya relatif panjang. 2. Platikurtik yaitu distribusi yang berpuncak agak mendatar dan ekornya relatif pendek. 3. Mesokurtik yaitu distribusi normal, puncaknya tidak begitu tinggi dan tidak begitu mendatar. Leptokurtik Mesokurtik Platikurtik
Rumus kurtosis untuk data belum dikelompokkan: n α 4 = 1 n i=1 (xi x) ҧ 2 s 4 Rumus kurtosis untuk data dikelompokkan: α 4 = 1 n i=1 n f. (xi x) ҧ 4 s 4 Di mana: α 4 x ҧ x i n s = Koefisien kurtosis = Rata-rata sampel = Nilai data ke-i = Jumlah data = Simpangan baku Di mana: fi = Frekuensi kelas ke-i Ketentuan: α 4 = 3 atau mendekati 3 Bentuk Mesokurtik α 4 > 3 Bentuk Leptokurtik α 4 < 3 Bentuk Platikurtik
Contoh Soal: Diketahui tabel distribusi frekuensi di bawah ini: Kelas Interval f 31 40 1 41 50 2 51 60 5 61 70 15 71 80 20 81 90 25 91 100 12 Ʃf=80 Tentukan lah jenis kurtosisnya!
Penyelesaian Kelas Interval fi Xi (X i ഥX) 4 fi. (X i ഥX) 4 fi. (X i ഥX) 4 s 4 31 40 1 35,5 3038267 3038267 97,3639 41 50 2 45,5 1016190 2032380 65,1327 51 60 5 55,5 223788 1118941 35,8593 61 70 15 65,5 19061,3 285919 9,1630 71 80 20 75,5 9,37891 187,578 0,0060 81 90 25 85,5 4632,5 115813 3,7115 91 100 12 95,5 110931 1331168 42,6606 Ʃf=80 Berdasarkan data di atas diperoleh: x ҧ = σ f i x i = 6180 σ f i 80 = 77,25 α 4 = 1 n i=1 n f. (xi x) ҧ 4 s 4 = 1 80 Ʃ=253,9020 253,9020 = 3,1738 s = σ f (x i x) ҧ 2 n 1 = 13955 79 = 176,6456 = 13,29081
Latihan Soal: Soal 1 Interval Kelas Tentukan: a. Koefisien variasi b. Kemiringan c. Jenis kurtosis fi 20 29 1 30 39 4 40 49 7 50 59 13 60 69 25 70 79 15 80 89 5 Soal 2 Interval Kelas 60 62 5 63 65 18 66 68 42 69 71 27 72 74 8 Tentukan: a. Koefisien kecondongan dengan pendekatan Pearson b. Koefisien kecondongan dengan pendekatan α 3 fi 100
Referensi: Somantri, Ating et al.2006.aplikasi Statistika Dalam Penelitian.Bandung:Pustaka Setia Mulyono, Sri.1998.Statistika Untuk Ekonomi.Universitas Indonesia:Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia