BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang banyak berperan dalam pengembangan matematika, baik dari sisi teori maupun terapannya. Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V (G), E(G)) di mana V (G) menyatakan himpunan simpul dan E(G) menyatakan himpunan sisi. Teori graf memiliki banyak topik untuk dikaji sehingga sampai saat ini banyak sekali peneliti yang mengkaji bidang-bidang dalam teori graf. Dari sekian banyak bidang-bidang kajian dalam teori graf, pelabelan graf merupakan salah satu bidang kajian yang banyak diminati. Pelabelan graf pertama kali diperkenalkan oleh Sadlk (1964), kemudian Stewart (1966), Kotzig dan Rosa (1970). Pelabelan pada graf G = (V (G), E(G)) didefinisikan sebagai pemetaan yang memetakan elemen-elemen dari graf G yang berupa simpul dan sisi ke bilangan. Sampai saat ini banyak yang sudah meneliti tentang masalah pelabelan dan dapat dirasakan peranannya pada sektor komunikasi, navigasi geografis, transportasi, dan jaringan komputer. Terdapat banyak jenis pelabelan graf yang sudah diperkenalkan, seperti pelabelan ajaib, pelabelan anti ajaib, pelabelan (a,d) anti ajaib, pelabelan total simpul anti ajaib, k-pelabelan total tak reguler simpul (vertex irregular total k-labeling), k- pelabelan total tak reguler sisi (edge irregular total k-labeling), dan k-pelabelan tak reguler sisi (edge irregular k-labeling). Pelabelan graf yang akan digunakan pada tulisan ini adalah k-pelabelan tak reguler sisi (edge irregular k-labeling). Beberapa penelitian menunjukkan bahwa pelabelan dapat dilakukan dengan cara mengaitkan jumlah label dengan elemen-elemen graf yaitu simpul dan sisi. Jumlah label ini dikenal sebagai bobot (weight) dari elemen graf yang dinotasikan 1
2 dengan w. Misalkan f : V (G) {1, 2,..., k} merupakan k-pelabelan simpul, maka bobot sisi xy dari elemen-elemen graf G(V (G), E(G)) didefinisikan sebagai w(xy) = f(x) + f(y). Baca (2007) mengenalkan beberapa jenis pelabelan yaitu yaitu pelabelan total tak reguler sisi (edge irregular total k-labeling) dan k-pelabelan total tak reguler simpul (vertex irregular total k-labeling) yang dalam prosesnya juga mengasilkan definisi baru yaitu kekuatan total tak reguler sisi (total edge irregularity strength). Setelah itu banyak peneliti yang mengkaji tentang kekuatan total tak reguler sisi pada jenis-jenis graf yang berbeda, sehingga didapat kekuatan total tak reguler sisi dari beberapa graf seperti graf lintasan, graf lingkaran, graf bintang, graf lengkap, dan graf roda. Pada penelitian terbarunya, Baca (2014) memperkenalkan k-pelabelan tak reguler sisi (edge irregular k-labeling) dan definisi kekuatan tak reguler sisi ( edge irregularity strength). Suatu k-pelabelan simpul f : V (G) {1, 2,..., k} disebut k-pelabelan tak reguler sisi (edge irregular k-labeling) jika untuk setiap dua sisi berbeda e 1 dan e 2 berlaku w(e 1 ) w(e 2 ). Nilai k terkecil disebut kekuatan tak reguler sisi ( edge irregularity strength). Beberapa peneliti sudah mendapatkan nilai eksak kekuatan tak reguler sisi dari beberapa jenis graf, seperti kekuatan tak regular sisi pada graf lingkaran, graf lintasan, dan graf double star. Pada tulisan ini akan dibahas tentang kekuatan tak reguler sisi dari graf korona. Manfaat mencari nilai kekuatan tak reguler sisi bisa dirasakan dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya pada jaringan komputer. Sebagai contoh suatu perusahaan yang mempunyai banyak cabang di berbagai kota ingin mengirim data dari cabang yang satu ke cabang yang lain. Pengiriman data diharapkan sampai secepat mungkin agar memaksimalkan jam kerja. Pada kasus ini bisa digunakan k-pelabelan tak reguler sisi dengan memisalkan komputer pada setiap cabang merupakan simpul dan sistem pengirimannya merupakan sisi.
3 1.2. Rumusan Masalah Pada tugas akhir ini, akan ditentukan nilai eksak kekuatan tak reguler sisi pada sebarang graf korona, yang pada prosesnya juga akan dibahas tentang pola k-pelabelan tak reguler sisi pada graf korona. 1.3. Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk memberikan gambaran cara memperoleh nilai eksak kekuatan tak reguler sisi pada suatu graf. Diharapkan nantinya bisa dijadikan acuan untuk mencari nilai eksak kekuatan tak reguler sisi dari jenis-jenis graf lainnya. 1.4. Tinjauan Pustaka Penulisan skripsi ini merupakan hasil kaji ulang terhadap jurnal hasil penelitian Tarawneh (2016). Dalam prosesnya penyusunan skripsi ini diperlukan beberapa pustaka yang digunakan sebagai referensi untuk menunjang kelengkapan informasi yang berkaitan dengan topik skripsi ini. Konsep dasar tentang graf yang meliputi definisi dasar graf dijelaskan oleh Chartrand (1993), Diestel (2005), Bondy (1982), dan Wilson (1996). Kemudian Vasudev (2006) dan Diestel (2005) memberikan definisi tentang operasi-operasi pada graf seperti operasi gabungan, operasi korona, dan komplemen dari graf. Selanjutnya Vasudev (2006) dan Bondy (1982) menjelaskan tentang jenis-jenis graf, diantaranya adalah graf lingkaran, graf lengkap, dan graf korona. Selanjutnya, Wallis (2007) dan Wilson (1996) menjelaskan dasar-dasar pelabelan graf seperti pelabelan simpul, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Berikutnya Baca (2007) menjelaskan jenis pelabelan yang lebih khusus yaitu k-pelabelan total tak reguler simpul (vertex irregular total k-labeling) dan k-pelabelan total tak reguler sisi (edge irregular total k-labeling). Kemudian Ahmad (2014) memberikan definisi k-pelabelan tak reguler sisi (edge irregular k-labeling) dan kekuatan tak
4 reguler sisi (edge irregularity strength). 1.5. Metode Penelitian Metode atau langkah-langkah yang dilakukan oleh penulis dalam penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Mempelajari dasar-dasar teori graf yang meliputi jenis-jenis graf dan pelabelan graf. 2. Mempelajari definisi k-pelabelan tak reguler sisi serta menerapkannya dengan mengambil contoh beberapa graf dan menentukan k-pelabelan tak reguler sisi pada graf tersebut. 3. Membuat pola umum k-pelabelan tak reguler sisi dari sebarang graf korona C n K m dengan nilai n ganjil dengan cara mengambil beberapa contoh untuk beberapa n yang berbeda, sehingga diperoleh polanya. 4. Membuat pola umum k-pelabelan tak reguler sisi dari sebarang graf korona C n K m dengan nilai n genap dengan cara mengambil beberapa contoh untuk beberapa n yang berbeda, sehingga diperoleh polanya. 5. Setelah diperoleh pola umum k-pelabelan tak reguler sisi dari sebarang graf korona C n K m dengan nilai n genap dan ganjil maka kedua pola digabungkan dan dicari pola umum k-pelabelan tak reguler sisi dari sebarang graf korona C n K m dengan nilai m dan n sebarang. Kemudian dicari nilai eksak kekuatan tak reguler sisi dari graf korona. 1.6. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika berikut: BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang penulisan, rumusan masalah, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan.
5 BAB II DASAR TEORI Pada bab ini diuraikan definisi, teorema, dan beberapa contoh yang digunakan sebagai dasar pada pembahasan bab selanjutnya. BAB III KEKUATAN TAK REGULER SISI GRAF KORONA Pada bab ini dibahas cara untuk memperoleh pola umum k-pelabelan tak reguler sisi dari graf korona dan nilai eksak kekuatan tak reguler sisi dari graf korona. BAB IV KESIMPULAN Bab ini beirisikan kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan skripsi ini. Bagian ini berisi tentang garis-garis besar isi tiap bab.