BARIS tttt (Winston Chucill) 1
Tujuan Pembelajaran Dengan mempelajari materi barisan dan deret diharapkan siswa dapat : 1. Menjelaskan pengertian barisan dan deret. Menemukan konsep barisan aritmatika 3. Menemukan konsep deret aritmatika 4. Menentukan suku tengah barisan aritmatika 5. Menentukan suku ke-n barisan aritmatika 6. Menghitung jumlah n suku deret aritmatika 7. Menemukan konsep barisan geometri 8. Menemukan konsep deret geometri 9. Menentukan suku tengah barisan geometri 10. Menentukan suku ke-n barisan geometri 11. Menghitung jumlah n suku deret geometri 1. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmatika. 13. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret geometri.
A. Barisan dan Deret Aritmatika Mind Map U 1 + U + + U n = S n S n = n (a + n 1 b S n = n (a + U n) a,, a + kb, a + b Deret Aritmatika U n U n 1 = tetap = b b = b k + 1 Sisipan Barisan dan Deret Aritmatika Definisi U n = U n 1 + U n+1 Suku Tengah Barisan Aritmatika U 1, U, U 3,, U n. U 1,, U t,, U n U n = a + n 1 b U t = a+u n n+1,t = 3
B. Barisan dan Deret Geometri tak hingga (konvergen) a S = 1 r 1 < r < 1 berhingga S n = a(rn 1) r 1 a,, a(r ) k, ar Deret Geometri U n U n 1 = tetap = r Sisipan Definisi r = (r) 1 k+1 Barisan dan Deret Geometri (U n ) = U n 1. U n+1 Suku Tengah Barisan Geometri U a,, U t,, U n U 1, U,, U n. U t = a. U n,t = n+1 U n = a. r n 1 4
BARISAN DAN DERET Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu.bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku.perubahan di antara suku-suku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan yang tetap,maka barisan ini disebut barisan aritmatika, misal : a., 6, 10, 14,.. ditambah 4 dari suku di depannya b. 11, 107, 10, 97, dikurangi 5 dari suku di depannya Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,maka barisan ini disebut barisan geometri, misal : a. 3, 6, 9, 1,.. dikalikan 3 dari suku di depannya b. 100, 50, 5, dikalikan 1 dari suku di depannya Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan, missal : Deret aritmatika ( deret hitung ) : 3 + 6 + 9 + 1 = 39 Deret geometri ( deret ukur ) : 3 + 9 + 7 + 81 = 10 A. Barisan dan Deret Aritmatika 1. Barisan Aritmatika Barisan aritmetika adalah barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap. U 1, U, U 3, U 4, U n 1, U n. U 1 = a U = a + b U 3 = (a + b) + b = a + b 5
U 4 = (a + b) + b = a + 3b U n = a + (n 1)b Jika U U 1 = U 3 U = = U n U n 1,maka barisan tersebut adalah barisan aritmatika. Jika U n U n 1 disebut beda atau b maka barisan aritmatika adalah barisan yang mempunyai beda tetap. a. Syarat barisan aritmatika U = U 1 + U 3 atau U n = U n 1 + U n+1 b. Rumus suku ke-n barisan aritmatika Jika U 1 = a dan maka U U 1 = U n U n 1 = b suku U n = a + (n 1)b dimana : n = Suku ke-n a = suku pertama b = beda antar suku n = banyaknya suku 6
Contoh soal : Tentukan suku ke 100 dari barisan 7,9,11,13! Jawab : 7,9,11,13,., U 100 U n = a + (n 1)b U 100 = 7 + (100 1)(9 7) U 100 = 7 + (99)() U 100 = 7 + 198 U 100 = 05. Suku Tengah Barisan Aritmatika Misal U t adalah suku tengah. U 1, U, U 3, U 4,, U t,, U n, U n 1, U n. Maka t = n+1 sehingga U t = a + (t 1)b menjadi U t = a + [( n + 1 ) 1] b = 1 a + 1 a + 1 (n 1)b = 1 a + 1 (a + (n 1)b) Jadi U t = a + U n Contoh soal : Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut : 5,8,11,,131. Tentukan suku keberapakah suku tengahnya! Jawab : U t = a + U n U t = 5 + 133 7
U t = 136 = 68 U n = a + (n 1)b 68 = 5 + (n 1)3 66 = 3n = n 3. Deret Aritmatika Deret Aritmatika adalah barisan aritmatika yang dijumlahkan. Jika U 1 + U + U 3 + + U n = S n dan S n disebut jumlah n suku pertama deret aritmatika,maka : S n = a + (a + b) + (a + b) + + (U n b + U n b) + U n S n = U n + (U n b) + (U n b) + + (a + b) + (a + b) + a + S n = (a + U n ) + (a + U n ) + + (a + U n ) + (a + U n ) + (a + U n ) Sebanyak n kali S n = n(a + U n ) S n = n (a + U n) Karena U n = a + (n 1)b, maka S n = n (a + (n 1)b) Contoh soal : Terdapat 60 suku dalam barisan aritmetika yang mana suku pertama adalah 9 dan suku terakhir adalah 17. Tentukan S 60! 8
Jawab : S n = n (a + U n) S 60 = 60 (9 + 17) S 60 = 30(136) S 60 = 4080 B. Barisan dan Deret Geometri 1. Barisan Geometri Barisan geometri adalah perbandingan dua suku berurutan selalu tetap (konstan). Misal ada barisan sebagai berikut : U 1, U, U 3, U 4, U n 1, U n. U 1 = a U = a x r = ar U 3 = ar x r = ar U 4 = ar x r = ar 3 U n = ar n 1 Jika U U 1 = U 3 U = = U n U n 1 geometri. maka barisan tersebut adalah barisan Jika U n U n 1 disebut rasio (r) maka barisan geometri adalah barisan yang mempunyai rasio tetap. a. Syarat Barisan Geometri (U ) = U 1. U 3 atau (U n ) = U n 1. U n+1 b. Rumus suku ke-n Barisan Geometri U n = a. r n 1 9
Jika U 1 = a dan U U 1 = U n U n 1 = r, maka Contoh soal : 1. Diketahui barisan geometri 3, 9, 7, 81,... Tentukan : a. Suku pertama b. Rasio c. Rumus suku ke-n d. Suku ke 10 Jawab : a. Suku pertama = U 1 = 3 b. Rasio = r = U U 1 = 9 3 = 3 c. Rumus suku ke-n = ar n 1 = (3)(3) n 1 = (3) 1+(n 1) = 3 n d. Suku ke 10 = 3 10 = 59049. Supaya barisan (k 5), (k 4), 1 (k 4), menjadi barisan 5 geometri maka tentukanlah nilai k! Jawab : (k 5), (k 4), 1 (k 4) 5 U 1, U, U 3 U U 1 = U 3 U 10
1 k 4 k 5 = (k 4) 5 (k 4) k 4 k 5 = 1 5 5(k 4) = k 5 5k 0 = k 5 5k k = 0 5 3k = 15 k = 15 3 k = 5. Suku Tengah Barisan Geometri Misal U 1 adalah suku tengah dari barisan sebagai berikut: U 1, U, U 3,, U t, U n, U n 1. U n Maka t = n+1 sehingga U t = a. r t 1 menjadi : U t = a. r (n+1 ) 1 = a. r (n 1 ) = a. ar n 1 = a. U n Contoh soal : Diketahui barisan geometri sebagai berikut : 1, 1, 1,,64.Tentukan 4 suku ke berapakah suku tengahnya! Jawab : U t = 1 4. 64 U t = 16 11
U t = 4 U t = ar t 1 4 = 1 4. t. 1 4 = 1 8. t 3 = t 5 = t 5 = t 3. Deret Geometri Deret Geometri adalah barisan geometri yang dijumlahkan. a. Deret Geometri Berhingga Jika U 1 + U + U 3 + + U n = S n adalah deret geometri dan S n disebut jumlah n suku pertama deret geometri, maka : Conto soal : Pada deret geometri diketahui U = 6 dan U 5 = 16 maka tentukanlah jumlah 6 suku pertama! Jawab : S n = a(rn 1) r 1 S 6 = (36 1) 3 1 S 6 = 3 6 1 S 6 = 79 1 S 6 = 78 S n = a(rn 1) r 1 atau S n = a 1 r a 1 r. rn 1
b. Deret Geometri Tak Hingga U 1 + U + U 3 + = S Ada (konvergen) untuk 1 < r < 1 yaitu S = S = ~ (divergen) untuk r 1 dan r 1 a 1 r C. Aplikasi Barisan dan Deret dalam Kehidupa Sehari-hari Barisan dan deret banyak digunakan dalam bidang bisnis dan ekonomi, terutama menyangkut dalam perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan penad (relevant) diterapkan untuk menganalisisnya. Model perkembangan usaha merupakan penerapan teori baris dan deret. Perkembangan usaha adalah sejauh mana usaha-usaha yang pertumbuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung. Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal yang berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prsinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variable tersebut. Berpola seperti deret hitung maksudnya di sini ialah bahwa variable yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya. 13
D. Soal Latihan Pilihan Ganda 1. Suku ke-3 dan ke-7 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 88 dan 1.Suku ke-8 barisan aritmatika tersebut adalah a. 43 c. 3 e. 0 b. 34 d.. Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 10 unit,sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16 adalah a. 45.760 c. 16.960 e. 9.760 b. 45.000 d. 16.000 3. Suku tengah barisan aritmatika adalah 41. Jika beda adalah 5 dan suku ketujuh adalah 56, maka jumlah semua suku barisan tersebut adalah a. 539 c. 387 e. 187 b. 437 d. 87 4. Barisan geometri dengan U 7 = 384 dan rasio. Suku ke-10 barisan tersebut adalah a. 190 c. 405 e. 6144 b. 307 d. 4608 5. Suku ke-3 dan suku ke-7 suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 56. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah a. 500 c. 508 e. 516 b. 504 d. 51 6. Jumlah ke-10 dari barisan : 3, 5, 7, 9,. adalah. a. 11 b. 1 c. 19 1 e. 7 7. Sebuah bola jatuh dari ketinggian,5 meter dan memantul dengan ketinggian 3 kali tinggi semula dan setiap kali memantul berikutnya 5 mencapai ketinggi 3 kali tinggi pantulan sebelumnya.maka jarak lintasan 5 bola sampai bola berhenti adalah a. 5.5 m b. 7, m c. 9 m d. 1,5 m e. 10 m 14
8. Suatu deret aritmatika diketahui 5 deret suku pertama = 35 dan jumlah 4 suku yang pertama = 4. Suku yang ke-15 sama dengan. a. 11 b. 5 c. 31 d. 33 e. 59 9. Jumlah n suku yang pertama dari deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = 3n 5n. Beda dari deret tersebut adalah. a. -6 b. -4 c. d. 4 e. 6 10. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri dirumuskan dengan Sn =3n Rasio deret tersebut adalah... a. 8 b. 7 c. 4 d.- 1 8 e. -8 Essey 1. Suku ke-4 dan suku ke-7 suatu deret aritmatika berturut-turut 17 dan 9. Suku ke-5 deret tersebut adalah. Jika U n = 3n 7 merupakan barisan aritmatika maka tentukanlah bedanya! 3. Tentukan suku ke-7 dari barisan geometri berikut :, 6, 18, 54,! 4. Diketahui barisan gometri sebagai berikut : 1 6, 1 3, 3,, 51 3. Tentukan suku keberapakah suku tengahnya! 5. Pada deret geometri diketahui U = 6 dan U 5 = 48 maka tentukanlah 6 suku pertama! 6. Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya adalah! 7. Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-9 adalah 768! 8. Carilah suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, 19,... 9. Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 78. Tentukan suku pertama dan bedanya! 10. Carilah suku ke-1 dalam barisan aritmetika dimana suku ke-5 adalah 41 dan suku ke-11 adalah 3! 15
DAFTAR PUSTAKA Ganesha Operation (013) Revolusi Belajar : Koding.Jakatra : Duta. http://matematika-sma.blogspot.com/007/07/soal-barisan-dan-deret.html Diakses :14 Oktober 014 Alfauziah, Dini.11 Agustus 013.Penerapan Baris dan Deret dalam Kehidupan Sehari-hari.(http://dinialfauziah.wordpress.com/013/11/08/penerapan-baris-danderet-dalam-kehidupan-sehari-hari.). Diakses : 11 Oktober 014 16
BIODATA Nama Lengkap : Angga Ibnu Arsalan NPM : 114070150 Tempat,Tanggal Lahir : Cirebon,0 maret 1996 Jenis Kelamin : Laki-laki Agama : Islam Cita-cita : Bisnisman Alamat : Jalan Otista Blok Asinan Desa Tegalsari Kecamatan Plered Kabupaten Cirebon Kota Cirebon No. Hp : 0898738891 E-mail : aibnuarsalan@gmail.com Keanggotaan : Ketua Deskripsi Kerja : 1. Mencari materi. Mendesain cover 3. Mencetak buku 17
Nama : Juneri NPM : 114070078 Tempat,Tanggal Lahir : Cirebon,08 Maret 1996 Jenis Kelamin : Perempuan Agama : Islam Cita-cita : Guru PNS Alamat : Blok Siseuti rt04/rw0 Desa Kedongdong Kidul Kecamatan Dukupuntang Kabupaten Cirebon No. Hp : 08383751714 E-mail : juneri1toi@yahoo.co.id Deskripsi Kerja : 1. Mencari materi. Mencetak buku 18
Nama : Norma Bertia Ningrum NPM : 114070075 Tempat,Tanggal Lahir : Majalengka,01 Oktober 1996 Jenis Kelamin : Perempuan Agama : Islam Cita-cita : Guru Alamat : Lingkungan Gandasari rt01/rw03 Kelurahan Cikasarung Kecamatan Majalengka Kabupaten Majalengka 45415 No.Hp : 0877398565 E-mail : norma.ningrum@yahoo.co.id Keanggotaan : Anggota Deskripsi Kerja : 1. Mencari materi. Menyusun materi 3. Mencetak buku 19