Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor Teknik Inormatika-Unitomo Anik Vega Vitianingsih
TEORI KESALAHAN (GALAT) -Penyelesaian numerik dari suatu persamaan matematik hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis -Penyelesaian numerik tersebut terdapat kesalahan (galat) terhadap nilai eksak -Keandalan suatu nilai numerik dapat ditandai memakai konsep Angka Bena yaitu angka yang dapat dipergunakan dengan pasti.
Angka ini diperoleh dari sejumlah angka tertentu ditambah dengan satu taksiran. Konsep angka bena mempunyai dua terapan yaitu : 1. Kriteria untuk memerinci seberapa jauh hampiran (aproksimasi) tersebut dapat dipercaya. 2. Tidak menyatakan bilangan tertentu seperti p, e, atau 7 secara eksak memakai sejumlah berhingga bilangan. Contoh : 7 = 2,645751311..
Macam macam kesalahan Kesalahan Bawaan Merupakan kesalahan dari nilai data Kesalahan terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data Kesalahan dalam membaca skala kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum - hukum isik dari data yang diukur Kesalahan Pemotongan Kesalahan terjadi karena tidak dilakukannya perhitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar
Kesalahan Pembulatan kesalahan terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan Bilangan perkiraan digunakan sebagai pengganti bilangan eksak Suatu bilangan dibulatkan pada posisi ke n dengan membuat semua angka di sebelah kanan dari posisi tersebut nol, sedang angka pada posisi ke n tersebut tidak berubah atau dinaikkan satu digit yang tergantung apakah nilai tersebut lebih kecil atau lebih besar dari setengah dari angka posisi ke n
Pengabaian diluar angka bena yang terjadi karena kesalahan kesalahan tersebut dikenal dengan galat. Galat terbagi menjadi : 1. Galat pembulatan (untuk menyatakan bilangan eksak) 2. Galat pemotongan (untuk menyatakan prosedure matematis).
Galat yang berhubungan dengan perhitungan / pengukuran dicirikan: - ketelitian (merupakan nilai sejati yang dihitung) - ketepatan (merupakan banyaknya angka bena yang menyatakan suatu nilai atau sebaran dalam perhitungan berulang atau pengukuran nilai yang teliti) sehingga : Dimana : Nilai sejati = aproksimasi + galat (E t ) E t = galat sejati = Nilai sejati aproksimasi
galat % Galat relat i ( e ) = nilai 100 % Dimana: -t : nilai sejati -a : aproksimasi - E a : galat aproksimasi aproksimasi sekarang aproksimasi sebelumnya
Deret Taylor Mrk penyelesaian persamaan Dierensial Jika suatu ungsi ƒ(x) diketahui dititik X i dan semua turunan dari ƒ terhadap X diketahui pada titik tersebut deret Taylor dinyatakan nilai ƒ pada titik X i+1 yang terletak pada jarak X dari titik X i.
2. Memperhitungkan dua suku pertama (order 1) 1! ) '( ) ( ( 1 ) i i i = 3. Memperhitungkan tiga suku pertama (order 2) 2! ) ''( 1! ) '( ) ( ) ( 2 1 i i i i = 1. Memperhitungkan satu suku pertama (order 0) ) ( ) ( 1 i i = 4. Iterasi akan berhenti jika Rn = 0
y () order 2 order 1 order 0 i i+1
Persamaan deret Taylor: R n = ( n 1) ( ). h ( n 1)! ( n1) Ket: ƒ(x i ) : ungsi dititik 1 ƒ(x i+1 ) : ungsi dititik i+1 ƒ, ƒ ƒ n : turunan pertama, kedua,,ke n X : jarak antara ƒ(x i ) dan ƒ(x i+1 ) R n : kesalahan pemotongan! : operator aktorial
c/: Diketahui seuatu ungsi : dengan menggunakan Deret Taylor pada order berapa, hasil penyelesaian numerik sama dengan penyelesaian eksak? dimana order 0,1,2 dan 3 perkiraan ungsi tersebut pada titik i+1 = 1 & titik i+1 =1 berada pada jarak=1 dari titik = 0. Jawab : (0) = 0.5 (1) = 1.5
Untuk order 0 : (i+1) = (i) (0 +1) = (0) (1) = 0.5 Kesalahan pemotongan : Rn = 1.5 0.5 = 1 Untuk order 1 : (i+1)= (i) + (i) X /1! 2 0.75 0.25 (0+1) = 0.5 +( ) 1 = 0.5 (0.75 (0) + 0 +0.25 = 0.75 Kesalahan pemotongan Rn = 1.5 0.75 = 0.75
Untuk Order 2 : (i+1) = 0.5 + 0.25 * 1 + 1 * (1/2)(1/2) = 1.25 Kesalahan pemotongan: Rn = 1.5 1.25 = 0.25 Untuk Order 3 : (i+1) = 0.5 + 0.25 + 0.5 + 0.25 = 1.5 Kesalahan pemotongan : Rn = 1.5 1.5 = 0 (terbukti)
Algoritma: 1. Tentukan order dari deret Taylor 2. Masukkan nilai 0 kedalam rumus deret Taylor 3. Gabungkan semua perhitungan deret Taylor - looping sebanyak i=0; i= ƒ(x i+1 ) - i (i==0) Rn=ƒ() else i ((i+1)%2==0) Rn=0 else i ((i+1)%2!=0 && (i+1)!=1) Rn=i