Pembahasan Soal OSK SMP 2017 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN SMP 2017 OSK Matematika SMP (Olimpiade Sains Kabupaten Matematika SMP) Disusun oleh: Pak Anang
Halaman 2 dari 20 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS MATEMATIKA SMP TINGKAT KABUPATEN 11 MARET 2017 By Pak Anang (http://pak-anangblogspotcom) BAGIAN A: PILIHAN GANDA 1 Misalkan adalah suatu bilangan bulat positif Jumlah tiga bilangan prima,, dan adalah A 12 B 14 C 15 D 17 Perhatikan, bilangan prima yang genap hanya 2, sedang seluruh bilangan prima selain 2 adalah ganjil Dan mengingat jumlah tiga bilangan ada genap, maka pastilah salah satu dari bilangan prima tersebut adalah 2 Bilangan prima genap 2 hanya dimungkinkan diperoleh dari Sehingga, Maka untuk, diperoleh ketiga bilangan prima tersebut adalah 2, 3, dan 7 Jadi, jumlah ketiga bilangan prima tersebut adalah Jawaban: A 12 2 Diketahui dan adalah dua bilangan bulat positif, serta merupakan bilangan ganjil yang lebih kecil daripada 2017 Jika, maka pasangan bilangan yang mungkin ada sebanyak A 2 B 3 C 5 D 8 TIPS SUPERKILAT: Jadi, untuk bilangan bulat positif, maka jelas bahwa jumlah dari ketiga bilangan prima tersebut merupakan kelipatan 12 Karena adalah bilangan ganjil, maka seharusnya ganjil pula Sekarang perhatikan ruas kanan terdapat, berarti bilangan ganjil yang dapat dibuat adalah dan Jadi, ada 3 buah pasangan bilangan yang dapat dibentuk Jawaban: B 3
Jarak (meter) Halaman 3 dari 20 3 Grafik berikut mengilustrasikan lomba lari 100 m yang diikuti oleh tiga siswa,, dan Berdasarkan grafik tersebut pernyataan yang benar adalah 100 80 60 50 40 20 10 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Waktu(detik) A Pelari C selalu berlari paling depan B Pelari B disusul oleh C sebelum garis finis C Pelari A paling cepat berlari sampai ke garis finis D Pelari B memenangi lomba karena berlari dengan kecepatan konstan Dapat diamati pada grafik bahwa jarak tempuh adalah 100 m ditandai dengan garis putus-putus Kemiringan garis menyatakan kecepatan gerak lari dari pelari Sehingga, pelari A mula-mula bergerak dengan kecepatan tinggi, sebelum akhirnya berhenti setelah menempuh jarak 80 m Sedangkan pelari B bergerak semakin melambat setelah 10 detik Dan pelari C bergerak semakin cepat setelah 10 detik Untuk waktu tempuhnya, pelari A tidak sampai di garis finis Pelari B membutuhkan waktu 18 detik untuk tiba di garis finis Sedangkan pelari C lebih cepat sehingga membutuhkan waktu 16 detik saja untuk finis Ketiga pelari berpapasan satu sama lain pada jarak 80 Hal itu dapat dilihat pada perpotongan ketiga grafik di titik (16, 80) Sehingga kesimpulannya pelari B disusul C sebelum garis finish Jawaban: B Pelari B disusul oleh C sebelum garis finis
Halaman 4 dari 20 4 Jika bilangan bulat positif dan merupakan solusi sistem persamaan linear maka banyak nilai A 2 B 3 C 4 D 5 adalah Sehingga, Agar adalah bilangan positif, maka jelas Sehingga, Agar adalah bilangan positif, maka jelas Sehingga dari dua uraian di atas, dan akan bernilai positif apabila Sekarang perhatikan informasi di soal, bahwa dan harus bilangan bulat positif Untuk memastikan bahwa dan adalah suatu bilangan bulat, maka coba pandang bentuk dan Sehingga jelas bahwa bentuk pembilang keduanya haruslah kelipatan 5 agar dapat diperoleh masing-masing dan adalah bilangan bulat Sehingga, pilih pada interval agar bentuk dan kelipatan 5 Jadi, ada 3 nilai yang mungkin adalah 7, 12, 17 Jawaban: B 3
Halaman 5 dari 20 5 Diketahui fungsi memenuhi persamaan, untuk Nilai sama dengan A B C D Gunakan dan, agar mendapatkan sistem persamaan linear dalam dan Jawaban: B
Halaman 6 dari 20 6 Pada jajar genjang, jarak antara sepasang sisi sejajar pertama adalah 4 cm dan jarak antara sepasang sisi sejajar lainnya adalah cm Luas jajar genjang ABCD adalah 4 9 A minimal 36 cm 2 B tepat 36 cm 2 C maksimal 36 cm 2 D Antara 36 cm 2 dan 81 cm 2 Perhatikan, unsur yang diketahui pada soal hanyalah dua buah jarak sepasang sisi sejajar pada jajar genjang Perhatikan ilustrasi berikut, (i) (ii) (iii) Perhatikan pada tiga gambar di atas Terdapat dua lingkaran berjari-jari 4 dan 9 sebagai perwakilan jarak sepasang sisi sejajar pada jajar genjang Luas jajar genjang dapat bervariasi apabila kita memutar salah satu pasangan sisi sejajar Sehingga jelas bahwa pada gambar (i) merupakan luas minimal jajaran genjang yaitu saat kedua pasang sisi sejajar saling tegak lurus Sehingga luas minimal jajar genjang adalah luas persegi panjang berukuran 4 dan 9: cm 2 Sedangkan pada gambar (ii) salah satu pasangan sisi sejajar jajar genjang diputar sehingga luasnya lebih besar dari luas jajar genjang pada gambar (i) Dan juga pada gambar (iii) salah satu pasangan sisi sejajar jajar genjang diputar sehingga luasnya lebih besar dari luas jajar genjang pada gambar (ii) Begitu seterusnya hingga kedua pasang sisi sejajar nyaris berhimpit, maka luasnya menjadi tak hingga Jadi, jawabannya adalah luas jajar genjang minimal 36 cm 2 Jawaban: A minimal 36 cm 2
Halaman 7 dari 20 Cara Alternatif 1: Perhatikan jajar genjang, 4 9 Apabila kita tarik garis jarak dua garis sejajar bernilai pada salah satu titik sudut jajar genjang, maka misal garis tersebut adalah, dan sudut, maka: sin sin Padahal luas jajar genjang adalah: sin sin Kita tahu bahwa dan, sin sin sin sin Perhatikan juga bahwa sin, jadi: kalikan dengan Jadi, jelas bahwa diperoleh, ini artinya bahwa luas jajar genjang minimal adalah 36 cm 2 Jawaban: A minimal 36 cm 2
Halaman 8 dari 20 Cara Alternatif 2: Perhatikan jajar genjang, 4 9 Perhatikan siku-siku di titik, sehingga Ingat, pada suatu segitiga, sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah sisi-sisi yang lain, sehingga diperoleh: kuadratkan kedua ruas Sehingga, jelas bahwa luas jajaran genjang adahal Dengan menerapkan konsep yang sama untuk, maka dengan mudah juga akan diperoleh bahwa Sehingga luas jajaran genjang yang didapatkan juga Namun, masih ada pertanyaan bahwa apakah mungkin = 4 dan? Jika, maka berimpit dengan, dan jika, maka berimpit dengan, sehingga merupakan persegi panjang, Sehingga luas minimal jajar genjang adalah luas persegi panjang berukuran 4 dan 9: cm 2
Halaman 9 dari 20 7 Lingkaran pada gambar berikut mempunyai radius 1 satuan panjang dan Luas daerah trapesium yang diarsir adalah A B 1 C D 1 1 Ingat perbandingan istimewa pada segitiga siku-siku dengan sudut yang lain 30 dan 60, perbandingan sisi-sisinya adalah Karena panjang, maka jelas dan Dan panjang serta Jadi, luas trapesium adalah: Jawaban: B 1
Halaman 10 dari 20 8 Diketahui persegi panjang dengan dan Panjang lintasan pada gambar berikut adalah A B C D Perhatikan siku-siku di, sehingga Perhatikan sebangun dengan, sehingga Mudah dibuktikan bahwa karena: - (lebar persegi panjang ) - (sudut dalam berseberangan) - (sudut siku-siku) maka kongruen dengan, sehingga Pandang ruas garis merupakan hasil penjumlahan dari beberapa ruas garis dan, serta karena, maka diperoleh:
Halaman 11 dari 20 Dengan menggunakan kesamaan luas, maka Sehingga karena kongruen dengan, maka Sehingga panjang lintasan panjang lintasan adalah: Jawaban: D
Halaman 12 dari 20 9 Diketahui dan adalah himpunan bagian dari yang mempunyai 4 anggota Jika jumlah semua anggota merupakan suatu bilangan genap, maka banyak himpunan yang mungkin adalah A 1980 B 148995 C 297990 D 299970 Pembahasan dengan Ralat Soal : Ralat soal Jika jumlah semua anggota merupakan suatu bilangan genap, maka banyak himpunan yang mungkin adalah seharusnya menjadi Jika semua anggota merupakan suatu bilangan genap, maka banyak himpunan yang mungkin adalah Misalkan adalah himpunan seluruh bilangan genap yang merupakan himpunan bagian dari dari adalah Pandang sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama dan beda, maka banyak anggota dapat ditentukan dengan: Banyak kemungkinan maupun adalah bilangan genap adalah: Jawaban: B 148995 embahasan tanpa Ralat Soal Perhatikan, bentuk adalah bernilai genap dapat diperoleh dalam tiga buah kasus, yaitu: - dan seluruhnya adalah bilangan genap - dan seluruhnya adalah bilangan ganjil - dan memuat masing-masing dua bilangan ganjil dan dua bilangan genap Kasus 1: adalah himpunan seluruh bilangan genap yang merupakan himpunan bagian dari dari adalah Pandang sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama dan beda, maka banyak anggota dapat ditentukan dengan: Banyak kemungkinan dan adalah bilangan genap adalah:
Halaman 13 dari 20 Kasus 2: Misalkan adalah himpunan seluruh bilangan ganjil yang merupakan himpunan bagian dari dari adalah Pandang sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama dan beda, maka banyak anggota dapat ditentukan dengan: Banyak kemungkinan dan adalah bilangan ganjil adalah: Kasus 3: Banyak kemungkinan dan memuat masing-masing dua bilangan ganjil dan dua bilangan genap adalah: Sehingga, bentuk adalah bernilai genap, dimana dan adalah himpunan bagian adalah: Jawaban: - Komentar terhadap soal: Menurut pandangan saya, pembuat soal agak lalai dalam mengunci soal Saya menduga bahwa penulis dan pembuat soal sebenarnya meletakkan alternatif jawaban benar pada opsi jawaban D Mengapa? Hal ini dimungkinkan jawaban benar adalah D, apabila penghitungan pada ketiga kasus terjadi kekeliruan, yaitu perhitungan pada kasus ketiga, yaitu bentuk perkalian secara tak sengaja dianggap sebagai bentuk penjumlahan, sehingga perhitungannya akan menjadi: Sehingga, bentuk adalah bernilai genap, dimana dan adalah himpunan bagian adalah: Jawaban: D 299970
Halaman 14 dari 20 10 Dari 4 pengamatan berupa bilangan positif yang sudah diurutkan dilambangkan dengan dan Jika jangkauan data tersebut adalah 16, median, median, dan, maka nilai rata rata data tersebut adalah A 10 B 11 C 12 D 13 Padahal, sehingga Maka dari dan diperoleh: Jadi rata-rata data tersebut adalah: Jawaban: B 11 Cara Alternatif: Setelah diperoleh, maka dihitung nilai dan, sehingga diperoleh Jadi rata-rata data tersebut adalah: Jawaban: B 11
Halaman 15 dari 20 BAGIAN B: ISIAN SINGKAT 1 Diketahui dan adalah dua bilangan bulat Jika terdapat tepat satu nilai yang memenuhi pertidaksamaan, maka nilai terbesar yang mungkin adalah Jadi, terbesar yang mungkin adalah 112, dengan nilai
Halaman 16 dari 20 2 Nilai sama dengan Pandang bentuk sebagai bentuk deret geometri dengan dan, maka diperoleh: Sehingga, Dan seterusnya Sehingga Cara Alternatif: Misal Maka dari dua persamaan di atas, diperoleh:
Halaman 17 dari 20 3 Diketahui adalah bilangan-bilangan tidak nol Bilangan dan adalah solusi persamaan serta bilangan dan adalah solusi persamaan Nilai sama dengan penyelesaiannya adalah penyelesaiannya adalah dan, sehingga diperoleh: dan, sehingga diperoleh: Jumlah persamaan (1) dan (2) Eliminasi dan pada persamaan (1) dan (3), diperoleh: Substitusikan ke persamaan (2) dan (4), diperoleh: Jadi dari persamaan (5) diperoleh:
Halaman 18 dari 20 4 Misalkan dan sebuah persegi dengan merupakan titik tengah AD Luas segitiga adalah 6 satuan luas Luas segitiga adalah TIPS SUPERKILAT: Dengan mudah diamati bahwa AC = 2 CD, dan DE = 2BF Jadi luas CDE = luas ABC = 6 Karena dan sebuah persegi, maka: Karena titik tengah, maka Sehingga, Perhatikan sebangun Sehingga Perhatikan sebangun Sehingga Padahal Maka
Halaman 19 dari 20 5 Tersedia 10 loket pelayanan pelanggan pada sebuah bank Terdapat sejumlah pelanggan yang sedang berada dalam satu baris antrian Peluang bahwa 4 orang pertama pada antrian dilayani di loket yang berbeda, dan orang ke-5 pada antrian dilayani di loket yang sama dengan salah satu dari 4 orang sebelumnya adalah Misal loket tersebut diilustrasikan pada gambar berikut: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E A B C D Tidak diketahui secara jelas jumlah pelanggan, namun pada soal disajikan lima pelanggan pertama, misalkan Maka, banyak kejadian keempat orang pertama dilayani di loket berbeda dan orang kelima pada antrian loket yang sama dengan 4 orang sebelumnya adalah Sedang seluruh kejadian yang mungkin untuk kelima orang pertama tersebut adalah Jadi, peluang bahwa 4 orang pertama pada antrian dilayani di loket yang berbeda, dan orang ke-5 pada antrian dilayani di loket yang sama dengan salah satu dari 4 orang sebelumnya adalah:
Halaman 20 dari 20 Pembahasan soal OSK Matematika SMP 2017 ini sangat mungkin jauh dari sempurna mengingat keterbatasan penulis Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan pembahasan soal OSN ini Untuk download pembahasan soal SBMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran serta soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anangblogspotcom Terima kasih Pak Anang