MATEMATIKA DASAR
ARITMATIKA
BARISAN ARITMATIKA
1. BARISAN ARITMATIKA Sering disebut barisan hitung, adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah atau mengurangi suatu bilangan tetap Bilangan tetap tersebut disebut pembeda (selisih antara dua suku berurutan) Suku pertama ditulis U 1, sedangkan suku ke-n ditulis U n dan Pembeda ditulis b Pembeda positif disebut barisan naik,sedang pembeda negatif disebut barisan turun
Contoh 1. Barisan aritmatika: 3,7,11,15,... U 1 =3, U 2 =7 b = 7-3 = 4 2. Barisan bilangan :26,23,19,16,...
2. RUMUS SUKU KE-n BARISAN ARITMATIKA atau Keterangan U n = Suku ke-n U 1 = a = Suku pertama b = pembeda
Contoh 1. Tentukan suku ke-21 dari barisan aritmatika:17,15,13,11,... a=17 ; b=(-2) ; n= 21 U 21 = 17+ (21-1)(-2) = (-23) 2. Diketahui suku ke-1 barisan aritmatika adalah 6 dan suku kelimanya 18,tentukan pembedanya!
3. RUMUS SUKU TENGAH BARISAN ARITMATIKA Jika banyaknya suku ganjil, suku yang ditengah disebut suku tengah (U t )
DERET ARITMATIKA
Deret diartikan sebagai jumlah dari suku2 suatu barisan bilangan Perhatikan barisan aritmatika 3,5,7,9,... dari barisan tersebut dapat dibuat deret aritmatika: S n = 3 + 5 + 7 + 9 +... dengan demikian jika diketahui barisan bilangan aritmatika: U 1, U 2,..., U n maka dapat dibuat menjadi deret aritmatika: S n = U 1 + U 2 +...+ U n
Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmatika : atau Dimana setiap deret aritmatika berlaku:
CONTOH 1. Diket deret aritmatika 3 + 7 + 11 + 15 +... Jumlah 16 suku pertama adalah: Berarti a = 3 ; b = 7-3 = 4 Jadi
BARISAN GEOMETRI
1. DEFINISI Barisan geometri atau barisan ukur adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan dengan suatu bilangan tetap yang tidak sama dengan nol. Bilangan tetap tersebut disebut pembanding atau rasio (p)
2. RUMUS SUKU KE-n BARISAN GEOMETRI atau Keterangan: U 1 = a = suku ke-1 U n = suku ke-n p = pembanding
CONTOH 1. Carilah suku ke-11 dari barisan 2,6,18,... a=2 ; p= 6/2=3 Maka 1. Jika suku ke-1 dari barisan geometri adalah 27 dan suku ke-4 sama dengan 1, tentukan pembandingnya?
DERET GEOMETRI
BEBERAPA PENGERTIAN DERET 1. Deret berhingga (S n ) Adalah deret yang banyaknya suku berhingga,atau disebut jumlah n suku pertama 2. Deret tak terhingga () adalah deret yang diperoleh dari suatu barisan tak hingga, atau disebut jumlah sampai tak terhingga suku2 barisan tak hingga
Rumus jumlah suku yang pertama barisan geometri : rumus berlaku untuk 0< p< 1, sedangkan untuk p yang lain berlaku
CONTOH 1. Diket deret geometri 2 + 6 + 18 + 54 +... tentukan jumlah 9 suku pertama dari deret tersebut! p = 6/2 =3 ; a= 2
ALJABAR
BENTUK ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan seharihari.
BENTUK ALJABAR (2) 1. Persamaan Persamaan Linier 1 variabel Persamaan Linear Satu Variabel berarti persamaan pangkat satu. Contoh: X + 3 = 10. X + 3 3 = 10 3 (sama sama dikurangi dengan bilangan yang sama yaitu 3) X = 7
BENTUK ALJABAR (3) 2. Pertidaksamaan Pertidaksamaan Linier 1 variabel Pertidaksamaan linear satu variabel berarti kalimat terbuka yang memiliki tanda <,>, Pada persamaan linear berlaku ruas kiri dan kanan dapat ditambah, dikurangi, dikali, atau dibagi bilangan yang sama,jika variabel bertanda minus, harus diganti menjadi positif dengan mengali bilangan negatif dan membalikan tanda.
UNSUR-UNSUR ALJABAR 1. Variabel, Konstanta, dan Faktor Variabel : lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas Konstanta : suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel Faktor : bagian dari bentuk yang diuraikan
UNSUR-UNSUR ALJABAR (2) Perhatikan bentuk 12a + 2b + 3c + 8 Variabel : a, b, c Konstanta : 8 Faktor dari 2b => 1, 2, b, 2b 2b = 2. b = 1. 2. b
UNSUR-UNSUR ALJABAR (3) 2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis Suku : variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih Suku Sejenis : suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama (2a dan 3a) Suku Tak Sejenis : suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama ( 2x dan 2x 2 )
UNSUR-UNSUR ALJABAR (4) Suku satu merupakan bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah dan selisih. contoh : 2x, 4y, Suku dua merupakan bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. contoh : 2x-4y, a²-5, Suku tiga merupakan bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. contoh : 2x²+3x-1, 3x+4y-xy,
OPERASI HITUNG ALJABAR 1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada sukusuku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada sukusuku yang sejenis.
OPERASI HITUNG ALJABAR (2) 2. Perkalian Berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a. (b + c) = (a. b) + (a. c) Berlaku sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a. (b c) = (a. b) (a. c)
OPERASI HITUNG ALJABAR (3) 3. Perpangkatan Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama
OPERASI HITUNG ALJABAR (4) 4. Pembagian Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat diperoleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.
OPERASI HITUNG ALJABAR (5) 5. Substitusi pada Bentuk Aljabar Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.
OPERASI HITUNG ALJABAR (6) 6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar Kelipatan Persekutuan terkecil Faktor Persekutuan terbesar Untuk mencari KPK dan FPB diperlukan: Bilangan prima bilangan asli yang hanya mempunyai dua faktor yaitu bilangan itu sendiri dan 1, yaitu {2,3,5,7,11,...}. Faktorisasi prima Menguraikan bilangan menjadi perkalian faktorfaktor prima. Untuk melakukan faktorisasi prima ini diperlukan pohon faktor.
Carilah KPK dan FPB dari 12pq dan 8pq 2 12pq = 2 2 X 3 X p X q 8pq 2 = 2 3 X p X q 2
Carilah KPK dan FPB dari 12pq dan 8pq 2 12pq = 2 2 X 3 X p X q 8pq 2 = 2 3 X p X q 2 KPK = 2 3 X 3 X p X q 2 = 24pq 2 FPB = 2 2 X p X q = 4pq
PECAHAN BENTUK ALJABAR 1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.
PECAHAN BENTUK ALJABAR (2) 2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal a. Penjumlahan dan pengurangan b. Perkalian dan pembagian c. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar
a. Penjumlahan dan pengurangan Hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebutpenyebutnya. Contoh: =
b. Perkalian dan pembagian Perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian bilangan pecahan. Contoh:
c. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar Contoh :
Contoh Soal 1. Nadia mengendarai sepeda motor dengan kecepatan 40 km/jam. Dari tempat yang sama, sejam kemudian Sinta mengenderai sepeda motor ke arah yang sama dengan kecepatan 56 km/jam. Tentukan setelah berapa jam perjalanan Sinta menyalip atau mendahului Nadia.
2. Irwansyah mempunyai selembar seng dengan panjang 80 cm dan lebar 60 cm. Ia ingin mengecilkan seng tersebut dengan memotong panjang dan lebarnya sama besar sehingga luas seng yang diperoleh menjadi setengah luas mulamula. Berapa panjang dan lebar seng yang harus dipotong?
3. Dalam suatu pertandingan harga karcis pada kelas utama dijual Rp 25.000.- per orang, sedangkan kelas ekonomi Rp.10.000,-. Jika banyak karcis yang terjual 860 lembar, dengan pemasukan Rp. 13,4 juta, tentukanlah jumlah penonton kelas utama.
GEOMETRI DAN PENGUKURAN
DEFINISI Geometri adalah bagian matematika yang mempelejari bentuk-bentuk. Abstaksi dalam dunia nyata adalah tiga dimensi panjang, lebar dan tinggi dan secara umum meniadakan kualitas lain seperti warna atau kasar atau halusnya permukaan
GEOMETRI DATAR
K0NSEP DASAR 1. Definisi Ruas Garis Jika titik A dan B pada garis AB, maka ruas AB adalah himpunan yang terdiri dari titik A, titik B dan semua titik yang terletak di antara A dan B.
K0NSEP DASAR 2. Definisi Kesejajaran Dua garis g dan h dikatakan sejajar (g // h) jika kedua garis tersebut tidak mempunyai titik sekutu (titik potong).
K0NSEP DASAR 3. Definisi Aksioma Kesejajaran Melalui sebuah titik P di luar sebuah garis g, ada tepat satu garis h yang sejajar dengan g.
SUDUT Sudut berkaitan dengan besar putaran. Untuk mengukur panjang suatu benda dapat menggunakan penggaris berskala, akan tetapi untuk menghitung sudut, dapat menggunakan busur derajat untuk menghitung sudut ( busur derajat).
1. Sudut Suplemen (Pelurus), maka dikatakan AOC suplemen COB, atau COB suplemen AOC 2. Dua Sudut Kongruen, AOB kongruen dengan CPD (biasanya ditulis sebagai: AOB CPD) 3. Sudut Siku-siku, Sudut siku-siku adalah sudut yang kongruen dengan suplemennya. AOC COB dan AOC suplemen COB, maka AOC dan COB masing-masing merupakan sudut siku-siku
LINGKARAN Lingkaran L, dengan pusat O dan jari-jari r adalah himpunan kedudukan titik-titik P yang berjarak sama dari O, yaitu panjang OP = r.
POLIGON Poligon-n A 1 A 2 A 3 A n, adalah himpunan titik yang terdiri semua titik pada ruas A 1 A 2 A 3... A n 1 A n, yang membatasi suatu daerah cembung. Titik A 1,A 2,..., A n masing-masing disebut titik sudut dan ruas,,, masing-masing disebut sisi dari poligon tersebut. Poligon-n beraturan A 1 A 2 A 3. A n adalah poligon-n yang bersifat A 1 A 2 A 2 A 3 A n-1 A n dan A 1 A 2 A n.
SEGITIGA Segitiga adalah poligon yang memiliki tiga sisi Alas segitiga merupakan sisi dari segitiga tersebut. Tinggi harus tegak lurus dengan alas sekawan dan melalui titik sudut yang berhadapan dengan alas. Dan harus Anda ketahui bahwa jumlah sudutsudut suatu segitiga adalah 180 0.
JENIS-JENIS SEGITIGA a. Jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisisisinya Segitiga Sebarang, adalah segitiga yang semua sisinya tidak sama panjang. Segitiga Sama Kaki, adalah segitiga yang memiliki dua buah sisi yang sama panjang. Segitiga Sama Sisi, adalah segitiga yanng semua sisinya sama panjang. b. Jenis Segitiga Ditinjau dari Besar Sudutsudutnya Segitiga Lancip, adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip. Segitiga Siku-siku, adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku. Segitiga Tumpul, adalah segitiga yang salah satu sudutnya tumpul.
KELILING SEGITIGA Keliling suatu segitiga adalah jumlah keseluruhan panjang sisi yang membentuk segitiga. Jika panjang sisi-sisi segitiga masing-masing adalah a, b, dan c, maka keliling segitiga tersebut adalah: Keliling Segitiga, K = a + b + c LUAS SEGITIGA Luas segitiga = alas tinggi = a t
SEGI EMPAT Segi empat adalah poligon yang memiliki empat sisi. Terdapat pula beberapa segiempat yang memiliki sifat-sifat istimewa, seperti halnya: persegi, persegipanjang, jajargenjang, belahketupat, layanglayang, dan trapesium.
1. Persegi Panjang Keliling : Luas : 2. Persegi Keliling : Luas : 3. Jajaran Genjang Luas :
4. Belah Ketupat Luas : 5. Layang-layang Luas : 6. Trapesium Luas :
GEOMETRI RUANG
KONSEP Ruang dalam arti sempit terbentuk oleh adanya banyak bidang (minimal empat bidang). Kumpulan bidang tersebut terdapat istilah-istilah titik sudut, sisi,dan rusuk
LIMAS Limas adalah bidang banyak yang ditentukan oleh daerah polygon (yang disebut alas)
KERUCUT Kerucut merupakan bentuk limas dengan alasnya berbentuk lingkaran, atau merupakan benda putar dari bidang segitiga. r = jari-jari lingkaran s = panjang garis pelukis (panjang dari alas ke puncak kerucut). t= tinggi kerucut
PRISMA Prisma adalah bidang banyak yang dibentuk oleh dua daerah polygon kongruen yang terletak pada bidang sejajar
TABUNG Tabung merupakan benda ruang yang terbentuk oleh dua buah bidang yang berbentuk lingkaran dan sebuah bidang segiempat
KUBUS Kubus adalah benda ruang yang memiliki enam bidang persegiempat (bujursangkar) yang sama dan sebangun
BALOK Suatu balok terbentuk oleh tiga pasang bidang segiempat
BOLA benda putar dari bidnag yang berbentuk lingkaran
PELUANG, PERMUTASI, KOMBINASI
PERMUTASI Permutasi merupakan penyusunan kumpulan angka/objek dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan Dalam permutasi urutan diperhatikan
Contoh Diberi 5 angka 3,4,5,6, dan 7, buat angka yang terdiri dari 3 digit yang tidak berulang, sekarang berapa banyak bilangan bisa dibuat? Jawab : 5!/ ((5-3)! = 20
Diberi 5 angka 3,4,5,6, dan 7, buat angka yang terdiri dari 3 digit yang tidak berulang, sekarang berapa banyak bilangan > 400 yang bisa dibuat? Jawab: karena bilangannya lebih dari 400 maka kotak pertama bisa diisi dengan 4 angka yaitu 4,5,6, dan 7 karena tidak boleh berulang maka kotak kedua dan ketiga masing-masing bisa diisi 4 angk dan 3 angka jadi totol angka yang lebih dari 400 ada 4 x 4 x 3 = 48 angka
Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu. Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n- 1)!
Contoh 5 anak ingin makan bersama secara melingkar. Berapa cara untuk menyusunnya? Jawab : (5-1)! = 24 = 12
Catatan: untuk obyek sejenis (dianggap sama persis) 5 buah kelereng yang akan disusung melingkar. Berpa cara untuk menyusunnya? Jawab : (5-1)!/2 = 24/2 = 12
KOMBINASI Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya Misal, diminta memilih 3 orang diantara 5 orang yang hadir untuk melakukan wawancara kerja terlebih dahulu?
Contoh Komandan batalyon diminta memilih 3 tentara diantara 5 untuk berangkat ke medan perang tanpa melihat siapa yang akan dikirim. Berapa carakah? Jawab : 5!/ 3!(5-3)! = 10 cara
PELUANG MATEMATIKA 1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin muncul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S. Contoh: Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)! Jawab : S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG} P = {AAG, AGA, GAA}
2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus
Contoh Pada percobaan pelemparan 2 dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan jumlahnya 3! Jawab : S = { 11, 12, 13, 14, 15, 16,...,61} maka n ( S ) = 36 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan jumlahnya 3, maka: A = {12,21} dan n ( A ) = 2 P(A) = 2/36 = 1/13
3. Kisaran Nilai Peluang Matematika Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).
Contoh Pada percobaan pelemparan 2 dadu dilempar sebanyak 49 kali, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan jumlahnya 3! Jawab : S = { 11, 12, 13, 14, 15, 16,...,61} maka n ( S ) = 36 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan jumlahnya 3, maka: A = {12,21} dan n ( A ) = 2 P(A) = 2/36 = 1/13 Frekuensi = 49 * 1/13 = 3