A. GAIS SINGGUNG LINGKAAN. A. ENGETIAN GAIS SINGGUNG LINGKAAN. GAIS SINGGUNG DUA LINGKAAN C. LINGKAAN LUA DAN LINGKAAN DALAM SEGITIGA
ab 7 Sumb e r: w w w.homepages.tesco Garis Singgung Lingkaran Lingkaran mungkin merupakan salah satu bentuk bangun datar yang paling terkenal. Konsep lingkaran yang meliputi unsur-unsur lingkaran, luas lingkaran, dan keliling lingkaran sudah kamu pelajari sejak Sekolah Dasar. anyak benda-benda di sekitarmu yang tanpa kamu sadari sebenarnya menggunakan konsep lingkaran. Misalnya, rantai sepeda, katrol timba, subwoofer, hingga alat-alat musik seperti drum, banjo, dan kerincing. ada bab ini, kamu akan mempelajari salah satu konsep penting tentang lingkaran, yaitu garis singgung lingkaran. A.. C. engertian Garis Singgung Lingkaran Garis Singgung Dua Lingkaran Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga 155 Uji Kompetensi Awal Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut. A Hitunglah panjang AC. H 2. 1. G Dari gambar di samping tentukanlah: F E a. ruas garis yang sejajar, 16 cm b. ruas garis yang D C C berpotongan, 12 cm c. ruas garis yang saling 7 cm A 3. Dari gambar di samping tegak lurus. 60 tentukan: a. keliling lingkaran, b. panjang busur A. engertian Garis Singgung Lingkaran 1. Sifat Garis Singgung Lingkaran A g' g Gambar 7.1 : garis singgung lingkaran yang menyinggung lingkaran di titik A. Gambar 7.1 di samping menunjukkan lingkaran yang berpusat di titik dengan diameter A. Garis g tegak lurus A dan memotong lingkaran di dua titik. Jika g digeser terus menerus ke atas hingga menyentuh titik A maka akan diperoleh garis g' yang menyinggung lingkaran dan tegak lurus A. Garis g' disebut garis singgung dan titik A disebut titik singgung. Uraian di atas menggambarkan definisi dari garis singgung lingkaran yaitu: Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran. Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. erhatikan Gambar 7.2 Gambar 7.2(a) memperlihatkan bahwa garis g menyinggung lingkaran di titik A. Garis g tegak lurus jari-jari A. Dengan kata lain, hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran. ada Gambar 7.2(b), titik terletak di luar lingkaran. Garis l
melalui titik dan menyinggung lingkaran di titik, sehingga garis l tegak lurus jari-jari. Garis m melalui titik dan menyinggung lingkaran di titik, sehingga garis m tegak lurus jari-jari. Dengan demikian, dapat dibuat dua buah garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran. (a) (b) Gambar 7.2 : Memperlihatkan Garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran dan di luar lingkaran. l A g m Gambar 7.2 : Garis singgung melalui satu titik 156 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII 2. Melukis Garis Singgung Sebelum melukis garis singgung lingkaran, pastikan kamu telah memiliki jangka dan penggaris sebagai alat bantu. erhatikan uraian berikut. a. Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran Sebelumnya telah dijelaskan bahwa garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. leh karena itu, melukis garis singgung lingkaran di titik singgung sama saja dengan melukis garis yang tegak lurus terhadap jari-jari. erhatikan langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran melalui satu titik pada lingkaran berikut ini. 1) Langkah 1 uatlah lingkaran dengan pusat dan jari-jari yang diperpanjang hingga titik. 2) Langkah 2 uatlah busur dengan pusat yang memotong ruas dan di titik A dan.
A 3) Langkah 3 uatlah busur dengan pusat A dan sehingga berpotongan di titik C. Ingat, jarijarinya harus sama. C A 4) Langkah 4 Hubungkan titik C dan sehingga membentuk garis C. Garis inilah yang disebut garis singgung g yang melalui titik pada lingkaran dengan pusat. C A g Garis Singgung Lingkaran 157 Ternyata, kita hanya dapat membuat satu buah garis singgung lingkaran di titik. Hal ini membuktikan sifat garis singgung lingkaran pada bagian sebelumnya. b. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran Sekarang, kamu akan melukis garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran. erhatikan langkah-langkah berikut dengan baik. 1) Langkah 1 uatlah sebuah lingkaran dengan pusat. Hubungkan dengan titik T yang terletak di luar lingkaran. T 2) Langkah 2 agilah garis T menjadi dua ruas garis yang sama panjang dengan menempatkan
titik M sebagai titik tengah, sehingga M = MT. M T 3) Langkah 3 uatlah busur lingkaran dengan pusat M dan jari-jari M sehingga memotong lingkaran dengan pusat di titik A dan. A M T 4) Langkah 4 Hubungkan titik A dengan T dan titik dengan T sehingga diperoleh AT dan T, yaitu pasangan garis singgung yang melalui titik T. A M T Ternyata, kamu dapat membuat dua buah garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran. 158 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII 3. anjang Garis Singgung Lingkaran Setelah melukis garis singgung lingkaran, sekarang kamu akan menghitung panjang garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran. erhatikan gambar berikut. A r r C Garis A dan C adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik. anjang A = panjang C = r = jari-jari lingkaran. leh karena garis singgung selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran maka panjang garis singgung A dan C dapat dihitung dengan menggunakan teorema ythagoras. erhatikan Δ A pada. ada ΔA berlaku teorema ythagoras, yaitu: A2 + A2 = 2 A2 = 2 A2 A =
lus + 2 A 2 2 2 A = r ada ΔC juga berlaku teorema ythagoras, yaitu: C2 + C2 = 2 C2 = 2 C2 C = 2 - C 2 C = 2 - r 2 Ternyata, A = C = berikut. r 2 - r 2. Uraian tersebut menggambarkan definisi p erdasarkan teorema ythagoras, pada segitiga siku-siku berlaku: 2 + 2 = 2 atau r2 + p2 = q2 Kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran mempunyai panjang yang sama. Contoh Soal 7.1 erhatikan gambar berikut. Jika diketahui jari-jari lingkaran r = 6 cm dan = 10 cm, tentukan: a. panjang garis singgung A, b. luas ΔA. A r Jawab : a. ada ΔA berlaku teorema ythagoras sehingga A2 = 2 r2 2 2 A = 10-6 = 100-36 = 64 = 8 Jadi, panjang A adalah 8 cm. Garis Singgung Lingkaran 159 1 A A 2 1 6 8 = 2
b. Luas ΔA = = 24 Jadi, luas ΔA adalah 24 cm2 Uji Kompetensi 7.1 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran berikut ini. a. 2. b. erhatikan gambar berikut. 3. 4. c. A Jari-jari lingkaran 6 cm dan panjang garis singgung A 8 cm. Tentukan jarak titik pusat ke titik. Jari-jari lingkaran yang berpusat di titik adalah 2 cm. Titik T terletak di luar lingkaran dan berjarak 7 cm dari pusat lingkaran. Hitunglah panjang garis singgung lingkaran yang melalui titik T. erhatikan gambar berikut. 26 cm 10 cm 5. A Hitung panjang garis singgung A. Sebuah lingkaran yang berpusat di memiliki jarijari r. Jarak titik pusat ke titik yang terletak di luar lingkaran adalah r + 8. Jika panjang garis singgung lingkaran yang melalui titik adalah 12 cm, tentukan panjang jari-jari r dan jarak ke. Garis Singgung Dua Lingkaran Kamu tentu sudah sering melihat sepeda. Apabila kamu amati rantai roda sepeda, tampak bahwa rantai itu melilit dua roda bergerigi yang berbeda ukuran. Dua roda bergerigi tersebut dapat dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai sepeda sebagai garis singgung persekutuan lingkaran. 160 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII Dengan demikian, garis singgung persekutuan dapat diartikan sebagai garis yang tepat
menyinggung dua lingkaran. 1. Kedudukan Dua lingkaran Secara umum, kedudukan dua lingkaran dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis, yaitu dua lingkaran bersinggungan, berpotongan, dan saling lepas. a. Dua Lingkaran ersinggungan erhatikan Gambar 7.3 (a) k l (b) A n A D C m Gambar 7.3 : Dua lingkaran yang bersinggungan Gambar 7.3(a) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di dalam. Untuk kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutan luar, yaitu k dengan titik singgung A. Gambar 7.3(b) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di luar. Dalam kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutuan dalam, yaitu n dan dua garis singgung persekutuan luar, yaitu l dan m. b. Dua Lingkaran erpotongan Dua lingkaran yang berpotongan seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 7.4 mempunyai dua garis singgung persekutuan luar, yaitu r dan s. r A C s D
Gambar 7.4 : Dua lingkaran yang berpotongan. c. Dua Lingkaran Saling Lepas Gambar 7.5 memperlihatkan dua lingkaran yang saling lepas atau terpisah. Dalam kedudukan seperti ini, dapat dibuat dua garis persekutuan luar, yaitu k dan l dan dua garis persekutuan dalam, yaitu m dan n. k l m n A C D Gambar 7.5 : Dua lingkaran yang saling lepas. Garis Singgung Lingkaran 161 2. Garis Singgung ersekutuan Luar a. Melukis Garis Singgung ersekutuan Luar Misalnya terdapat dua lingkaran saling lepas dengan pusat dan serta jarijari dan r. agaimana cara melukis garis singgung persekutuan luar dari lingkaran dan tersebut? elajarilah langkah-langkah berikut. r 1) Langkah 1 uatlah dua lingkaran dengan pusat dan serta jari-jari dan r (r < ). Kemudian, hubungkan kedua titik pusatnya. r lus + Garis yang menghubungkan pusat lingkaran A dan pusat lingkaran, yaitu A disebut garis sentral dari kedua lingkaran tersebut dan merupakan sumbu simetri. 2) Langkah 2 uatlah busur lingkaran sebarang yang berpusat di dan dengan jari-jari yang sama dan panjangnya harus lebih besar dari, sehingga berpotongan di titik M dan N. M r
N 3) Langkah 3 Hubungkan M dan N sehingga memotong di titik T. M r T N 162 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII 4) Langkah 4 Gambar lingkaran yang berpusat di titik T dengan jari-jari T. M r T N 5) Langkah 5 Lukislah busur lingkaran yang berpusat di titik dengan jari-jari r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan. M A T r N 6) Langkah 6 Hubungkan dengan A dan dengan, kemudian perpanjang kedua garis tersebut sehingga memotong lingkaran yang berpusat di pada titik C dan D. M
C A T r D N Garis Singgung Lingkaran 163 7) Langkah 7 Lukislah busur lingkaran dengan pusat di C dan jari-jari A sehingga memotong lingkaran yang berpusat di di titik E. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di D dan jari-jari A sehingga memotong lingkaran yang berpusat di di titik F. C E A r T F D 8) Langkah 8 Langkah terakhir adalah menghubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di dan. C E A r T
F D b. Menghitung anjang Garis Singgung ersekutuan Luar erhatikan gambar berikut ini. A S lus + Jika garis sejajar dipotong oleh sebuah garis lain maka pasangan sudutsudut yang sehadap sama besar 164 l l k r Garis A merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di dan. = A adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di atau lingkaran pertama. r = adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di atau lingkaran kedua. l adalah panjang garis singgung persekutuan luar A. k adalah jarak antara kedua titik pusat dan. S merupakan translasi dari A, sehingga panjang A = panjang S = l. anjang S = A = r. A sejajar S sehingga A = S = 90 (sehadap) Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII Sekarang, perhatikan S. leh karena S = 90 maka kita bisa menggunakan teorema ythagoras untuk mencari panjang S. S siku-siku di S sehingga 2 = S2 + S2 S2 = 2 S2 l2 = k2 ( r) ; > r 2 2 l = k ( r ) Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah: 2 2 l = k ( r ), untuk > r dengan: l = panjang garis singgung persekutuan luar k = jarak kedua titik pusat lingkaran = jarijari lingkaran pertama r = jari-jari lingkaran kedua Contoh Soal 7.2 = l 7 cm
A A 2 cm 13 cm 2 cm 13 cm = 7 cm r = 2 cm k = 13 cm anjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran (l) adalah l = k - ( - r )2 = 132-7 - 2 2 = 132-52 = 169 + 25 k 2 - ( r )2 = 144 = 12 17 2 (25 17 )2 Jawaban: c 17 2-8 2 = = 289 64 = 15 cm Jadi, panjang garis singgung l adalah 15 cm Contoh Soal Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat A dan dengan panjang jari-jari masing-masing 7 cm dan 2 cm. Jika jarak A = 13 cm maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah... a. 5 cm b. 6 cm c. 12 cm d. 15 cm Jawab: Kedua lingkaran pada soal dapat digambarkan sebagai berikut. ada gambar di samping, A adalah 7 cm garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di dan. Hitunglah panjang A. Jawab : Dari gambar diperoleh: jarak kedua titik pusat lingkaran, k = 17 cm, panjang jari-jari lingkaran pertama, = 25 cm, panjang jari-jari lingkaran kedua, r = 17 cm, panjang garis singgung persekutuan luar = l. l = Solusi Matematika Soal UN, 2007 7.3
ada gambar di samping, lingkaran berjari-jari 7 cm dan lingkaran berjari-jari 5 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar A. Jawab : Dari soal diketahui: A = = 7 cm = r = 5 cm Kedua lingkaran bersinggungan di luar sehingga jarak kedua titik pusat lingkaran adalah. A Garis Singgung Lingkaran 165 lus + ada bentuk akar berlaku sifat: a +b = a b ; a 0 dan b 0 = + r = 7 + 5 = 12 cm maka A = = ( )2 ( r )2 12 2 ( 7 5 )2 2 2 = 12 2 = 144 4 = 140 = 2 35 Jadi, panjang garis singgung A adalah 2 35 cm 3. Garis Singgung ersekutuan Dalam a. Melukis Garis Singgung ersekutuan Dalam erhatikan langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran berikut ini. 1) Langkah 1 Lukislah dua lingkaran dengan pusat dan serta jari-jari masingmasing dan r (r < ), kemudian hubungkan kedua titik pusatnya. r 2) Langkah 2 uatlah busur lingkaran yang berpusat di dan dengan jari-jari yang 1 panjangnya sama dan harus lebih besar dari sehingga berpotongan 2 di titik M dan N. M r N 3) Langkah 3 Hubungkan M dan N sehingga memotong di titik T. 166 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII
M r T N 4) Langkah 4 Lukislah lingkaran yang berpusat di T dengan jari-jari T. M T N 5) Langkah 5 Lukislah busur lingkaran yang berpusat di dan berjari-jari + r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan. A T 6) Langkah 6 Hubungkan titik pusat dengan A dan dengan sehingga memotong lingkaran dengan pusat di titik C dan D. Garis Singgung Lingkaran 167 A C D 7) Langkah 7 Lukislah busur lingkaran dari C dengan jari-jari A sehingga memotong lingkaran yang berpusat di pada titik E. Lukislah busur lingkaran dari D dengan jari-jari A sehingga memotong lingkaran yang berpusat di pada titik F. A C F
E D 8) Langkah 8 Terakhir, hubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di dan. C Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII T D 168 F E b. Menghitung anjang Garis Singgung ersekutuan Dalam erhatikan gambar berikut ini. S d A d k r Garis A merupakan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di dan di. = A adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di atau lingkaran pertama dan r = adalah jarijari lingkaran yang berpusat di atau lingkaran kedua. S = AS + A = + A = r + = + r. d adalah panjang garis singgung persekutuan dalam A. k adalah jarak antara kedua titik pusat dan. S merupakan translasi dari A, sehingga S sejajar A dan panjang S = panjang A = d. leh karena S sejajar A maka S = A = 90. Sekarang perhatikan ΔS. leh karena ΔS merupakan segitiga siku-siku dengan S = 90 maka kita bisa menggunakan teorema ythagoras untuk mencari panjang S. 2 = S2 + S2 S2 = 2 S2 d2 = k2 ( + r)2 2 2 d = k - ( + r ) Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah Tugas 7.1 ernahkah kamu melihat gerhana bulan? Tahukah kamu saat terjadi gerhana bulan, posisi antara Matahari dan umi ini membentuk dua garis singgung persekutuan. Sekarang, carilah informasi (gambar) mengenai kedudukan Matahari dan bumi saat terjadi gerhana bulan. Kemudian, coba kamu hitung panjang garis singgung persekutuan itu
2 2 d = k - ( + r ) dengan: d = panjang garis singgung persekutuan dalam k = jarak kedua titik pusat lingkaran = jari-jari lingkaran pertama r = jari-jari lingkaran kedua Contoh Soal 7.4 Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 14 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut jika jarak antara kedua titik pusatnya adalah 30 cm. Garis Singgung Lingkaran 169 Jawab : Soal tersebut dapat disajikan dalam gambar berikut. roblematika A 2r 14 cm r Hitunglah keliling dan luas persegipanjang jika diketahui panjang garis singgung persekutuan luar A = 3 2 cm. 30 cm Diketahui k = 30 cm = 14 cm r = 4 cm sehingga d = Solusi Matematika A 4 cm k 2 ( + r )2 = 30 2 (14 + 4 )2 = 30 2 18 2 =
900 324 = 576 = 24 Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 24 cm anjang = 20 cm, A = 25 cm, dan A = 9 cm. erbandingan luas lingkaran yang berpusat di A dengan luas lingkaran yang berpusat di adalah... a. 3 : 2 b. 5 : 3 c. 9 : 4 d. 9 : 7 Jawab: = A 2 - A + 2 2 = A - A + 2 2 20 = 25-9 + ) 2 2 2 400 = 625-9 + )2 9 + = 6 2 = 15 LA : L pra2 : pr2 p92 : p62 Contoh Soal 7.5 anjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 3 cm, tentukan panjang jarijari lingkaran yang lain. Jawab : anjang garis singgung persekutuan dalam adalah 15 cm maka d = 15 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 17 cm maka k = 17 cm. anjang jari-jari () salah satu lingkaran adalah 3 cm maka = 3 cm. d = k 2 ( + r )2 15 = 17 2 ( 3 + r )2 152 = 172 (3 + r)2 225 = 289 (3 + r)2 (3 + r)2 = 289 225 (3 + r)2 = 64 3+r =8 r =8 3 r =5 Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 5 cm 81p : 36p 9:4 Jawaban: c Soal UAN, 2003 4. anjang Sabuk Lilitan Minimal yang menghubungkan Dua Lingkaran
ernahkah kamu mengganti rantai roda sepedamu? agaimana kamu menentukan agar panjang rantai yang diperlukan tidak terlalu panjang atau terlalu pendek? 170 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII Jika kamu perhatikan, dua roda gigi sepeda biasa dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai yang melilitnya sebagai garis singgung persekutuan luar. erhatikan gambar berikut ini. r A S α T 360 α D C Jika α menyatakan besar sudut yang menghadap busur ASC maka besar sudut yang menghadap busur TD adalah 360 α. Kenapa demikian? Tahukah kamu alasannya? erdasarkan uraian di atas, dapat dihitung panjang sabuk lilitan minimal untuk menghubungkan dua lingkaran. leh karena A = CD maka ( ( anjang sabuk lilitan minimal = 2A + ASC + TD ( )2 ( r )2 a ASC = 2 360 360 a TD = 2 r 360 Dengan, A = roblematika ( Gambar berikut ini adalah penampang sepuluh buah paralon yang akan diikat dengan menggunakan tali. erapakah panjang tali terpendek agar dapat mengikat paralonparalon itu jika diameter paralon 21 cm? ( Contoh Soal 7.6
( ( Dua buah pipa air dengan jari-jari yang sama, yaitu 21 cm akan diikat menggunakan seutas kawat. erapa panjang kawat minimal yang dibutuhkan? A Jawab : Jari-jari = 21 cm sehingga = r = 21 cm = S = A dan S = S maka panjang kawat minimal untuk mengikat dua pipa air, misalkan x, adalah x = 2A + 2 S 180 22 2 21 = 2 (21 + 21) + 2 7 360 1 = 2 42 + 2 2 22 3 2 = 84 + 132 = 216 Jadi, panjang kawat terpendek yang diperlukan adalah 216 cm ( Garis Singgung Lingkaran 171 Contoh Soal 7.7 ( ( ( Gambar di samping menunjukkan penampang 3 buah paralon yang terikat rapat oleh seutas tali. Jika ketiga paralon tersebut memiliki ukuran jarijari yang sama, yaitu 14 cm, hitunglah panjang tali pengikatnya. Jawab : Jari-jari = r = 14 cm. = S = TU = MN = N = M = 2r = 2 14 = 28 cm ΔMN sama sisi, sehingga MN = MN MN = 60 N = ST = MU = 360 ( MN + MN + N) = 360 (90 + 60 + 90 ) A = 360 240 = 120 120 = ST = U = 2p r 360 22 1 88 = 2 14 = cm U 7 3 3 M sehingga x = panjang tali pengikat paralon = + S + TU + + ST + U = 3 + 3 60 88 = 3 28 + 3 N 3 = 84 + 88 = 172 Jadi, panjang tali pengikat S paralon tersebut adalah 172 cm ( ( ( (
T C Uji Kompetensi 7.2 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Lukislah garis singgung persekutuan luar dan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran berikut ini. a. erhatikan gambar berikut ini. S A α b. c. 172 2. Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII ß erdasarkan pengamatanmu, jawablah benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut. a. A sejajar b. panjang = panjang S S c. d. A adalah sumbu simetri bangun tersebut e. α = ß 3. erhatikan gambar berikut ini. 6. erhatikan gambar berikut. C D A 2r
4r M 4. 5. anjang A = 25 cm, AD = 4 cm, dan C = 11 cm. erapakah panjang CD? Dua lingkaran masingmasing berjari-jari 8 cm dan 7 cm. Jarak terdekat kedua sisi lingkaran adalah 10 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran tersebut. Dua lingkaran masing-masing berpusat di titik dan dengan panjang jari-jari 10 cm dan 6 cm. Jika jarak kedua titik pusat lingkaran adalah 34 cm, tentukan panjang garis singgung A. A 5r r N 7. anjang M = 2r, = 4r, dan MN = 5r. Jika r = 2 cm, tentukan jarak antara kedua titik pusat lingkaran dan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut. Tiga buah pipa paralon, akan diikat seperti tampak pada gambar di bawah. Jika jari-jari ketiga paralon tersebut sama, yaitu 10 cm, tentukan panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat paralon tersebut. C. Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga ada subbab terakhir ini, kamu akan mempelajari tentang lingkaran yang dikaitkan dengan segitiga, yaitu lingkaran luar dan lingkaran dalam suatu segitiga. C 1. Lingkaran Luar Segitiga a. engertian Lingkaran Luar Segitiga Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.
Gambar di samping menunjukkan lingkaran luar ΔAC dengan pusat. A = = C adalah jarijari lingkaran dan = = adalah garis sumbu sisi-sisi segitiga. A b. Melukis Lingkaran Luar Segitiga Telah disebutkan sebelumnya bahwa titik pusat lingkaran luar suatu segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisinya. leh karena itu, untuk dapat melukis lingkaran luar segitiga, kamu harus melukis dulu garis sumbu ketiga sisi segitiga tersebut. erhatikan langkah-langkah berikut. 1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalnya Δ. Kemudian, lukislah garis sumbu. 2) Lukislah garis sumbu sehingga memotong garis sumbu di titik. Garis Singgung Lingkaran 173 3) Hubungkan dan. 4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari dan berpusat di. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar Δ. (1) (2) (3) (4)
2. Lingkaran Dalam Segitiga a. engertian Lingkaran Dalam Segitiga Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang berada di dalam segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga tersebut. Titik pusat lingkaran merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga. Gambar berikut menunjukkan lingkaran dalam ΔAC dengan pusat. Diketahui = = adalah jari-jari lingkaran. Adapun AD, E, dan EF adalah garis bagi sudut segitiga. C E D A 174 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII F b. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga Jika titik pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga tersebut maka hal pertama yang harus kamu lakukan adalah menentukan titik pusatnya. Kamu tentu masih ingat bagaimana cara melukis garis bagi sudut segitiga, bukan? Materi tersebut telah kalian pelajari di Kelas VII. Agar lebih jelas, perhatikan langkah-langkah melukis lingkaran dalam segitiga, sebagai berikut. 1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalkan Δ. Kemudian, lukislah garis bagi. 2) Lukislah garis bagi sehingga memotong garis bagi di titik. 3) Jari-jari diperoleh dengan cara menarik garis tegak lurus dari titik ke salah satu sisi segitiga. Misalnya A, tegak lurus. 4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari A dan berpusat di titik. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam Δ. (1) (2) lus + Garis bagi segitiga adalah garis yang membagi setiap sudut pada segitiga menjadi dua sudut yang sama besar.
(3) (4) A A Garis Singgung Lingkaran 175 Uji Kompetensi 7.3 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Lukislah lingkaran luar dan lingkaran dalam segitigasegitiga berikut ini. a. 2. Lukislah lingkaran yang melalui titik-titik berikut ini. a. C A b. b.
c. N M c. d. d. K M 176 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII L angkuman 1. Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik yang disebut titik singgung lingkaran. 2. Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. 3. Dari satu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung. 4. Dari satu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung lingkaran. 5. Garis singgung persekutuan adalah garis yang tepat menyinggung dua lingkaran. 6. Dari dua lingkaran yang saling lepas dapat dibuat dua garis singgung persekutuan luar dan dua garis singgung persekutuan dalam. 7. anjang garis singgung persekutuan luar (l) dan garis singgung persekutuan dalam (d) dapat dicari dengan: l = k 2 ( + r )2 d = k 2 ( + r )2 di mana: l = panjang garis singgung persekutuan luar d = panjang garis singgung persekutuan dalam k = jarak kedua titik pusat lingkaran = jari-jari lingkaran pertama r = jari-jari lingkaran kedua 8. Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga. 9. Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang berada di dalam segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga. ada bab Garis Singgung Lingkaran ini, menurutmu bagian mana yang paling menarik untuk
dipelajari? Setelah mempelajari bab ini, apakah kamu merasa kesulitan memahami materi tertentu? Materi apakah itu? Kesan apakah yang kamu dapatkan setelah mempelajari materi bab ini? Garis Singgung Lingkaran 177 eta Konsep Lingkaran mempelajari tentang Garis Singgung Lingkaran Hubungan Lingkaran dengan Segitiga terdiri atas engertian dan Sifat Garis Singgung Garis Singgung ersekutuan Garis Singgung ersekutuan Luar Garis Singgung ersekutuan Dalam rumus l= 178 k 2 ( r )2 Lingkaran Luar Segitiga rumus d= Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII k 2 - ( + r )2 Lingkaran Dalam Segitiga Melukis Lingkaran Luar dan Dalam Segitiga Uji Kompetensi ab 7 A. ilihlah satu jawaban yang benar. 1. Garis di bawah ini yang merupakan garis singgung lingkaran adalah... a. 4. erhatikan gambar berikut A
b. C 5. c. Jika panjang A = 2 cm dan panjang = 7 cm maka luas bidang AC adalah... c. 6 5 cm2 a. 4 5 cm2 b. 5 5 cm2 d. 7 5 cm2 erhatikan gambar berikut ini. A M N S d. 2. erhatikan gambar berikut. 10 cm 3. 24 cm anjang adalah... a. 16 cm b. 26 cm c. 34 cm d. 36 cm A ada gambar, panjang jari-jari A = 10 cm dan jarak = 26 cm. Luas ΔA adalah... a. 120 cm2 b. 140 cm2 c. 160 cm2 d. 180 cm2 6. Dua lingkaran bersinggungan seperti tampak pada gambar. anjang A = 15 cm, panjang = 10 cm, dan MN = 30 cm. erbandingan N dan N adalah... a. 3 15 : 2 15 : 3 2 b. 2 : 3 15 c. d. 3 2 : 15 erhatikan gambar berikut Kedua lingkaran pada gambar di atas memiliki... a. satu garis singgung persekutuan luar dan satu garis singgung persekutuan dalam b. satu garis singgung persekutuan luar dan dua garis singgung persekutuan dalam c. dua garis singgung persekutuan luar dan satu garis singgung persekutuan dalam d. dua garis singgung persekutuan luar dan dua garis singgung persekutuan dalam Garis Singgung Lingkaran
179 7. 11. erhatikan gambar berikut ini. A D ada gambar tersebut, panjang jari-jari AD = 8 cm, panjang jari-jari C = 3 cm, dan jarak A = 13 cm. Luas trapesium ACD adalah... a. 46 cm2 b. 56 cm2 c. 66 cm2 d. 76 cm2 8. anjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 2 cm dan 10 cm. anjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 15 cm. Jarak kedua titik pusat lingkaran adalah... a. 13 cm b. 17 cm c. 23 cm d. 17 cm 9. erhatikan gambar berikut ini. Dua lingkaran berpotongan di A dan. Masingmasing lingkaran berjari-jari 6 cm dan 8 cm. Jika panjang A = 4 cm maka panjang garis singgung ST adalah... a. 3 5 b. 4 5 c. 3 6 d. 4 6 A T F D C S anjang A = 4 cm, panjang = panjang S = 2 cm. anjang garis singgung persekutuan dalam A adalah... a. 2 7 b. 3 7 c. 4 7 d. 5 7 12. erhatikan gambar di bawah ini. C 3,5 cm D A 8 cm E 1,5 cm
anjang AD = 3,5 cm, panjang E = 1,5 cm, dan jarak A = 8 cm. Luas ΔAC adalah... a. 5 39 1 b. 39 2 5 39 c. 2 3 39 d. 2 13. erhatikan gambar berikut. 11 cm A Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII 20 cm E ada gambar di atas, D merupakan titik singgung. anjang A = 10 cm, E = 6 cm, dan C = 10 cm. anjang CD dan AC masing-masing adalah... a. 6 cm dan 41 cm b. 8 cm dan 2 41 cm c. 10 cm dan 3 41 cm d. 12 cm dan 4 41 cm 180 A S 10. C A 5 cm anjang garis singgung persekutuan dalam adalah... a. 12 cm b. 14 cm c. 16 cm d. 18 cm 14. Dua lingkaran berjari-jari 15 cm dan 9 cm. Jarak terdekat kedua sisi lingkaran tersebut adalah 16 cm. anjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah... a. 32 cm b. 34 cm c. 36 cm d. 38 cm 15. erbandingan jari-jari dua lingkaran adalah 1 : 2. anjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah 12 cm dan jarak antara kedua pusatnya 15 cm. anjang jari-jari masingmasing lingkaran adalah... a. 2 cm dan 4 cm b. 3 cm dan 6 cm c. 4 cm dan 8 cm d. 5 cm dan 10 cm 16. Diketahui dua lingkaran yang masing-masing berjari-jari r dan r + 1. anjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran tersebut adalah 3r. Jika jarak kedua titik pusat lingkaran
adalah 15 cm maka panjang r adalah... a. 3 cm b. 4 cm c. 5 cm d. 6 cm 17. Gambar berikut merupakan penampang lintasan lari di sebuah gelanggang olahraga. ihak pengelola berencana untuk memasang pagar di sekeliling lintasan. Jika ongkos untuk memasang pagar adalah p140.000,00 per meter maka jumlah uang minimal yang harus disediakan adalah... 19. Gambar di bawah ini adalah penampang 10 buah gelas berbentuk tabung dengan jari-jari 10 cm. anjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat gelas-gelas tersebut dengan susunan seperti dalam gambar adalah... a. 261,8 cm b. 262,8 cm c. 261,6 cm d. 262,6 cm 20. Lingkaran luar segitiga diperlihatkan oleh gambar... a. b. 140 m 100 m a. p81.200.000,00 b. p82.200.000,00 c. p83.200.000,00 d. p84.200.000,00 18. Gambar berikut ini adalah penampang 6 buah kaleng cat yang berbentuk tabung dan berjarijari 14 cm. anjang tali terpendek yang dibutuhkan untuk mengikat keenam kaleng cat tersebut adalah... c. d.. Kerjakanlah soal-soal berikut 1. 2. a. b. c. d. 256 cm 258 cm 260 cm 262 cm anjang jari-jari dua lingkaran adalah 20 cm dan 10 cm. Jarak antara kedua pusat lingkaran itu 50 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar dan garis singgung persekutuan dalamnya. Dua lingkaran yang berpusat di dan terpisah sejauh 25 cm. anjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran tersebut 34 cm. Jika diketahui jari-jari lingkaran dengan pusat adalah 4 cm, hitunglah jari-jari lingkaran dengan pusat. Garis Singgung Lingkaran 181 3. erhatikan gambar berikut. A r
anjang = 24 cm, A = 30 cm dan A = 10 cm. Hitunglah perbandingan luas lingkaran yang berpusat di A dengan luas lingkaran yang berpusat di. 4. Lima buah pipa disusun seperti gambar berikut. Jika diameter pipa itu 20 cm, berapakah panjang tali minimal untuk mengikat lima pipa itu. 182 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII 5. Lukislah lingkaran dalam dan lingkaran luar dari sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 5 cm.