Judul : Syarat Cukup Prime Near-Ring Merupakan Ring Komutatif Nama : Pradita Zuhriahida Triwulandari Pembimbing : 1. Kartika Sari, S.Si., M.Sc. 2. Luh Putu Ida Harini, S.Si., M.Sc. ABSTRAK Near-ring merupakan generalisasi dari ring. Seiring dengan berkembangnya penelitian mengenai near-ring, penelitian mengenai prime near-ring turut dikembangkan oleh sejumlah peneliti, salah satunya adalah penelitian mengenai derivasi pada prime near-ring. Artikel ini bertujuan untuk mengkaji syarat cukup bagi prime near-ring merupakan ring komutatif dengan melibatkan derivasi pada ideal semigrupnya. Metode yang digunakan adalah dengan mengkaji beberapa literatur terkait. Hasil yang diperoleh adalah prime near-ring merupakan ring komutatif apabila derivasi tak nol pada memenuhi (i), (ii), (iii), (iv), (v), atau (vi), untuk setiap, dengan ideal semigrup tak nol dari. Kata kunci: derivasi, ideal semigrup, prime near-ring, ring komutatif v
Tittle Name Supervisor : Sufficient Condition Prime Near-Rings are Commutative Rings : Pradita Zuhriahida Triwulandari : 1. Kartika Sari, S.Si, M.Sc. 2. Luh Putu Ida Harini, S.Si, M.Sc. ABSTRACT Near-rings are generalized rings. A research on near-ring is continous included a research about prime near-rings and one of them is a research about derivation on prime near-rings. This article will reviewing about sufficient conditions for prime near-rings are commutative rings with derivation on their nonzero semigroup ideal and with literature review technique. The result is prime nearrings are commutative rings if a nonzero derivation d on N hold one of this following conditions: (i), (ii), iii), (iv), (v), (vi), for all, with is nonzero semigroup ideal from. Keywords: commutative ring, derivative, ideal semigroup, prime near-ring vi
DAFTAR ISI LEMBAR JUDUL... i LEMBAR PERSEMBAHAN... ii LEMBAR PERNYATAAN... iii LEMBAR PENGESAHAN... iv ABSTRAK... v ABSTRACT... vi KATA PENGANTAR... vii BIODATA ALUMNI... ix DAFTAR ISI... x DAFTAR ISTILAH... xii BAB I PENDAHULUAN... 1 1.1 Latar Belakang... 1 1.2 Rumusan Masalah... 3 1.3 Batasan Masalah... 3 1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian... 3 BAB II KAJIAN PUSTAKA... 5 2.1 Grup... 5 2.2 Ring... 10 2.3 Near-Ring... 12 BAB III METODE PENELITIAN... 22 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN... 23 BAB V SIMPULAN DAN SARAN... 78 5.1 Simpulan... 78 x
5.2 Saran... 78 DAFTAR PUSTAKA... 79 xi
DAFTAR ISTILAH LAMBANG ARTI Akhir suatu bukti A himpunan bagian dari B tetapi A B elemen (anggota) himpunan A Semua dengan syarat benar Himpunan semua bilangan kompleks Himpunan semua bilangan rasional Himpunan semua bilangan real Himpunan semua bilangan bulat Himpunan semua bilangan bulat positif Derivasi yang berlaku pada elemen-elemen Himpunan semua matriks berukuran 2x2 atas bilangan real dengan determinan tidak sama dengan nol Multiplicative center dari near-ring xii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aljabar abstrak atau lebih sering dikenal dengan aljabar modern adalah salah satu cabang ilmu aljabar yang mempelajari struktur aljabar, seperti grup, ring atau gelanggang, lapangan atau field, dan modul. Ilmu aljabar abstrak berkembang pesat karena penerapan dari bentuk-bentuk aljabar tersebut banyak bermanfaat dalam ilmu lain, seperti bidang fisika, kimia, biologi, dan ilmu komputer. Suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua operasi biner dan, ditulis dinamakan ring atau gelanggang, yang selanjutnya akan disebut ring saja, apabila himpunan dilengkapi dengan operasi yaitu merupakan grup abelian, himpunan dilengkapi dengan operasi yaitu merupakan semigrup, dan memenuhi sifat distributif kanan dan kiri operasi terhadap operasi. Near-ring merupakan generalisasi dari ring. Perbedaannya adalah pada near-ring, himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi pertama yaitu haruslah berupa grup akan tetapi tidak harus grup abelian serta memenuhi salah satu sifat distributif kanan atau kiri (Pilz, 1983). Konsep near-ring dapat diterapkan pada beberapa bidang, antara lain dalam bidang komputasi, yaitu dalam teori kriptografi dan teori pengkodean serta pada bidang statistika, yaitu balanced incomplete block design atau yang lebih sering dikenal dengan rancangan acak kelompok tak lengkap seimbang. 1
2 Pada lapangan atau field bilangan real, dikenal istilah derivasi, yaitu suatu pemetaan dari lapangan ke yang memenuhi, untuk setiap. Derivasi juga bisa dikenakan pada ring. Penelitian mengenai ring dengan derivasinya bukanlah suatu penelitian yang baru karena penelitian tersebut telah berlangsung sejak 50 tahun yang lalu (Ashraf, et al., 2006). Ashraf (2006) membahas tentang berbagai macam derivasi pada ring serta memberikan beberapa contoh aplikasi derivasi pada ring seperti pada perkembangan teori klasik Galois dan teori invarian, serta beberapa teori pada analisis fungsional. Penelitian mengenai derivasi pada near-ring juga telah banyak dilakukan, antara lain Bell (1987) yang membahas tentang beberapa syarat cukup near-ring merupakan ring komutatif. Selanjutnya, pada penelitiannya yang lain, Bell (1992) meneliti tentang dua jenis derivasi, yaitu derivasi yang mengawetkan sifat komutatif pada ring maupun near-ring dan derivasi Daif. Lebih lanjut lagi, penelitian mengenai generalisasi pada salah satu jenis derivasi, yaitu -derivasi pada near-ring yang melibatkan semigrup idealnya dilakukan oleh Ashraf (2015). Seiring dengan berkembangnya penelitian mengenai near-ring, penelitian mengenai prime near-ring juga turut dikembangkan oleh sejumlah peneliti. Prime near-ring merupakan salah satu jenis near-ring yang memenuhi kondisi apabila untuk setiap berlaku maka mengakibatkan atau, dengan adalah near-ring (Boua, 2012). Wang (1994) meneliti tentang dua jenis derivasi yang dioperasikan bersama-sama pada sebuah prime near-ring. Selanjutnya, Boua (2012) membahas mengenai syarat cukup yang mengakibatkan
3 prime near-ring merupakan ring komutatif dengan melibatkan derivasi pada ideal semigrupnya dan menghasilkan beberapa teorema. Pada artikel Boua (2012), proses pembuktian teorema yang dihasilkan tidak dijelaskan secara detil. Selain itu, contoh yang disajikan hanya contoh penguat bahwa teorema tidak berlaku apabila near-ring bukanlah prime near-ring. Oleh sebab itu, penelitian ini akan mengkaji lebih mendalam mengenai beberapa syarat cukup suatu prime near-ring merupakan suatu ring komutatif dengan melengkapi bukti-bukti yang telah disajikan Boua (2012) serta memberikan contoh-contoh. 1.2 Rumusan Masalah Masalah utama yang akan dibahas pada penelitian ini adalah apakah syarat cukup suatu prime near-ring merupakan ring komutatif dengan melibatkan derivasi pada ideal semigrupnya. 1.3 Batasan Masalah Pada penelitian ini, pembahasan mengenai prime near-ring hanya pada ring yang berkaitan dengan teorema yang telah dihasilkan oleh Boua (2012). Selain itu, derivasi yang diaplikasikan adalah derivasi tunggal sesuai definisi. 1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah yang dikemukakan pada bagian terdahulu, maka secara umum tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui syarat cukup bagi suatu prime near-ring merupakan ring komutatif dengan melibatkan derivasi pada ideal semigrupnya.
4 Manfaat yang dapat diperoleh setelah penelitian ini dilakukan adalah mendapatkan gambaran mengenai syarat cukup yang diperlukan suatu prime near-ring merupakan suatu ring komutatif dalam hubungannya dengan derivasi pada ideal semigrupnya.