DIKTAT BAHAN KULIAH MATEMATIKA LANJUT

DIKTAT BAHAN KULIAH MATEMATIKA LANJUT IP 66 BOBOT (-) EMETER II OLEH OHANNE NIP. 97986 JURUAN TEKNIK IPIL FAKULTA TEKNIK UNIVERITA LAMPUNG AGUTU

KATA PENGANTAR Mtemtik Lnjt lh lnjtn ri mt klih Mtemtik. Mt klih Ini jg msih merpkn ilm sr lm ing keteknik-sipiln. Bnyk permslhn teknik sipil yng leih rmit pt itsi engn penektn mtemtik lnjt ini. Oleh kren it pengsn ing ilm ini jg sngt penting gi mhsisw teknik sipil. Diktt ini issn sesi engn kriklm gi mhsisw Teknik ipil Fklts Teknik Universits Lmpng ntk memhkn pemhmn lm perklihn, wlpn tik mentp kemngkinn ipergnkn jg oleh pr lmni t teknisi yng erkepentingn engn mslh mtemtik. Diktt ini erisi penjelsn singkt mengeni konsep mtemtik lnjt iserti tntnn prktis lm ontoh-ontoh perhitngn. Rmsrms yng itmpilkn tik irikn penjrnny ser rini nmn hny ihs penggnnny sj. Oleh kren it, jik ingin mempeljri Mtemtik Lnjt leih menlm, injrkn mempeljri k teks linny. Terim ksih penlis smpikn kep pr rekn osen n mhsisw yng memeri srn n kritik emi penyemprnn k ini. emog iktt ini ermnft. Bnrlmpng, 6 eptemer Penlis, ohnnes i

JUDUL DAFTAR II Hlmn Kt Pengntr i B I Integrl Tk Tent.. Pengertin Integrl.. Integrl Prsil.. Integrl Fngsi Rsionl.. Integrl Fngsi Trigonometri 6.. Integrl engn stitsi Trigonometri 7.6. Integrl engn stitsi Khss 9 Tgs Mniri B I BAB II Integrl Tertent. Pengertin Integrl Tertent. Perhitngn Ls. Volme Ben Ptr 6. Metoe Ckrm 6. Metoe Klit 8. Pnjng Bsr Krv Dtr 9. Ls Permkn Ben Ptr Tgs Mniri B II BAB III Integrl Lipt. Integrl Lipt D. Ls Derh Terttp 6. Integrl Lipt D Dlm Koorint Kt 7. Integrl Lipt D P Rng D 8. Integrl Lipt Tig 9 Tgs Mniri B III mer Pstk...... ii

BAB I INTEGRAL TAK TENTU. Pengertin Integrl Anti-erivtif Jik F() lh fngsi engn trnnny F () f() p intervl tertent ri sm, mk ntierivtif t iset segi integrl tk tent ri f() ierikn oleh persmn: f() F() + C engn C lh konstnt semrng yng iset jg konstnt integrl. Ji nti-erivtif t nti-iferensil lh proses menemkn nti-trnn ri st fngsi. Integrl tk tent ri st fngsi ersift tik nik. Rms sr integrl Kren integrl lh opersi kelikn ri iferensil, mk rms integrl pt iperoleh ri rms iferensil. Berikt lh rms sr integrl imn, n v merpkn fngsi, lh ilngn konstnt n C lh konstnt integrsi. Rms Dsr Integrl. Fngsi Aljr. + C. ( + v) + v., konstn. + + + C,. ln + C 6. + C, > n ln 7. e e + C Contoh: Hitnglh integrl erikt. Jw : + C. ( + ) Jw : ( + ) + + + C. ( + ) Jw : ( + ) ( + ) ( + + C 6 + + C. Jw :. Jw : ln + C + + + C + C 6. 6 Jw : 6 6 + C ln6 7. e Jw : e e + C

8. ( ) Jw : ( ) ( ( / / ) / / / / + C / / + C 9. ( + ) Jw : misl +, mk ( + ) + C ( + ) + C. 8 ( + ) Jw : misl +, mk t / 8 ( + ) 8 / + C 8 8 ( + C ( + ) ) - + C. Fngsi Trigonometri. sin os + C. os sin + C. tn ln os + C. ot ln sin + C. se ln se + tn + C 6. s ln s ot + C 7. se tn + C 8. s ot + C 9. se tn se + C. s ot s + C Contoh: Hitnglh integrl erikt. sin Jw : sin os + C. os Jw : os sin + C. sin Jw : misl mk trnnny t ½ Ji sin sin ½ ½ sin ½ os + C ½ os + C. Bktikn hw tn ln os + C sin Jw : tn os misl: os, trnnny sin sin Ji ln + C ln os + C os. Bktikn hw se ln se + tn + C Jw : se Misl + sin os os os mk os os ( + sin )( sin ) os os os + sin + sin os + sin + os (Terkti) sin + sin os os + sin + sin os

Ji se + sin os os + sin ln + C ln + sin os + C ln os sin + + C ln se + tn + C (terkti) os 6. Bktikn hw se tn + C Jw : misl tn sin os mk Ji se + C tn + C 7. Bktikn hw se tn se + C os + sin os (Terkti) os se sin sin Jw : se tn os os os Misl os mk sin t sin Ji se tn sin os os 8. Fngsi Dlm Bentk Pehn t Akr + C + C se + C (terkti). r sin + C. + r tn + C. r se + C.. ln + C + + ln + C 6. + ln ( + + ) + C 7. ln + + C 8. + rsin + C 9. + + + ln + + + C. ln + + C

Contoh: Bktikn hsil integrl erikt. r sin + C Jw : misl sin mk os sin mk r sin sin ( sin ) os os os os + C r sin + C (terkti). Integrl Prsil Jik n v merpkn fngsi yng pt itrnkn terhp, mk (v) v + v v (v) v v v v lh rms integrl prsil Contoh: Hitng integrl erikt. ln Jw : misl ln mk n v mk v v v v ln ln.. ln ln + C. sin Jw : misl mk n v sin mk v os sin ( os ) os os + sin + C. Integrl Fngsi Rsionl Fngsi polinomil lm lh fngsi engn entk n n n + + +... + n + n engn sem kontnt n, n n ilngn sli termsk nol. Fngsi H iset fngsi rsionl jik H() P() Q() imn P() n Q() lh polinomil. Jik erjt P() leih renh rip erjt Q(), mk H() iset rsionl sejti. Jik erjt P() leih tinggi rip erjt Q(), mk H() iset rsionl tik sejti.. Rsionl ejti Untk mengintegrsikn fngsi rsionl sejti, mk entk P() Q() hrs ih menji jmlh ri gin yng leih seerhn. Penyet ih engn mengrikn/memfktorissi Q() lm hsil kli fktor linier t krtis.

KAU : Hsil pemfktorn Q() semny pt it linier n tk erlng, t Q() ( ) ( ).... ( n ) mk it menji P() Q() A + ( ) B +... + ( ) N ( n ) KAU : Fktor Q() sem linier tpi yng erlng Q() ( + ) ( + ).... ( + ) n P() Q() A + ( + ) B ( + ) +... + mk it menji N ( + ) n KAU : Fktor Q() yng linier n krtis, imn fktor krtis tik erlng. etip fktor krtis + + p penyet yng tik pt iringks, ientk menji A + B + + engn A n B konstnt yng hrs itentkn. Contoh : Hitng integrl fngsi erikt. Jw: Uhlh fngsi terset menji pehn terpish: ( A B + + )(( + ) C + Crilh nili konstnt A, B, n C engn pemehn erikt A ( ) ( + ) + B ( + ) + C ( ) A A A + B + B + C C (A + B + C) + ( A + B C) A + elesikn persmn erikt. A + B + C. A + B C iperoleh A, B, C, sehingg 6. A A( )( + ) + B( + ) + C( ) ( )(( + ) ( + 6( ) ) ( + ) ln + ln ln + + ln C 6 6 ( ln + ln ln + + ln C ) 6 ln 6 C ( ) ( + ). ( ) Jw : Uhlh menji pehn terpish. ttn: Untk penyet engn fktor erpngkt n it n pehn engn pngkt n, n -, n setersny,

( ) B C + + A ( ) + D ( ) + E ( ) A( ) + B( ) + C + D ( ) + E ( ) ( ) ( ) A( ) + B( ) + C + D ( ) + E ( ) ( ) A( ) + B ( ) + C + D ( ) + E ( ) Mk A( 6 + 8) + B( 6 + 8) + C + D D + E ( + ) A 6A + A 8A + B 6B + B 8B + C + D D + E E + E (B + E) + (A 6B + D E) + ( 6A + B + C D + E) + (A 8B) 8A + + + 8A. B + E iperoleh:. A 6B + D E A 8, B 6, C 7. 6A + B + C D + E D, E 6. A 8B e. 8A Ji, ( ) + 8 + 6 7 ( ) + ( ) 6 () + ln 8 6 7 8 ( ) ( ) 6 ln + C. Rsionl Tik ejti Untk menyelesikn integrl fngsi rsionl tik sejti, pemilng igi penyet sehingg mementk rsionl sejti, ll integrsikn sesi petnjk i ts. Untk mengh fngsi rsionl tik sejti menji fngsi rsionl sejti pt iliht p ontoh erikt Contoh: + + (. Integrl Fngsi Trigonometri )( 6) + ( )( 6) + Untk mengerjkn integrl fngsi trigonometris, terkng hrs mengh fngsi terset engn menggnkn persmn-persmn trigonometri. Contoh: Hitng integrl erikt. sin ( os) sin + C. os os os ( sin ) os ( sin + sin ) os os sin os + sin os 6 + 6

sin sin os + sin os + C misl sin mk os sin os + C sin + C sin os + C sin + C Ji os sin sin + sin + C. sin os sin os os sin ( sin ) os (sin sin ) os misl sin mk os (sin sin ) os ( ) sin sin + C. Integrl Dengn stitsi Trigonometri Fngsi yng mengnng slh st ri entk, +, t n tik memiliki fktor irsionl linny pt itrnsformsikn ke lm fngsi trigonometri menggnkn vriel r segi erikt: BENTUK UBTITUI DIPEROLEH. sin sin os.. + tn + tn se se se tn Contoh: Hitng integrl erikt. 9 Jw: ol ini mempnyi entk mk gnkn sstitsi sin t sin n os sehingg 9 9 9 sin 9 os os 9 os os ( os ) sin sin sin sin ( sin ) s sin sin ln s ot + os + C kren sin mk sin (liht gmr i smping) 9 ipt s, ot, os 9 9 7

9 ln s ot + os + C 9 ln + 9 + C ln 9 + 9 + C. + Jw: ol ini mempnyi entk + mk gnkn sstitsi tn sstitsi : tn, se, + + tn se tn, sin + + + se tn se se tn os os sin os misl p sin mk p os sehingg sin os sin p p + C + C p sin + + C. Jw : ol ini mempnyi entk mk gnkn sstitsi se sstitsi : se mk se tn se tn tn y, se n tn se tn se ln se + tn + C tn + ln + + C ln + C ln + ln + C ln + + C Cttn : kren ln lh konstn mk igng engn C 8

.6 Integrl Dengn stitsi Khss Jik fngsi mempnyi entk segi erikt: A. n + mk sstitsi + n kn menghny menji rsionl. Contoh: Hitng ( ) + Jw: stitsi +, mk,. n + ( ) + ( ) ( ) ( + )( ) ( + ( + ) ). ( ln + + ln ) + C ( ) ln + + C ln + + + + C B. q + p + mk sstitsi q + p + ( ) kn menghny menji rsionl. Contoh: Hitng + + Jw: stitsi + + ( ), mk + + + iseerhnkn menji + ipt + n + + ( ) t + + mk + + + ( + ) ( ) ( + ) + + ( + ) + + ( + ) + + ( ) + + + + + + + + + + + ( + ) + + + + + + ( + ) + + ( + ) + + ( + ) + ( + ) ( ( + + + ) + ) ( ) ( + )( ) ( + )( ) A ( + + ) B ( ) A ( ( + ) + B( + ) )( ) A A ( + + B + B ) )( ) 9

(A + B) + ( A + B ( + )( ) ) ( + + )( ) Dri A + B n ( A + B) iperoleh A n B mk ( + )( ) + ( + ) ( ) ( + + ) ( + )( ) ( + + ) ( + ) (ln ln + ) ln + + C ln + + + + + + + + C C. q + p ( α + ) ( β ) mk sstitsi q + p (α + ) t q + p (β ) kn menghny menji rsionl Contoh: Hitng ( ) Jw: ( + ) ( ) mk sstitsi ( + ) ( ) ( ) + ( ) sehingg + iperoleh ( + ) t + n ( + ) ( + ( ) Kren ( ) mk Ji ) ( ) ( ( ) ( ) 6 8 Kren ( ) mk ( ) + + ( + ) ) + + (+ ) 6 ( ) + + + + 6 ( + ) 6 ( + ) ( + ) ( ) ( + ) + C 8 8 ( + )( ) ( ) + n + 6 + sehingg ( ) + ( + ) + C ( ) + C 8 8

+ + ( 8 + ) + C 9 + C D. n m (, mk sstitsi m jik m > n kn menghny menji rsionl. Contoh: Hitng Jw: stitsi, mk,, n ( ) + ( + ) ( + + ) ( + + ln ) + C + + ln ( ) + C E. stitsi r tn kn menggnti setip fngsi rsionl lm sin n os menji fngsi rsionl lm kren + sin, os, + + + etelh iintegrsi, gnkn tn ntk kemli ke vriel sliny. Contoh: Hitng + sin os Jw sstitsikn sin +, os +, + + sin os + + + + + + + + + + + ( + ) + (+ ) ( ) ln ln + + C + ln + + C ln tn + tn + C

TUGA MANDIRI BAB I Tgs. Hitng integrl erikt. +. ( + ).. ( - + - ). ( + ) 6. ( ) Tgs: Bktikn hsil integrl erikt. ot ln sin + C. s ln s ot + C. s ot + C. s ot s + C Tgs: Bktikn hsil integrl i ts no. Tgs. Hitng integrl erikt engn menggnkn metoe integrl prsil. os. sin. +. ( + ) sin. sin Tgs. ( + ). + ( ). ( + + + ). ( + ) ( + ). ( ) ( + ). ( + ) Tgs.. tn. sin os. sin os. ot. os 6. os os

Tgs... 6 ( + ).. ( + ). 6. + Tgs.6 sin. + 6. os (+ os ). (+ ). (+ ) / 7. ( ). + + + ( + ). + ( + + + ) 8. ( + ) ( + ) sin os. os ( ). 9.. + +. ( + ).. sin

BAB II INTEGRAL TERTENTU. Pengertin Integrl Tertent Jik fngsi f() terefinisi p intervl terttp [, ] mk integrl tertent f() ri ke inytkn oleh f (), imn f() iset integrn, iset ts wh n iset ts ts. Jik fngsi f() kontiny p intervl terttp [, ], mk f() pt iintegrlkn p [, ]. Jik f() n g() kontiny p intervl integrsi, n k konstnt, mk erlk :. f (). f () f (). k f () k f (). { f () ± g() } f () ± g (). f () + f () f () jik < < F() 6. Jik F() f (), mk f() 7. f () F() F() F() 8. f () g (), jik f() g () lm intervl [, ] Contoh sol. Hitng Jw: [ 6 ] 8. Hitng + Jw: stitsi: +, mk,, n +. + ( ) ( ) ( ) ( ) / ( ) / + + () / () / () / + () / 6/ 6/ / + / 6/

. Hitng + jik + Jw : Fngsi f() + pt itlis f() ( + ) jik < + ( + ) + ( + ) + + / + 8 7/. Perhitngn Ls Apliksi integrl ntk perhitngn ls inytkn lm persmn erikt: Ls y g () y f () Ls erh yng itsi oleh fngsi y f() n y g() lm intervl [, ] sepnjng sm inytkn s.: A {f () g()} f (y) Ls g (y) Ls erh yng itsi oleh fngsi f(y) n g(y) lm intervl [, ] sepnjng sm inytkn s.: A {f (y) g(y)} y Contoh sol:. Hitng ls erh yng itsi oleh y n y Jw: Ls y - Ls Fngsi y n y erpotongn i titik,, n. Terpt lsn yng simetris. Ls {( ) } (/ /). ( /) / stn ls. Hitng ls erh yng itsi oleh y + n Jw: Ls y + Krv y + n erpotongn i (, ) n (, ). Ls { f (y) g(y)} y { (y + )} y y y (8 8/) /

. Volme Ben Ptr Pengertin Ben Ptr Ben ptr terentk oleh perptrn st lsn ing terhp seh gris seing yng iset sm ptr. m ptr pt menyinggng keliling lsn ing, t tik memotong lsn terset sm sekli. Penentn volme en ptr pt ihitng engn metoe, yit metoe krm (is) n metoe klit (shell).. Metoe Ckrm Dlm metoe krm ikenl ken yit: (). m ptr merpkn ts lsn ing, n () m ptr kn merpkn ts lsn ing. m ptr merpkn ts lsn ing Volme en ptr y f() Rms volme en ptr:. yng itsi krv y f() n sm, engn sm ptr sm V [ f () ] Volme en ptr g (y). yng itsi krv g(y) n sm, engn sm ptr sm V [ g (y) ] y m ptr kn merpkn ts lsn ing Volme en ptr y f () y f () Rms volme en ptr:. yng itsi krv y f () n y f (), engn sm ptr sm V [ f ] [ f() ] () g (y) Volme en ptr g (y). yng itsi krv g (y) n g (y), engn sm ptr sm V [ g ] [ g(y) ] (y) y 6

Contoh :. Hitng volme yng terentk kren perptrn terhp sm ri erh yng itsi oleh prol y + n gris y + Jw: P y + Q y + Perpotongn prol y + n gris y + ierikn oleh: + + t ( ) ( + ). Ji n. Ji volme en ptr ts: f () V [ ] [ f() ] V + 6 + 8 V ( 8 + + 6) ( + + 8) 7/ stn volme ( + ) ( + ) + + 8. Tentkn volme en ptr yng terentk oleh perptrn terhp gris ri erh yng itsi oleh prol y y n y Titik potong krv y y n y lh: y y y P y y y y y y / (y + ) (y /). Ji titik potong Q ntk y,, n P ntk y /, / (, ) y Volme en ptr ntr ke krv p sm ptr Q p lh V [ ] [ ] + g(y) + g(y) p p y / V + y y + y y / ( y 9y + 8y + ) y / y y + y + y 87/ stn volme 7

. Metoe Klit Derh y f() Jik st ing yng itsi oleh y f(),, n sm iptr terhp sm, mk kn mementk en engn volme: V f() Derh Contoh: g(y) Jik st ing yng itsi oleh g(), y, y n sm iptr terhp sm, mk kn mementk en engn volme: V y g(y) y. t erh yng itsi prol y, sm, n gris iptr terhp sm segi sm ptr. Tentkn volme en kit ptrn terset. Jw: y Derh V f() 8. t erh itsi krv y n gris y n iptr terhp gris y segi sm ptr. Tentkn volme en yng terentk kren perptrn it. Jw: y (, ) Derh y y Krv y ih menji ± y nmn kren erh yng imks terpt lm krn I mk ignkn y. Btsny n. Diptr terhp y mk y y + n g(y) g(y) V y sehingg y g(y) y (y + ) ( y ) y ( y / + y y / + ) y y / y y / y 7 + + 8

. Hitng volme tors yng terentk oleh perptrn lingkrn + y terhp gris segi sm ptr. Jw: Fngsi terset ih menji y ± V ( ) y ( ) - rsin / + +. Derh yng itsi prol y + 6 n gris + y iptr terhp. gris. gris y Hitng volme en yng terji kit perptrn terset. Jw: Q. Menggnkn metoe krm V O P y + 6 Ke krv it erpotongn i P(, ) n Q (, 6). Menggnkn metoe klit V ( y) (y ) ( ) (y y ) ( ) ( + 6) ( + ) ( ) ( + ) + 79 ( 6 + 7) 6 ( 9 + 9) ( + 6) ( + ). Pnjng Bsr Krv y f() Teorem. Jik fngsi f n trnnny f kontin lm intervl ttp [, ] mk pnjng sr ri krv y f() mli ri titik (, f()) smpi titik (, f()) lh: + y 9

Teorem. Jik fngsi g n trnnny g kontin lm intervl ttp [, ] mk pnjng sr ri krv g(y) mli ri titik (, g()) smpi titik (, g() lh: + y y g(y) Jik A n B lh titik p krv iefinisikn oleh persmn prmeter f(t) n y g(t) n jik persyrtn kontin memenhi, t mk pnjng sr AB lh: t t + y t t Contoh sol:. Hitng pnjng sr krv y / ri titik (, ) smpi titik (8, ) Jw y / mk y / / n y 9 / Pnjng sr s y 8 8 + + / 9 9 / / + misl 9 / +, 6 / 6 / ntk,, ntk 8,, mk s 8 / / 8 ( / / ) 7,6 7. Hitng pnjng sr krv y / ri y smpi y Jw 9 y / y mk 8 y y sehingg Pnjng sr s 8 + y + y y + 8 y y y misl + 8y, 8 y, ntk y,, n ntk y, 8, ji 8 8 / 6 / 8 8 / / 8 ) (8 8 ) (. Ls Permkn Ben Ptr Jik seh krv y f() yng kontin p intervl iptr terhp y f() () g(y) ()

y. sm, ls permkn ptr lh + ) A y ( t A + y ( ) y y. sm, ls permkn ptr lh + ) A y ( t A + y ( ) y y y Jik fngsi terset lm entk prmeter f(t) n y g(t) mk ls perptrn kren fngsi terset. iptr terhp sm lh: y A + y ( ) ( ) t t t. iptr terhp sm lh: y A + y ( ) ( ) t t t Contoh sol :. Hitng ls permkn ol erjri-jri r. Jw Kl sr AB iptr terhp sm mk ls permkn ptr lh permkn ol. r os θ n y r sin θ n A O B y r sin θ n r os θ θ θ y A ) + ( ) y ( t A t t (r sin θ) ( r sinθ) + (r osθ) θ Jw (r sinθ) r θ r sinθ θ [ ] r os θ r ( os + os ) r. Hitng ls permkn en ptr yng terentk kren perptrn y ri smpi terhp sm y mk y y y 6 y O y + ) 6 A y ( y + ( ) y y + 6 + 6 ( - )

TUGA MANDIRI BAB II Tgs.. +. 9. 6 +. ( ). ( y + y + 8) y Tgs.. y, y,, n 6. y + n y. y n y 7. y y n. y n y 8. y n y. y + 6 n y + 9. y 6 n y. y 6, y, n y +. y n y + Tgs.. Hitng volme en ptr yng terentk kren perptrn lsn + 9y 6 terhp sm. Gnkn metoe krm. Jw: 6. Hitng volme en ptr yng terentk kren perptrn lsn yng itsi 9 y n y 7 terhp sm. Gnkn metoe klit. Jw:. Hitng volme en ptr yng terentk kren perptrn lsn y ( ) terhp sm. Jw: /. Hitng volme en ptr yng terentk kren perptrn lsn yng itsi y 6, y, 8 terhp sm. Jw: 8. Hitng volme en ptr yng terentk kren perptrn lsn yng itsi y, y terhp gris 6. Jw: 6 / Tgs.. Hitng pnjng sr krv t, y t ri t smpi t. Jw: 8/7 ( 7 7 ). Hitng pnjng sr krv y + 8 ri smpi. Jw : 7/6. Hitng pnjng sr krv os α + os α + y sin α + sin α Jw : 6. Hitng pnjng sr krv os α i krn y sin α Jw : /

Tgs.. Hitng ls permkn en yng terentk jik sr sikloi engn persmn (θ sin θ) n y ( os θ) iptr terhp sm. Jw 6/. y. Hitng ls permkn en ptr yng terentk kren perptrn elips +. 6 Jw 8 + 9. Hitng ls permkn en yng terentk jik krio engn persmn os θ os θ n y sin θ sin θ iptr terhp sm. Jw 8/.. Hitng ls permkn en ptr yng terentk kren perptrn y m ri smpi terhp sm. Jw 9 m + m. Hitng ls permkn en ptr yng terentk kren perptrn y terhp sm. Jw [ 9 8 + ln(9 + 8] ri smpi 6. Hitng ls permkn en ptr yng terentk kren perptrn (θ sin θ), y ( os θ) terhp sm. Jw 6 7. Hitng ls permkn en ptr yng terentk kren perptrn krv 8 y terhp sm. Jw /.

BAB III INTEGRAL LIPAT. Integrl Lipt D Terpt st erh terttp yng itsi oleh krv K n K seperti p gmr. Derh terset pt igi lm n gin gris sejjr sm n n gin gris sejjr sm K K sehingg terpt nyk segiempt keil engn pnjng sisi i n y i imn segi empt i i i- n y j y j y j- Jik terpt fngsi z f(, y) yng kontin i sem titik i lm erh terttp mk ntk per s gin segiempt iperoleh perklin f( i, y j ) i y j i titik ( i, y j ) p segiempt terset. m Untk selrh erh iperoleh hsil penjmlhn segi erikt: j n i f( i, y j ) i y j Untk n n m iperoleh n lim m j m n i f( i, y j ) i y j f(,y) y s iset "integrl lipt ri fngsi f(, y) p erh terttp " Cr menghitng integrl lipt. Untk f(,y) y [ f(,y) ] y rtiny iintegrlkn l terhp ll terhp y s. Untk f(,y) y [ f(,y) y] rtiny iintegrlkn l terhp y ll terhp s sy s s sy Cr menentkn ts integrl. Untk krv seperti gmr erikt f (y) Bts integrl ntk sm seelh kiri f (y) n seelh knn f (y) f (y) Bts integrl ntk sm seelh wh y n seelh ts y f (y) Bentk integrlny f(,y) y f(,y) y f (y)

. Untk krv seperti gmr erikt y f () Bts integrl ntk sm seelh kiri n seelh knn Bts integrl ntk sm seelh ts y f () n seelh wh y f () y f () f () Bentk integrlny f(,y) y f(,y) y f () Contoh y y y. Hitng ( + y) y Jw: ( + y) y [ + y ] y (y + y y y ) y y y y y + y y ( + ) ( + ) 87. Hitng y p erh yng itsi prol 6y y n y y Jw: Ji y Titik potong ke prol lh 6y y y y y 8y y(y ) ntk y mk n ntk y mk 8 Ji titik potongny i (, ) n (8, ) Bts integrl ntk, se. kiri y y n se. knn 6y y Bts integrl ntk, se. wh y n se. ts y 6yy y 6yy ] y y y y y 6 y y ) (y y) y y 8y ) y [ y y ]. Hitng ( + y) y p erh yng itsi prol y 6 n gris lrs y Jw: 6y y - 8 9 9 y 6 y y y 6 Titik potong prol n gris terset: 6 ( ) n Ji titik potongny i (, ) n (, ). Liht gmr. Bts integrl ntk : kiri n knn Bts integrl ntk : ts y 6 n wh y 6 6 6 ( + y) y ( + y) y [ y + y ]

{ 6 + (6 + ) ( + )} ( 7 + ) 6. Ls Derh Terttp K K Terpt st erh terttp yng itsi oleh krv K n K seperti p gmr. Derh terset pt igi lm n gin gris sejjr sm n n gin gris sejjr sm sehingg terpt nyk segiempt keil engn pnjng sisi i segi empt n y i imn i i i- n y j y j y j- Ls segiempt keil terset i y j Ls penektn selrh erh ipt ri hsil penjmlhn: m n i y j j i Untk n n m iperoleh m n lim i y j y n j i m Ternyt ls st erh terttp lh hrg integrl lipt imn f(, y) Ji ls erh terttp lh L Contoh: y Hitng ls erh yng itsi oleh prol y n gris y Jw: y (-,) (-, -) y (, ) (,) (,) Titik potong prol n gris terset: + ( + )( ) n Ji titik potongny i (, ) n (, ). Liht gmr. Bts integrl ntk : kiri n knn Bts integrl ntk : ts y y y [ y ] n wh y ( ) 7 stn ls 6 6

. Integrl Lipt D Dlm Koorint Kt O θ j A θ j + θ j D k C krv K B ri θ j r i r i + r i Misl erh terttp p ing tr yng itsi krv K. Derh sgin k itsi lingkrn engn jri-jri r i n r i + r i n gris θ j n θ j + θ j. Ls k ls DOC ls AOB r i ri θj + ri θj (ri + ri Jik terpt fngsi F(r, θ) lm mk terentk: F(r, θ) [ r i r i θ j + ri θ j ] ) θ j ri θj Untk n n m iperoleh lim n m m Σ n F(r i, θ j ) [ r i r i θ j + Σ ri θ j ] F(r, θ) r r θ Bentk F(r, θ) r r θ iset "integrl lipt fngsi F(r, θ) p erh " Jik F(r, θ) mk ls erh terttp lh L r r θ Contoh : os θ. r sin θ r θ osθ [ r sinθ ] θ os θ sinθ θ 6 os θ os θ. r r θ os θ [ r ] θ ( 6 os θ ) θ kren os θ (osθ + ) n os θ (osθ + ) (os θ + osθ + ) ( (os θ + ) + os θ + ) mk ( 8os θ + + os θ) θ. Hitng ls erh yng er i lr lingkrn r n i lm krio r ( + os θ) Jw: P O R Q Titik potong krv: ( + os θ) os θ θ Lsn yng iri, PQRP, simetris terhp sm Ji ls erh PQRP: L (+ os θ) r r θ [ r ] (+ osθ) θ ± L (os θ + os θ) θ sinθ + θ + sinθ 8 + stn ls 7

. Integrl Lipt D P Rng D. Volme Ben Z T P D A R Q C B Anikn fngsi f(, y) kontin n erhrg tnggl ntk n y lm mk f(, y) menytkn st lsn. Lsn ini ipotong oleh siliner sejjr sm-z engn ls n ts '. Ditrik gris-gris sejjr sm- engn jrk n jg itrik gris-gris sejjr sm- engn jrk y. Melli gris-gris terset it ing-ing tr yng msing-msing sejjr ing OZ n OZ. Terjilh prism-prism tegk keil, mislny ABCD.PQRT yng mempnyi volme f(,y) y Jmlh selrh volme prism keil terset f(,y) y yng merpkn penektn volme siliner. Jik imil n y mk ipt: lim y ' f(,y) y f(,y) y Ji volme en erentk siliner : V f(,y) y Contoh: Hitng volme en yng itsi siliner + y, ing y + z n ing z Jw: Z Volme yng kn ihitng terletk i wh permkn z y n i ts ing O sengkn i kiri knn itsi siliner + y V y z y y y y ( y) y ( y) y y V ( y) y y ( y) y y Misl: y sin A, mk y sin A os A n y os A A Bts y menji A n y menji A. ehingg volme menji V ( sina)os A os A A 8 ( sina) os A A 8

V os A A 6 sina os A A 6 (osa + ) A + 6 os A os A V 6 sin A + A + 6 os 6 6(+ + ) + ( ) 6. Integrl Lipt Tig Integrl lipt f(, y,z) V ri st fngsi vriel es terhp erh terttp R, R ervolme V, imn fngsi ernili tnggl n kontin, merpkn pengemngn ri integrl tnggl n lipt. Jik f(, y, z), mk integrl menji V lh volme erh R R Dlm sistem koorint krtesin, integrl lipt tig menji: y() z(,y) f (, y,z) V f(,y,z) zy R y () z (,y) Contoh : 6z. Hitnglh (6 ) z zy Jw: 6z (6 6z ) z zy (6 ) (6 )zzy 6z (6 ) zz y {(z ) ( ) }zzy (z )zz y (z z)zy ( z z ) y ( ) y ( ) y y [ y] 6 9

TUGA MANDIRI BAB III Tgs.. Hitng ye y p erh yng itsi sm, sm y, n gris y. Hitng y y p erh yng itsi prol y, gris lrs y, n sin y. Hitng. y e. + y ( y) y. os y f. y ( + y ) y. y y g. y sin y os θ. r r θ h. sin y y Tgs. Hitng ls erh yng itsi krv-krv i wh ini menggnkn integrl lipt. y n y. y n + y y. y 9 + n y 9. y n y. y n + y Tgs. Hitng ls engn integrl lipt ntk sol erikt:. Ls erh i lm lingkrn os θ n i lr lingkrn r os θ. Ls erh i lm krio r + os θ n i lr prol r ( + os θ). Ls erh yng itsi oleh lemniskt r os θ Tgs.. Hitng volme en i epn ing OZ n itsi oleh y + z n y + z + 6. Hitng volme en i wh z 6 y i ts z n i lm siliner + y. Hitng volme en i krn st terletk i lm y + z 9 n i lr y Tgs.. Hitnglh f ()V engn f() + y + z n R lh erh R yng itsi oleh + y + z,, y, n z. Hitnglh volme ri R yng itsi oleh siliner z n ing-ing, y, y 6, n z. Hitng integrl lipt tig ri f(, y, z) z terhp erh R yng terletk i krn pertm n itsi oleh ing-ing + y n y + 6, n siliner y + z