. Pengertian Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (nilai) saja. Beberapa besaran skalar di antaranya : semua besaran pokok, jarak, laju, usaha atau energi, daya, massa jenis, luas, volum, muatan listrik, potansial listrik, kapasitas, dan kuat arus listrik. Besaran vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan juga arah. Beberapa besaran skalar di antaranya : perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, impuls, momentum, momen gaya dan kuat medan magnet. Besar (nilai) dari suatu besaran vektor selalu positif.. Menggambar Vektor dan Menulis Notasi Besaran Vektor Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah anak panah yang terdiri atas pangkal dan ujung. Panjang =00 N ke kanan anak panah menyatakan besar atau nilai, dengan menggunakan skala sembarang. Arah anak panah (dari ujung pangkal ke ujung) menyatakan arah vektor. pangkal Gambar di samping menjelaskan tiga buah vektor gaya : 00 N ke kanan, 00 N ke kiri, dan 300 N ke =00 N ke kiri kanan. Ditetapkan skala panjang cm sama dengan 00 N, sehingga 00 N sama dengan skala panjang 4 cm dan 300 N sama dengan 6 cm. =300 N ke kanan Notasi besaran vektor dapat berupa huruf besar (kapital) atau huruf kecil. Untuk tulisan cetak, notasi tersebut biasanya berupa huruf tebal misalnya, A atau a dan dibaca vektor A. Untuk tulisan tangan, notasi besaran vektor berupa huruf diberi tanda panah di atasnya, misalnya A atau a. Dua buah vektor dikatakan sama jika besar dan arah kedua vektor sama. Sebuah vektor dikatakan berlawanan (negatif) terhadap vektor lain jika kedua vektor mempunyai besar sama tetapi arahnya berlawanan.. Penjumlahan Vektor Secara Grafis Penjumlahan vektor secara grafis terdiri dari dua, yaitu a) cara polygon dan b) cara jajar genjang. Berikut ini penjelasan dari kedua cara tersebut. a. Cara Poligon Ciri-ciri melukis vektor dengan cara poligon adalah: ujung vektor A bertemu dengan pangkal vektor B Aturan melukis penjumlahan vektor dengan cara poligon sebagai berikut.. Lukis salah satu vektor (sebut vektor pertama).. Lukis vektor kedua dengan pangkal di ujung vektor pertama (arahnya harus tepat), bertemu vektor ketiga dengan pangkal di ujung vektor kedua, dan seterusnya sampai semua vektor yang akan dijumlahkan telah dilukis. 3. Vektor hasil penjumlahan (disebut resultan) didapat dengan menghubungkan pangkal vektor pertama ke ujung terakhir.
A B R B B R A A Gambar Resultan dua buah vektor R = A+B dan R = B+A secara PLIGN B C A R A B C Gambar Resultan tiga buah vektor R = A+B+C secara PLIGN b. Cara Jajaran Genjang Ciri-ciri melukis vektor dengan cara jajar genjang adalah: pangkal vektor A bertemu dengan pangkal vektor B Aturan melukis penjumlahan vektor dengan cara jajaran genjang sebagai berikut.. Lukis vektor pertama dan vektor kedua dengan titik pangkal berhimpit.. Lukis sebuah jajaran genjang dengan kedua vektor tersebut sebagai sisi-sisi. 3. Resultan adalah diagonal jajaran genjang yang titik pangkalnya sama dengan titik pangkal kedua vektor. B B R A A Gambar Resultan dua buah vektor R = A+B secara JAJAR GENJANG B A B S C C Gambar Resultan tiga buah vektor R = A+B+C secara JAJAR GENJANG -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soal : Empat buah vektor A, B, C, dan D memiliki arah dan C besaran seperti pada gambar berikut ini. Pernyataan yang benar adalah... a. A + B + C = D B D b. D + A + B = C c. A + D + C = B d. B + C + D = A e. A + B + C + D = 0 A Penyelesaian : Dalam poligon pada gambar soal terlihat bahwa dua anak panah yang ujungnya bertemu adalah A dan B dan dua anak panah yang pangkalnya bertemu adalah B dan C, sehingga anak panah yang menutup poligon adalah B. Dengan demikian, vektor resultannya adalah B. Jadi pernyataan yang benar adalah A + D + C = B. sehingga jawabannya adalah (C). -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Lengkapilah tabel berikut ini! Dengan memberikan tanda silang (X) jika besaran termasuk besaran vektor atau besaran skalar. Nama Besaran Vektor Skalar Kecepatan X - Perpindahan Kelajuan Gaya Usaha Energi Percepatan Kuat Arus Suhu. Lukislah besaran vektor berikut ini! a. 4 cm Ke arah sumbu X positif. b. 5 cm ke arah sumbu Y negatif. c. 3 cm membentuk sudut 30 terhadapa sumbu X positif. d. 5 cm membentuk sudut 60 terhadap sumbu Y negatif. 3. Tentukan resultan dari kedua vektor berikut secara poligon dan secara jajar genjang! a. A = 3 cm ke Timur, B = 4 cm ke utara. b. A = 3 cm ke sumbu X positif, B = 4 cm membentuk sudut 30 terhadap sumbu positif. 4. Dari kelima diagram vektor dibawah ini,
Yang menggambarkan D = A + B + C adalah. 5. Gambar dibawah ini merupakan penjumlahan vektor secara segitiga Gambar yang resultan vektornya sama dengan nol adalah.. Penjumlahan Vektor Secara Analitis a) Menentukan Resultan Dua Vektor dengan Rumus Kosinus Perhatikan gambar di sampingini. Besar resultan dari dua vektor dan yang membentuk sudut αdapat dinyatakan dengan : R A B AB cos Dengan : R = Resultan kedua vektor A, B = Dua buah vektor θ = sudut antara kedua vektor A dan B. R Soal : Dua buah vektor masing masing besarnya = 3 N dan = 5 N, kedua vektor tersebut berapda pada satu titik tangkap dan membentuk sudut 60, maka tentukan : a. Resultan kedua vektor tersebut; b. Arah resultan vektor terhadapa Penyelesaian : Diketahui : = 3 N; = 5 N; θ = 60 ditanya : a. R =?; b. arah? R jawab : a. Menentukan Resultan (R) R cos R 3 5.3.5cos60 R 9 5 5 60 R 49 7 N b. Untuk menentukan arah kita gunakan persamaan Berikut ini!
R sin60 sin 7 5 0,87 sin 50,87 sin 7 sin 0,6 38,4 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) Menentukan Resultan Dua Vektor atau Lebih Untuk menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan metode analitis, terlebih dulu kita bahas menguraikan vektor. Menguraikan vektor Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi komponen horisontal dan vertikal. sebuah vektor A dapat diuraikan menjadi komponen komponen yang saling tegak lurus yaitu A X dan A Y. A y y A vektor A dapat diuraikan menjadi dua vektor, yaitu A dan A X Y A Acos x AY Asin } komponen vektor A A X x A A A X Y Soal :. Sebuah vektor perpindahan sebesar 00 m terletak pada bidang XY dan membentuk sudut 30 terhadap sumbu X positif, maka tentukan : a. Komponen perpindahan yang searah sumbu X; b. Komponen perpindahan yang searah sumbu Y Penyelesaian : Diketahui : s = 00 m; θ = 30 Ditanya : a. s X =?; b. s Y =? Jawab : a. Komponen perpindahan pada sumbu X s scos x s 00 cos 30 y x s s 00 3 x s y s 00 3 m x b. Komponen perpindahan pada sumbu Y s ssin s s s x x x x 00 sin30 00 00 m -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Perhatikan gambar berikut o 30 s X x 5 4 3 v dari gambar di samping, tentukan : a. komponen pada sumbu X v x b. komponen pada sumbu v Y
Jawab: a. Komponen pada sumbu (v X) v X = 4 m/s (Karena ada 4 kotak ke arah sumbu x positif) b. Komponen pada sumbu (v X) v Y = 5 m/s (Karena ada 5 kotak ke arah sumbu y positif) c. Besar vektor (v) v v v 4 5 X Y v 6 5 4 m/s Setelah memahami penguraian vektor, selanjutnya kita bahas penjumlahan dua buah vektor atau lebih dengan memperhatikan soal penyelesaian berikut ini! Soal : Resultan dari ketiga vektor pada gambar berikut ini adalah. Penyelesaian :. Menguraikan masing masing vektor. 3 N 60 cos X X X 3cos60 3,5 N 3 N 60 y Y Y sin 3sin60 3 3,5 3 N y x 3x 3 N 80 X X X cos 3cos80 3 3 N 3 N 80 y y y sin 3sin80 30 0 N 3y 3
6 N 70 3 3X 3 3X 3X cos 6cos70 6 3 N 6 N 70 3 3y 3 3y sin 6sin70 6 3 3 3 N 3y *) semua sudut diukur dari sumbu X positif.. Menjumlahkan komponen komponen vektor. X X X 3X X X,5 3 3,5 N 3. Menentukan resultan. R R X,5,5 3 y y y 3y y y,5 3 0 3 3,5 3 N R,5 6,75 9 3 N y. Sebuah balok ditarik dengan gaya = 00 N membentuk sudut 60 terhadap bidang datar. Tentukan komponen gaya sumbu X dan sumbu Y.. Resultan ketiga gaya dibawah ini adalah. 3. Tiga buah vektor setitik tangkap terlihat seperti gambar berikut. Besar masing-masing vektor adalah : V = 30 satuan V = 30 satuan V3 = 40 satuan Besar resultan ketiga vektor tersebut adalah 4. Tiga buah gaya masing masing 8 3 N, N, dan 6 N berada pada bidang cartesian x y. gaya pertama searah sumbu x, gaya kedua searah sumbu y dan gaya ketiga membentuk sudut 30 terhadap sumbu x negatif, tentukan : a. Resultan gaya pada sumbu X; b. Resultan gaya pada sumbu Y; c. Resultan dari ketiga gaya. 5. Pada gambar di bawah, = = 0 N dan 3 = 5 N. Nilai resultan ketiga gaya dalam arah sumbu X adalah N.
Y 60 0 X 60 0 3 6. Perhatikan gambar di bawah ini. Besar dan arah resultannya adalah =4 N Utara = N Barat 30 60 Timur o o Selatan 30 o 3=6 N 7. Perhatikan ganbar. Sebuah bola ditarik oleh tiga gaya dengan arah berbeda-beda. Jika satu petak mewakili dua Newton, maka resultan gaya yang bekerja pada balok adalah. Perkalian Skalar dengan Vektor Vektor B = k A dengan k bilangan(skalar) adalah suatu vektor yang besarnya k kali besar A dan arahnya searah dengan vektor A jika k positif dan berlawanan arah dengan vektor A jika k negatif.. Perkalian Titik (Dot Product) Perkalian titik A.B didefinisikan sebagai suatu skalar yang sama dengan hasil kali dari besar kedua dengan kosinus sudut apitnya. Secara matematis, ditulis : AB AB cos atau B A BA cos Dengan 0 o θ 80 o leh karena AB cosθ = BA cosθ, maka pada perkalian titik berlaku hukum komutatif : AB B A Berikut adalah beberapa hal penting tentang perkalian titik a. Pada perkalian titik berlaku hukum distributif. AB C AB AC b. Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus, yaitu sudut apit θ= 90º, maka :
AB 0 c. Jika kedua vektor A dan B searah yaitu θ= 0 o, maka : AB AB d. Jika kedua vektor A dan B berlawanan arah, yaitu θ= 80 o, maka : AB AB 3. Perkalian Silang (Cross Product) Perkalian silang AxB didefinisikan sebagai suatu vektor yang arahnya tegak lurus pada bidang di mana A dan b mengikuti aturan tangan kanan, sementara besarnya sama dengan hasil kali dari besar kedua vektor dengan sinus sudut apit antara kedua vektor tersebut. Secara matematis ditulis : C AB sin Berikut adalah beberapa hal penting tentang perkalian silang. a. Nilai 0 o θ 80 o, sehingga nilai C dalam C=AB sin θ selalu positif. b. Perkalian silang bersifat antikomutatif. AB B A c. Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus, yaitu sudut apit θ= 90 o, maka : AB AB d. Jika kedua vektor A dan B segaris kerja, dapat searah atau berlawanan arah, maka : AB 0 Soal :. Dua buah vektor masing-masing 0 satuan dan 5 satuan. Vektor tersebut satu sama lainnya saling tegak lurus, maka hasil perkalian titiknya adalah... Penyelesaian : misalkan A = 0 satuan, B = 5 satuan, dan θ = 90 A B AB cos AB 500 AB 0 AB 0 5 cos90 Soal :. Dua buah vektor V dan V masing-masing besarnya 5 satuan dan 6 satuan, keduanya saling mengapit sudut sebesar 37 0. Hitunglah: a. Hasil perkalian titik kedua vektor!; b. Besar hasil perkalian silang kedua vektor! Penyelesaian : a. Hasil perkalian titik kedua vektor b. Hasil perkalian silang kedua vector
V V V V V V 300,8 cos V V 5 6 cos37 V V 4 satuan V V V V sin V V 5 6 sin37 V V 300,6 V V 8 satuan ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -----------. Dua buah vektor masing-masing 0 satuan dan 0 satuan. Keduanya membentuk sudut tertentu. Hasil perkalian titik kedua vektor tersebut jika sudut antara keduanya: a. 0 o b. 60 o c. 90 o. Dua buah vektor masing-masing 30 satuan dan 0 satuan. Keduanya membentuk sudut tertentu. Hasil perkalian silang kedua vektor tersebut jika sudut antara keduanya: a. 0 o b. 30 o c. 90 o 3. Dua buah vektor a dan b masing - masing besarnya 0 N dan 8 N, saling mengapit sudut 30 0. Besarnya vektor a xb atau a x b adalah 4. Vektor Satuan a. Vektor Satuan di dalam Bidang Suatu vektor pada suatu bidang dapat dinyatakan dalam vector satuan. Seperti gambar berikut: i adalah vektor satuan darah arah sumbu X. j adalah vektor satuan darah arah sumbu Y. Vektor i dan j disebut vektor satuan Karena besar vektor ini sama dengan satu. i dan j =. Suatu vektor di dalam suatu bidang dapat dinyatakan dalam vektor satuan, yaitu : Dengan besarnya : Yang digambarkan sebagai berikut: r xi y j r x y
b. Vektor Satuan di dalam Ruang Suatu vektor satuan di dalam ruang, dinyatakan sebagai : (lihat gambar) i adalah vektor satuan darah arah sumbu X. j adalah vektor satuan darah arah sumbu Y. k adalah vektor satuan darah arah sumbu Z. Suatu vektor di dalam ruang dapat dinyatakan dalam bentuk vektor satuan, yaitu : Dengan besarnya : Yang digambarkan sebagai berikut: r xi y j zk r x y z ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soal :. Jika pada suatu bidang XY terdapat r 8i 6j satuan, maka tentukan : a. besar vektor r ; b. arah vektor r. Penyelesaian: Diketahui : r 8i 6j x = 8 satuan ; y = 6 satuan. a. Menentukan besar vektor r. b. menentukan arah vektor r. r x y r r 8 6 00 r 0 satuan y tg x 6 tg 8 37. Jika diketahui vektor A 3ˆi ˆj kˆ dan vektor B ˆi 3ˆj 4kˆ, maka nyatakan A B ke dalam vektor satuan dan hitung besarnya.
Penyelesaian: Menentukan vektor A B menentukan besar vekto A B 3 ˆ ˆ ˆ ˆ 3ˆ 4ˆ A B i j k i j k 3 ˆ 3ˆ 4 A B i j kˆ A B ˆi 4ˆj kˆ A B 4 A B 4 6 4 A B 4 6 satuan ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5. Perkalian Dua Vektor Satuan a. Perkalian Titik atau Dot Product Perhatikan gambar berikut ini! Jika : ˆˆ o i i.cos 0 ˆˆ o j j.cos 0 ˆ ˆ.cos0 o k k ˆ ˆ o i k.cos90 0 ˆ ˆ o j k.cos90 0 ˆˆ o i j.cos90 0 ˆi kˆ kˆ ˆi 0 j kˆ kˆ ˆ j 0 ˆi ˆj ˆj ˆi 0 Sehingga dapat diambil kesimpulan : Selain perkalian di atas = NL. ˆi ˆi ˆj ˆj kˆ kˆ b. Perkalian Silang atau Cross Product Perhatikan gambar di samping! Jika : ˆ ˆ o i i.sin0 0 ˆ ˆ o j j.sin0 0 ˆ ˆ.sin0 o k k 0 ˆ ˆ.sin90 o i j kˆ kˆ ˆ ˆ o j k.sin90 ˆi ˆi ˆ ˆ o k i.sin90 ˆj ˆj ˆj ˆi ˆi ˆj kˆ kˆ ˆj ˆj kˆ ˆi ˆi kˆ kˆ ˆi ˆj Untuk memudahkan dalam memahami perkalian silang vektor satuan dapat dituliskan : ˆi ˆj kˆ ˆ ˆ ˆ untuk perkalian silang KEBALIKANNYA bertanda j k i NEGATI (-) kˆ ˆi ˆj ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soal : Diberikan dua vektor satuan dalam ruang sebagai berikut. A 3ˆi ˆj 4 kˆdan B ˆi ˆj 3 kˆ Tentukan : a. A B beserta besarnya. ; b. A B beserta besarnya. Penyelesaian: a. menentukan A B beserta besarnya. 3 ˆ ˆ 4ˆ ˆ ˆ 3ˆ 3 ˆ ˆ 3 ˆ ˆ 3 ˆ 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3ˆ 4ˆ ˆ 4ˆ ˆ 4ˆ 3ˆ A B i j k i j k A B i i i j i k j i j j j k k i k j k k A B 6 0 0 0 0 0 0 A B 0 b. menentukan A B beserta besarnya.
3 ˆ ˆ 4ˆ ˆ ˆ 3ˆ 3 ˆ ˆ 3 ˆ ˆ 3 ˆ 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 4 ˆ 4 ˆ 4 3 A B i j k i j k A B i i i j i k j i j j j k k i k j k k A B 0 3kˆ 9ˆj 4kˆ 0 6ˆi 8ˆj 4ˆi 0 A B ˆi ˆj 7kˆ A B 7 A B 4 49 AB 54. lengkapilah tabel dot product berikut ini!. i j k i j k 0. lengkapilah tabel cross product berikut ini! X i j k i 0 k j k 3. dua vektor masing masing : A ˆi 4ˆj 5 kˆdan B 4ˆi 3ˆj kˆ, nyatakan kedua vektor tersebut dalam bentuk : a. A B ; b. A B ; c. A 3B; d. B 3A A. SAL PILIHAN GANDA. berikut ini adalah besaran besaran vektor, kecuali. A. Perpindahan D. momentum B. Berat E. usaha C. percepatan
. Kelompok besaran di bawah ini yang termasuk besaran vektor adalah.... A. kelajuan, kuat arus, gaya D. tegangan, intensitas cahaya, gaya B. energi, usaha, banyak mol zat E. gaya, percepatan, waktu C. kecepatan, momentum, kuat arus listrik 3. Dua buah vektor masing masing besarnya 3 satuan dan 4 satuan. Sudut antara kedua vektor tersebut adalah 90. resultan dari vektor tersebut adala. A. 7 satuan D. 5 satuan B. satuan E. satuan C. 0,75 satuan 4. Ada tiga buah gaya dengan besar masing masing 4 N arah timur, 8 N arah selatan, 8 N arah barat. Resultan ketigagaya tersebut adalah. A. 6 N D. N B. 8 N E. 6 N C. 0 N 5. Dua buah vektor memiliki besar yang sama. Jika hasil bagi selisih dan resultan antar kedua vektor tersebut adalah maka cosinus sudut apit antara kedua vektor adalah. A. D. 3 B. E. 3 C. 6. Dua buah vektor besarnya sama yaitu, bia perbandingan jumlah dan besar selisih kedua vektor sama dengan 3, maka sudut yang dibentuk kedua vektor itu adalah. A. 30 D. 60 B. 37 E. 0 C. 45 7. Bila hasil perkalian silang kedua vektor sama dengan nol, maka kedua vektor. A. Searah D. berlawanan arah B. Membentuk sudut 60 E. membentuk sudut 45 C. Tegak lurus 8. Tiga buah gaya yang masing masing nilainya 6 N, 5 N dan 4 N digambarkan dalam diagram Cartesius seperti berikut: Resultan ketiga gaya tersebut adalah N A. 3 D. 7 B. 63 E. 5 C. 9. Seseorang menarik meja ke arah barat dengan gaya 60 N. Jika cm mewakili gaya 5 N, gambar vektor gaya tersebut yang benar adalah.... A. D. B. E.
C. Perhatikan gambar vektor- vektor berikut untuk menjawab soal no 0 sampai no 0. Gambar resultan dari a + b dengan metode jajargenjang yang benar adalah... A. D. B. E. C.. Gambar resultan dari a + c + d dengan metode poligon yang benar adalah... A. D. B. E.
C.. Gambar resultan dari a + b c d dengan metode analisis yang benar adalah... A. D. B. E. C. 3. Vektor gaya () mempunyai titik asal (6, 4) dan titik ujung (8,). Bila ditulis dalam vektor satuan, maka adalah. A. iˆ jˆ D. 4iˆ jˆ
B. iˆ 6jˆ E. 4iˆ 6 jˆ C. iˆ 6jˆ 4. Diketahui vektor A 5i ˆ jˆ kˆ m A B A. 4i ˆ5jˆ 8kˆ m D. 6ˆ3ˆ 5 ˆ B. i ˆ3jˆ kˆ m E. 8ˆ6 ˆ 5 ˆ C. 8i ˆ jˆ 4kˆ m. Jika besar adalah 74 m, maka vektor B adalah... i j k m i j k m 5. Usaha dirumuskan sebagai perkalian titik antara gaya dengan perpindahan. Seseorang iˆ jˆ 3kˆ N, sehingga mengalami perpindahan memindahkan sebuah benda dengan gaya s 3i ˆ 3jˆ m. Usaha yang dilakukan orang tersebut adalah. A. 9 Nm D. 8 Nm B. 0 Nm E. 0 Nm C. 5 Nm iˆ 3jˆ 3kˆ 3iˆ 6 jˆ 4kˆ adalah. 6. Hasil perkalian silang antara vektor dan A. 4i ˆ3jˆ 8kˆ D. 6i ˆjˆ 7kˆ B. 6i ˆ7 jˆ k ˆ E. 8i ˆ9 jˆ k ˆ C. 6i ˆ9 jˆ k ˆ 7. Diketahui vektor P 6i ˆ jˆ dan Q ai bjˆ A. a b D. a b 3 3 B. a b E. b a C. a b 8. Pernyataan berikut yang benar adalah.. Jika kedua vektor saling tegak lurus, maka. A. A B A B D. A B B A B. A B B A E. A B B A C. A B A B 9. Dua buah partikel bergerak dari suatu titik. Partikel pertama bergerak dengan persamaan kecepatan v iˆ 4 jˆ, sedangkan partikel kedua bergerak dengan kecepatan v iˆ 4 jˆ. jika besar resulran kedua vektor 44, maka sudut yang dibentuk oleh kedua partikel tersebut adalah. A. 0 D. 45 B. 90 E. 30 C. 60 0. Dua buah vektor besarnya sama yaitu, bila resultan kedua vektor sama dengan, maka sudut yang dibentuk kedua vektor itu adalah. A. 30 D. 60 B. 37 E. 0 C. 45 B. SAL URAIAN. Mobil bergerak sejauh 6 km ke timur, kemudian km ke selatan, dan seterusnya bergerak km ke barat. Hitung besar dana rah resultan perpindahan tersebut?
. Sebuah perahu menyebrangi sungai yang lebarnya 80 meter dan kecepatan arus airnya 4 m/s. bila perahu diarahkan menyilang tegal lurus arus sungai dengan kecepatan 3 m/s, maka hitung : a. Kecepatan resultannya b. Ke arah mana perahu meluncue melintasi sungai itu c. Lamanya perahu menyebrang d. Panjang lintasan yang dilalui perahu 3. Tiga buah vektor yang besarnya masing masing V = 80 N, V = 80 N, dan V 3 30 N, yang tampak seperti gambar berikut: Tentukan : a. Jumlah komponen vektor terhadap sumbu X. b. Jumlah komponen vektor terhadap sumbu Y. c. Besarnya resultan dari ketiga vektor. d. Arah resultan terhadap sumbu X positif. 4. Tiga buah vektor diberikan dengan persamaan A iˆ 3 jˆ, B iˆ jˆ dan C iˆ 4 jˆ, tentukan dan gambarkan hasil operasi penjumlahan berikut menggunakan metode analitis dan metode poligon: a. A B b. B A c. A B C 5. Dari vektor pada soal nomor 4, tentukan : c. A B d. A B a. AB b. B A C C
. EBTANAS 988 Jika besar vektor A = 0 satuan, membuat sudut 60 dengan sumbu X positif, maka besar vektor tersebut dalam sumbu X dan sumbu Y adalah. A. A X = 0 satuan; A Y = 0 satuan D. A X = 5 satuan; A Y = 5 3 satuan B. A X = 0 satuan; A Y = 0 3 satuan E. A X = 5 3 satuan; A Y = 5 satuan C. A X = 5 satuan; A Y = 5 satuan. EBTANAS 986 Vektor A = 3 satuan, B = 4 satua. A + B = 5 satuan. Besar sudut yang diapit vektor A dan B adalah. A. 90 D. 0 B. 45 E. 80 C. 60 3. EBTANAS 006 Dua buah vektor gaya dan masing masing besarnya 5 N dan 9 N, bertitik tangkap sama dan saling mengapit sudut 60, nilai resultan dari kedua vektor tersebut. A. 5 N D. 4 N B. 0 N E. 30 N C. N 4. EBTANAS 986 Jika sebuah vektor dari N diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus dan sebuah diantaranya membentuk sudut 30 dengan vektor itu, maka besar masing masing vektor adalah. A. 6 N dan 6 3 N D. 3 N dan 3 N B. 6 N dan N E. 3 N dan 3 3 N C. 6 N dan 3 N 5. EBTANAS 998 Pada gambar di samping, komponen vektor gaya menurut sumbu X adalah. A. 3 D. B. E. 3 C. 6. UN 06 Rute perjalanan sebuah robot track line adalah sebagai berikut: 9 m menuju ke timur 5 m membentuk sudut 53 dari timur ke utara 9 m menuju ke bara Perpindahan robot track line adalah m A. 5 D. 5 B. 8 E. 9 C. 7. UN 06 Seorang anak kecil berjalan sejauh 0 m kea rah timur, kemudian berbelok ke utara sejauh 6 m dan kembali kea rah barat sejauh m, untuk kemudian berhenti. Besar Perpindahan anak kecil tersebut adalah m A. D. 4 B. 6 E. 8 C. 0
8. UN 06 Seorang berjalan ke arah barat sejauh 5 m, kemudian berbelok ke selatan sejauh 3 m dan setelah itu anak tersebut melanjutkan perjalanan ke arah timur sejauh 9 m. maka perpindahan anak tersebut adalah m A. 5 D. 0 B. 9 E. C. 7 9. UN 03 Vektor gaya,, dan 3 terletak pada sebuah diagram kartesius seperti gambar. Resultan ketiga vektor adalah. A. 6 N D. 68 N B. 76 N E. 04 N C. 84 N 0. UN 03 Perhatikan gambar di samping. Besar resultan ketiga gaya tersebut adalah... A. 0 D. 8 3 N B. 3 N E. 3 N C. 4 3 N. UN 03 Perhatikan gambar berikut! Tiga buah vektor gaya, masing-masing besarnya = N, = 6 N, dan 3 = N tersusun seperti gambar. Resultan ketiga vektor tersebut adalah. A. 6 N D. 6 N B. 8 N E. 0 N C. N. UN 03 Tiga buah vektor kecepatan v, v, dan v 3 titik tangkap seperti gambar tersebut. Diketahui v = 30 satuan, v = 30 satuan, v 3 = 0 satuan, maka besar resultan ketiga vektor adalah.
A. 00 satuan D. 0 0 satuan B. 0 3 satuan E. 30 satuan C. 0 5 satuan 3. UN 03 Perhatikan gambar! Resultan ketiga vektor gaya tersebut adalah. A. 0 N D. 5 N B. 8 N E. 4 N C. 6 N 4. UN 03 Resultan ketiga gaya pada gambar di samping adalah. A. 4 N D. 0 N B. 6 N E. 4 N C. N 5. UN 03 Vektor = 9 N, = 5 N, dan 3 = 0 N diletakkan pada diagram Cartesius seperti pada gampar. Berapa resultan ketiga vektor tersebut? A. 6 N D. N B. 8 N E. 6 N C. 0 N 6. UN 03 Tiga buah vektor gaya setitik tangkap seperti gambar, masing-masing = 0 N, = 4 N dan 3 = 3 N. Berapa resultan ketiga gaya tersebut? (Sin 37 o = 0,6 dan Cos 37 o = 0,8) A.,5 N D. 6 N
B. 5 N E. 7,5 N C. 5,5 N 7. UN 0 Tiap skala pada gambar berikut ini setara dengan besar gaya N. Besar resultan kedua vektor gaya tersebut adalah A. 3 N B. 5 N C. 7 N D. 8 N E. N 8. UN 0 Dua buah vektor gaya dan masing-masing besarnya 5 N dan 9 N, bertitik tangkap sama dan saling mengapit sudut 60, nilai resultan dari kedua vektor tersebut... A. 5 N D. 4 N B. 0 N E. 30 N C. N 9. UN 0 Jika pada suatu bidang XY terdapat vektor posisi r = 4i + 4j, maka besar dan arah vektor r adalah A. 8 m ; 45 D. 4 m ; 90 B. 4 m ; 45 o E. 4 3 m ; 45 C. 8 m ; 90 0. UN 0 Vektor = 4 N dan = 0 N diletakkan pada diagram Cartesius seperti pada gambar. Resultan R = + dinyatakan dengan vektor satuan adalah... A. 7i + 0 3j Y ( satuan vektor ; j ) B. 7i + 0j C. 3i + 7 3j D. 3i + 0j 60 E. 3i + 7j. UN 0 Sebuah benda bergerak dengan lintasan seperti grafik berikut : Perpindahan yang dialami benda sebesar. A. 3 m B. m C. 9 m D. 7 m E. 5 m. UN 0 Seorang anak naik sepeda ke sekolah dengan lintasan seperti gambar. Besar perpindahan anak tersebut dari keberangkatannya sampai tiba di sekolah adalah. Ruma A. 300 m 500 B. 400 m C. 500 m 300 m D. 700 m MA E. 900 m 00 3. UN 0 Budi berjalan sejauh 6 meter ke timur, kemudian 6 meter ke selatan, dan meter le timur. Perpindahan Budi dari posisi awal adalah. A. 0 m D. 0 m B. 4 m E. 8 m C. m B -5 berhenti bergerak y(m ) 3 0-5 X ( satuan vektor ; i ) 0 mula bergerak A x(m
4. UN 0 Seorang anak berlari menempuh jarak 80 m ke utara, kemudian membelok ke timur 80 m dan ke selatan 0 meter. Besar perpindahan yang dilakukan anak tersebut adalah. A. 60 m D. 0 m B. 80 m E. 80 m C. 00 m 5. UN 008 itria melakukan perjalanan napak tilas dimulai dari titik A ke titik B : 600 m arah utara; ke titik C 400 m arah barat; ke titik D 00 m arah selatan; dan kemudian berakhir di titik E 700 m arah timur. Besar perpindahan yang dialami itria adalah... A. 00 m D. 500 m B. 300 m E. 900 m C. 500 m 6. UN 007 Vektor = 4 N dan = 0 N diletakkan pada diagram Cartesius seperti pada gambar. Resultan R = + dinyatakan dengan vektor satuan adalah... A. 7i + 0 3j D. 3i + 0j B. 7i + 0j E. 3i + 7j C. 3i + 7 3j 7. UMPTN 996 Perhatikan vektor vektor yang besar dan arahnya terlukis pada kertas berpetak seperti gambar. jika panjang satu petak adalah newton (N), maka besar resultan kedua vektor adalah. A. 8 N D. N B. 9 N E. N C. 0 N :: catatan ::
Kelompok : Nama :.... 3.. 4.. MATERI : KMPNEN VEKTR A. Tujuan. Siswa mampu mengukur besar vektor dengan arah yang berbeda-bea. Siswa mampu mengukur besar sudut yang dibentuk oleh vektor 3. Siswa mampu menghitung besar kesalahan relatif dari percobaan vektor 4. Siswa mampu menuliskan persamaan vektor dari percobaan yang dilakukan B. Alat dan Bahan. Neraca pegas (3 buah). Benang 3. Kertas grafik 4. Papan triplek 5. Paku payung 6. Busur derajat C. Langkah Kerja. Siapkan benang dan ikat membentuk huruf Y seperti gambar berikut.. Kaitkan neraca pegas pada tiap ujung benang sehingga membentuk seperti gambar berikut. 3. Siapkan papan triplek, tancapkan dua paku payung kemudian kaitkan dua neraca pegas pada paku payung. Tarik neraca pegas ketiga sehingga dua neraca pegas pertama yang terikat pada paku payung membentuk sudut 90 0 (siku-siku). Pastikan sudut siku-siku itu dengan meletakkan kertas grafik milimeter pada papan triplek.
4. Tandai titik sambungan benang yang membentuk sudut siku-siku dan titik lain pada benamg penghubung neraca pegas ketiga. Kemudian, hubungkan titik potong benang (sikusiku) dengan masing-masing paku payng dan titk kedua sehingga membentuk garis. Perpanjang garis yang menghubungkan titik siku-siku dengan titik lain sehingga membentuk gambar seperti berikut. α 5. Catat hasil yang ditunjukkan oleh neraca pegas sebagai vektor dan untuk dua neraca pegas saling menyiku. Cata pula hasil yang ditunjukkan oleh neraca pegas ketiga sebagai vektor. Informasi : Vektor dan merupakan komponen dari. Vektor merupakan vektor negatif dari tarikan neraca pegas ketiga, karena ketiga Vektor gaya membentuk kesetimbangan, sehingga resultannya nol. Ketiga gaya itu dapat digambar sebagai berikut. α 6. Ukurlah sudut α, yaitu sudut antara garis hubung putus-putus (mewakili ) denga vektor. 7. Lakukan percobaan seperti langkah sampai dengan 6 sebanyak 3 kali dengan cara memindahkan salah satu paku payung yang tertancap. 8. Masukkan data hasil percobaan anda ke dalam tabel. 9. Hitung kesalahan relatif dari pengukuran. D. Data Hasil Penelitian Percobaan ke α 3
4 E. Analisis Data. Lengkapi data percobaan dengan tabel berikut ini. Percobaan ke α Sin α Sin α Sin α 3 4. Amati tabel tersebut, adakah kecenderungan nilai yang sama? Tuliskan pada bagian yang mana 3. Biasanya komponen vektor ada yang dinamakan komponen pada sumbu x dan komponen pada sumbu y. Adakah yang memiliki kecenderungan sama dengan penamaan itu? Tuliskan bagian mana yang dimaksud 4. Besar kesalahan relatif dari percobaan adalah. Kesimpulan. Hubungan antara nilai,,, dan sudut α dapat ditulis sebagai berikut.. Jika komponen vektor dinyatakan dengan x, dan y, maka dapat dituliskan rumus komponen sebagai berikut.
MATERI : RESULTAN DUA VEKTR Kelompok : Nama :.... 3.. 4.. A. Tujuan. Siswa mampu mengukur besar vektor dengan arah yang berbeda-bea. Siswa mampu mengukur besar sudut yang dibentuk oleh vektor 3. Siswa mampu menghitung besar kesalahan relati dari percobaan vektor 4. Siswa mampu menuliskan persamaan vektor dengan menggunakan metode analitis dari percobaan yang dilakukan B. Alat dan Bahan. Neraca pegas (3 buah) 4. Busur derajat. Paku payung ( buah) 5. Benang secukupnya 3. Alas dari triplek 6. Paku paying, papan triplek, dan benang secukupunya C. Langkah Kerja Alternatif pertama. Menyiapkan benang dan ikat membentuk huruf Y seperti gambar berikut.. Menancapkan dua buah paku payung pada papan triplek (setelah diberi kertas di atasnya), kemudian memasang neraca pegas seperti seperti gambar berikut. 3. Tarik neraca pegas ketiga (tidak dikaitkan ke paku payung) sampai posisi tertentu. Pertahankan dalam keadaan diam, kemudian catatlah ketiga gaya yang ditunjukkan neraca pegas. Beri tanda pada titik sambung benang dan pada garis yang dihubungkan pada neraca pegas ketiga. 4. Setelah dilepas, gambarkan garis yang menghubungkan titik-titik yang sudah ditandai dengan paku payung sehingga membentuk gambar sebagai berikut. α 3 5. Ukurlah sudut α, yaitu sudut antara dengan. 6. Lakukan percobaan berulang-ulang dengan mengubah tarikan neraca pegas ketiga. Kemudian ikuti langkah,3 dan 4 7. Masukkan data hasil percobaan dalam tabel 8. Hitung kesalahan relatif yang dilakukan.
Alternatif kedua. Susunlah statif, katrol bertangkai, dan beban seperti gambar berikut. α A B C. Letakkan papan triplek yang dilapisi kertas dibelakangnya sehingga seperti gambar berikut. α 3. Aturlah beban A, B, dan C sehingga mencapai keseimbangan (sistem tidak gerak lagi). 4. Nyatakan di A, B, dan C dengan,, R. 5. Ukurlah sudut α. 6. Lakukan percobaan beberapa kali, kemudian masukkan data percobaan ke dalam tabel. D. Data Hasil Percobaan Percobaan ke R α 3 4 5 E. Analisis Data. Lakukan anallisis data dengan melengkapi tabel berikut. Percobaan ke 3 4 5 A R α Cos α Cos α C B + + Cos α. Amati tabel analisis data, adakah kecenderungan membentuk pola tertentu? Kecenderungan apa yang terlihat? Sebutkan pada bagian mana.
3. Berdasarkan kecenderungan yang ada, buatlah formula dalam bentuk persamaan matematis (rumus) 4. Adakah kesalahan yang diperoleh? berikan penjelasan di mana letak kesalahan yang mungkin dilakukan 5. Hitung besar kesalahan relatif dari percobaan. Kesimpulan Berdasarkan data dan analisis diperoleh kesimpulan bahwa. Penjumlahan dua vektor dapat menggunakan formula atau rumus. Beberapa kesalahan yang perlu diperbaiki dalam percobaan, yaitu