BARISAN DAN DERET AFLICH YUSNITA F, M.Pd. STKIP SILIWANGI BANDUNG
. Pola Bilangan Adalah: susunan bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu Contoh:,,,4,5 mempunyai pola bilangan ditambah satu dari bilangan sebelumnya.. Barisan Aritmatika Adalah: suatu barisan bilangan yang memiliki selisih dua suku berurutan (beda) selalu tetap. a, (a + b), (a + b), (a + b),,(a + (n-)b) Suku ke- n ditentukan dengan rumus: Un = a + (n-)b Dimana: a = suku pertama b = beda = U n - U n- INGAT!!!
Suku barisan adalah bilangan bilangan dalam suatu barisan. suku pertama = U suku kedua = U suku ketiga = U.. suku ke -n = U n
Contohnya :.,, 5, 7, U = U = U = 5 U 4 = 7. 5, 0, 5, 0, U = 5 U = 0 U = 5 U 4 = 0
Rumus suku ke-n Misalnya suatu barisan aritmatika mempunyai suku pertama a dan b. barisan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut : +b +b +b +b +b a a+b a+b a+b a+4b
Perhatikan : U = a U = a + b U = a + b U 4 = a + b U 5 = a + b U = a + ( )b U = a + ( )b U = a + ( )b U 4 = a + (4 )b U 5 = a + (5 )b Dari pola diatas didapatkan bahwa suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah U n = a + (n )b
Contoh soal.. Tentukan suku pertama, beda, dan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika, 8,, 8, Jawab : Suku pertama atau a = Beda atau b = 5 Rumus suku ke-n = U n = a + (n )b U n = + (n )5 U n = + (5n 5 ) U n = + 5n 5 U n = 5n
Pada suatu barisan aritmatika diketahui bahwa suku ke- adalah 0,dan suku ke-5 adalah 6 a. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan tersebut b. Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut Jawab : a. U = 0 a + b = 0.( ) U 5 = 6 a + 4b = 6 -.( ) -b = -6 b = untuk b = maka berdasarkan () dapat diperoleh a = - jadi, suku pertama dan beda barisan tersebut berturut turut adalah a = - dan b = b. Berdasarkan hasil diatas diperoleh : U n = a + (n )b U n = - + ( n ) U n = - + ( n ) U n = - + n U n = n 4 jadi, rumus suku ke-n barissan tersebut adalah U n = n 4
Sisipan B.A = U, U, U,... U n Misalkan U = x suku awal U = y suku akhir Dengan b = U n U (n-)
diantara U dan U disisipkan bilangan sebanyak kx,( x b), ( x b),...( x kb), y kbanyaksisipan Sehingga didapat : b = y - ( x + kb ) b = y x kb kb + b = y x b ( k + ) = y x b = y x k Setelah sisipan
Jadi beda barisan aritmetika yang terbentuk : y x k Keterangan : x = bilangan pertama y = bilangan terakhir k = banyak sisipan b = beda
Contoh Soal : ). Diantara 0 dan disisipkan tiga bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika. Tentukan beda dari barisan tersebut! jawab : b = b = x = 0 y = k = y x k 0 4
Lanjutan jawaban : B.A = 0,(0+b), (0+b), (0+b), = 0, 0, 0, 0, 4 4 4 = 6 9 0,0,0,0 4 4 4, = 0,0 4, 4, 4,
Deret Aritmatika Pengertian : Deret adalah jumlahan berurut suku-suku dari suatu barisan. Jumlah suku deret aritmatika dinyatakan dengan Sn
b n a b a b a b a a b k a Sn n k... { n k Uk Sn n U U U U Bentuk umum Rumus Deret Aritamtika
Bentuk umum deret aritamtika Sn = U + U + U + U4 + + Un atau Sn = a+[ a+b] +[a+b] +[a+b]+ +[a+(n-)b]
Rumus Deret Aritmatika S n n n n a U S n a n Sn = jumlah suku ke-n a = U = suku pertama b = (U U) = beda suku n = banyak suku Un = suku ke-n dengan Un = [a + ( n ) b ] b
Contoh : Seorang pembuat sumur dengan ketentuan biaya penggalian sebagai berikut: m pertama biayanya Rp0.000,00 m kedua biayanya bertambah Rp5.000,00 m ketiga biayanya bertambah Rp5.000,00 demikian seterusnya, jika biaya penggalian seluruhnya habis Rp55.000,00 maka tentukan dalamnya sumur tersebut
Diketahui : a = 0.000 b = 5.000 Sn= 55.000 Ditanyakan: n Jawab : Sn = n/ {a + (n )b} 55.000 = n/ {(0.000) + (n ) 5.000} 55.000 = n/ {60.000 + 5.000n 5.000}.050.000 = 55.000n + 5.000n n + n 0 = 0 (n +) (n 0) = 0 n = - atau n = 0 Jadi dalamnya sumur itu adalah 0 m.
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Barisan Geometri Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang memiliki perbandingan(rasio) antara dua buah suku terdekat berturut-turut selalu tetap. Contoh : Barisan geometri.,, 9, 7,...., 6, 0, 5, Tentukan rasio dari masing-masing contoh di atas dan apakah merupakan barisan geometri?
Contoh :,, 9, 7,... rasio : 9...,, 9, 7,...merupakan barisan geometri karena mempunyai perbandingan(rasio)tetap yaitu. Contoh :, 6, 0, 5, rasio : 6 0 6..., 6, 0, 5, bukan merupakan barisan geometri karena perbandingan(rasio)tidak tetap.
Rumus barisan geometri Rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah dengan U ar n n Keterangan : U n = suku ke-n a = suku pertama n = banyaknya suku r = rasio
Contoh : Tentukan suku ke 8 dari barisan geometri berikut, 6, 8, 54,! Jawab : Barisan geometri, 6, 8, 54, a r r U U n 8 6 a. r () n 7 x87 474
Deret Geometri Deret Geometri adalah jumlah suku-suku barisan geometri. Jika barisan geometrinya adalah maka deret geometrinya adalah Bentuk ini dikenal sebagai jumlah n suku pertama deret geometri, yang dapat dinyatakan n, a, dan r.
Untuk itu, gunakan sifat bahwa rasio antara dua suku berurutan selalu r dengan proses berikut. Kita tuliskan hasil ini dalam teorema berikut tentang suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret geometri.
Teorema Suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret geometri Pada deret geometri dengan sukupertama = = a danrasio deret = r, dengan maka suku ke-n deret ini adalah dan jumlah n suku pertamanya adalah
Contoh Pada suatu deret geometri, jika suku pertamanya adalah 7, suku terakhirnya adalah 448 dan jumlahnya 889, tentukan rasio dan banyaknya suku deret tersebut. Jawab: Jika deretnya S u u... n u n maka kita mempunyai n u a 7, u n 7r 448, n dan r Sn 7. 889 r
S n r 7. 889 n dan r dari 7r n 448 diperoleh r n 64, sehingga r n 64r. Gantikan data ini pada persamaan terakhir diperoleh 64r 7. 889 r 64r 7 r 64r 7 7r 6r 6 r
Gantikan r = ke persamaan r n 64r, n 8 7 sehingga n 7 Jadi rasio deret adalah dan banyaknya suku deret adalah 7
Deret Geometri konvergen ( tak hingga )
Deret geometri tak hingga adalah penjumlahan dari suatu deret geometri yang jika deret tersebut kita jumlahkan,maka kita tidak dapat menghitung banyak seluruh deret geometri tersebut. Atau dapat kita tuliskan : U + U + U +.. contoh : + + 4 + 8 +..
Jika suatu deret geometri tak hingga dapat ditentukan pendekatan jumlahnya, maka deret tersebut dinamakan deret yang konvergen. Contoh : a. 000 + 00 + 0 + + 0. +.. b. 00 50 + 5 ½ +.. Rasio masing - masing deret tersebut adalah 0.dan -½
Suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah tertentu (konvergen) jika rasio deret tersebut terletak pada interval -< r < atau r <
Rumus jumlah deret geometri tak hingga Jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah : a S r
Contoh : Carilah jumlah deret geometri berikut. 4 6 4 Jawab : 6 sehingga, r a a S r S 6... 6 4 7
Contoh : Diketahui jumlah tak hingga 4 dan rasionya ½, maka tentukanlah suku pertamanya! Jawab : r Sehingga, a S 4 Jadi suku pertamanya adalah S r 4 a 4 a a 4.
Soal. Carilah jumlah deret geometri berikut 4.... Diketahui jumlah tak hingga 4 dan suku pertamanya 6, maka tentukanlah rasionya!
Deret Geometri tak terhingga Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan r <. Jumlah S dari dert geometri tak hingga adalah a 0 a s r r Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak terhingga terdapat dua kasus yang harus kalian perhatikan, yaitu:
Kasus Jika r < - atau r >, maka untuk n, nilai rn makin besar. Untuk r < -, n, dengan n ganjil didapat rn Untuk r < -,, dengan n genap didapat rn Untuk r >, rn didapat rn Akibatnya, a s r Deret geometri dengan r < - atau r > ini disebut deret geometri divergen (memencar).
Contoh : Suatu deret geometri mempunyai suku ke- 5 sama dengan 64 dan suku ke- sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 0 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut! Jawab: u 8, berarti : ar 8 u ar. r 8r r 5 64, berarti 64 64 8 : ar 4 64
Sehingga didapat r = Dengan mensubstitusi r = ke persamaan ar = 8, kalian mendapatkan a. = 8 sehingga a = 4 Jumlah n suku pertama deret ini adalah : 4 n 4 4. n S n 4. n 4. n 4 n 4
Jumlah 0 suku pertama deret ini adalah : S 0 0 4 4 4.096 4 4.09
Sebuah bola basket dijatuhkan dari ketinggian 6 m. pada setiap pantulan, bola memantul dan mencapai ketinggian dari ketinggian semula. Tentukan panjang lintasan yang terjadi hinggabola benar-benar berhenti. Jawab Panjang lintasan total bola hingga berhenti dinyatakan oleh deret berikut S h h 0 h... h0= ketinggian mulamula 6 m.
m h h 4 6 0 m h h h h 9 4 6 9 4. 0 0 m h h h h 7 8. 0 0 n h n h Dengan demikian, anda dapat menuliskan... 6 6 6... 0 n h h h h h S... 4 4 4 6
Dapat anda lihat bahwa:... 4 4 4 Merupakan deret geometri tak hingga konvergen dengan a = 4 dan r =/.Oleh karena itu, jumlah dari deret tersebut (dimisalkan D) adalah 4 4 r a D Dengan demikian: 0 () 6 6 S D Jadi, panjang lintasan yang dilalui bola sampai bola berhenti adalah 0 m.