BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

7 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Metode yang digunakan untuk menganalisis keberlanjutan studi dalam wajib belajar 6 tahun (SD/MI) adalah metode Life Table, Kaplan-Meier, dan hazard proporsional Cox. 4.1 Metode Life Table Metode Life Table digunakan jika data yang diperoleh berupa data dalam suatu selang yang sama, tanpa informasi yang lengkap tentang waktu kejadiannya dan data disusun tabel sebagai berikut : j 1 2... m Nilai awal selang(t j ) d j c j n j Langkah-langkah untuk menyusun Life Table : (1) Pada kolom j dibuat m buah selang yang panjangnya sama, j = 1, 2,, m, (2) Pada kolom nilai awal selang dimulai dari tahun ke 0 artinya dimulai awal tahun pembelajaran kelas 1, (3) Pada kolom d j setiap selang j ditentukan banyaknya siswa tidak naik/keluar, (4) Pada kolom c j setiap selang j ditentukan banyaknya siswa pindah ke sekolah di wilayah/di luar Jakarta Selatan, (5) Pada kolom n j setiap selang j ditentukan banyaknya siswa yang berlanjut dan berisiko mengalami kejadian, untuk selang selanjutnya menggunakan n j = n j-1 d j-1 c j-1, (6) Pada kolom setiap selang j ditentukan banyaknya siswa yang berisiko tersensor, (7) Pada kolom setiap selang j peluang berlanjutnya siswa,

8 (8) Pada kolom setiap selang j peluang setiap siswa berlanjut hingga selang ke- k dapat diduga dengan fungsi kelanjutan sebagai berikut :. (4.1) Untuk t k t t k+1, k = 1, 2,, m. untuk t t 1, untuk t t m + 1. (9) Pada kolom setiap selang j peluang setiap siswa tidak naik kelas hingga selang ke-k dapat diduga dengan fungsi hazard Life Table sebagai berikut : (4.2) dengan = t j+1 -t j adalah panjang selang j. 4.2 Metode Kaplan-Meier Pada metode Kaplan-Meier setiap selang memuat satu kejadian, sehingga setiap siswa keluar (tidak melanjutkan sekolah)/tidak naik kelas dibuat selang data dan data disusun tabel sebagai berikut : n j t j j d j c j j... Langkah-langkah untuk menyusun tabel Kaplan-Meier : (1) Pada kolom n j setiap selang j baris pertama ditentukan banyaknya siswa pada awal tahun pelajaran kelas 1 dan berisiko mengalami kejadian, untuk selang selanjutnya (n j = n j-1 d j-1 c j-1 ), (2) Pada kolom t j setiap selang j ditentukan waktu (bulan) kejadian setiap siswa keluar (tidak melanjutkan sekolah)/tidak naik kelas (t j ), (3) Pada kolom τ j setiap selang j ditentukan panjang selang yang bergantung waktu (bulan) kejadian (τ j = t j+1 - t j ), (4) Pada kolom d j setiap selang j ditentukan banyaknya siswa tidak naik/keluar,

9 (5) Pada kolom c j setiap selang j ditentukan banyaknya siswa pindah sekolah di wilayah Jakarta Selatan atau di luar Jakarta. (6) Pada kolom setiap selang j peluang berlanjutnya siswa dengan, (7) Pada kolom setiap selang j peluang setiap siswa berlanjut hingga selang ke-k dapat diduga dengan fungsi kelanjutan sebagai berikut :. (4.3) untuk t k t t k+1, k = 1, 2,, m. untuk t t 1, untuk t t m + 1. (8) Pada kolom setiap selang j peluang setiap siswa keluar/tidak naik hingga selang ke-k dapat diduga dengan fungsi hazard sebagai berikut : (4.4) untuk t j t t j+1, j = 1, 2,, m. 4.3 Membandingkan Dua Grup dalam Data Survival Dalam dua grup data survival ada dua kemungkinan penjelasan yang mungkin untuk perbedaan fungsi kelanjutan yang diduga. Salah satu penjelasan mengatakan bahwa ada perbedaan yang nyata antara waktu kelanjutan studi dari kedua kelompok individu, sehingga kemampuan kelanjutan studinya juga berbeda. Penjelasan lain mengatakan bahwa perbedaan keduanya tidaklah nyata, kalau ada mungkin hanya faktor kebetulan. Untuk membedakan kedua pernyataan dapat digunakan uji hipotesis dua sampel bebas menggunakan uji Kolmogorov- Smirnov. Hipotesis yang digunakan adalah H 0 : S 1 (t) = S 2 (t) H 1 : S 1 (t) S 2 (t) Daerah penolakan H 0 jika probabilitas < 0,05. Uji Kolmogorov-Smirnov disusun dengan memisahkan waktu kejadian dalam dua kelompok data survival, masing-masing kelompok diberi nama grup1

10 dan grup 2. Misalkan ada r bulan waktu kejadian yang berbeda, t 1 < t 2 < <t r pada kedua kelompok tersebut, dan pada waktu t j terjadi resiko sebanyak d 1j untuk grup 1 dan d 2j untuk grup 2, j = 1, 2,., r. Misalkan pula ada sebanyak n 1j individu siswa yang melanjutkan dalam grup 1 dan n 2j untuk grup 2 pada waktu t j, maka ada d j = d 1j + d 2j siswa yang berisiko tidak melanjutkan sekolah dari sebanyak n j = n 1j + n 2j individu. Sebagai ilustrasi ditampilkan dalam Tabel 1. Tabel 1 Jumlah siswa berisiko dan melanjutkan studi pada waktu ke-j Grup Jumlah siswa berisiko pada waktu t j Jumlah individu yang berlanjut hingga waktu t j Jumlah individu yang berisiko sebelum waktu t j 1 d 1j n 1j d 1j n 1j 2 d 2j n 2j d 2j n 2j Total d j n j - d j n j 4.4 Metode hazard proposional Cox 4.4.1 Penduga parameter Metode hazard proposional Cox dapat menjelaskan pengaruh karakteristikkarakteristik peubah respon secara simultan. Asumsi untuk model ini adalah menganalisis dengan jumlah secara individu sehingga fungsi hazard individu tersebut dapat dinyatakan dengan (4.5) Persamaan (4.1) adalah model hazard proposional Cox untuk membandingkan dua populasi. Model tersebut dapat dibuat lebih umum yaitu resiko siswa sekolah individu ke-i bergantung pada pada nilai x 1i, x 2i,, x pi dari p peubah penjelas x 1, x 2,,x p. Himpunan nilai peubah penjelas pada model hazard proporsional Cox dinyatakan oleh vektor x i = (x 1i, x 2i,, x pi ). Misalkan h o (t) adalah fungsi hazard dari individu yang nilai peubah penjelasnya membuat vektor x i sama dengan 0, maka h o (t) disebut baseline fungsi hazard. Fungsi hazard untuk individu ke-i dapat dinyatakan dengan, dengan adalah nilai fungsi dari vektor peubah penjelas untuk individu ke-i. Nilai > 0 sehingga dapat

11 dinyatakan dengan, dimana merupakan kombinasi linear dari p peubah penjelas pada x i, yaitu = Selanjutnya bentuk umum hazard proposional Cox menjadi = (4.6) Parameter dalam model hazard proposional Cox merupakan parameter yang belum diketahui nilainya dan akan diduga menggunakan metode maksimum likelihood. Pendugaan dengan metode maksimum likelihood adalah nilai yang memaksimumkan fungsi likelihood. Fungsi likelihood adalah peluang bersama dari data pengamatan yang dianggap sebagai fungsi dari parameter yang tidak diketahui nilainya dalam asumsi model. Misalkan data n siswa wajib belajar 6 tahun terdiri dari r siswa telah melanjutkan belajar dan n-r siswa tersensor, data r siswa diurutkan menjadi t 1 < t 2 < < t r. Jika kejadian A adalah siswa wajib belajar 6 tahun dengan nilai peubah penjelas x ji melanjutkan sekolah pada waktu t j dan kejadian B adalah siswa melanjutkan sekolah pada waktu t j, maka = (4.7) Pembilang pada (4.4) di atas adalah bentuk sederhana dari resiko sekolah tahun pertama individu ke-i pada waktu t j sehingga fungsi hazardnya dapat dinyatakan sebagai h i (t j ). Penyebutnya merupakan jumlah dari resiko sekolah tahun pertama pada waktu t j (dinotasikan h l (t j )) untuk semua individu yang mempunyai risiko

12 sekolah tahun pertama pada waktu t j dan dapat dinyatakan dengan. adalah himpunan risiko pada waktu t j yang terdiri dari individu-individu yang melanjutkan hingga t j. Ekspresi (4.4) dapat dinyatakan dengan dan menggunakan persamaan (4.2) menjadi Fungsi likelihoodnya menjadi (4.8) Misalkan waktu kejadian dan waktu sensor dari data n pengamatan dinyatakan dalam notasi pasangan peubah acak, dan merupakan indikator yang menunjukkan apakah waktu survival tidak tersensor atau tersensor, maka persamaan (4.5) dapat ditulis menjadi Jika persamaan di atas di ln-kan maka diperoleh (4.9) Penduga dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi ln-likelihood yaitu dengan menentukan solusi dari persamaan

13 (4.10) Persamaan (4.6) sulit diselesaikan secara analitis tetapi mudah diselesaikan secara numerik. 4.5 Aplikasi Model Pada Pendidikan 4.5.1 Metode Life Table Untuk menggambarkan penghitungan penduga fungsi kelanjutan metode Life Table wajib belajar 6 tahun siswa SD/MI dengan panjang selang 1 tahun dapat dilihat pada Lampiran 2. Penyajian dalam bentuk grafik hasil penghitungan tersebut adalah sebagai berikut: Gambar 2 Grafik fungsi kelanjutan studi siswa SD/MI dengan metode Life Table 1.0500 0.9500 0.9000 0.8500 0.7500 1 2 3 4 5 6 7 Waktu (tahun) Ŝ(t) Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa dari tahun ke-1 sampai dengan tahun ke-5 fungsi kelanjutan studi siswa mengalami penurunan artinya setiap tahun ada siswa yang tidak melanjutkan sekolah dan menginjak tahun ke-6 fungsi kelanjutan studi siswa konstan artinya siswa yang lulus kelas 6 ada 100%. 4.5.2 Membandingkan dua kelompok data survival dengan metode Life Table Hasil analisis menggunakan Life Table untuk peubah bebas gender (laki-laki, perempuan), status sekolah (negeri, swasta), dan jenis sekolah (umum, islam). Lampiran 2 (Hasil perhitungan Life Table)

14 a. Hasil analisis kelanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan 1.2000 0.6000 0.4000 0.2000 0.0000 1 2 3 4 5 6 7 Ŝ(t)P Ŝ(t)L Waktu (tahun) Gambar 3 Grafik fungsi kelanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan Pada Gambar 3 di atas menunjukkan bahwa siswa perempuan kelanjutan studinya lebih baik dibandingkan dengan siswa laki-laki (89% vs 73%). Artinya dari 100 siswa perempuan masuk SD/MI yang lulus tepat waktu 6 tahun ada 89 siswa dan yang mutasi, keluar dan tidak naik kelas ada 11 siswa. Namun demikian, berdasarkan uji Kolmogorov-Smirnov tidak ada perbedaan signifikan kelanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan (p-value=0,203). b. Hasil analisis kelanjutan studi siswa sekolsh negeri dan swasta 1.2000 0.6000 0.4000 0.2000 0.0000 1 2 3 4 5 6 7 Ŝ(t)N Ŝ(t)S Waktu (tahun) Gambar 4 Grafik fungsi kelanjutan siswa sekolah negeri dan swasta Pada Gambar 4 menunjukkan bahwa siswa sekolah swasta kelanjutan studinya lebih baik dibandingkan dengan siswa sekolah negeri (87% vs 82%).

15 Berdasarkan uji Kolmogorov-Smirnov menyatakan tidak ada perbedaan signifikan kelanjutan studi siswa sekolah negeri dan sekolah swasta (p-value=0,541). c. Hasil analisis kelanjutan siswa sekolah umum dan madrasah 1.2000 0.6000 0.4000 0.2000 0.0000 1 2 3 4 5 6 7 Waktu (tahun) Ŝ(t)M Ŝ(t)U Gambar 5 Grafik fungsi kelanjutan studi siswa sekolah umum dan madrasah. Pada Gambar 5 menunjukkan bahwa, kelanjutan studi siswa madrasah lebih baik dibandingkan dengan siswa sekolah umum (88% vs 80%). Namun demikian, berdasarkan uji Kolmogorov-Smirnov menyatakan tidak ada perbedaan signifikan kelanjutan studi siswa sekolah umum dan madrasah (p-value=0,541). 4.5.3 Metode Kaplan-Meier Untuk menggambarkan penghitungan penduga fungsi kelanjutan siswa tidak sama, dapat dilihat pada Lampiran 3. Penyajian dalam bentuk grafik hasil penghitungan tersebut adalah sebagai berikut: 1.2000 0.6000 0.4000 0.2000 0.0000 12 20 24 29 35 36 48 53 58 60 72 Waktu (bulan) Ŝ(t) Gambar 6 Grafik fungsi kelanjutan metode Kaplan-Meier

16 Dari Gambar 6 terlihat bahwa fungsi keberlanjutan siswa SD/MI semakin menurun artinya pada bulan-bulan tertentu ada siswa yang keluar/tidak naik kelas. Hasil perhitungan dengan metode Kaplan-Meier terlihat waktu kejadian lebih banyak dibandingkan dengan metode Life Table. 4.5.4 Membandingkan dua kelompok data survival dengan metode Kaplan- Meier Hasil analisis kelanjutan studi menggunakan metode Kaplan-Meier untuk peubah bebas gender (laki-laki, perempuan), status sekolah (negeri, swasta), dan jenis sekolah (Umum/Madrasah). Hasil perhitungan Kaplan-Meier ada pada Lampiran 3. a. Hasil analisis kelanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan 1.2000 0.6000 0.4000 0.2000 Ŝ(t)P Ŝ(t)L 0.0000 12 20 24 29 35 36 48 53 60 72 Waktu (bulan) Gambar 7 Grafik fungsi kelanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan Pada Gambar 7 di atas menunjukkan bahwa siswa perempuan kelanjutan studinya lebih baik dibandingkan dengan siswa laki-laki (87% vs 72%). Dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov, menyatakan tidak ada perbedaan signifikan kelanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan (p-value=0,164).

17 b. Hasil analisis kelanjutan studi siswa sekolah negeri dan swasta 0.9500 0.9000 0.8500 0.7500 0.7000 12 20 24 29 35 36 46 48 53 60 72 Waktu(bulan) Ŝ(t)N Ŝ(t)S Gambar 8 Grafik fungsi kelanjutan studi siswa sekolah negeri dan swasta Pada Gambar 8 menunjukkan bahwa siswa sekolah swasta kelanjutan studinya lebih baik dibandingkan dengan siswa sekolah negeri (85% vs 82%). Namun demikian, berdasarkan uji Kolmogorov-Smirnov menyatakan tidak ada perbedaan signifikan kelanjutan studi siswa sekolah negeri dan swasta (pvalue=0,808). c. Hasil analisis kelanjutan studi siswa sekolah umum dan madrasah 1.2000 0.6000 0.4000 0.2000 0.0000 12 20 24 29 35 36 48 53 58 60 72 Waktu (bulan) Ŝ(t)M Ŝ(t)U Gambar 9 Grafik fungsi kelanjutan siswa sekolah umum dan madrasah Pada Gambar 9 menunjukkan bahwa, siswa madrasah kelanjutan studinya lebih baik dibandingkan dengan siswa sekolah umum (88% vs 80%). Dengan

18 menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov, menyatakan tidak ada perbedaan signifikan kelanjutan studi siswa umum dan madrasah (p-value=0,206). Dari hasil perbandingan kelompok dengan metode Kaplan-Meier hasil analisis kelanjutan studinya sama dengan metode Life Table. Jika data survival yang akan dibandingkan lebih dari dua kelompok individu dengan menggunakan metode Life Table dan Kaplan-Meier menjadi tidak praktis. Hal ini dikarenakan dalam metode Life Table dan Kaplan-Meier setiap dua kelompok harus diuji secara tersendiri, sehingga jika ada beberapa kelompok maka akan lebih efisien menggunakan metode hazard proposional Cox. 4.5.5 Metode Hazard Proporsional Cox Hasil analisis data survival wajib belajar 6 tahun untuk peubah bebas x 1 siswa laki-laki (1)/perempuan(0), x 2 siswa sekolah negeri (1)/swasta (0), dan x 3 siswa sekolah umum (1)/madrasah (0) dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2 Hasil analisis metode hazard proposional Cox Peubah bebas SE df Sig Exp( ) x 1 x 2 x 3-0,222 0,254 1 0,382 0,801 0,869 0,368 1 0,018 2,383-0,778 0,357 1 0,029 0,459 Untuk taraf nyata α = 0,05, diperoleh nilai p (sig) < α sehingga kesimpulannya tolak. Dari hasil analisis metode hazard proposional Cox dapat disimpulkan bahwa: 1 Tidak terdapat perbedaan yang signifikan kelanjutan studi siswa laki-laki dan perempuan. 2 Terdapat perbedaan yang signifikan kelanjutan studi siswa sekolah negeri dan swasta. 3 Terdapat perbedaan yang signifikan kelanjutan studi siswa sekolah umum dan madrasah.

19 Hasil analisis metode Life Table, dan metode Kaplan-Meier berbeda dengan metode proporsional hazard Cox. Perbedaan terjadi diduga karena kegagalan asumsi dalam memenuhi kondisi proporsional hazard Cox yaitu keterangan antar karakteristik tidak proporsional, bahkan dapat dilihat grafiknya berpotongan seperti pada Lampiran 5 dan Lampiran 6. Hal ini menunjukkan bahwa kondisi perbandingan dengan gender, status dan jenis sekolah tidak proporsional sehingga metode proporsional hazard Cox tidak sesuai untuk digunakan.